OTRA FORMA DE ENSEÑAR Y APRENDER GEOMETRÍA EN …

Investigación e innovación en Educación Infantil y Educación Primaria

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OTRA FORMA DE ENSEÑAR Y APRENDER GEOMETRÍA EN EDUCACIÓN PRIMARIA

Marta Barceló García

Resumen Este proyecto pretende mostrar tanto al alumnado como al profesorado las múltiples posibilidades de disfrutar haciendo Matemáticas, principalmente en un aula de Educación Primaria. Por un lado, incluyendo contenidos matemáticos habituales en el currículo escolar y, por otro, presentando cómo muchos de estos contenidos matemáticos clásicos pueden enseñarse eficazmente mediante juegos y actividades con un fuerte componente lúdico, mejorando no sólo la atención e interés de los alumnos, sino también la comprensión y las destrezas de uso. Asimismo, la utilización de material manipulativo para realizar la mayoría de las actividades es quizás el elemento más característico de dicha propuesta. Abstract This final-master project expects to show to both pupils and teachers the numerous possibilities to enjoy doing Mathematics, especially at Primary Education. On the one hand, it includes mathematical contents extracted from the curriculum and, on the other hand, it shows how lots of these regular contents can be taught effectively through play activities. At the same time, this improves the interest and the attention of children as well as the comprehension and skills for use. Besides, the main characteristic of this proposal is the employment of manipulative materials to put into practice the most of the activities. Introducción: planteamiento y justificación de la innovación Este proyecto de innovación aborda la utilización de recursos didácticos para la enseñanza de las matemáticas en Primaria; en concreto, se ocupa de la geometría para 2º Ciclo, más específicamente va dirigido a 3er curso. Surgió principalmente a raíz de dos factores. El primero de ellos fue que las matemáticas han constituido y aún hoy día continúan siendo una de las áreas que menos atraen y que más difíciles y lejanas vienen resultando a nuestros alumnos. Según sus propios comentarios definen la Geometría como una materia poco motivante y difícil debido a los conceptos abstractos que se manejan. Así, Fernández Gallardo y Fernández Pérez (2001) dicen “el manejo del lenguaje matemático requiere una precisión y una disciplina que a menudo suelen crear cierto rechazo”. Continuando con este trabajo, los autores mencionan a Hersch quien define a la Matemática como “la Ciencia de objetos virtuales con propiedades reproducibles –virtuales más como potenciales que como irreales. Es decir, primero es una Ciencia, como las demás; pero sus objetos de estudio, y esto es lo específico de la Matemática, son ideales y virtuales. Así que es una Ciencia abstracta”. Asimismo, en el prefacio de su libro “Los Lógicos”, el filósofo de la ciencia Jesús Mosterín dice: “La matemática es la más grande aventura del pensamiento. En otras actividades también pensamos, obviamente, pero contamos además con la guía y el control de la observación empírica. En la matemática pura navegamos por un mar de ideas abstractas, sin más brújula que la lógica” (citado por Fernández Pérez, 2001, p. 6).

Por otro lado, habría que añadir que constituiría una de las áreas que menos innovación está integrando y, en consecuencia, menos evolución experimentaría con el paso del tiempo. Un estudio consultado de Barrantes (2002) aporta la idea de que, a pesar de los nuevos métodos, recursos o


