Oscilador Armónico Simple Mecánica Cuántica - uprh.edu y Rotor_AT_Hid_P_sec.pdf · Oscilador...
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1
Oscilador Armónico Simple
Mecánica Cuántica
1
2 22
2
1
2 2
H a m i l t o n e a n o
dk x
m d x
1
Mecánica Cuántica: Ecuación de Schröedinger
2 22
2
22
1
2 2
R e
2 2
E c u a c i ó n d e S c h ö e d i n g e r
dk x E
m d x
a r r e g l o
d m k m E
2
2
22 2 2
22
2 2 2
2 2
2
2 20
2
d m k m Ex
d x
d m k m Ex
d x
3
4
2
Ecuación Diferencial de Hermite
22 2
2(4)
Definición de constantes
mk mEy
22 2
20 (5)
Sustituyendo
dx
dxE ió dif i l d H i
3
Tiene un coeficientecoeficiente variablevariable y se resuelve por la técnicatécnicade series de de series de potenciaspotencias en variable independientes.
Ecuación diferencial de Hermite
:F u nc ió n de p rueba
Ecuación Diferencial de Hermite
Si solo se toma en cuenta la serie de potencias la ecuación no sería una ecuaciónadecuada en cuántica (tiende a infinito en sus fronteras). Por lo tanto se corrigepor un factor factor exponencialexponencial que evita que la función explote. Entonces f(x) es:
2
2
22
2 2 2
:
(6 )
(6 ) (5) :
2 20
2
x
F u nc ió n de p rueba
f x e
S a ca r de riva d a s p a ra sustitu ir en la
d m k m Ex
dx
4
2 2
2 2
2
2'
2
x x
d x
d xf x e f x e
d x
3
2 2
2 22'
2
x xd x
f x e f x edx
Solución ecuación de Hermite
2 2 2
2 2
22 2 2
2
2 2
" ' 'x x x
x x
df x e f x x e f x x e
dx
f x e f x x x e
5
2
2 2 2" 2 'x
f f
e f x x f x f x x f x
Solución ecuación de Hermite (cont.)
2
2 2 2 2 2" 2 ' 0x
Sustituyendo en la ecuación de Hermite
e f x x f x f x x f x x f x f x
2
2
2
2
" 2 ' 0
" 2 ' 0
x
x
e f x x f x f x f x
e f x x f x f x
6
4
1 2
" 2 ' 0
' " 1
Dividiendo por el exponencial a ambos lados
f x xf x f x
Técnica de series o potencias
f x a x f x a x f x a v x
7
Solución ecuación de Hermite (cont.)
0 1 2
2 1
2 1 0
2
2 0
' " 1
1 2 0
1 2 0
f x a x f x a x f x a v x
a v x x a x a x
a v x a x
10
9
8
7
n
20
20
2
2 1 2 0
2 1 2 0
a x a x
a a x
11
12
2 2
2 0 1
2 22 4 1 3
2
2 1
0x x
aa a y a quedan indeterminadas
f x e a a x a x a x a x e
14
13
Fórmula de recursión y solución
Cuando existe a0, a1 es cero por lo tanto la serie impar no exite
0 2 4 1 3
0 02
2
..... ..... 0
2 00
0 2 0 1 2 1
2
f x e a a x a x a x a x e
truncar la serie para que no explote
a aa
mE
2
mkentonces 16
15
14
Al truncar la serie, se cuantiza la energíadebido a condición de frontera
8
2
2
2
22
0 022 2
xmk h k
E y a em m
17
5
2
:
2
2 1
En general
aa
18
Cuantización de energía
2 2
2
2 0 1 2
21 2 1 2
11 2
nmE mkn n
mk h kE n n
21
20
19
El # cuántico es el contador de
Condición de frontera.
9
21 2
2 2 2
1
2
1 1 11
2 2 2
n
e
n e e
E n nm m
ksi definimos frecuencia fundamental
m
E h n y E n n h
22
la serie.
2 2
2 2
2 2
0 0 1 1
12
x x
x x
a e y a x e
para encontrar las constantes normalizamos las funciones
23
Normalización
2 22 2 2 2
0 0 0 0 0 0
14
0
* 1 1x
dx a e a e dx a e dx a
a
2 2 12
x x
24
25
10
1 1* 1dx
2 22 2 2 2 2
1 1 1 1 3
13 4
1
14
4
xa x e a x e dx a x e dx a
a
26
27
6
Solución del oscilador armónico
Polinomios de Hermite Son los polinomios en términos de a0 y a1.
El Hamiltoneano nono conmuta con la posición o El Hamiltoneano nono conmuta con la posición o el momentum. Se determinan por valor de expectación. <x>, <px>
, 0 ; .H x cero función impar
11
2 2
2
2 2
2
2 2 20 0 0 0 0
2 2 2 31 1 1 1 1
* 1 0
* 0
x xx
x xx
x x dx a e x a e dx a x e dx
x x dx a x e x a x e dx a x e dx
Solución del oscilador armónico
2 2
22 2 2
, 0 ; .
