Otra construccion de de un proceso de ramificacion

Teorema 1. Para cada k ≥ 1, si f : [0,∞)→ R es una funcion constante por pedazossobre cada intervalo [n, n + 1], n ≥ 0, y con saltos en {−1, 0, 1, ...} tal que f(0) = 0,0 ≤ f(i) para todo i ∈ {1, 2, ..., k− 1} y f(k) = −1, entonces existe m ∈ {1, ..., k} talque g(m) = 0 donde g : [0,∞) → [0,∞) es una funcion constante por pedazos dadapor g(0) = 1 y g(n) = 1 + f(g(0) + · · ·+ g(n− 1)), para n ≥ 1.

Demostracion. Induccion sobre k. Primero los casos k = 1 y k = 2. Si f(0) = 0 yf(1) = −1 entonces

g(1) = 1 + f(g(0)) = 1 + f(1) = 0.

Si ahora f(0) = 0, f(1) ≥ 0 y f(2) = −1, entonces f(1) = 0, en cuanto que los saltosde f estan unicamente en el conjunto {−1, 0, 1, ...}. Luego g(1) = 1 y

g(2) = 1 + f(g(0) + g(1)) = 1 + f(2) = 0.

Supongamos que para todo q ∈ {1, ..., k}, con k ≥ 2 el enunciado del teorema esvalido. Probaremos que tambien debera ser valido para q = k+1. Sea f : [0,∞)→ Runa funcion constante por pedazos sobre cada intervalo [n, n+ 1], n ≥ 0, y con saltosen {−1, 0, 1, ...} tal que f(0) = 0, 0 ≤ f(i) para todo i ∈ {1, 2, ..., k} y f(k+ 1) = −1.Tenemos que 0 ≤ f(i) ≤ k−i, para cada i ∈ {1, ..., k}. En particular 0 ≤ f(1) ≤ k−1y f(k) = 0.

Si f(1) = k − 1, entonces g(1) = 1 + f(g(0)) = 1 + f(1) = k, y por tanto g(2) =1 + f(g(0) + g(1)) = 1 + f(k + 1) = 0, no habiendo nada mas que hacer.

Si f(1) = k−j, con j ∈ {2, ..., k}, entonces g(1) = 1+f(g(0)) = 1+f(1) = k−j+1y por tanto g(2) = 1 + f(k − j + 2). Observamos

0 ≤ f(k − j + 2) ≤ k − k + j − 2 = j − 2.

Consideremos una nueva funcion constante por pedazos f dada por f(0) = 0 y f(n) =

f(n+k−j+1) = f(n+g(1)) para n ≥ 1. Observamos que f tiene saltos en {−1, 0, ...}es no negativa en {0, ..., j} y f(j) = −1. Luego, por hipotesis de induccion existem ∈ {1, 2, ..., k} tal que g(m) = 0, donde g es una funcion constante por pedazos

dada por g(0) = 1 y g(n) = 1 + f(g(0) + · · ·+ g(n− 1)), n ≥ 1.Ası, si g es la funcion constante por pedazos definida por g(0) = 1 y g(n) =

1 + f(g(0) + · · · + g(n − 1)), n ≥ 1, entonces g(n) = g(n + 1) para cada n ≥ 1, dedonde g(m + 1) = 0.

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