Oscar Aranda M. HIPÓTESIS RELATIVA A LA TASA … · además de las contribuciones al campo de la...

Oscar Aranda M.

Fac. Ciencias UNAM 1

HIPÓTESIS RELATIVA A LA TASA INSTANTÁNEA DE MORTALIDAD

(1era Parte) Oscar Aranda M

UNAM, Fac. Ciencias Junio, 2011

Los conceptos y principios fundamentales de la ciencia son

invenciones libres del espíritu humano. Albert Einstein

Introducción Los primeros estudios acerca del comportamiento de la mortalidad, datan de principios del siglo XVIII, donde se trató de buscar una expresión que en forma analítica represente el comportamiento de la población asociada a la edad, a la que hoy en día se le denomina función xl ; en forma particular el nacimiento de la Ciencia Actuarial1, es citada en el siglo XVII.

En 1671, el matemático holandés Jan de Witt, sugiere recabar fondos para el ejército holandés mediante la venta de anualidades vitalicias, donde el Estado provee a una viuda un ingreso regular hasta su muerte –indemnización- a cambio de una cantidad fija de dinero por adelantado. El proceso indicado, se encuentra citado en su obra "Waardije van Lyf-renten naer Proportie van Los-renten", documento que conjunta los intereses del estadista y del matemático, constituyendo a sí la primera aproximación matemática a las leyes del azar.

En este mismo siglo, en el año de 1693, Edmund Halley, publicó “An estimate of the degrees of the mortality of mankind, drawn from curious tables of the births and funerals at the city of Breslau; with an attempt to ascertain the prices of annuities upon lives”, en el que define un arreglo matricial en la que el resume la experiencia de mortalidad en la ciudad de Breslau, Alemania, a partir de ella construyó la primera tabla de rentas vitalicias en función a la probable duración de la vida.

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El proceso considerado para tal efecto fue:

0 1687 0 1688 0 1691

1 1687 1 1688 0 1691

, , ,

, , ,

d d dd d d

donde ,i jd corresponde al número de personas entre edades i e i + 1 que fallecieron en el año j. 1

Hald, A. (1987) On the Early History of Life Insurance Mathematics. Scandinavian Actuarial Journal. Representando así por medio de su media aritmética, el número de decesos por edad, es decir,

1691

1687 0 1 25

i , jj

i

di , , ,...d == ∀ =

∑

de esta forma, obtuvo una estimación del grupo inicial expuesto a edad cero, 0l ; consistente en la suma de las medias aritméticas de fallecimientos por cada edad,

0 0 1l d d= + + ⋅⋅⋅ En virtud de que el objetivo de estudio es la valuación de anualidades vitalicias; es decir, pagos o rentas asociadas a la sobrevivencia del quien la recibe; Halley la describe en los siguientes términos: “el comprador debe pagar sólo aquella porción del valor de la anualidad que tiene la posibilidad de recibir; el cálculo debe efectuarse anualmente y los valores para cada uno de los años deben sumarse, dando como resultado el valor de la anualidad para la persona propuesta”. Otro concepto interesante, es la descripción de la medida de los “diferentes grados de mortalidad o vitalidad”, idea que hoy en día se asocia con el concepto de esperanza de vida. En ese mismo siglo, se puede citar al matemático holandés Jan Hudde, quién además de su contribución al campo de la geometría analítica, abordo el problema bajo una óptica diferente, distinguiendo los tipos de población que son objeto de estudio, es decir, sobrevivientes de un grupo de rentistas y de aquellos que estaban dirigidas a la sobrevivencia de la población en general. Sin embargo, existe evidencia que en el año 40 a.C. en Roma, se utilizó por primera vez el concepto de anualidad vitalicia, descrita en la “Lex, Falcidia”, donde las viudas de los prestatarios de ciertos contratos percibían una indemnización en forma de rentas. En forma semejante en el año 220 d.C., Domicio Ulpiano, jurista romano, diseñó un arreglo basada en la edad y la supuesta esperanza de vida asociada a esa edad; sin