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materiales sobre enseñanza de la Geometría, las dificultades de los estudiantes en esta área siguen estando patentes y continúan reapareciendo. Barrantes en su Capítulo 4 (p. 349) menciona a otros autores como Gómez-Chacón (2000) o Martínez y otros (1989) para integrar su descripción del carácter deductivo de la Geometría escolar. Respecto a la misma se dice: “En la que se ha fomentado excesivamente el aprendizaje memorístico de conceptos, teoremas o fórmulas; la simple apoyatura de unos conceptos en otros previos; y la temprana eliminación de la intuición como instrumento de acceso al conocimiento geométrico, tratando de acelerar la adquisición de tales conceptos, teoremas y fórmulas en las que parece estar condensado el verdadero saber geométrico.” (Martínez y otros, 1989, p. 39). Y Barrantes añade otra cita: “De esta forma, no es de extrañar que en muchos casos la comprensión de lo tratado resulte en extremo difícil, si no imposible, para los niños.” (Morales, 1990, pp. 59-60). Por último, los grupos de discusión manifiestan que la Geometría es difícil de enseñar en la escuela pues no dominan sus contenidos ni su metodología. Sobre la importancia de la Geometría escolar, las respuestas mayoritarias se inclinan por considerar la Geometría como una materia importante o al menos que se le debe dar la misma importancia que a las otras partes de las Matemáticas. Algunos comentan que no se le da ni se le ha dado importancia precisa y que había que darle más valor. En cambio, las investigaciones sobre el proceso de construcción del pensamiento geométrico nos indican, no obstante, que éste sigue una evolución muy lenta desde unas formas intuitivas iniciales de pensamiento, hasta las formas deductivas finales, y que éstas corresponden a niveles escolares bastante más avanzados que los que estamos considerando aquí. De manera que se deduce que en Educación Primaria hay que escapar de las interpretaciones deductivas e ir a una geometría de carácter experimental e intuitivo. El espacio del niño está lleno de elementos geométricos, con significado concreto para él: puertas, ventanas, mesas, pelotas, etc. En su entorno cotidiano, en su casa, en su colegio, en sus espacios de juego, aprende a organizar mentalmente el espacio que le rodea, a orientarse. Ese es el contexto que personalmente considero especialmente útil para desarrollar la enseñanza de la geometría, de una forma que resulte significativa para los alumnos. El estudio de su entorno próximo y familiar, por la motivación e interés que puede despertar y por ser fuente inagotable de objetos susceptibles de observación y manipulación. A partir de situaciones que resulten familiares para los alumnos (recorridos habituales, formas de objetos conocidos...) y mediante actividades manipulativas y lúdicas (plegado, recorte, etc.), el maestro puede fomentar el desarrollo de los conceptos geométricos contemplados en el currículo de esta etapa educativa, al que nos referimos a continuación. Así, en el Decreto nº 286/2007 de 7 de septiembre, por el que se establece el currículo de la educación primaria en la Región de Murcia aparecen, en el 2º ciclo, los siguientes contenidos:

BLOQUE 3. Geometría La situación en el espacio - Localización precisa de elementos en el espacio. - Representación elemental de espacios conocidos: planos y maquetas. Descripción de posiciones y movimientos en un contexto topográfico. - Localización de puntos, dado un sistema de referencia ortonormal, utilizando coordenadas cartesianas. - Interpretación de croquis y planos sencillos. - Líneas rectas y curvas. Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. - Relación entre el concepto de ángulo y el de giro.


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Formas planas y espaciales - Figuras geométricas. Elementos básicos: lado, vértice, base, diagonal, ángulo, ejes de simetría. - La circunferencia y el círculo. Elementos básicos: centro, radio, diámetro, cuerda y arco. - Cuerpos geométricos: reconocimiento de prismas, pirámides y cuerpos redondos. Elementos básicos de poliedros: caras, vértices y aristas. - Clasificación de figuras y cuerpos geométricos utilizando diversos criterios. - Identificación de figuras planas y espaciales en la vida cotidiana. - Descripción de la forma de objetos utilizando el vocabulario geométrico básico. - Construcción de figuras geométricas planas a partir de datos y de cuerpos geométricos a partir de un desarrollo. Exploración de formas geométricas elementales - Comparación y clasificación de ángulos: rectos, agudos, obtusos, llanos, mayores de 180º y completos. Regularidades y simetrías - Transformaciones métricas: traslaciones, giros y simetrías. - Identificación de traslaciones, giros y simetrías en el entorno familiar y en la naturaleza.

Y es que, tal y como nos explica Torres (2009), la necesidad de la enseñanza de la geometría en el ámbito escolar responde, en primer lugar, al papel que la geometría desempeña en la vida cotidiana. Un conocimiento geométrico básico es indispensable para desenvolverse en la vida cotidiana: para orientarse reflexivamente en el espacio; para hacer estimaciones sobre formas y distancias; para hacer apreciaciones y cálculos relativos a la distribución de los objetos en el espacio... Además de que la geometría está presente en diversos ámbitos de nuestras actuales sociedades, supone también un componente esencial del arte y representa un aspecto importante en el estudio de los elementos de la naturaleza.

Dado que los anteriores contenidos se definen para todo el ciclo, a continuación desarrollamos los que consideramos primordiales como primeras nociones de geometría para los alumnos y que hemos decidido incluir y trabajar en este proyecto, procurando al mismo tiempo, en la medida de lo posible, no interrumpir la programación de aula de la maestra en ejercicio que ha facilitado su puesta en práctica.

La línea, concepto y clasificación en: � Rectas. � Curvas. � Mixtas. � Quebradas. � Onduladas. � En espiral.

• Abiertas. • Cerradas.

La recta, concepto y posiciones relativas de dos rectas: � Rectas Secantes.

� Rectas perpendiculares como caso particular. � Rectas Paralelas.

