OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA … · 1.1 Cinemática del movimiento armónico simple....
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Osc. Ondas y Termodinámica
OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA
MÓDULO 1: OSCILACIONES
Figuras cedidas en parte por W.H. Freeman/Worth, que pertenecen al libro “Física, 4a. Ed.”, P.A. Tipler, Ed. Reverté
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Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
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Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
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Osc. Ondas y Termodinámica
En la naturaleza hay muchos sistemas que realizan movimientos armónicos o periódicos (que se repiten):
Módulo 1: Oscilaciones
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Osc. Ondas y Termodinámica
En la naturaleza hay muchos sistemas que realizan movimientos armónicos o periódicos (que se repiten):
Módulo 1: Oscilaciones
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Osc. Ondas y Termodinámica
En la naturaleza hay muchos sistemas que realizan movimientos armónicos o periódicos (que se repiten):
Módulo 1: Oscilaciones
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Osc. Ondas y Termodinámica
En la naturaleza hay muchos sistemas que realizan movimientos armónicos o periódicos (que se repiten):
Módulo 1: Oscilaciones
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Osc. Ondas y Termodinámica
En la naturaleza hay muchos sistemas que realizan movimientos armónicos o periódicos (que se repiten):
Estudiar la cinemática (ec. del mov.)y la dinámica de estos movimientos
Objetivo:
Módulo 1: Oscilaciones
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
Quiero encontrar las ec. del movimiento (x(t), v(t) y a(t))
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
Quiero encontrar las ec. del movimiento (x(t), v(t) y a(t))
http://www.youtube.com/v/BRbCW2MsL94&rel=1
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
Quiero encontrar las ec. del movimiento (x(t), v(t) y a(t))
http://www.youtube.com/v/BRbCW2MsL94&rel=1
El MAS es la proyección sobre un eje de un MCU
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
Quiero encontrar las ec. del movimiento (x(t), v(t) y a(t))
x t =A cos t
A : amplitud del mov.(ωt +ϕ) : fase del mov. ω : frecuencia angular ϕ
: fase inicial
: frecuencia del mov.
: periodo del mov.
f=
2
T=1f
Posición del MAS
http://www.youtube.com/v/BRbCW2MsL94&rel=1
El MAS es la proyección sobre un eje de un MCU
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
Posición, Velocidad y aceleración del MAS (x(t), v(t) y a(t))
x t =A cos t
Posición
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
Posición, Velocidad y aceleración del MAS (x(t), v(t) y a(t))
x t =A cos t
Posición
v t =dxdt
=− A sin t
Velocidad vmax
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
Posición, Velocidad y aceleración del MAS (x(t), v(t) y a(t))
x t =A cos t
Posición
v t =dxdt
=− A sin t
a t =dvdt
=− A2 cos t
Velocidad
Aceleración
vmax
amax
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
Posición, Velocidad y aceleración del MAS (x(t), v(t) y a(t))
x t =A cos t
Posición
v t =dxdt
=− A sin t
a t =dvdt
=− A2 cos t
Velocidad
Aceleración
vmax
amax
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
Posición, Velocidad y aceleración del MAS (x(t), v(t) y a(t))
x t =A cos t
Posición
v t =dxdt
=− A sin t
a t =dvdt
=− A2 cos t
a t =−2 x t
Velocidad
Aceleración
La ac. es proporcional yopuesta al desplazamiento.
vmax
amax
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1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
Posición, Velocidad y aceleración del MAS (x(t), v(t) y a(t))
x t =A cos t
Posición
v t =dxdt
=− A sin t
a t =dvdt
=− A2 cos t
a t =−2 x t
Velocidad
Aceleración
La ac. es proporcional yopuesta al desplazamiento.
También se cumple que:
xA=cos t
v− A
=sin t
x2
A2
v2
2 A2
=1
A= x2
v2
2 Relación generalentre a, x y v.
vmax
amax
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1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
Posición, Velocidad y aceleración del MAS (x(t), v(t) y a(t))
x t =A cos t
Posición
v t =dxdt
=− A sin t
a t =dvdt
=− A2 cos t
a t =−2 x t
Velocidad
Aceleración
La ac. es proporcional yopuesta al desplazamiento.
También se cumple que:
xA=cos t
v− A
=sin t
x2
A2
v2
2 A2
=1
A= x2
v2
2 Relación generalentre a, x y v.
tan =v0
− x0
(para t=0)
vmax
amax
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
x t =A cos t
v t =− A sin t
a t =− A2 cos t
A=x2v2
2
tan =v0
− x0
f =
2
T=1f
Ejercicio: Una partícula realiza un MAS de amplitud A=5m y en t=0 su posición es x
0=-3m y su velocidad positiva. Cuanto vale la
fase inicial. Solución: 4.069 rad
Ejercicio: Una partícula realiza un MAS y se encuentra en el origen para t=0. Si su periodo es T=24s, cuanto tiempo ha de transcurrir hasta que la elongación sea la mitad de la amplitud.