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embargo, hay la duda si está realmente asocia el concepto de esperanza de vida o simplemente es el valor del monto necesario a esa edad para definir una renta unitaria anual de por vida; no obstante lo anterior, es relevante, dado que son conceptos distantes a los antecedentes formales del siglo XVII. Para el siglo XVIII, en el año de 1725, el matemático Frances Abraham De Moivre, además de las contribuciones al campo de la teoría de la probabilidad, álgebra y trigonometría, formuló en su tratado “Annuities upon lives”, el modelo relativo al

número de sobrevivientes en edades sucesivas, basado en el trabajo de Edmund Halley, estableciendo como función de aproximación una progresión aritmética decreciente, no negativa, donde el número de personas con vida a edad x es en notación actual(*) 86xl x= − para toda [ ]12,86x∈ , gráficamente.

En forma general, la expresión propuesta por De Moivre, se puede generalizar como

xl a bx= − , donde xl , define el número de sobrevivientes a edad x de un grupo inicial de edad cero, 0l .

Con las siguientes restricciones: 0 000, , , l lb a l x

b bω> = = ≤ , siendo ω la edad

última teórica de sobrevivencia. Así, con esta expresión, permitiría poder describir la función xd , que en notación actual, determina el número de fallecimientos entre las edades x y x+1, simbólicamente, 1x x xd l l += − ; sin embargo resulta limitada en su aplicación, ya que con la función propuesta, el número de fallecimientos entre edades sucesivas, el resultado siempre será constante, es decir, xd b= .

(*) xl : “number living”

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Este primer documento en su estilo, tiene el mérito de pretender definir una ley que describa el comportamiento de la mortalidad basados en la función xl . Ya para el siglo XIX, el matemático e ingeniero escocés Edgard Sang 2, propone en el año de 1817 una expresión, basada en la hipótesis de que el número de sobrevivientes en un grupo debe decrecer conforme a una progresión geométrica,

conjuntamente con otro factor diferente a la edad, es decir: x

xl a kb= + con las restricciones

0 0 0 1; ; 1 1l b lb a k

b b

ω

ω ω< < = =− −

donde 0l , es el número de personas con vida a edad cero y ω , es la edad última teórica, 0lω = .

Por esa misma fecha, el Ingeniero francés Emile Dormoy 3 propone una expresión semejante a la de Sang, prescindiendo del término constante, es decir:

xxl ab=

con las restricciones 00 1; y 0 si xb a l b x ω< < = → → lo que equivaldrá a una función exponencial no negativa, decreciente y convexa respecto de la variable edad.

En la notación actuarial moderna, la tasa de mortalidad anual xq , definida como la probabilidad de que x fallezca dentro del intervalo de un año, descrito como

xx

x

dql

= ; bajo el modelo propuesto por Dormoy, su resultado es 1 b− para cualquier

edad x ; en ambos casos: Sang-Dormoy; cuando 1x ω= − , la probabilidad de que la persona con edad anterior a la última edad teórica de sobrevivencia ω , fallezca

dentro del siguiente año, descrita como 1 11

1 1

1d l lql lω ω ω

ωω ω

− −−

− −

−= = = , su resultado con las

expresiones propuestas es siempre diferente a uno, por lo tanto, resulta incompleta las expresiones propuestas como función xl .

2 Alex Craik; Edward Sang (1805–1890): calculator extraordinary, special number of Newsletter in memory of J.G. Fauvel;

British Society for the History of Mathematics Newsletter. 3

Emile Dormoy (1829-1891), Théorie des assurances sur la vie (1878), Journal des actuaires (t. IX, p. 64, 1880).