El ángulo: � Sus elementos: lados, vértice y amplitud. � Sus tipos: agudo, recto y obtuso.

Reconsiderando a Torres (2009), observamos su hincapié en que los objetos geométricos básicos (punto, línea y superficie, paralelismo, ángulo…), son nociones aparentemente muy elementales, pero que en realidad son muy complejas, por su elevado nivel de abstracción. La noción de punto, por ejemplo, es una buena muestra de ese carácter esencialmente abstracto de los elementos geométricos. El punto, como ente geométrico sin dimensiones, carente de forma o con una forma muy regular (esférica), simple indicador de la posición en el espacio, no existe en la realidad material.


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La misma autora nos indica que la rectitud tampoco existe en la realidad material. Cualquier línea material, contemplada con una lupa suficientemente potente, aparece llena de curvaturas. La noción de paralelismo aparece para los alumnos como una noción difícil, dada la infinitud de la línea recta; pues, este supone un concepto que los alumnos de estas edades no captan con facilidad, en primer lugar, por un problema de fijación mental derivada de sus propias percepciones, y, luego, por un problema de capacidad lógica, ya que el alumno se encuentra en estas edades en el período llamado por Piaget de "lógica concreta", en el que no cabe la consideración de entidades tan abstractas como la infinitud. Esta misma dificultad es la que aparece al considerar los ángulos. No les resulta fácil comprender la independencia del ángulo respecto a la longitud de sus lados, en primer lugar por cuestiones de tipo perceptivo, y en segundo lugar por ese problema conceptual derivado de la infinitud de la recta. En realidad, estos ejemplos vienen a indicar la dificultad de enseñar geometría en Primaria, por la contradicción existente entre el fuerte carácter abstracto de la materia (que como toda disciplina matemática aparece como un sistema conceptual abstracto, formal, independiente de la realidad física) y la necesidad de aproximarla de una forma intuitiva y experimental a los alumnos, lo que obliga a una simplificación de sus elementos conceptuales. A raíz de los datos proporcionados a través de la percepción de un mismo objeto o lugar desde distintos puntos de vista, el recorrido periódico de las mismas distancias, o los juegos de construcciones, se van formando las primeras nociones topológicas: junto-separado, abierto-cerrado, recto-curvo..., que constituyen la base sobre la que se asienta la progresiva estructuración del espacio y la orientación de las acciones y los objetos dentro del mismo. Las nociones de inclusión (abierto-cerrado, dentro-fuera, etc.) constituyen la base para la construcción de las ideas de figura y cuerpo geométrico y las nociones de proximidad (cerca-lejos, junto-separado, etc.) se convierten en la base para la construcción de las ideas de longitud y distancia. Para este objetivo de organización espacial, el juego psicomotor, centrado en la exploración del espacio a partir del propio cuerpo, de una forma lúdica y activa, representa una metodología de enseñanza de lo más apropiada. Y es que la introducción de cualquier tema matemático se puede iniciar mediante una sesión de psicomotricidad. Esta suele tener una fase inicial de juego estrictamente sensomotor, es decir, de movimiento libre por el espacio inducido por una música apropiada, y en la cual el material básico es el propio cuerpo. Es una fase en la que se va tomando contacto con el espacio exterior, con los objetos, con las personas que lo conforman, de una forma espontánea y creativa; una fase que, además, da lugar a situaciones de juego colectivo. Posteriormente conviene introducir materiales didácticos que ayudan al establecimiento de relaciones espaciales específicas, de acuerdo con el tema geométrico elegido como objetivo del aprendizaje y que pueden inducir la reflexión sobre aspectos determinados de dicho tema. Finalmente, una propuesta adecuada de actividades complementarias, de problemas suscitados a partir del uso de esos materiales, puede cerrar el desarrollo del tema. Y de esta manera, siguiendo las anteriores recomendaciones, es como hemos decidido trabajar.

Todo ello, por supuesto, orientado a lograr los siguientes objetivos generales:

1.- Mejorar la calidad de la enseñanza de la geometría en Educación Primaria, proponiendo actividades donde el alumno construye su propio aprendizaje.

2.- Brindar la oportunidad tanto a maestros como a alumnos de trabajar de otra forma, procurando innovar en materiales y recursos utilizados en las sesiones.


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3.- Considerar la Geometría, cuanto menos, como una materia igual de importante que las demás partes de las Matemáticas mejorando el concepto que los estudiantes tienen acerca de la misma.

4.- Ofrecer a los maestros responsables de las clases de Geometría una metodología posible para llevar a cabo los contenidos anteriormente descritos con el fin de dar respuesta, al menos, a parte de sus dificultades e interrogantes.