* 1 0
x
x xx
H p cero función impar
p p dx a e i a e dx a x e dx
2 2
2
0 0 0 0 0
2 2 2 31 1 1 1 1
1 0
*
x x
x xx
x x
p p dx a e i a e dx a x e dxx
p p dx a x e i a x e dx a x e dxx
0
12
7
Funciones de onda en general
2
1 12 4
12
21,
2 !
x
n nne H x
n
12
21
41 1
2 2
214
12
2
0 0 0
32
,
, , 1
4
n
x
x
donde H x polinomio de Hermite de grado n
e H x y H x
H
1
22
13
21 1x e ya que H
2
21
41
22 2 2
2 2
, 2
2 1 , 4 24
x
x x
e x ya que H x x
Pozo de energía potencial
VE
ner
gía
po
ten
cial
,
14Desplazamiento, x
8
Niveles de energía
Ev
Energíapotencial, V
En
erg
ías
per
mit
idas
, E
15
E
Desplazamiento, x
Niveles y función de onda
16
9
Probabilidad
17
Gráfica de función de onda y probabilidad
18
10
19
20
11
21
1
Oscilador ArmónicoEl problema de dos
cuerpos:cuerpos:
Reducción a un problema de una sola partícula
1
Dos cuerpos
Mecánica Clásica
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2 21 2
1 2
1 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,2 2x y z x y zE H T V p p p p p p V q qm m
Mecánica Cuántica
1 1 1 1 2 2 2 2, , , ,q x y z y q x y z
2
Mecánica Cuántica
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 22 2 2 2 2 21 1 2 2
ˆ ˆ , , , , , ,2 2
H V x y z x y zm x y z m x y z
2
Ley de la palanca
http://files.kavefish.com/download/pictures/animated/flies_see_saw.gif
3http://en.wikipedia.org/wiki/File:Seesaw-aa.jpg
http://thm-a01.yimg.com/nimage/95c7c4cc9807903a
Solución problema de dos cuerpos
Transformación de variables: Variables internas:
x x x y y y z z z 2 1 2 1 2 1x x x y y y z z z
2 1x x x
4“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula W.H. Freeman & Company; 8va. edición
3
Variables de Centro de Masa: Regla de la palanca
0X X
“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula W.H. Freeman & Company; 8va. edición
5
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
0
0
0
m x X m x X
m y Y m y Y
m z Z m z Z
Variables de Centro de masa
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
m x m x m y m y m z m zX Y Z
m m m m m m
Usando regla de cadena y definiciones: Hamiltoneano se divide en traslacional e interno
Transformación de operadores
2 2 2 2
6
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
ˆ2
ˆ ˆ , ,2
tras
int
HM X Y Z
H V x y zx y z
4
Ecuación de Schrödinger2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
ˆ2
ˆ ˆ
tras tras tras tras trasH E idéntica a partícula libreM X Y Z
2 2 2ˆ ˆ , ,
2int int int int int int
int rot vib
H V x y z Ex y z
E E E
Teorema: Si el Hamiltoneano de un sistema se puede escribir como la suma de un grupo de términos donde cada grupo d d ú i t d j t d d d t l
7
depende únicamente de un conjunto de coordenadas, entonces la función de onda se puede escribir como el producto de funciones de onda de cada una. Cada función depende solamente de un conjunto de coordenadas y la energía total es la suma de las energías asociadas.
Oscilador armónicoModelo para vibración de
moléculas diatómicas
2 1x x x
8
m1 m2
5
Ecuación de Schrödinger
1 2
22 22 1
1 2
1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2x xE H T V p p k x x
m m
H am iltoneano
2 2 2 2
2
2 12 21 1 2 2
2 22
2
1ˆ2 2 2
1ˆ2 2in t
H k x xm x m x
H am iltoneano usando variab les in ternas
H kxx
9
Ecuación de Schröed i
2 22
2
:
1ˆ2 2in t in t in t in t
ger
H kx Ex
Solución
E ió ti l i f t áti l
2 22
2
1ˆ2 2int int int intH kx E
x
Ecuación tiene la misma forma matemática a la del oscilador armónico simple y tiene la misma solución de técnica de series y polinomios de Hermite
1 1
2 2n e e
kE h n
10
2 2
1
Espectro de vibración de las moléculas diatómicas
Ileana Nieves Martínez
QUIM 4042
moléculas diatómicas
QUIM 4042
1
Pozo de energía potencial y moléculas diatómicas
2
2
Características
re la longitud del enlace en equilibrio
Energía de disociación r ∞, la energía
potencial tiende a cero (no hay ineteracción.
r < re, la energía potencial tiende a infinito (repulsión).
V(r) =(1/2) k (r - re)2
Ene
rgía
Energía de disociación
( ) ( ) ( e)– Energía potencial de
acuerdo al Oscilador Armónico y solo es válida en la posicón de equilibrio.
3
Separación internuclear (r)
“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1997; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Energía
2 2
2
2
1ˆ2 2int e int vib intH k r r E
r
211
1 1
2 2
20 30 10 /2
n e e
n n n e
kE h n
h kE E E h x J molécula
0,1,2,3...n
Ese valor es mayor que kT, por eso el nivel más poblado es el n=0
4
3
n
Representación gráfica de niveles vibracionales
11 h k
132 2
h k
Energíapotencial, V
52 2
h k
72 2
h k
112 2
h k
92 2
h k
p ,
5
32 2
h k
12 2
h k
ke
Desplazamiento, x “Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1997; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Niveles vibracionales y relación con k (constante de fuerza)
k grandek grande
Ene
rgía
Pot
enci
al
6
k pequeña
E
Desplazamiento, x“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1997; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
4
Condiciones para absorber radiación infraroja
Cambio en momento dipolar, esto es, debe haber un dipolo oscilante.
– El momento dipolar es mayor mientras mayor sea R.
– En general la molécula diatómica heteronuclear tiene un momento dipolar que depende de la distancia
internuclear.
0d dp
dR dR
exhibe espectro vibracional. – Si las cargas parciales oscilantes están en fase y a la misma
frecuencia que el campo eléctrico se puede acoplar con el dipolo (o campo eléctrico del dipolo) y ocurre transferencia de energía produciendose la transición vibracional.
7
Reglas de selección
n = ±1
Se obtiene de la Teoría de Perturbación dependiente del tiempo por el integral de probabilidad de transición del tipo:
Ejemplo: CO– Exhibe una sola linea en = 4.8 x 10-4 cm 2140 cm-1
* ˆ ˆ0 1mn m n i iP P d para m n donde P r
Exhibe una sola linea en 4.8 x 10 cm 2140 cm
– Corresponde a: E = E1 –E0 = he = (h/2)(k/)1/2
Se puede calcular k sabiendo y así se tiene una idea de la rigidez del enlace.