Solución: 2 s
a=−2 x
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
Cuestión: Una partícula realiza un MAS y se encuentra en la posición x. ¿El tiempo que tardará en volver a la misma posición será igual a un periodo?. Razona la respuesta.
Cuestión: En un MAS, ¿es cierto que en algún momento la partícula tiene velocidad y aceleración nulas?. Razona la respuesta.
x t =A cos t
v t =− A sin t
a t =− A2 cos t
A=x2v2
2
tan =v0
− x0
f =
2
T=1f
a=−2 x
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
x t =A cos t
v t =− A sin t
a t =− A2 cos t
A=x2v2
2
tan =v0
− x0
Ejercicio: De un MAS conocemos la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración inicial. Determina la amplitud del movimiento, su frecuencia, el periodo y la fase inicial.
Ejercicio: Una partícula realiza un MAS y en t1=16s su posición
velocidad y aceleración valen: x1=9.80cm, v
1=132cm/s y
a1=-4743.2cm/s2. Encontrar la expresión de x(t).
Solución: x=11.491 cos (22 t + 5.5922) en cm
f =
2
T=1f
a=−2 x
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1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.
Ejercicio (prob 6): Una partícula está encima de un émbolo que realiza un MAS vertical de periodo T y amplitud A. Determinar qué condición deben cumplir T, A y g para que la partícula deje de estar en contacto con el émbolo y en qué posición pasará esto.
A g T 2
42Solución:
x t =A cos t
v t =− A sin t
a t =− A2 cos t
A=x2v2
2
tan =v0
− x0
f =
2
T=1f
a=−2 x
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Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.
Fuerza que da origen al MAS:
Sabemos que:
a t =−2 x t
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.
Fuerza que da origen al MAS:
Sabemos que:
a t =−2 x t F=m a=−m2 x
2ª ley de Newton
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.
Fuerza que da origen al MAS:
Sabemos que:
a t =−2 x t F=m a=−m2 x
2ª ley de Newton
Cte.
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.
Fuerza que da origen al MAS:
Sabemos que:
a t =−2 x t F=m a=−m2 x F=−k x
con k=m2 , = k
m
Fuerza recuperadoraelástica.2ª ley de Newton
Cte.
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.
Fuerza que da origen al MAS:
Sabemos que:
a t =−2 x t F=m a=−m2 x F=−k x
con k=m2 , = k
m
Fuerza recuperadoraelástica.2ª ley de Newton
La ecuación diferencial del movimiento es:
F =− m 2 x = m x
Cte.
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.
Fuerza que da origen al MAS:
Sabemos que:
a t =−2 x t F=m a=−m2 x F=−k x
con k=m2 , = k
m
Fuerza recuperadoraelástica.2ª ley de Newton
La ecuación diferencial del movimiento es:
F =− m 2 x = m x
x 2 x = 0
x km
x = 0
Ec. dif. del MAS
Cte.
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.
Fuerza que da origen al MAS:
Sabemos que:
a t =−2 x t F=m a=−m2 x F=−k x
con k=m2 , = k
m
Fuerza recuperadoraelástica.2ª ley de Newton
La ecuación diferencial del movimiento es:
F =− m 2 x = m x
x 2 x = 0
x km
x = 0
Ec. dif. del MAS
• Si al aplicar la 2ª Ley de Newton sale esta ecuación, la partícula realizará un MAS.
• Su solución es:
• Obteniendo esta ecuación podremos obtener la frecuencia del movimiento, que es constante.
Problema tipo
x t =A cos t
Cte.
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: sistema masa muelle.
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: sistema masa muelle.
F=−k xFuerza elástica
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: sistema masa muelle.
F=−k x2ª ley de Newton
F =− k x = m x
Fuerza elástica
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: sistema masa muelle.
F=−k x
= km
, f=1
2 km
2ª ley de Newton
F =− k x = m x
x km
x = 0
Fuerza elástica
Ecuación diferencial
Es la ecuación de un MAS con: T=2 m
k
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: sistema masa muelle.
F=−k x
= km
, f=1
2 km
2ª ley de Newton
F =− k x = m x
x km
x = 0
Fuerza elástica
Ecuación diferencial
Es la ecuación de un MAS con:
Ejercicio: una partícula de masa m=2kg está sujeta de un muelle de constante k=20 N/m alargado inicialmente una longitud x
0=5cm. Si en
el instante inicial la partícula tiene una velocidad v0=2 m/s hacia el
origen, calcular la frecuencia, periodo, amplitud y fase inicial del movimiento.
T=2 mk
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: muelle vertical
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: muelle vertical
Sabemos que la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio (y
0).