Diseño del plan de actuación: elaboración de materiales de la propuesta y de los instrumentos de seguimiento de la innovación Para comenzar estas sesiones emplearemos el juego psicomotor puesto que puede implicar conceptos de cierta potencia geométrica. Así, por ejemplo, juegos de recorrido manteniendo la igualdad de distancias a dos puntos fijos pueden inducir la noción de mediatriz; jugando con la igualdad de distancias a dos rectas secantes, la de bisectriz; con la igualdad de distancias a una línea recta, el paralelismo; etc. Por otro lado, el material didáctico como centro primordial de este proyecto, desempeña un papel protagonista en nuestra metodología de enseñanza. Siempre diferenciaremos entre el material pensado para ser usado en las sesiones de psicomotricidad, y el material pensado para ser utilizado en el aula normal de clase, sobre los pupitres. Respecto al primer tipo de material podemos destacar en primer lugar materiales típicos, como cuerdas, aros, pelotas, papel, etc., que además de su valor específico para el juego psicomotriz tienen también interés para el desarrollo de conceptos geométricos. Por ejemplo, las cuerdas, como vamos a emplear en la primera sesión, pueden ser utilizadas para la construcción de líneas, caminos, etc.; los aros para la formación de circunferencias, cilindros, conos, para juegos de giros, etc.; las pelotas para materializar esferas, para juegos de giros, para juegos que impliquen trayectorias, etc.; el papel para formar diferentes formas superficiales, para formar las caras de los poliedros construidos con otros materiales, etc. En realidad, muy diferentes materiales de uso habitualmente no matemático pueden ser usados en contextos matemáticos, si forzamos un poco la imaginación. Dichos recursos didácticos resultan ser hoy día muy variados, podríamos decir que casi infinitos, pero no necesitamos incluir todo aquello que encontremos, pues ha de sernos ante todo útil para nuestro propósito, y ha de estar adaptado a nuestro entorno, a nuestros alumnos. Por ello, introduciremos aquellos recursos que nos ayuden a visualizar y acercar mejor estos contenidos algo abstractos para nuestros aprendices, considerando tanto aquellos recursos manipulativos, ya sean propiamente matemáticos o no, como los englobados bajo el término TIC que nos hubiese gustado implementar como apoyo a los anteriores. La intención es hacer unas sesiones introductorias de geometría alejadas de la clase tradicional, pues como todo, las metodologías cambian, los estudiantes evolucionan y nosotros tenemos la obligación de adaptarnos y responder a esas nuevas demandas o exigencias. Como hemos comentado, como materiales complementarios de mesa, para utilizar en el aula, se pueden introducir, por un lado, materiales de uso corriente (en principio no matemático), como pueden ser palillos, varillas de madera, cuerdas, alambres, pajitas de refrescos, plastilina, corcho, etc., y por otro, materiales especialmente diseñados para la enseñanza de la geometría, entre los que destacamos el geoplano. Si nos decantamos por un juego psicomotor con cintas elásticas, el geoplano permite formar, con gomillas pequeñas, figuras equivalentes a las que resultan en el mismo, y dar una continuidad, ya en el plano de la reflexión teórica, a las actividades de carácter lúdico.


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También tendremos que considerar que la organización mental del espacio exterior aconseja, llegado su momento, la introducción de sistemas de representación gráfica y plástica de dicho espacio. Desde un primer momento es importante introducir el dibujo como una forma de interiorización de la actividad geométrica. Por ello, cualquier situación de juego psicomotriz y de manipulación de material didáctico, debe concluir con la expresión gráfica de la situación mediante un dibujo. Y si la representación se hace desde diferentes perspectivas, nos ayudará a una visión más objetiva de la realidad exterior. Por ello, se propone el plano como un sistema de representación de gran utilidad formativa, puesto que este intenta representar con la máxima precisión los objetos del espacio exterior. Además, pueden derivarse situaciones lúdicas, como juegos de escondite y búsqueda de objetos en un espacio amplio. Entonces, dado que la geometría es una de las áreas dentro la matemática que más aplicación tiene en la solución de problemas de la vida cotidiana y del entorno; por esta razón es importante que los profesionales en la enseñanza de la matemática conozcan diferentes técnicas para su enseñanza. Seguidamente, desarrollaremos aquellas incluidas en nuestra propuesta. Pero antes enunciamos los objetivos que pretendemos lograr con el empleo de los mismos:

1. Presentar la geometría en los primeros cursos de Primaria de forma atractiva y lúdica.

2. Representar las figuras geométricas en el campo manipulativo antes de que el niño tenga la destreza manual necesaria para dibujarlas (campo gráfico).