8
5
Representación gráfica de Potencial de Morse
Energía de disociaciónE
ner
gía
Energía de disociación
9Separación internuclear (r)
“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1997; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Anarmonicidad
Vibración molecular bien energética
La separación entre los niveles ha disminuido en el potencial real.
Se asume nueva función matemática– Potencial de Morse
Se resuelve y resulta que la energía está dada por una serie de potencias en (R).
La solución tiene como primer término el mismo del oscilador armónico.
La solución de energía tiene términos adicionales que incluyen la constante de anarmonicidad: xee
Las reglas de selección generan sobre tonos ya que n = ±1, ±2, ±3, ….
10
6
Efecto de anarmonicidad en pozo de energía
11“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1997;
W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Ecuaciones de anarmonicidad
1 ea R ReV R D e
2 32 3
2 3
2 32 3
2 3
1 1....
2! 3!
0 : 0
1 1...
2! 3!
e e e
e
e e
e e e eR R R
eR
e e
R R
dE d E d EE R E R R R R R R R
dR dR dR
dESi E R es un mínimo entonces
dR
d E d EE R R R R R
dR dR
1
2n e eE n h x
21
2eh n
12
7
Moléculas poliatómicas
Elongación, compresión y distorción angular con grados de libertad (3N-5) o (3N-6).
Cada enlace como muelle que obedece la ley de Hooke.
Se asume movimiento caótico donde se Se asume movimiento caótico donde se considera una combinación lineal de los movimientos vibracionales como los modos normales de vibración.
13
Propiedades de moléculas poliatómicas
Frecuencia característica depende de la geometría de la molécula.
Cada núcleo oscila alrrededor de su posición de equilibrio.
Movimientos independientes.
La amplitud se determina por la ecuación de Newton.Newton.
El número de modos normales está dado por el principio de equipartición de energía.
14
8
Molécula de agua
15
Simétrico3756 cm-1
Asimétrico3657 cm-1
Flexión1596 cm-1
Molécula de agua
Flexión1596 cm-1
Simétrico3756 cm-1
16
Asimétrico3657 cm-1
http://www.atmos.albany.edu/deas/atmclasses/atm422/vib_files/VIB4M.GIFhttp://www.atmos.albany.edu/deas/atmclasses/atm422/vib_files/VIB1M.GIFhttp://www.atmos.albany.edu/deas/atmclasses/atm422/vib_files/VIB2M.GIF
Copyright 1998, Brooks/Cole Publishing Company
9
Bióxido de carbono
17
Frecuencias de vibración de Bióxido de carbono
18“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1997;
W.H. Freeman & Company; 6ta edición
10
Modos normales de vibración de CO2
ν1 = 1353.6 cm-1
ν2 = 672.6 cm-1
Flexión
Simétrico
19
ν3 = 2396.3 cm-1
http://www2.ess.ucla.edu/~schauble/MoleculeHTML/CO2_html/CO2_page.html
Asimétrico
Ejemplos
20
1
Rotor Rígidog
Ileana Nieves Martínez
1
QUIM 4042
1 1 2 2 0m x X m x X
Ley de la palanca para dos cuerpos
2
“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula W.H. Freeman & Company; 8va. edición
2
Ecuación de Schöedinger
en coordenadas relativas o internas
Rotor Rígido en Mecánica Cuántica
2 2 2 2
2 2 2
en coordenadas relativas o internas
, ,2
V x y z Ex y z
3
vib rotdonde E E E
Transformación de coordenadas a d d f l
Coordenadas esféricas polaressin cos sin sin cosx r y r z r
coordenadas esféricas polares. Definición de coordenadas:r = distancia desde el origen
al punto x, y, zθ = ángulo entre el vector r y
el eje positivo de zφ = ángulo entre la proyección
4
del r en el plano xy que hace el vector en el eje positivo de x
©“Physical Chemistry” ; P. W. Atkins; Noviembre 1998W. H. Freeman & Co; 6ta edición
3
Espacio angular permitido
5
©“Physical Chemistry” ; P. W. Atkins; Noviembre 1998W. H. Freeman & Co; 6ta edición
Hamiltoneano en coordenadas esféricas
El Hamiltoneano se transforma por regla de cadena y ecuaciones de transformación:
2 22
2 2 2 2
2 22
1 1 1sin , ,
2 sin sin
1 1 1i
r V rr r r r r
V E
Ecuación de Schöedinger de movimiento interno:
6
22 2 2 2
sin , ,2 sin sin
r V r Er r r r r
4
Características del Rotor Rígido: r = r0
masa de la varilla es descartable y no existe momentum angular en dirección radial ( r ).
Movimiento se lleva a cabo es rotación a través del Centro de Masa.
No hay fuerzas externas (campos magnéticos o eléctricos): Etot = T ya que V = 0.
7
Se descarta el término radial del Hamiltoneano ya que se asocia a la energía cinética de movimiento radial. Debido a que el rotor rígido no hay movimiento radial el término es cero y V = 0.
2
210 , , 0
2r V r
r r r
Efectos sobre el Hamiltoneano
2 2
2 2 2 20 0
2 20 0
1 1sin
2 sin sin
:
Er r
Pero I r y sacando r como factor común
8
2 2
2 2
1 1sin
2 sin sinE
I
5
Para resolver la ecuación anterior primero asumimos que el movimiento es solamente en el plano xy: θ = π/2 y por lo tanto, el sin θ = 1. Además, como el ángulo es una constante las derivadas son cero y desaparecen en la expresión.