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FUERZA DE

MORTALIDAD El establecer una ley que describa matemáticamente el comportamiento de la mortalidad del ser humano en el tiempo, originó que propusieran varias hipótesis, destacando la propuesta en al año de 1825, por matemático Inglés Benjamín Gompertz, quién estableció una hipótesis más racional y científica, así en un documento dirigido a la Royal Society of London, cita en su celebre memoria que: “Es posible que la muerte sea la consecuencia de dos causas coexistentes: una el azar, sin disposición previa a la muerte o al deterioro; otra, una deterioración o una impotencia creciente para resistir a la destrucción. Si, por ejemplo, existen ciertas enfermedades a las que jóvenes y viejos estuvieras igualmente expuestos, y que fuesen igualmente funestas para viejos y para jóvenes, es evidente que las muertes por esta causa, en ambos grupos, guardarían entre sí la misma proporción que los grupos dados, con tal de que los números fueran suficientemente grandes como para que pudiesen operar las leyes del azar.

La intensidad de la mortalidad podría tenerse por constante. Sí no hubiera otras enfermedades, la vida tendría, en todas las edades, el mismo valor y, tanto el número de sobrevivientes como el de muertos, decrecería con la edad en progresión geométrica, mientras las edades crecerían en progresión aritmética.

Pero si el género humano adquiere, de día en día, gérmenes de indisposición, o –dicho en otros términos – esta cada vez más expuesto a morir- lo que parece ser una hipótesis verosímil, por lo menos, para una gran parte de la vida, y aun cuando lo contrario pueda ocurrir en ciertos períodos- debe existir una fuerza(*) en donde el número de personas

de igual edad, decrece, en intervalos iguales de tiempo más rápidamente que la progresión geométrica, así el oír decir que determinado hombre ha llegado a un determinado punto de la vejez, disminuye en una progresión mucho más rápida, aunque no haya límite alguno respecto a la edad que pueda alcanzar …

* El concepto; fuerza, es un término derivado de la Física y mide la intensidad del intercambio de momento lineal entre dos

partículas o sistemas de partículas.

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Si el agotamiento del poder del hombre para evitar la muerte fuera tal que, en promedio, y al fin de períodos de tiempo infinitamente pequeños, pero de igual duración, perdiera, también, porciones iguales del poder de oponerse a la muerte que tenía al principio de dicho intervalo, entonces, a la edad x, la intensidad de la mortalidad (simbolizada actualmente como xµ ), podría ser representada por xaq , siendo a y q constantes a determinar 4”

Gompertz consideró el recíproco de esta intensidad de muerte para representar la resistencia a la muerte, este supuesto puede ser expresado como

1 1

x x

D hµ µ

= − ⋅

donde h , es la constante de proporcionalidad, integrando,

1ln lnx

hx Bµ

= − −

el término ln B− es la constante de integración, 4

"On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode of Determining the Value of Life Contingencies". Philosophical Transactions of the Royal Society of London 115: 513–585. 1825

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simplificando y exponenciando se tiene

ln lnx hx Bµ = +

ln lnx hx Be eµ +=

y considerando he c= , se obtiene:

xx Bcµ =

La hipótesis de Gompertz es equivalente a suponer que la fuerza de mortalidad se “incrementa en progresión geométrica”. Aun cuando Gompertz propone que “Es posible que la muerte sea la consecuencia de dos causas coexistentes: una el azar, sin disposición previa a la muerte o al deterioro; otra, una deterioración o una impotencia creciente para resistirse a la destrucción”, su modelo comprende únicamente el segundo de estos componentes. Fue hasta 1860, cuando matemático Inglés William Matthew Makeham, en su trabajo “On the law of mortality and the construction of annuity tables”, incorpora al trabajo de Gomperz esta primera variable y corresponde a un valor constante que representa a todos aquellos factores al azar sin disposición previa a la muerte, por ejemplo: accidentes, epidemias, etc. Por lo tanto, la expresión matemática denominada Ley de Gompertz-Makeham 5 se define en términos de la función x

x A Bcµ = + .

5 En la actualidad las expresiones con 2 y 3 parámetros (Gompertz-Makeham), no presentan un grado razonable de ajuste para

las edades inferiores a 12 años, ni superiores a 80, sin embargo, han sido aplicados extensamente para graduar tablas de mortalidad dado el nivel de exactitud con el que se ajustan a las tasas empíricas y por la propiedad que poseen de obedecer a la llamada ley del envejecimiento uniforme.