3. Desarrollar la creatividad a través de la composición y descomposición de figuras geométricas en un contexto de juego libre.

4. Conseguir una mayor autonomía intelectual de los niños, potenciando que, mediante actividades libres y dirigidas, descubran por sí mismos algunos de los conocimientos geométricos básicos.

5. Desarrollar la reversibilidad del pensamiento, pues su fácil y rápida manipulación permite realizar transformaciones diversas y volver a la posición inicial deshaciendo el movimiento.

6. Trabajar nociones topológicas: líneas abiertas, cerradas, frontera, región, etc.

7. Reconocer las formas geométricas planas.

8. Llegar a reconocer y adquirir la noción de ángulo, vértice y lado.

9. Introducir los movimientos en el plano; girando el material en cuestión se puede observar una misma figura desde muchas posiciones, evitando el error de asociar una figura a una posición determinada.

CUERDAS Para iniciar las sesiones de geometría, hemos de comenzar introduciendo el concepto de línea y sus diferentes tipologías. Nuestro principal objetivo es acercar en la medida de lo posible a los alumnos este concepto y poder representar tal idea. Al ser infinita la línea y, en consecuencia, imposible de abarcar o tratar, se sugiere utilizar cuerdas. Para ello, ha de facilitarse a cada alumno un ejemplar para su manipulación individual. Tras una breve introducción oral, partimos de varios ejemplos que indica el docente, mediante la orden “darle forma de…”, como ejemplos nos valen letras, números, formas y figuras geométricas,… de tal manera que estaremos incidiendo al mismo tiempo en otros contenidos. Y como no queremos que se


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convierta esta sesión en algo puntual y aislado, tras cada orden pediremos siempre a los alumnos que transcriban al papel, en el cuaderno de la asignatura, lo que van ejecutando, es decir, si representan con la cuerda un triángulo, dibujarán en el cuaderno un triángulo, y así sucesivamente. De tal forma que junto a cada representación, añada de forma escrita si es una línea abierta, cerrada o mixta, al tiempo que van adquiriendo el vocabulario específico necesario para su propio empleo. Además, una vez asentadas estas ideas, podremos añadir a los mismos ejemplos, si es una línea recta, curva, mixta, ondulada, quebrada o espiral, pues también podemos visualizarlo utilizando la cuerda. Haremos especial mención a la línea quebrada pues la llamaremos poligonal, como en el caso del triángulo. Y es que este material, simple a primera vista, es altamente valioso por las siguientes razones: permite la formación, transformación y anulación de figuras con gran rapidez; las figuras resultantes son fácilmente reconocibles para el alumnado y potencia el desarrollo de su creatividad al facilitar la investigación personal del alumno. DOBLADO DE PAPEL Con la técnica del doblado de papel es posible visualizar muchas de las propiedades geométricas y demostrar algunos resultados importantes que son de uso frecuente en la solución de ejercicios geométricos de forma intuitiva. Además, puede contribuir a un aprendizaje significativo en los estudiantes en el sentido de que estimula en ellos la construcción de esquemas de razonamiento que fomentan el análisis. Puede tratarse de una nueva estrategia de enseñanza de la geometría que estimule a los estudiantes a su estudio; dado que los alumnos experimentan de forma muy diferente a la clase tradicional. Más a nuestro favor, dicha técnica, como medio para enseñar geometría requiere de materiales de coste muy bajo y que están al alcance de todos, por lo que puede ser una buena opción para implementar en el trabajo de aula. Si la comparamos con la geometría de regla y compás, añadimos otra ventaja, pues la geometría doblando papel permite la operación “ajuste” que no siempre es posible de la otra forma. De esta manera, doblando hacia atrás y hacia delante, y ajustando, es posible trisecar un ángulo, o incluso dividirlo en cinco partes,… Así como, si es necesario, retroceder en cada movimiento. Basándonos en un taller de doblado de papel consultado de Sánchez y Sequeira (s.f.), éste puede concebirse como una herramienta didáctica, la cual permite al estudiante visualizar algunos conceptos matemáticos de diferente índole, geométricos entre otros, a partir de actividades, previamente planificadas por el docente. Entre sus bondades se mencionan: el desarrollo de habilidades motoras finas y gruesas, del pensamiento lateral y de la percepción espacial, así como la generación de ambientes de aprendizaje que incentivan la motivación, la creatividad y el dinamismo en los procesos de enseñanza-aprendizaje. Con ello también se busca incentivar al docente de matemática, en la búsqueda de actividades didácticas no tradicionales y más participativas. Además, podemos en todo momento revisar cada uno de los ejercicios, hacer comprobaciones, y siempre, nos quedará constancia de aquello que hemos hecho. Una buena forma es utilizar una tira de papel para cada actividad planteada, anotar en la misma lo que hemos realizado y podemos visualizar en ella, y con adhesivo añadirlas al cuaderno de clase. A los alumnos les ayudará a la hora de repasar los contenidos trabajados, para posteriores referencias a los mismos, también para reflexionar sobre el proceso seguido así como entender el resultado obtenido. Además, de la ayuda que les pueden aportar explicaciones, rectificaciones,… que surjan de los propios compañeros. A esto debemos añadir lo que reporta al docente, y es que podemos observarles y guiarles al tiempo de su ejecución, y valorar y evaluar individualmente todas las actividades de cada uno de los aprendices, a través de cada una de