2 2 2 2
2 2 2
1
2 sin 2E E
I I
2 2
2 2 2 2
22 2
2 20
2
IE IE
IE
9
2 22 2
22
2
20
0
IEm m y
m
Ecuación lineal, homgénea de segundo orden con coeficientes constantes.
C o n d i c i ó n d e f r o n t e r a ( U n iv a lu a d a )
i mA e
Solución para (ecuación lineal homogénea)
2
2
2
C o n d i c i ó n d e f r o n t e r a ( U n iv a lu a d a )
2 ?
1 c o s 2 s i n 2
i mi m
i m i mi m
i m
A e A e
A e A e e
e m i m
10
2 2
s o lo s e c u m p le s i 0 , 1, 2 , 3 . . . .
2
m
mE
I
6
2 2 2
2
0 0 0
1 *
1
im imd Ae Ae d A d
Normalización de ()
2 12 1
2
10, 1, 2, 3...
2im
A A
e m
11
Existen estados degenerados y se interpretan en términos de que el rotor puede girar en dos dimensiones con igual velocidad y energía cinética.
2 2
2 2
1 1sin
2 sin sinI
Movimiento en tres dimensiones
Y
22 1 1
i E
12
2 2sin
2 sin sinE
I
7
Solución de θ
2
2
sin ,
sin sin 2 1
Multiplicando por operando y dividiendo por
IE
2
2
2Operando y multiplicando por y definiendo :
1
IE
2 2
2 2
sin sin 2 1sin
IEm
13
2 22 2
cos 1sin 0
sin sinm
Al m estar al cuadrado Θ(θ) solo depende de la magnitud de m y no de su signo.
Polinomios Asociados de Legendre
Sustituyendo:
Definiendo: cosP
y y P
2 2
22 2
Sustituyendo:
1 2 01
P P mP
Polinomios asociados de Legendre
14
Para que sea aceptable:
1 donde , 1, 2, 3...
, 1 , 2 ... 1, 0,1, 2,3... 2 , 1 ,
l l l m m m m
l m ó m l l l l l l
8
H abrá 2 1 valo res de po r cada valo r de .
C on dos d im ensiones se necesitan dos núm eros cuán tico s .
2
l m l
IE
Solución de energía
2
2 22 2
2 2
2A u tovalo res de energ ía : 1 :
1 1
2 2 2 2
po r lo tan to : 1
IEl l
l l J JL LE E
I I I I
L J J
15
po r lo tan to : 1
el m om
L J J
1 1
2 2
en tum angu lar está cuan tizado .
La m agn itud del m om en tum angu lar es :
1 1L J J l l
J o l m Yl,m(θ,φ) 21
2
l lE
I
Soluciones de la ecuación: Ψl,m(θ,φ)=Yl,m(θ,φ) = Θ(θ) Φ(φ)Funciones armónicas esféricas
0 0 0
1 0
1 +1
2I
1
2
1 3cos
2 2
1 3
22
2I
22
16
1 +1
1 -1
1 3sin
2 2ie
1 3sin
2 2ie
2
2I
22
2I
9
Expresión gráfica de armónicas esféricas
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ec/Spherical_harmonics.png
17
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Rotating_spherical_harmonics.gif
ia
Lineal
RotorEsférico
nto
de I
nerc
i
RotorSimétrico
Rotor
18
Mom
en
RotorAsimétrico
©“Physical Chemistry” ; P. W. Atkins; Noviembre 1998W. H. Freeman & Co; 6ta edición
10
Momentos de Inercia de Moléculas poliatómicas
Tabla 16.1: Momentos de Inercia
1. Diatómicos
2. Rotores lineales
19
©“Physical Chemistry” ; P. W. Atkins; Noviembre 1998W. H. Freeman & Co; 6ta edición
* Para cada caso m es la masa total de la molécula
3. Rotores simétricos
Momentos de Inercia de Moléculas poliatómicas
20* Para cada caso m es la masa total de la molécula
©“Physical Chemistry” ; P. W. Atkins; Noviembre 1998W. H. Freeman & Co; 6ta edición
11
4. Rotores esféricos
Momentos de Inercia de Moléculas poliatómicas
* Para cada caso m es la masa total de la molécula
21
©“Physical Chemistry” ; P. W. Atkins; Noviembre 1998W. H. Freeman & Co; 6ta edición
Espectro rotacional de moléculas diatómicas La energía está dada por:
2 22 21 1
2 2 2 2
l l J JL LE E
I I I I
La degeneración es (2l + 1)
Las transiciones ocurren en el infrarojo lejano y en el microonda. Requisitos: Dipolo eléctrico permanete-vector del momento de
2 2 2 2I I I I
22
dipolar eléctrico rota a la misma frecuencia que la molécula. Ejemplos: HX, CO, CH3X pero no N2, O2, CO2.
Aplicaciones: Radar y horno de microondas.
Reglas de Selección: ΔJ = ± 1 (absorción o emisión)
1
Aplicación Rotor RígidoAplicación Rotor RígidoEspectro Rotacional
ESPECTRO ROTACIONAL Energía:
21J JE
Regla de selección: ΔJ = ± 1
Transición de niveles de energía para Δ J = +1
2
EI
2 2
1 1
1 2 1
2 2J JJ
J J J JE E E
I I
2
Espectroscopia
Distribución de Boltzman de poblaciones N
Transición en cm-1
expii
Ng kTN
2 2
2
2 2
1 2 2 12 8
hE h J J
I I
h h
2 2
2
12
1 2 2 12 8
12 1 2 1
8
hc hE J J
I IE h
cm J B Jhc Ic
Espectroscopia: continuación
Niveles de energía de rotación6B J = 2
Δσ = 2 B
6B J = 2
4B J = 1
2B J = 0
Para ΔJ = -1: 1 2JE BJ
3
EspectroscopiaEspectroscopiaVibro-rotacional
Espectro Vibro-Rotacional Energía y transiciones:
2h k h
21
, 2 2
2, 1
2 2
, 12
12 4 2
1 11
2 4 2
1
n J
n J
n Je
h k hE n J J
I
E h k hn J J
hc hc hc I
En BJ J
2
0
0
0 1
2 1 0,1,2... 1, 1
2 1,2,3..... 1, 1
4
e
R
Q
R P
n J Jhc
B J J para n J
BJ J para n J
B
4
J = -1 (Rama P) J = +1 (Rama R)
Transiciones Vibro-rotacionales(moléculas diatómicas)
espectro
prohibidahttp://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucapphj/VibrationRotationalSpectrum.gif
Formación de la rama P, Q y R
absorción molecular de excitación
Intensidades reflejan la poblacióndel nivel inicial.