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CONSTRUCCIÓN DE LA FUNCIÓN xl

BASADA EN LA FUERZA DE MORTALIDAD xµ

El concepto de sobrevivencia para un grupo con valor inicial 0l , obedecerá en el tiempo la Ley de envejecimiento uniforme, entendiéndose “al proceso continuo, universal e irreversible que determina la pérdida progresiva de la capacidad biológica de adaptación”. En esta virtud, la información referente a la edad de fallecimiento de los individuos en estudios censales de poblaciones concretas, suministran únicamente los años completos que ha vivido el fallecido o la edad actual del censado para referirse a la población en estudio, al considerar la siguiente notación 6:

z zq∆ La probabilidad de que una persona de edad z, fallezca dentro del periodo z∆ , donde z∆ , es el incremento de tiempo respecto a su edad.

zl Representa la función o el número de personas con vida a edad z, del grupo inicial de la cohorte* de recién nacidos: 0l

z zd∆ Número de decesos o fallecimientos entre las edades “z” y “ z z+ ∆ ”.

La tasa instantánea de mortalidad 7, bajo el concepto “rapidez de cambio de la mortalidad” en un intervalo ínfimo de tiempo para una persona de edad x, es 8,

0

z zz

z

qlímz

µ+

∆

∆ →=

∆

6

En 1895, se establece “DES permanente Congrès d' Actuaires de Comité”, antecedente de la IAA “International Actuarial Association”, que tiene como objetivo la investigación, la educación y el desarrollo de la profesión, a través de las diferentes asociaciones actuariales a nivel mundial, bajo este antecedente, el desarrollo de la ciencia actuarial da forma a la notación a considerar, destacando en su inicio el matemático inglés Dr. Thomas Bond Sprague (1830-1920), quién estableció en 1898 una notación actuarial internacional. 7

En la Ciencias Actuarial moderna, el concepto puede ser determinado conociendo la función de distribución de fracaso, aplicable generalmente en la teoría de la confiabilidad.

8

En el caso particular, si 1z∆ → , constituye la tasa anual de fallecimiento, su notación zq , representa la probabilidad de que

una persona de edad z fallezca dentro del intervalo de tiempo de un año, es decir, bajo el concepto de probabilidad clásica.

1z z zz

z z

d l lql l

+−= =

. *

Generación o seguimiento de todos los individuos.

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por lo tanto zµ

0 0

0

0

1

1

1

z z z z

z zz

z z z

zz

z z z

zz

zz

q dlím límz z ll llím

l zl llím

l zd l

l dz

+ +

+

+

∆ ∆

∆ → ∆ →

+∆

∆ →

+∆

∆ →

= =∆ ∆ ⋅

−=

∆−

= −∆

= −

(I) ln z

d ldz

= −

(II)

Considerando la expresión (II) e integrando con respecto a z , con [ ]0,z x∈

0000 0

ln ln =ln ln lnx x

x xz z z xz

lddz l dz l l ldz l

µ=

− = = − =∫ ∫

se sigue que 0

0

x

zdz

xl l eµ−∫

= (III)

como xx Bcµ = , -Ley de Gompertz- la función xl se puede definir como:

00

xzBc dz

xl l e−∫

= ⋅ (IV) por separado

( ) ( ) 1

00

1 1 ln lnln ln

xxx

z z x x c

z

B BBc dz c c c g gc c

−

=

= = − = − − = −∫

donde, lnlnBg

c= −

sustituyendo en la expresión (III), xl , dependiente de la fuerza de mortalidad.

10

lnln 0

0 0 0 ln

xxc

z xc xdz g

g cx g

lel l e l e l ge g

µ−

−∫= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

usualmente escrita como: c

x

xl k g=

(V)

donde 0lkg

= (V.a)

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Considerando un proceso semejante, con x

x A Bcµ = + , -Ley Makeham- la función

xl se puede definir como:

( )0

0

xzA Bc dz

xl l e− +∫

= ⋅ por separado

( ) 1

00

ln lnln ln ln

xxx

z z x x c

z

B B BA Bc dz Az c Ax c s gc c c

−

=

+ = + = + − = − − ∫

donde, ln s A= − ; lnlnBg

c= − … (V.b)

sustituyendo en la expresión xl , dependiente de la fuerza de mortalidad 9.