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las tiras recogidas en el cuaderno, observando los dobleces realizados podemos deducir si se equivocó y tuvo que modificar, etc. GEOPLANO Desde aquí proponemos un material para trabajar la geometría plana elemental de manera intuitiva. Se trata del geoplano rectilíneo ideado por Gattegno, un modelo didáctico de apoyo a la enseñanza de la geometría con el que los alumnos y alumnas tienen que manipular e investigar. Así, van creando en sus mentes imágenes que luego reconocerán en su entorno. La utilización del geoplano, como la de cualquier otro material, debe ser paralela y complementaria a los contenidos establecidos. Además, el geoplano es una herramienta muy eficaz para atender al alumnado con dificultades en el aprendizaje, como bien dice García Solano (2005). Tendremos en cuenta que al trabajar con el geoplano, sólo consideramos dos dimensiones, eliminando visualmente el grosor del tablero.

Según Yáñez (s.f.), en Educación Primaria se recomienda usar tres tipos de geoplanos: geoplano ortométrico, o de trama cuadriculada, que es el que hemos incluido para utilizar en el aula; el geoplano circular y, por último, el geoplano isométrico, o de trama triangular. Entre otras de las propiedades que destaca el mismo autor y que hacen del empleo de este material un gran beneficio, es que proporciona la oportunidad de explorar un amplio número de figuras a nivel concreto, ejercitando a la vez la motricidad y coordinación muscular finas y además, permite la formación, transformación y anulación de figuras con gran rapidez modificando solamente los puntos de apoyo de las gomas elásticas. Por otro lado, añadiré que el geoplano resulta muy útil para prevenir errores muy frecuentes. En los contenidos abordados, por ejemplo, en la representación de rectas, ángulos o figuras geométricas se puede inducir a error si se realiza siempre en una determinada posición, esto puede evitarse proponiendo modelos que permitan a los niños construir sus propias definiciones que resalten las características relevantes e irrelevantes de los conceptos. Esta dificultad de reconocimiento cuando algo de lo citado anteriormente no se presenta en la posición habitual con la que aparecen en los libros de texto, se puede considerar como un efecto indirecto de los métodos de enseñanza que no parten de materiales manipulativos. Además, el uso del geoplano facilita la obtención de ejes de simetría y figuras simétricas, y posibilita expresar la amplitud angular en relación al ángulo recto: mitad, tercio, dos tercios,… En todo caso las experiencias estarán orientadas a superar la asociación errónea entre el tamaño del ángulo y el tamaño de los lados. Por último, debemos hacer una consideración relativa a las gomas elásticas, ya que es recomendable disponer de las mismas en varios tamaños y diversos colores, como hemos hecho nosotros. La variedad de colores ayuda a destacar y/o diferenciar líneas, permiten superponer o inscribir figuras, señalar ejes de simetría, etc. Además de suponer una motivación para los alumnos. La diversidad de tamaños es imprescindible porque las gomas pueden utilizarse de dos maneras: usando varias gomas para cada representación (una goma por línea) o bien formando la figura con una sola goma abriéndola al estirarla. La forma más interesante de iniciar a los niños en el manejo del geoplano es comenzando con el juego libre, así descubrirán la posibilidad de formar figuras y representar líneas, y adquirirán la suficiente destreza para utilizarlo. Y sobre todo, resulta conveniente culminar el uso de este soporte intuitivo pasando del campo manipulativo de las gomas a la representación gráfica en papel tramado punteado cuadriculado. Dado que esta actividad complementaria, aunque la iniciemos en el primer ciclo, debe programarse a partir del segundo ciclo de Primaria, proporcionaremos a los alumnos dichas cuadrículas en papel para dejar constancia de cada ejercicio que realicen. Como