Frecuencia de radiación absorbida
“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1997; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
5
Frecuencia de radiación absorbida
“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1997; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1997; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
6
Espectro de alta resolución de HCl
vibración-rotación
“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1997; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Espectroscopía Raman-Excitación
“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1997; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
1
Sistema: Dos partículas interaccionan por atracción de
carga eléctrica y culómbica.
Ley de Coulomb
Átomo de Hidrógeno
Ley de Coulomb Cgs
Internacional
312 2
2' '1 2
2 2
1
statcoulombQQ g cmF
r r s
g cmstatcoulomb
s
' '1 QQ
1
ε0 = permitividad al vacío = 8.85 x 10-12 C2 N-1 cm-1
1 C = 2.9979 x 109 esu o statcoulomb r = metros F = Newtons
1 22
0
1
4
QQF
r
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 20TE V
m x y z m x y z
Ecuación de Schrödinger: Coordenadas cartesianas
1 1 1 1 2 2 2 2
2
2 2 2
2 1 2 1 2 1
m x y z m x y z
ZeV
x x y y z z
2 21 1
Coordenadas polares
2
22
2 2
0
1 1sin sin , , ,
2 sin sin
4
r U r r E rr r r
Ze ZeU r V SI V
r r
2
Función de onda con Hamiltoneano , ,r R r
n (Principal) l (orbital) ml (magnético)
Números Cuánticos
2 2
22
1 1sin sin , , ,
2 sin sinr U r r E r
r r r
3
2 2
04
Ze ZeU r V SI V
r r
, ,r R r
r R r P F
Ecuación de Schrödinger en tres variables
, ,r R r P F
2
2 2 22 2
1 2 1 1sin 0
sin sin
d dR d dP d Fr Er ke r
R dr dr P d d F d
4
3
Solución existesolo si
Funciones por separado
Solución Existe solo si
:
e P
masa reducida
m m
5
Solución Existe solo si
e pm m
Ecuación azimultal
2 2 22
2 2 2 2
1 1 2
2 sin l
d d IEE m
I d d
22
2
12
1l
l
im
d FC m F F n
F d
F Ae m l l l
6
, 1,...l
z l
F Ae m l l l
L m
4
Solución existesolo si
Funciones por separado
Solución Existe solo si
:
e P
masa reducida
m m
7
Solución Existe solo si
e pm m
Solución y polinomios asociados de Legendre
2
2
2
s ins in s in
1m
r
mnm
d d PC C
P d d
d P xP x x
12
,
,
1
2 1 !
2 !
c o s
n m
l m
mlm l m n
P x xd x
l l mN
l m
N P
8
0 1
2 32 3
4 2 5 34 5
1
1 13 1 5 3
2 21 1
3 5 3 0 3 6 3 7 0 1 58 8
P x P x x
P x x P x x x
P x x x P x x x x
5
Polinomios de Legendre
E ió d L d
221m
mnm
n m
d P xP x x
dx
Ecuación de Legendre
Forma general de los Polinomios de Legendre
2
22
1 2 1 0d y dy
x x n n ydx dx
9
2
0
12 2
2 21
2 ! ! 2 !
ó se escoge el que sea entero
mMn m
n nm
nn
nP x x
m n m n m
M
Funciones asociadas de Legendre normalizadas
31,0 3,0
1 3 56 cos 14 cos cos
2 4 3
21,1 3,1
2 22,0 3,2
3
1 13 sin 42 sin 5cos 1
2 81 1
10 3cos 1 105 sin cos4 41 1
15 sin cos 70 sin
10
2,1 3,3
22,2
15 sin cos 70 sin2 81
15 sin4
6
Número cuántico orbital
2
2 2
1
1 1
d d 0 1 2 3 1
r lC l l C m
l l L l l
l
Notación espectroscópican=1 n=2 n=3 n=4
“sharp” s l=0 1s 2s 3s 4s“principal” p l=1 2p 3p 4p“difuso” d l=2 3d 4d
donde 0,1, 2,3,... 1l n
11
f“fundamental” f l=3 4f
g l=4h l=5
Por ejemplo, si n = 2, l = 1 el estado se designa 2p
Después de este punto la notaciónsigue el alfabeto.
Solución radial
2
2 2 22 2
1 2 1 1sin 0
sin sin
d dR d dP d Fr Er ke r
R dr dr P d d F d
1 2d dR
0
2 2 22
2 2
, , 0 2 2
1 21
0.529r
naln l n l
e
d dRr Er ke r l l
R dr dr
R r L e donde a nme m e
12
,1
donde el contador se asocia a por: 1
n lL a r
k l n l k
7
Resultado de energía
Condición de frontera solución satisfactoria:
2 2
20
4
donde Z=carga efectiva y 1, 2...2n
Z eE n
n a
13
4
2 2 20
1 13.61, 2,3,...