( ) 1

0 0 ln ln 10 0 0 0

x x

zs g x

x

xx c xdz A Bc dzz

cl l e l e l e l s gµ

−+ −− − +

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫

usualmente escrita como: x cx

xl k s g= (VI)

donde 0lkg

= .

9

C.W. Jordan, Life Contingencies, Society of Actuarie´ textbook 1967 y 1991, pag. 22.

Los parámetros A, B y c de la función xx A Bcµ = + , están usualmente confinados para la población humana en los rangos

( )0.001,.003A∈ , ( )6 310 ,10B − −∈ y ( )1.08,1.12c∈ .

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CONSIDERACIONES A LA

FUERZA DE MORTALIDAD

Dada las limitaciones de la expresión Gomperz-Makeham para las primeras y últimas edades, en 1867 D. Lazarus, con el objeto de mejorar la bondad de ajuste de las edades jóvenes, agregó a la expresión un término que respondía a la fórmula de Gompertz negativa, donde: x x

x A Bc Deµ −= + + , que al sustituir con 1

1 1 2 2; ; ; B B c c D B e c−= = = = y considerando un proceso semejante a los desarrollos anteriores, xl se puede escribir como

1 21 2 c cx

x

x xl k s g g=

(VII)

en ellas las constante 2g y 2c equilibran por decirlo así, la influencia de 1g y 1c . En 1889, al efectuarse el análisis para generar la tabla de mortalidad inglesa HM (Healthy Men), Makeham formuló una segunda ley, agregando a su expresión inicial otro sumando como una proporción a la edad de estudio, con objeto de hacerla más flexible para los ajustes de valores empíricos y superar la complejidad de la expresión propuesta por Lazarus, así: x

x A Hx Bcµ = + + , por lo que la función xl equivale a

En general, la determinación de una función xl , basada en un número limitado de parámetros, parece no ofrecer un grado aceptable de ajuste para edades inferiores a 12 años, ni superiores a 80 años, en virtud de que se observa que las defunciones reportadas en forma posterior al nacimiento van disminuyendo paulatinamente; “como si el ser humano se adaptara a la nueva condición de vida”, para después perder paulatinamente esa capacidad en el tiempo, hasta llegar un momento en el que alcanza su máximo en el número de defunciones en edades cercanas a los 80 años, sin embargo, en la práctica del seguro de vida, hoy en día ofrece múltiples ventajas por el limitado número de parámetros involucrados y el amplio rango de edades de ajuste que aplica a partir de 12 años.

2 x cx

x

xl k s w g=

(VIII)

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DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES DE LA

FUERZA DE MORTALIDAD

Una de las consideraciones importantes dentro del desarrollo de la teoría para la construcción de la fuerza de mortalidad, es la estimación de las constantes A, B, c, previstas en la ley de Makeham, que permitan expresar la función para un grupo de edad x o simplemente xl ; en particular a este arreglo por edad y probabilidad asociada, se le conoce como “tabla de mortalidad”.

Si de la expresión (VI), se considera 0x = , se obtiene la raíz o radix poblacional que inicia en esa edad, así 0

0

0 cl k s g kg= = , donde k es

independiente de la edad x, permitiendo con ello fijar la raíz de la tabla a voluntad. En su forma general para cualquier edad x, las constantes a determinar son cuatro, por lo tanto, hacen falta cuatro valores equidistantes de la función que representa el grupo a las edades x, x+t, x+2t y x+3t; al ser consideradas éstas en la expresión (VI), para cada uno de los valores se tiene