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hemos comentado en la técnica anterior, esas plantillas en papel se añadirán al cuaderno de la asignatura lo que ayudará tanto a alumnos como a maestros, ya que ambos podrán consultar y echar mano de las mismas cuando sea preciso. ÁNGULOS MANIPULABLES Dado que era completamente necesaria la manipulación por parte de los alumnos de los distintos tipos de ángulos que iban a estudiar, así como la comparación entre los mismos y que entendieran y visualizaran la única forma posible del ángulo recto, convirtiéndose éste en nuestra referencia, frente a las distintas formas que encontramos tanto para el ángulo agudo como para el obtuso, ideé varias piezas en cartón duro plastificado, cada una de las cuales representaba una abertura, un ángulo. Además, creé un póster en el que aparecían relacionados rectas y ángulos, es decir, la delimitación de cuatro ángulos a partir de dos rectas secantes, y la formación de cuatro ángulos rectos como consecuencia del cruce de dos rectas perpendiculares, así como tres columnas que diferenciaban ángulo agudo de ángulo recto y de ángulo obtuso, con su respectivo ejemplo gráfico. Lo que se pretende con esto es que cada uno de los niños pueda experimentar y comprobar por sí mismo qué tipo de ángulo está representado en una pieza dada, de tal forma que interiorice la necesidad de tomar siempre como referencia el ángulo recto, y entienda que superponiendo la pieza a un ángulo recto representado podemos saber cómo clasificarlo. En el mismo proceso están implicados otros contenidos como el saber cómo superponer efectivamente la pieza al dibujo, vértice sobre vértice, y uno de los lados de la pieza sobre uno de los lados del ángulo recto; darse cuenta de que la longitud de los lados no influye ni repercute en la amplitud del ángulo que es lo que realmente aquí nos interesa; aprender la terminología específica, etc. Tras la comprobación hecha de forma individualiza o en grupos de dos alumnos, se sugiere adherir cada pieza a las columnas establecidas en el póster de manera que quede clasificada en aquella que le corresponda. TANGRAM El tangram es un rompecabezas de origen chino. El juego se compone de un cuadrado relativamente grande dividido en diferentes piezas con forma de diferentes figuras geométricas y consiste en conseguir formar una figura dada con las piezas que tenemos. La configuración geométrica de sus piezas (cinco triángulos: dos grandes, dos pequeños y uno mediano, un cuadrado y un paralelogramo), así como su versatilidad por las más de mil composiciones posibles con sólo siete figuras, hacen de él un juego matemático. En la enseñanza de la matemática el tangram se puede utilizar como material didáctico pues favorece el desarrollo de habilidades de pensamiento abstracto, de relaciones espaciales, la lógica, la imaginación, estrategias para resolver problemas, entre otras muchas, así como supone un medio que permite introducir conceptos geométricos. Verdaderamente el tangram es un gran estímulo para la creatividad de quien lo emplea. Describimos algunos de los beneficios que aporta el uso de este material: la diversión, el aspecto lúdico pero no es lo único; a ello se le suma la estimulación de la creatividad, ya que da la oportunidad de inventar figuras con sus fichas; la facilidad con que los niños pueden realizar el aprendizaje de la geometría plana pues ayuda a realizar actividades relacionadas con ángulos, distancias, proporcionalidad, semejanza, movimientos... al tiempo que promueve el desarrollo de las capacidades psicomotrices e intelectuales; y, como hemos dicho, de manera lúdica, el tangram contribuye a la formación de las ideas abstractas.