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: muelle vertical
Sabemos que la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio (y
0).
Buscaré y0 y luego aplicaré la
2ª Ley de Newton en función de y'
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: muelle vertical
Sabemos que la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio (y
0).
Buscaré y0 y luego aplicaré la
2ª Ley de Newton en función de y'
Posición de equilibrio:
∑ F =−k y0 m g = 0
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: muelle vertical
Sabemos que la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio (y
0).
Buscaré y0 y luego aplicaré la
2ª Ley de Newton en función de y'
Posición de equilibrio:
∑ F =−k y0 m g = 0 y0 =m gk
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: muelle vertical
Sabemos que la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio (y
0).
Buscaré y0 y luego aplicaré la
2ª Ley de Newton en función de y'
Posición de equilibrio:
∑ F =−k y0 m g = 0 y0 =m gk
2ª Ley de Newton:
∑ F =− k y m g= m y
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: muelle vertical
Sabemos que la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio (y
0).
Buscaré y0 y luego aplicaré la
2ª Ley de Newton en función de y'
Posición de equilibrio:
∑ F =−k y0 m g = 0 y0 =m gk
2ª Ley de Newton:
∑ F =− k y m g= m y
y= y ' y0
y= y '
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: muelle vertical
Sabemos que la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio (y
0).
Buscaré y0 y luego aplicaré la
2ª Ley de Newton en función de y'
Posición de equilibrio:
∑ F =−k y0 m g = 0 y0 =m gk
2ª Ley de Newton:
∑ F =− k y m g= m y
y= y ' y0
y= y '
− k y ' y0 m g= m y '
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: muelle vertical
Sabemos que la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio (y
0).
Buscaré y0 y luego aplicaré la
2ª Ley de Newton en función de y'
Posición de equilibrio:
∑ F =−k y0 m g = 0 y0 =m gk
2ª Ley de Newton:
∑ F =− k y m g= m y
y= y ' y0
y= y '
− k y ' y0 m g= m y '
− k y ' − k y0 m g = m y '
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: muelle vertical
= km
, f =1
2 km
y ' km
y ' = 0
Es un MASalrededor de y
0
T=2 mk
Sabemos que la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio (y
0).
Buscaré y0 y luego aplicaré la
2ª Ley de Newton en función de y'
Posición de equilibrio:
∑ F =−k y0 m g = 0 y0 =m gk
2ª Ley de Newton:
∑ F =− k y m g= m y
y= y ' y0
y= y '
− k y ' y0 m g= m y '
− k y ' − k y0 m g = m y '
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo simpleEstá formado por una partículasujeta de una cuerda.
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo simple
2ª Ley de Newton en la componentetangencial (angular).
∑ FT =− m g sin
Está formado por una partículasujeta de una cuerda.
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo simple
2ª Ley de Newton en la componentetangencial (angular).
∑ FT =− m g sin = m L
aT = R
Está formado por una partículasujeta de una cuerda.
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo simple
2ª Ley de Newton en la componentetangencial (angular).
∑ FT =− m g sin = m L
aT = R
Para ángulos pequeños
sin ≈
Está formado por una partículasujeta de una cuerda.
f x ≈f x0 d fdx ∣x 0
x−x0 12
d2 f
dx2 ∣x0
x−x02 ...
Desarrollo en serie de Taylor
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo simple
2ª Ley de Newton en la componentetangencial (angular).
∑ FT =− m g sin = m L
aT = R
Para ángulos pequeños
sin ≈− m g = m L
Está formado por una partículasujeta de una cuerda.
f x ≈f x0 d fdx ∣x 0
x−x0 12
d2 f
dx2 ∣x0
x−x02 ...
Desarrollo en serie de Taylor
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo simple
= gL
, f =1
2 gL
, T=2 Lg
gL = 0
Es un MAS con:
2ª Ley de Newton en la componentetangencial (angular).
∑ FT =− m g sin = m L
aT = R
Para ángulos pequeños
sin ≈− m g = m L
Está formado por una partículasujeta de una cuerda.
Desarrollo en serie de Taylor f x ≈f x0
d fdx ∣x 0
x−x0 12
d2 f
dx2 ∣x0
x−x02 ...
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo simple
= gL
, f =1
2 gL
, T=2 Lg
gL = 0
Es un MAS con:
2ª Ley de Newton en la componentetangencial (angular).
∑ FT =− m g sin = m L
aT = R
Para ángulos pequeños
sin ≈− m g = m L
Ejercicio: determinar el error relativo que se comete con la aproximación para θ=0.1 rad (5.7º) y θ=0.8 rad (45º)sin ≈
Solución: 0.17% y 12%
Está formado por una partículasujeta de una cuerda.
Desarrollo en serie de Taylor f x ≈f x0
d fdx ∣x 0
x−x0 12
d2 f
dx2 ∣x0
x−x02 ...