22

33

ln ln ln ln

ln ln ( ) ln ln

ln ln ( 2 ) ln ln

ln ln ( 3 ) ln ln

xx

x tx t

x tx t

x tx t

l k x s c g

l k x t s c g

l k x t s c g

l k x t s c g

++

++

++

= + +

= + + +

= + + +

= + + +

(IX)

considerando las primeras diferencias,

22

ln ln ( 1)ln

ln ln ( 1)ln

ln ln ( 1)ln

x tx

x t tx t

x t tx t

l t s c c g

l t s c c g

l t s c c g

++

++

∆ = + −

∆ = + −

∆ = + −

(X)

tomado diferencias segundas,

2 2

2 2

ln ( 1) ln

ln ( 1) ln

x tx

x t tx t

l c c g

l c c g++

∆ = −

∆ = −

(XI)

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y dividiendo estas diferencias segundas

2 2

2 2

ln ( 1) lnln ( 1) ln

x t ttx t

x tx

l c c g cl c c g

++∆ −

= =∆ −

se obtiene el valor de c

2

2

ln ln

x tt

x

lcl+∆

=∆

(XII)

ahora, sustituyendo el valor de c en la primera ecuación de la expresión (XI), permitirá obtener el valor de g, es decir,

2

2

ln ln ( 1)

xx t

lgc c∆

=−

con este resultado, al sustituir c, g, en la primera expresión (X), se obtiene el valor de s,

ln - ( 1)lnlnx t

xl c c gst

∆ −=

finalmente de la primera ecuación de la expresión (IX) proporcionará el valor de k.

En virtud de que es imposible seguir a todo un grupo a través del tiempo y precisar de ellos su comportamiento en relación a los fallecimientos que se presenten en el transcurso de los años, se procede bajo el principio formulado por Thomas G. Ackland a finales del siglo XIX, donde “toda persona de edad x, en observación durante unidades de tiempo, en el intervalo de investigación que se considere, equivale, de acuerdo a los efectos de la formación de las clases de edades a t personas de edades x, x+1, x+2,…, x+t-1, puestas todas en observación durante una sola unidad de tiempo”.

Oscar Aranda M.


Con este principio, George King y G.F. Hardy10, propusieron a finales del siglo XIX, un modelo consistente en formar cuatro series de sumas de los valores experimentales de xl , siendo x la edad inicial y t el número de edades que intervienen en cada serie, cuyo procedimiento consiste en un arreglo matricial que representa por renglón la serie de edades que cumplen con el principio anterior, es decir,

definamos z cz

zl k s g= , según Makeham y ln ln ln lnz

zl k z s c g= + ⋅ + ⋅ , , 1, 2,..., 1, , 1,..., 2 1, 2 ,..., 3 1,

3 ,..., 4 1z x x x x t x t x t x t x t x t

x t x t∀ = + + + − + + + + − + + −

+ + −

en particular para 0x = , se sigue un razonamiento semejante al desarrollo anterior, es decir, observemos que k es independiente de la edad y eso permite fijar la raíz de la tabla a voluntad, las constantes a determinar son cuatro y por lo tanto, hacen falta cuatro valores equidistantes de l para poder cumplir con la solución buscada. Sean las series siguientes por renglón de la matriz.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1 2 1

(XIII)

ln ln 1 2 1 ln +

ln

12 1 ln ln ln

2 1

x t

x

x x x x t

x t

l t k x x x x t s

c c c c g

c cx t tt k s g

c

+ −

+ + + −

= + + + + + + ⋅⋅⋅+ + −

+ + + ⋅⋅⋅ +

−+ −= + +

−

∑

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 1

23 1

2

34 1

3

12 3 1ln ln ln ln

2 1

12 5 1ln ln ln ln

2 1

12 7 1ln ln ln ln

2 1

x t tx t

xx t

x t tx t

xx t

x t tx t

xx t

c cx t tl t k s g

c

c cx t tl t k s g

c

c cx t tl t k s g

c

++ −

+

++ −

+

++ −

+

−+ −= + +

−

−+ −= + +

−

−+ −= + +

−

∑

∑

∑

Observemos que estas expresiones son las formas generalizadas de expresión (IX). 10

Anderson, J.L., B.A., F.I.A.; Dow, J.B., M.A., F.F.A.; Construction of Mortality and Other Tables.

xl 1xl + ⋅ ⋅ ⋅ 1x tl + −

x tl + 1x tl + + ⋅ ⋅ ⋅ 2 1x tl + −

2x tl + 2 1x tl + + ⋅ ⋅ ⋅ 3 1x tl + −

3x tl + 3 1x tl + + ⋅ ⋅ ⋅ 4 1x tl + −

Oscar Aranda M.