8n
me eVE n
h n n
+
Energía de electrones y núcleos separados
R
continuo
Energías clásicamente
ener
gía
+2
2 2 2 2
n
f i i f
RE
n
R R R RE h R
n n n n
14
e g as c ás ca e teperimitidas
-
©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
8
Espectroscopía atómica
15
“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula W.H. Freeman & Company; 8va. edición
Determinación de constante de Rydberg
16 ©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
9
Estados energéticos de degeneración n2 = 4
n l m n, l, m2
20
2
2n
eE
a n
1 0 0 1 0 0
2 0 0 2 0 0
2 1 0 2 1 0
2
0
2
0
2
0
2
1
4 2
1
4 2
n
n
n
eE
a
eE
a
eE
a
17
2 1 +1 2 1 +1
2 1 -1 2 1 -1
2
0
2
0
1
4 2
1
4 2
n
n
eE
a
eE
a
Números cuánticos del átomo de hidrógeno
,
,
1, 2,3, 4....
0,1, 2,... 1
, 1,...0... 1,
n l
l m
m l
R r n
l n
m l l l l
Tres coordenadas esféricasQue se asocian a tres números cuánticos espaciales
, , , ,n l m n l l m mR r
o 2 1 valoresl
18
,
,
distancia del núcleo al electrón
geometría orbital
n l
l m m
R r
10
Normalización para funciones de hidrógeno
2
*
0
1m m d
*
0
* 2
sin 1m m d
19
* 2
0
* 2, , , ,
1
sin 1
m m
n l m n l m
R r R r r dr
r d d dr
Características de números cuánticos
n Número cuántico principal Tamaño del orbital Energía cinética del electrón Grado de degeneración n2
l Orientaciones del momentum angular
20
g(2l+1)
Número de nodos radiales (n – l -1) Número de máximos (n – l)
11
Funciones radiales
21 ©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Funciones hidrógeno - separadas
n l ml F() P() R(r)
1 0 0 1
20
32
2 rae
a
1
22 0 0
2 0 0
2 1 ±1
2 20a2
2 03
200
12
2 2
rar
eaa
2 03
200
1
2 6
rar
eaa
1 r
1
2
1
2
1
26
cos2
31
22
2 1 ±1 2 03
200
1
2 6
rar
eaa
3sin
21
2ie
2
0 20.529 primer radio de Bohra nm
me
12
Otras propiedades de l
2 2
( ) :
1. : 1
Númerocuántico momentum angular orbital l
valores permitidos L l l
2. : 1 0,1, 2,3... 1
3.
magnitud L l l donde l n
se asocia a geometría del orbital
23
4.
ˆcos
1z
orientación con respecto al eje de z
Lm
Ll l
Geometría y orientación (propiedades de l)
ˆ
cos1
zLm
Ll l
24 ©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
13
Geometría del orbital 1s de hidrógeno
25 ©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Probabilidad radial de hidrógeno para 1s
1
0
Número
cuántico
n
l
12
0
0
2
l
s
l
m
m
Máximo
electrones
bili
dad
rad
ial
26
Probab
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
14
Función de distribución radial tipo s
(Probabilidad por unidad de volumen)x(volumen del cascaróncascarón
Válido solo para orbital tipo sr
r+dr
0
3 3 2
222 *
4 4~ 4
3 3:
44
r
a
r dr r r dr
Densidad de probabilidad
rD
27
0
0 0
21 1 3
0
2 22
3 30 0 0
4
:
8 4 20
as s
r r
a a
D r r ea
Radio mas probable
dD r r re e
dr a a a
Determinación del radio mas probable tipo s
20 0
32
2
2300
1 44
2
r ra adP e dr r e dr
aa
dP
1sProbabilidadRadial
2 20 0
20
2
0
0
2 2
0 2 2
20 2
2 1 0
0.509
r ra a
ra
dPre r e
dr a
rre
a
cr a nm
k
28
0 2 2mke mc
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydr.html#c1
15
Determinación del radio promedio tipo s
0* 21 1 3
0
1ˆ sin
r
as sr r d re r d dr
a
203
300 0
4 radP
r r dr r e drdr a
1sProbabilidadRadial
1sProbabilidadRadial
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
29
20 0 00
2 2 3 430 0
30
0
3 3 34 3
2 4 4 8 2
ra
r
r
a r a r aa r ar e
a
Determinación de la probabilidad radial2
0230
4 ra
c
b
P r e dra
1sProbabilidadRadial
30
En el intervalo de b =0.5 a0 a c= 2.0a0 la probabilidad es 0.681
20 00
2 320
30
4
2 2 4
ra
r c
r b
a r aa rP e
a
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
16
Dependencia angular de los orbitales hidrogénicos
Tipo s:
No dependen de ni
Su variación angular o geométrica se representa:
Coordenadas planares ( ) ( ) /( )1/2
31
(r): ()00 =1/(2)1/2
Coordenadas polares |()()|= 1/(4)1/2(valor absoluto)
Dependencia angular de los orbitales hidrogénicos
Tipo s: Densidad de puntos es índice de densidad
de probabilidad relativa
No es una nube difusa de carga con esa gemetría.
La probabilidad de encontrar el electrón en esta superficie no es uniforme ya que depende de distancia radial.
32
de distancia radial.
Superficie o curvas de probabilidad se hace con mapa de contorno (posición en el 90% dentro de la superficie para determinar el tamaño del orbital.