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo físico (o compuesto)Está formado por un sólido rígido que oscila alrededor de un eje fijo (O).
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo físico (o compuesto)
Ecuación dinámica de la rotación (suma de momentos).
∑ M O =− m g D sin = IO
Está formado por un sólido rígido que oscila alrededor de un eje fijo (O).
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo físico (o compuesto)
Ecuación dinámica de la rotación (suma de momentos).
∑ M O =− m g D sin = IO Para ángulos pequeños
sin ≈− m g D = IO
Está formado por un sólido rígido que oscila alrededor de un eje fijo (O).
![Page 57: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA … · 1.1 Cinemática del movimiento armónico simple. Ejercicio (prob 6): Una partícula está encima de un émbolo que realiza un MAS vertical](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021713/5ba6983609d3f201538c2e8a/html5/thumbnails/57.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo físico (o compuesto)
= mg DI O
, f =1
2 m g DIO
, T=2 IO
m g D
m g D
I O
= 0Es un MAS con:
Ecuación dinámica de la rotación (suma de momentos).
∑ M O =− m g D sin = IO Para ángulos pequeños
sin ≈− m g D = IO
Está formado por un sólido rígido que oscila alrededor de un eje fijo (O).
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo físico (o compuesto)
= mg DI O
, f =1
2 m g DIO
, T=2 IO
m g D
m g D
I O
= 0Es un MAS con:
Ecuación dinámica de la rotación (suma de momentos).
∑ M O =− m g D sin = IO Para ángulos pequeños
sin ≈− m g D = IO
Ejercicio: con qué periodo oscilará un disco de radio R y masa M que oscila alrededor de un eje horizontal que pasa por su periferia?
Está formado por un sólido rígido que oscila alrededor de un eje fijo (O).
T=2 3 R2 gSolución:
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo de torsión• Está formado por un SR unido a una barra sometida a torsión (cizalla)
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo de torsión• Está formado por un SR unido a una barra sometida a torsión (cizalla)
• Frente a la torsión, la barra presenta un comportamiento elástico (ley de Hooke):
M =− κ: cte. de torsión
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo de torsión
Ecuación dinámica de la rotación del SR (suma de momentos).
∑ M O =− = IO = IO
• Está formado por un SR unido a una barra sometida a torsión (cizalla)
• Frente a la torsión, la barra presenta un comportamiento elástico (ley de Hooke):
M =− κ: cte. de torsión
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: péndulo de torsión
=
I O
, f =1
2
IO
, T=2 IO
IO
= 0 Es un MAS con:
Ecuación dinámica de la rotación del SR (suma de momentos).
∑ M O =− = IO = IO
• Está formado por un SR unido a una barra sometida a torsión (cizalla)
• Frente a la torsión, la barra presenta un comportamiento elástico (ley de Hooke):
M =− κ: cte. de torsión
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en paralelo (prob. 4).
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en paralelo (prob. 4).
x
− k1 x
− k2 x
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en paralelo (prob. 4).
2ª ley de Newton
∑ F =− k1 x−k2 x = m a
x
− k1 x
− k2 x
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en paralelo (prob. 4).
2ª ley de Newton
∑ F =− k1 x−k2 x = m a
− k1 k2 x = m x
x
− k1 x
− k2 x
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en paralelo (prob. 4).
x k1 k2
mx = 0
2ª ley de Newton
∑ F =− k1 x−k2 x = m a
− k1 k2 x = m x
• Se comporta como un muelle de constante equivalente k
eq = k
1 + k
2
x
− k1 x
− k2 x
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en paralelo (prob. 4).
= k1 k2
m, f =
12 k1 k2
m, T=2 m
k1 k2
x k1 k2
mx = 0
Es un MAS con:
2ª ley de Newton
∑ F =− k1 x−k2 x = m a
− k1 k2 x = m x
• Se comporta como un muelle de constante equivalente k
eq = k
1 + k
2
x
− k1 x
− k2 x
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en paralelo (prob. 4).