Considerando sus primeras diferencias y simbolizando éstas como 1 2, ,x x x+ +∆ ∆ ∆ , se tiene

( )

( )

( )

22 1 1

2

23 1 2 1

2

2224 1 3 1

23

3 2

(XIV)1

ln ln ln ln 1

1ln ln ln ln

1

1ln ln ln ln

1

x tx t x t

x x xx t

x t tx t x t

x t x xx t x t

x t tx t x t

x t x xx t x t

c cl l t s g

c

c cl l t s g

c

c cl l t s g

c

+ − + −

+

++ − + −

++ +

++ − + −

++ +

−∆ = − = +

−

−∆ = − = +

−

−∆ = − = +

−

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

y como segundas diferencias

( )

( )

3

2

3

22

(XV)

(XV.a)

1 ln

1

1ln

1

x t

x x t x

x t t

x t x t x t

c cg

c

c cg

c

+

+

+ + +

−∆ = ∆ −∆ =

−

−∆ = ∆ −∆ =

−

La relación (XV) y (XV.a), proporcionan el valor de c, es decir.

2

2 (XV.b) x tt

x

c +∆=

∆

Al sustituir el valor c en la expresión (XV) se obtiene el valor g, una vez obtenido éste, se sustituyen en la expresión (XIV) para obtener el valor de s y finalmente al sustituir todos ellos en la expresión (XII) se obtiene el valor de k. Observemos la similitud entre las expresiones (XII) y (XV.b), así como (XI) y (XV), (XV.a), la metodología para determinación de las constantes es semejante en ambos procesos.

Oscar Aranda M.


APLICACIÓN CONSTRUCCIÓN DE LA

TABLA DE MORTALIDAD MEXICANA EXPERIENCIA 1982-1989

Una aplicación del modelo anterior y variante, se tiene en el estudio efectuado para la construcción de la tabla de mortalidad experiencia Mexicana 1982-198911, publicada por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público en 1991; el estudio consideró como base estadística la experiencia de las compañías aseguradoras mexicanas durante el periodo indicado y con objeto de permitir medir fielmente las probabilidades de muerte relativas a dichos asegurados, dentro de sus hipótesis se consideró experiencia combinada de hombres y mujeres, ya que no se contó con la suficiente información que permitiera obtener resultados representativos por sexo, de forma semejante, se consideró que la curva de la tasa de mortalidad, debe ser “suave, regular y continua”, por lo que esa situación obligó a efectuar una serie de ajustes, para obtener tasas con la suavidad y fidelidad suficientes, para ser consideradas como “razonablemente similares a las verdaderas tasas de mortalidad”; estos ajustes, son conocidos como métodos de graduación y se definen como el proceso para obtener de una serie irregular de valores observados una serie suave de valores graduados11.A, como estimación representativa de la mortalidad “real” del grupo observado.

En esta virtud, las constantes k, s, g, c, de la función, x cx

xl k s g= , propuesta por

Makeham, se determinaron considerando que para una edad específica, la probabilidad de que una persona de edad x sobreviva a edad x+t, definida como

x tt x

x

lpl+= , es equivalente expresarla como

( ) ( )ln ln ln ln 1 lnx tt x x t xp l l t s c c g+= − = + −

(XVI)

expresión ya conocida como la primera diferencia (expresión X), al considerar la primera diferencia de la expresión (XVI), se obtiene

( ) ( )2

1ln 1 lnx txp c c g= −

(XVII)