17
Radio 0.90 – superficie de contornoz
x x
z
1 1 2
2 2* * 21 1 1 10.90 sin 1.41Å
s sr r
s s s sd R R r dr d d
Coordenadas planares Coordenadas polares
33
1 1 1 1
0 0 0 0
s s s s
Función de distribución radial para p y d
Volumen diferencial de coordenadas polares entre: r y r + dr y + d y + dy y y
Fución de distribución radial
0
22 2* 2
, , , , 300 0
4sin
r
an l m n l m
rP r r dr r d d dr e
a
34
2
* 2 * *. . , ,
0 0
sinn l n l l m l m m mP R r R r r dr d d
18
Funciones de onda de orbitales 1s, 2s, y 2p
n l ml
1 0 0 1s 03
1 rae
, , , ,ln l m r
2 0 0
2 0 0
32
0
ea
2 03
200
12
4 2
rar
eaa
2 03
200
1cos
4 2
rar
eaa
2s
2 p
35
2 1 ±1 2 03
200
1sin
8
ra ir
e eaa
2 p
2
0 20.529 primer radio de Bohra nm
me
Densidad de probabilidad del orbital 1s
36 ©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
19
Probabilidad radial de hidrógeno para 2s
2
0
Número
cuántico
n
l
12
0
0
2
l
s
l
m
m
Máximo
electrones
bili
dad
rad
ial
37
Proba
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
Densidad de probabilidad del orbital 2s
38 ©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
20
Probabilidad radial de hidrógeno para 2p
2
Núm ero
cuántico
n
12
1
1, 0,1
6
l
s
l
m
m
M áxim o
electrones
bili
dad
rad
ial
39
Probab
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
Orbitales tipo p (l = 1)
Signo de la función cambia con los ángulos en . n = 2 l = 1 m = 0 2p0 = 2pz
No depende del áng lo No depende del ángulo . Es un máximo cuando = 0 y = Es un mínimo cuando = /2 (nodo)
, , . , 2.1 1,0 0n l m n l l m mR r R r
40
, , 2.1
3cos
4n l m R r
21
Geometría y orientación de los orbitales 2p
m = 0
41
m = ± 1“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula
W.H. Freeman & Company; 8va. edición
Representación geométrica
Coordenadas polares planares: 1,0()=(3/4)1/2 cos
Coordenadas esféricas polares: 1,0() 2
Geometría- superficie de contorno de
42
Geometría superficie de contorno de igual densidad de probabilidad. Densidad de probabilidad con valor constante.
22
Funciones 2p±1
Signo de la función cambia con los ángulos en . n = 2 l = 1 m = ±1 2p±1
1, 1 1 1
2 2 21, 1 1
3sin 2
83
: sin8
2 2
ie P
Forma real
L f ió P P i l i f di ib ió i l
43
1 12 2La función P y P tiene la misma forma o distribución espacial.
Ambas son independientes de . La densidad de probabilidad es simétrica
con respe
.cto al eje de z y el mínimo es en =0 y el máximo es en = 2
1
32 sin
8i
Por geometría se construye una combinación lineal usando las dos funciones:
P = e
Orbitales 2px y 2py
1
1
8
3 32 sin sin cos sin
8 8
3 32 sin sin cos sin
8 8
i
i
P e i
P e i
Combinación lineal:
44
1, 1 1 1, 1
1
2x2P
1 1 1
1, 1 1 1, 1 1 1 1
2 2
12 2
2y
P P
2P P P
23
1 1 3
Combinación lineal:
Orbitales 2px y 2py (continuación)
1 1
1 1 32 2 sin cos sin cos sin
82 2
2 3sin cos sin cos
82
1 3
x
x
2P P P i i
2P A
45
1 1
1 32 2 sin cos sin cos sin
82
2 3sin sin 'sin sin
82
y
y
2P P P i i
i2P A
n l ml F() P() R(r)
Funciones de onda de orbitales 3s y 3p
1 3 0 0
3 1 0
3 1 ±1
1
21
2
3 03
46
rar r
e
3 03
2
0
2
200
227 18 2
81 3
rar r
ea aa
1
26
cos2
3sin
1 ie
3 03
20 00
46
81 6
rar r
ea aa
3 1 1
46
32
0 00
681 6
ea aa
sin2
2
e
2
0 20.529 primer radio de Bohra nm
me
24
Funciones de onda de orbitales 3d
n l ml F() P() R(r)
3 2 0
3 2 ±1
1
23 0
32
0
2
20
4
81 30
rar
eaa
2103cos 1
4
15sin cos
2
1
2ie
3 03
2
0
2
20
4
81 30
rar
eaa
3 03
2
2
4 rar
e
215i
21 ie
47
3 2 ±2
2
0 20.529 primer radio de Bohra nm
me
32
0
2081 30 aa
2sin2
2e
Funciones de onda del nivel 3
n l ml
3
, , , ,ln l m r
21 r r 3 0 0
3 1 0
3 1 ±1
3s
3p
3p
3 03
2
0
200
127 18 2
81 3
rar r
ea aa
3 03
20 00
26 cos
81
rar r
ea aa
3 03
2
26 sin
81
ra ir r
e ea aa
48
3 2 0 3 03
2
0
22
20
13cos 1
81 6
rar
eaa
3d
2
0 20.529 primer radio de Bohra nm
me
0 0081 a aa
25
Densidad de probabilidad del orbital 3s
3
0
Número
cuántico
n
l
12
0
0
2
l
s
l
m
m
Máximo
electrones
bili
dad
rad
ial
49
Probab
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
Densidad de probabilidad del orbital 3p
3
N úm ero
cuántico
n
12
3
1
1, 0,1
6
l
s
n
l
m
m
M áxim o
electrones
lidad
rad
ial
50
Probab
il
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
26
Funciones de onda orbitales 3d
n l ml
3
, , , ,ln l m r
3 0
221
3 1r
ar
3 2 0
3 2 ±1
3 2 ±2
3s
3p
3d3 0
32
0
22 2
20
1sin
162
ra ir
e eaa
3 03
2
0
2
20
1sin cos
81
rar
e e iaa
3 03
2
0
22
0
3cos 181 6
aeaa
51
Densidad de probabilidad del orbital 3d
Núm ero
cuántico
12
3
2
2, 1, 0
10
l
s
n
l
m
m
M áxim o
electrones
ad r
adia
l
52
electrones
Probab
ilid
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
27
Geometría de orbitales 3d
53“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula
W.H. Freeman & Company; 8va. edición
1
Vectores de momentum angular
Ileana Nieves Martínez
1
Ileana Nieves Martínez
QUIM 4042
ˆˆ ˆdx dy dzv i k j