= k1 k2
m, f =
12 k1 k2
m, T=2 m
k1 k2
x k1 k2
mx = 0
Es un MAS con:
2ª ley de Newton
∑ F =− k1 x−k2 x = m a
− k1 k2 x = m x
• Se comporta como un muelle de constante equivalente k
eq = k
1 + k
2
Ejercicio: Determinar la keq del sistema de muelles:
Solución: keq
= k1 + k
2
x
− k1 x
− k2 x
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en serie
x1 x2
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en serie
x1 x2
• Los dos muelles están sometidos a la misma fuerza
x
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en serie
• Los dos muelles están sometidos a la misma fuerza
F =− k1 x1
F =− k2 x2
x1 x2
x
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en serie
• Los dos muelles están sometidos a la misma fuerza
F =− k1 x1 x1 =−Fk1
F =− k2 x2 x2 =−Fk2
x1 x2
x
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en serie
• Los dos muelles están sometidos a la misma fuerza
F =− k1 x1 x1 =−Fk1
F =− k2 x2 x2 =−Fk2
x = x1 x2 =−F 1k1
1k 2
x1 x2
x
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en serie
• Los dos muelles están sometidos a la misma fuerza
F =− k1 x1 x1 =−Fk1
F =− k2 x2 x2 =−Fk2
x = x1 x2 =−F 1k1
1k 2 F =− k1 k2
k1k2 x
x1 x2
x
• Se comporta como un muelle de k
eq :
k eq = k1 k2
k1k2
1keq
=1k 1
1k 2
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en serie
• Los dos muelles están sometidos a la misma fuerza
F =− k1 x1 x1 =−Fk1
F =− k2 x2 x2 =−Fk2
x = x1 x2 =−F 1k1
1k 2
F =− k1 k2
k1k2 x = m x
F =− k1 k2
k1k2 x
• Aplicando la 2ª Ley de Newton:
x1 x2
x
• Se comporta como un muelle de k
eq :
k eq = k1 k2
k1k2
1keq
=1k 1
1k 2
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en serie
x 1m k1 k2
k1k2 x = 0
MAS
• Los dos muelles están sometidos a la misma fuerza
F =− k1 x1 x1 =−Fk1
F =− k2 x2 x2 =−Fk2
x = x1 x2 =−F 1k1
1k 2
F =− k1 k2
k1k2 x = m x
F =− k1 k2
k1k2 x
• Aplicando la 2ª Ley de Newton:• Se comporta como un muelle de k
eq :
k eq = k1 k2
k1k2
1keq
=1k 1
1k 2
x1 x2
x
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejemplo: Asociación de muelles en serie
x 1m k1 k2
k1k2 x = 0
MAS
• Los dos muelles están sometidos a la misma fuerza
Ejercicio: Si partimos un muelle de constante k por la mitad, la constante elástica que tendrá cada uno de los trozos es:
F =− k1 x1 x1 =−Fk1
F =− k2 x2 x2 =−Fk2
x = x1 x2 =−F 1k1
1k 2
F =− k1 k2
k1k2 x = m x
F =− k1 k2
k1k2 x
• Aplicando la 2ª Ley de Newton:• Se comporta como un muelle de k
eq :
k eq = k1 k2
k1k2
1keq
=1k 1
1k 2
Sol. k' = 2 k
x1 x2
x
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.3 Ejemplos de MAS.
Ejercicio (prob. 12): Una barra de masa m y longitud 2L esta unida a un muelle de constante k y articulada por su punto medio como muestra la figura. Si la barra está en equilibrio en la posición indicada, determinar el periodo de las pequeñas oscilaciones.
Solución: T=2 m3k
Ejercicio (prob. 10): Un alambre homogéneo de masa m y longitud L se dobla por la mitad formando un codo de 60º. Si se coloca el codo sobre un eje horizontal de forma que el alambre realiza oscilaciones en un plano vertical, ¿cuánto valdrá el periodo del movimiento?.
Solución: T=23 23
Lg
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Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
La fuerza elástica es conservativa por lo que podemos obtener su función energía potencial:
F =−dUdx
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
La fuerza elástica es conservativa por lo que podemos obtener su función energía potencial:
F =− k x =−dUdx
F =−dUdx
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
La fuerza elástica es conservativa por lo que podemos obtener su función energía potencial:
F =− k x =−dUdx
U =∫ k x dx =12
k x2 C
F =−dUdx
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
La fuerza elástica es conservativa por lo que podemos obtener su función energía potencial:
Energíapotencialelástica
F =− k x =−dUdx Tomando U=0
para x=0 → C=0 U =12
k x2
F =−dUdx
U =∫ k x dx =12
k x2 C
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
La fuerza elástica es conservativa por lo que podemos obtener su función energía potencial:
Energíapotencialelástica
F =− k x =−dUdx Tomando U=0
para x=0 → C=0U =∫ k x dx =
12
k x2 CU =
12
k x2
F =−dUdx
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
La fuerza elástica es conservativa por lo que podemos obtener su función energía potencial:
Energíapotencialelástica
F =− k x =−dUdx Tomando U=0
para x=0 → C=0U =∫ k x dx =
12
k x2 CU =
12
k x2
Y para la energía cinética:
F =−dUdx
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
La fuerza elástica es conservativa por lo que podemos obtener su función energía potencial:
Energíapotencialelástica
F =− k x =−dUdx Tomando U=0
para x=0 → C=0U =∫ k x dx =
12
k x2 CU =
12
k x2
Y para la energía cinética:
E = EC U =12