11

Experiencia Mexicana 1982-1989, SHCP-CNSF Documento de trabajo No.2. http://www.cnsf.gob.mx/Difusion/Otraspublicaciones/Documentos%20de%20Trabajo/02.-Tabla%20de%20Mortalidad%20Experiencia%20Mexicana%201982-1989.pdf 11.A

Robert Henderson, ”A New Method of Graduation"in 1924, in Transactions XXV of the Actuarial Society of America,

Oscar Aranda M.


conocida también como la segunda diferencia (expresión XI), en el caso general 2,3,...t∀ =

( ) ( )2ln 1 lnx t t

t xp c c g+= −

(XVIII)

dividiendo estas diferencias, se obtiene precisamente el valor de c, es equivalente a la expresión (XII)

( )( )1

lnln

t x

x

tp

cp

=

(XIX)

al sustituir el resultado anterior en (XVII), permitirá obtener el valor g,

( )( )

12

lnln

1x

x t

pg

c c=

−

(XX)

con este resultado, al sustituir c, g, en la primera expresión (XVI), permitirá obtener el valor de s.

( ) ( )ln 1 lnln

x tt xp c c g

st

− −=

finalmente la ecuación ln ln ln lnxxl k x s c g= + + , base para la expresión (XVI)

proporcionará el valor de k, es decir,

( )ln ln ln lnxxk l x s c g= − +

Al ser considerados estos desarrollos, los respectivos valores en las expresiones (V.b), se obtienen las involucradas para la determinación de la fuerza de mortalidad xµ , así, con la información del periodo en estudio 1982-1989, los valores obtenidos fueron:

A=0.000392126 B=0.0000727187 c=1.0909846240

La función x cx

xl k s g= , así como la probabilidad xq , asociada a cada edad 12x ≥

y edad última de la tabla de mortalidad 99 años, se muestran en la siguiente tabla de mortalidad, quien “simplemente es un registro de la experiencia pasada y el uso implica la suposición de que la experiencia del futuro se reproducirá de acuerdo con lo estipulado en ella”12. 12

Maclean Joseph , “El seguro de Vida”, Ed. Continental, 1982. Pág. 79.

Oscar Aranda M.


Experiencia Mexicana 1982-1988

básica individual

Edad qx al millar

Edad qx al millar

Edad qx al millar

12 0.5990807 42 2.6520135 72 34.330922813 0.6067038 43 2.8726154 73 37.676946114 0.6141290 44 3.1149997 74 41.292669015 0.6224619 45 3.3811782 75 45.200532816 0.6318390 46 3.6733214 76 49.430116217 0.6424455 47 3.9938382 77 54.015686818 0.6544435 48 4.3453219 78 58.991553819 0.6680051 49 4.7306612 79 64.385849120 0.6832867 50 5.1531052 80 70.224894921 0.7004857 51 5.6162575 81 76.542114022 0.7198271 52 6.1239352 82 83.368632923 0.7415782 53 6.6803776 83 90.756347024 0.7660577 54 7.2898763 84 98.773314625 0.7935769 55 7.9570969 85 107.497372126 0.8244760 56 8.6873938 86 117.012460927 0.8591462 57 9.4868753 87 127.245376628 0.8979728 58 10.3619919 88 138.174518129 0.9413988 59 11.3195241 89 149.808954030 0.9898908 60 12.3665088 90 162.126930131 1.0439570 61 13.5104124 91 175.097161932 1.1041682 62 14.7599989 92 188.656392633 1.3808337 63 16.1251193 93 202.592580134 1.4740932 64 17.6154918 94 239.481828035 1.5768393 65 19.2424555 95 258.129376236 1.6900091 66 21.0180413 96 277.952431737 1.8146268 67 22.9554071 97 298.975412338 1.9518085 68 25.0711964 98 321.213609839 2.1027605 69 27.3853178 99 100040 2.2687866 70 29.920474941 2.4513244 71 32.7017905

Oscar Aranda M.


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Cd. Universitaria 1 de junio 2011

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