dt dt dt
p mv mv mv
Vectores unitarios y relación con momentum
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
x y z
x y z
p mv mv mv
L r x p ix ky jz x iL kL jL
i k j
2
z y x z y x
x y z
x y z
L x y z i y p z p j z p x p k x p y p
p p p
L i L j L k L
2
22 2 2 2 2 1 1
x y zL i y z L i z x L i x yx y x z y x
Momentum angular coordenadas polares
2 2 2 2 22 2
1 1sin
sin sinx y z
z
i
L L L L L L
L i
3
,,
2 2,
2
1
iml m
z l m
l m
i eL i i m
L l l
,l m
Orientaciones del momentum angular
4
©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
3
Orientaciones del momentum angular
5©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Orientaciones del momentum angular
6©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
4
Vectores y orientación del momentum angular
7©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Vectores y orientación del momentum angular
8©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
5
Vectores y orientación del momentum angular
9©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Vectores y orientación del momentum angular
10©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
6
Vectores y orientación del momentum angular
11©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Vectores y orientación del momentum angular
12©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
7
22 2 2
1 20
R rr R r E V R r
Parte radial de la ecuación de Schröedinger
2 2 2
2 2
22n
r r r r
Z eE
an
13
3/30/2011
1
Espín ElectrónicoEspín Electrónico
Ileana Nieves MartínezQUIM 4042
1
Espín electrónico Surge de la aplicación de la relatividad a mecánica
cuántica. (Dirak – 1928)
Definición Es el momento angular orbital. No tiene analogía clásica.
Surgen nuevos números cuánticos de espín: s y ms
2
y s
1
21
, 1.... 1,
1 1 1: ,2 2 2
z s
s
s
S s s S m
donde m s s s s
Ejemplo s m
3/30/2011
2
Caracterísiticas del espín
Una partícula elemental solo puede tener un valor de s, medio entero o entero.
í í Ejemplos de partículas que tienen espín : Protones, nuetrones electrones
3
Efecto en la energía Solo en peresencia de un campo magnético. Nuevamente duplica la degeneración de los
estados.
Función espín-orbital
Se postulan dos funciones de espín: y
1 1
1 12 2
1 1, , , ,
s s
s s
m para m para
r r
4
3/30/2011
3
Átomo de HelioÁtomo de Helio
5
Problema de tres cuerpos
r = r2 - r1
r1 r2
6
3/30/2011
4
Hamiltoneano y Ecuación de Schrödinger
2 2 2 2 22 21 2
1 2 2 1
1. Hamiltoneano para resolver la ecuación de Schrödinger.
2 2ˆ2 2
e e eH
r r r r
1 2 2 1
2. El problema de tres cuerpos no se ha podido resolver exactamente.
3. Aproximaciones: Eliminar el término d2 2 2 2
2 21 2 1 2
1 2
e repulsión del hamiltoneano para He.
2 2ˆ ˆ ˆ2 2
Heaprox
e eH H H
r r
7
1 2
1 2
2 2
por lo tanto:
aprox
r r
Solución aproximada
1 2 1 2 1 2
1 2
4. Ecuación de Schrödinger aproximada.
ˆ ˆ ˆaproximado aprox aprox aprox aproxH E H H E
E E E
1 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ5. Como y son hamiltoneanos de hidrógeno con carga Z = 2, sa
aproxE E E
H E H E
H H
1 2 1 2
2 22 4 2
1 2 2
bemos que
y son las funciones de hidrógeno y y son las energías de hidrógeno
con Z = 2. Entonces:
13.62 2
E E
Z e Z e ZE eV
n n a n
8
0
2 4
2 2 2
2 2
2
n n a n
Z e ZE
n n
2 22
0
1 2 experimental
13.62
108.8 79.0 30%
e ZeV
a n
E E eV E eV error
3/30/2011
5
Principio de variación
Cambiar función de prueba para corregir el error Z = carga efectiva. Añadir el espín y Añadir el espín y
Funciones de prueba para dos electrones se pueden expresar:
1 1
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
z zs s
y
9
Ecuación para resolver es:
* ˆ 74.8aprox exactoE f H f d eV
Funciones válidas vs no-válidas Las funciones para que sean válidas no deben
distinguir entre electrones debido a que: son idénticos unos a otros experimentalmente no se distingue entre ms = +½ o
ms = -½ El principio de insertidumbre no lo permite.
Funciones posibles entonces son: Respecto a intercambio
Simét icas (1) (2) 1. 1 2 , 1 2
10
Simétricas (1) y (2) Antisimétrica (3)
12. 1 2 1 2
21
3. 1 2 1 22
3/30/2011
6
Principio de Pauli Basado en la relatividad (1940) Definiciones:
Fermión – partícula con número de espín igual a un di tmedio entero.
Bosón – partícula con número de espín igual a un entero.
Principio de Pauli: “La función de onda espacio-espín de un sistema de fermiones idénticos debe ser anti-simétrica con respecto a intercambio de
d d d ( i í ) d
11
todas sus coordenadas (espacio-espín) de cualquiera dos partículas. Para un sistema de bosones idénticos, la función de onda completa deber ser simétrica con respecto a intercambio.
Función de onda de prueba espacio-espín
11 1 1 2 1 2 1 2s s
1 1 1 2 1 2 1 22
s s
Intercambio de electrones convierte en
12
1 1 1 1 1 111 2 2 1 2 22
s s
s s