k A2
F =−dUdx
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
La fuerza elástica es conservativa por lo que podemos obtener su función energía potencial:
Energíapotencialelástica
F =− k x =−dUdx Tomando U=0
para x=0 → C=0U =∫ k x dx =
12
k x2 CU =
12
k x2
Y para la energía cinética:
E = EC U =12
k A2
EC =12
k A2 −12
k x2
12
k x2
F =−dUdx
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
La fuerza elástica es conservativa por lo que podemos obtener su función energía potencial:
Energíapotencialelástica
F =− k x =−dUdx Tomando U=0
para x=0 → C=0U =∫ k x dx =
12
k x2 CU =
12
k x2
Y para la energía cinética:
E = EC U =12
k A2
EC =12
k A2 −12
k x2
12
k x2
E. cinética del MAS
F =−dUdx
EC =12
k A2 − x2
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
La fuerza elástica es conservativa por lo que podemos obtener su función energía potencial:
Energíapotencialelástica
F =− k x =−dUdx Tomando U=0
para x=0 → C=0U =∫ k x dx =
12
k x2 CU =
12
k x2
Y para la energía cinética:
E = EC U =12
k A2
EC =12
k A2 −12
k x2
12
k x2
EC =12
k A2 − x2
E. cinética del MAS
F =−dUdx
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
También podemos encontrar estas energías en función del tiempo:
Energía potencial del MAS
U =12
k x2
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
También podemos encontrar estas energías en función del tiempo:
Energía potencial del MAS
U =12
k x2
U t =12
k A2 cos2 t
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
También podemos encontrar estas energías en función del tiempo:
Energía potencial del MAS
U =12
k x2
Energía cinética del MAS
U t =12
k A2 cos2 t
![Page 94: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA … · 1.1 Cinemática del movimiento armónico simple. Ejercicio (prob 6): Una partícula está encima de un émbolo que realiza un MAS vertical](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021713/5ba6983609d3f201538c2e8a/html5/thumbnails/94.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
También podemos encontrar estas energías en función del tiempo:
Energía potencial del MAS
U =12
k x2
Energía cinética del MAS
U t =12
k A2 cos2 t
EC =12
m v2
![Page 95: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA … · 1.1 Cinemática del movimiento armónico simple. Ejercicio (prob 6): Una partícula está encima de un émbolo que realiza un MAS vertical](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021713/5ba6983609d3f201538c2e8a/html5/thumbnails/95.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
También podemos encontrar estas energías en función del tiempo:
Energía potencial del MAS
U =12
k x2
Energía cinética del MAS
U t =12
k A2 cos2 t
EC =12
m v2
EC t =12
m2 A2 sin2
t
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
También podemos encontrar estas energías en función del tiempo:
Energía potencial del MAS
U =12
k x2
Energía cinética del MAS
U t =12
k A2 cos2 t
EC =12
m v2
EC t =12
m2 A2 sin2
t
EC t =12
k A2 sin2 t
k
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
También podemos encontrar estas energías en función del tiempo:
Energía potencial del MAS
U =12
k x2
Energía cinética del MAS
U t =12
k A2 cos2 t
EC =12
m v2
EC t =12
m2 A2 sin2
t
EC t =12
k A2 sin2 t
k
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.4 Energía potencial elástica.
También podemos encontrar estas energías en función del tiempo:
Energía potencial del MAS
U =12
k x2
Energía cinética del MAS
U t =12
k A2 cos2 t
EC =12
m v2
EC t =12
m2 A2 sin2
t
EC t =12
k A2 sin2 t
U y EC oscilan con
una frecuencia 2f
k
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de U.
● Dada una fuerza conservativa, su curva de U(x) puede presentar mínimos locales (posiciones de equilibrio estable).
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de U.
● Dada una fuerza conservativa, su curva de U(x) puede presentar mínimos locales (posiciones de equilibrio estable).
● Podemos aproximar U(x) cerca del mínimo por a una parábola.
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de U.
● Dada una fuerza conservativa, su curva de U(x) puede presentar mínimos locales (posiciones de equilibrio estable).
● Podemos aproximar U(x) cerca del mínimo por a una parábola.
Desarrollo en serie de Taylor
U x≈U x1 d Udx
x1
x−x1 12 d2U
dx2 x1
x−x12 ...
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de U.
● Dada una fuerza conservativa, su curva de U(x) puede presentar mínimos locales (posiciones de equilibrio estable).
● Podemos aproximar U(x) cerca del mínimo por a una parábola.
x1 es un mínimo
Desarrollo en serie de Taylor k=Cte > 0
U x≈U x1 d Udx
x1
x−x1 12 d2U
dx2 x1
x−x12 ...
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de U.
● Dada una fuerza conservativa, su curva de U(x) puede presentar mínimos locales (posiciones de equilibrio estable).
● Podemos aproximar U(x) cerca del mínimo por a una parábola.
x1 es un mínimo
Desarrollo en serie de Taylor
U x≈U x1 12
k x−x12
k=Cte > 0
U x≈U x1 d Udx
x1
x−x1 12 d2U
dx2 x1
x−x12 ...
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de U.
● Dada una fuerza conservativa, su curva de U(x) puede presentar mínimos locales (posiciones de equilibrio estable).
● Podemos aproximar U(x) cerca del mínimo por a una parábola.
x1 es un mínimo
Desarrollo en serie de Taylor
U x≈U x1 12
k x−x12
k=Cte > 0
F =−dUdx
=− k x−x1
● Por lo tanto, la fuerza cerca del mínimo se puede aproximar por:
U x≈U x1 d Udx
x1
x−x1 12 d2U
dx2 x1
x−x12 ...
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de U.
● Dada una fuerza conservativa, su curva de U(x) puede presentar mínimos locales (posiciones de equilibrio estable).
● Podemos aproximar U(x) cerca del mínimo por a una parábola.
x1 es un mínimo
Desarrollo en serie de Taylor
U x≈U x1 12
k x−x12
k=Cte > 0
El movimientoserá un MAS con:
F =−dUdx
=− k x−x1
● Por lo tanto, la fuerza cerca del mínimo se puede aproximar por:
= km
con : k= d2 Udx2
x1
U x≈U x1 d Udx
x1
x−x1 12 d2U
dx2 x1
x−x12 ...
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.6 Método de la conservación de la energía.
En algunos casos puede ser más fácil obtener la ecuación diferencial del movimiento estableciendo la conservación de la energía: dE
dt=0
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.6 Método de la conservación de la energía.
En algunos casos puede ser más fácil obtener la ecuación diferencial del movimiento estableciendo la conservación de la energía:
Ejemplo: sistema masa-muelle dE
dt=0
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.6 Método de la conservación de la energía.
En algunos casos puede ser más fácil obtener la ecuación diferencial del movimiento estableciendo la conservación de la energía:
Ejemplo: sistema masa-muelle
E =12
k x2 12
m dxdt
212
m v2
dEdt
=0
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.6 Método de la conservación de la energía.
En algunos casos puede ser más fácil obtener la ecuación diferencial del movimiento estableciendo la conservación de la energía:
Ejemplo: sistema masa-muelle
E =12
k x2 12
m dxdt
2
dEdt
=12
k 2 xdxdt
12
m 2dxdt
d2 x
dt2= 0
12
m v2
dEdt
=0
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.6 Método de la conservación de la energía.
En algunos casos puede ser más fácil obtener la ecuación diferencial del movimiento estableciendo la conservación de la energía:
Ejemplo: sistema masa-muelle
E =12
k x2 12
m dxdt
2
dEdt
=12
k 2 xdxdt
12
m 2dxdt
d2 x
dt2= 0
12
m v2
dEdt
=0
![Page 111: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA … · 1.1 Cinemática del movimiento armónico simple. Ejercicio (prob 6): Una partícula está encima de un émbolo que realiza un MAS vertical](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021713/5ba6983609d3f201538c2e8a/html5/thumbnails/111.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
1.6 Método de la conservación de la energía.
En algunos casos puede ser más fácil obtener la ecuación diferencial del movimiento estableciendo la conservación de la energía:
Ejemplo: sistema masa-muelle
E =12
k x2 12
m dxdt
2
dEdt
=12
k 2 xdxdt
12
m 2dxdt
d2 x
dt2= 0
Ecuacióndinámica del MAS
x km
x = 0
12
m v2
dEdt
=0
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.6 Método de la conservación de la energía.
En algunos casos puede ser más fácil obtener la ecuación diferencial del movimiento estableciendo la conservación de la energía:
Ejemplo: sistema masa-muelle
E =12
k x2 12
m dxdt
2
dEdt
=12
k 2 xdxdt
12
m 2dxdt
d2 x
dt2= 0
Ecuacióndinámica del MAS
x km
x = 0
Ejemplo: péndulo físico
12
m v2
dEdt
=0
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.6 Método de la conservación de la energía.
En algunos casos puede ser más fácil obtener la ecuación diferencial del movimiento estableciendo la conservación de la energía:
Ejemplo: sistema masa-muelle
E =12
k x2 12
m dxdt
2
dEdt
=12
k 2 xdxdt
12
m 2dxdt
d2 x
dt2= 0
Ecuacióndinámica del MAS
E =−m g h cos 12
I O d dt
2
x km
x = 0
Ejemplo: péndulo físicoEc rot. del SR
12
m v2
dEdt
=0
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Osc. Ondas y Termodinámica
1.6 Método de la conservación de la energía.
En algunos casos puede ser más fácil obtener la ecuación diferencial del movimiento estableciendo la conservación de la energía:
Ejemplo: sistema masa-muelle
E =12
k x2 12
m dxdt
2
dEdt
=12
k 2 xdxdt
12
m 2dxdt
d2 x
dt2= 0
Ecuacióndinámica del MAS
E =−m g h cos 12
I O d dt
2
dEdt
= m g h sin d dt
12
IO 2d dt
d 2
dt2=0
x km
x = 0
Ejemplo: péndulo físicoEc rot. del SR
12
m v2
dEdt
=0
![Page 115: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA … · 1.1 Cinemática del movimiento armónico simple. Ejercicio (prob 6): Una partícula está encima de un émbolo que realiza un MAS vertical](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021713/5ba6983609d3f201538c2e8a/html5/thumbnails/115.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
1.6 Método de la conservación de la energía.
En algunos casos puede ser más fácil obtener la ecuación diferencial del movimiento estableciendo la conservación de la energía:
Ejemplo: sistema masa-muelle
E =12
k x2 12
m dxdt
2
dEdt
=12
k 2 xdxdt
12
m 2dxdt
d2 x
dt2= 0
Ecuacióndinámica del MAS
E =−m g h cos 12
I O d dt
2
dEdt
= m g h sin d dt
12
IO 2d dt
d 2
dt2=0
x km
x = 0
Ejemplo: péndulo físico
≈
Ec rot. del SR
12
m v2
dEdt
=0
![Page 116: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA … · 1.1 Cinemática del movimiento armónico simple. Ejercicio (prob 6): Una partícula está encima de un émbolo que realiza un MAS vertical](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021713/5ba6983609d3f201538c2e8a/html5/thumbnails/116.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
1.6 Método de la conservación de la energía.
En algunos casos puede ser más fácil obtener la ecuación diferencial del movimiento estableciendo la conservación de la energía:
Ejemplo: sistema masa-muelle
E =12
k x2 12
m dxdt
2
dEdt
=12
k 2 xdxdt
12
m 2dxdt
d2 x
dt2= 0
Ecuacióndinámica del MAS
E =−m g h cos 12
I O d dt
2
dEdt
= m g h sin d dt
12
IO 2d dt
d 2
dt2=0
x km
x = 0
m g h
IO
= 0
Ejemplo: péndulo físico
≈
Ec. dinámica del MAS
Ec rot. del SR
12
m v2
dEdt
=0
![Page 117: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA … · 1.1 Cinemática del movimiento armónico simple. Ejercicio (prob 6): Una partícula está encima de un émbolo que realiza un MAS vertical](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022021713/5ba6983609d3f201538c2e8a/html5/thumbnails/117.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejemplos de MAS.
Ejercicio (prob. 10): Un alambre homogéneo de masa m y longitud L se dobla por la mitad formando un codo de 60º. Si se coloca el codo sobre un eje horizontal de forma que el alambre realiza oscilaciones en un plano vertical, ¿cuánto valdrá el periodo del movimiento?. Calcularlo usando el método de la conservación de la energía.
Solución: T=23 23
Lg
Ejercicio: con qué periodo oscilará un anillo de radio R y masa M que oscila alrededor de un eje horizontal que pasa por su interior?
Ejercicio: la curva de energía potencial de una fuerza en unidades del S.I es:
Determinar si existe una posición de equilibrio estable y el periodo de las pequeñas oscilaciones que realizaría una partícula de masa m=2kg alrededor de esta posición.
T=2 2 RgSolución:
U=5 x3−3 x2
2
x0=0.4m T=2
3sSolución:
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Osc. Ondas y Termodinámica
Lección 1: Cuestiones MAS (contesta razonadamente).
1. Para un MAS es cierto que la energía cinética de la partícula es proporcional a la elongación al cuadrado.
2. Si en un MAS, v es la velocidad de la partícula y a y x su aceleración y elongación respectivamente, se cumple que:
3. La frecuencia de un MAS disminuye si aumenta su amplitud.
4. Una partícula no puede realizar un MAS alrededor de un mínimo de energía potencial ya que la fuerza es nula.
5. La energía cinética y la energía potencial de un MAS están desfasadas π radianes entre si.
6. La energía mecánica de un MAS es proporcional a su amplitud al cuadrado.
7. Toda partícula sometida a una fuerza conservativa realiza un MAS
8. Si una partícula realiza un MAS y en el instante inicial se encuentra en el origen, su fase inicial es nula.
9. Al cortar un muelle en dos trozos, la constante elástica de cada trozo será mayor que la constante del muelle original.
v=2a x
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Osc. Ondas y Termodinámica
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Osc. Ondas y Termodinámica
5.1. Conceptos básicos
Vector velocidad
● La velocidad nos indica cómo cambia la posición de la partícula dividido entre en el tiempo empleado
● En una dimensión:
x
y
z
x
r t
r t =x t i y t jz t k
i
j
k