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En nuestro caso, aunque algunos niños ya lo conocían y contaban con un modelo en casa, se realizó un tangram para cada alumno y se le entregó como obsequio para su propia investigación y libre utilización posterior. Otro aspecto positivo a considerar acerca del tangram es que aunque este juego puede intentarse de forma individual, también admite perfectamente la ejecución en parejas, por ejemplo, si están implicadas más piezas de las que consta un tangram, si uno idea una figura y el otro intenta adivinarla viendo el contorno de la misma o, si jugamos a ver quién logra una construcción en menos tiempo. Y por supuesto, también contamos con diversos niveles de dificultad, por ejemplo, según sea necesario o no el uso de todas las piezas para realizar la construcción, si enseñamos sólo el contorno de la figura sin saber las piezas incluidas en ella,… con lo que es adaptable al grado de desarrollo de quienes vayan a jugar con él. Una de las múltiples aplicaciones que le podemos dar y que es adecuada para este proyecto es determinar cómo son cada uno de los ángulos de las siete piezas. Para ello, como siempre, además de contar con las propias piezas, entregamos en papel la representación relativa al cuadrado que podemos construir con todas las piezas del juego, de tal forma que cada alumno puede señalarlos en su papel y anotar si es un ángulo agudo (A), recto (R) u obtuso (O), de manera que conserve tales resultados en su cuaderno y pueda revisarlos en cualquier momento. Puesta en práctica del plan de actuación: datos de su aplicación y reflexiones sobre su incidencia en el alumnado El plan de actuación se pone en práctica en un aula de 3º curso de Educación Primaria de un colegio concertado de Cartagena (Murcia). La clase está integrada por 26 alumnos entre los cuales 14 son niños y 12 niñas. Asimismo, de entre ellos, únicamente una niña es de nacionalidad extranjera. Por otro lado, cabe mencionar que ninguno presenta alguna dificultad grave que repercuta en su proceso de aprendizaje, más allá de la distracción o la falta de atención durante las sesiones. Por último, tendremos en cuenta que previamente a este proyecto, los alumnos han recibido una enseñanza tradicional dentro de esta área. A continuación, añado una pequeña reseña relativa a la temporalización de las sesiones y materiales empleados en cada una de ellas, pues más adelante se detalla el trabajo realizado con los mismos.

DÍA / SESIÓN METODOLOGÍA MATERIAL

Día Martes 6 de abril. Sesión 1: Introducción a la geometría.

Juego psicomotor. Cuerdas. *Cuestionario inicial.

Día Miércoles 7 de abril. Sesión 2: Reflexión del juego y refuerzo de ideas.

Exposición oral. Participación activa con ejemplos reales.

Libro de texto.

Día Jueves 8 de abril. Sesión 3: Construcciones geométricas plegando papel.

Técnica de doblado de papel. Tiras de papel.

Día Viernes 9 de abril. Sesión 4: Clarificación de las ideas implicadas en la sesión de plegado.

Exposición oral Participación activa con ejemplos reales.

Plano de calles.


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DÍA / SESIÓN METODOLOGÍA MATERIAL Día Lunes 12 de abril. Sesión 5: Geoplano.

Visualización de segmentos y de ángulos empleando el geoplano.

Geoplano. Planillas en papel.

Día Martes 13 de abril. Sesión 6: Elementos de un ángulo y clases de ángulos.

Exposición oral. Libro de texto.

Día Miércoles 14 de abril. Sesión 7: Ángulos manipulables.

Superposición y comparación de ángulos. Póster y piezas manipulativas de diferentes ángulos.

Día Jueves 15 de abril. Sesión 8: Tangram.

Trabajo manipulativo con las piezas: determinación de ángulos y cuento.

Juego chino « Tangram ».

Día Viernes 16 de abril. Sesión 9: Repaso de contenidos.

Exposición oral. Libro de texto. *Cuestionario final.

Primeramente mencionaré aquellos aspectos más relevantes acerca del ejercicio con las cuerdas. Tengo que decir que les ayudó a interiorizar de manera individualizada el concepto de línea y supieron sin problema alguno determinar aquellas que eran abiertas, cerradas o en su caso, mixtas. Además, de que se le dio la oportunidad de realizar libremente otras formas con las cuerdas y eso les motivó aún más hacia el ejercicio pues cuando somos nosotros los artífices de algo, siempre es más atrayente y, por tanto, perdura el aprendizaje. Cuando se pidieron ejemplos que podemos encontrar en la naturaleza, en nuestro entorno, de cada uno de los tipos de líneas, la prácticamente totalidad de los alumnos participó de manera, además de ordenada, acertada. Añado algunos de los ejemplos que dieron: “una regla, un caracol, el marco del reloj, una serpiente enroscada,…” Para la explicación y profundización en las líneas rectas se dibujaron en la pizarra diferentes pares de rectas tanto secantes (entre ellas perpendiculares) como paralelas, con diferentes posiciones en el plano, para evitar la tendencia a visualizar y aceptar sólo un posible ejemplo. Para su asentamiento, se sugieren ejemplos que podemos observar dentro del aula. De nuevo, la participación y los ejemplos dados por parte del alumnado son altamente positivos. Entre ellos: “margen superior y lateral derecho de la pizarra, marco de la puerta, límites del tablón de corcho, las juntas de los azulejos, las baldosas del suelo,...” En cuanto a las actividades de doblado de papel, que trataron estos contenidos, facilitó que todos pudieran comprobar y asimilar lo que se había hecho de forma oral anteriormente. Además, el hecho de seleccionar previamente qué ejercicios podían realizar niños de estas edades y detallar paso a paso cada tarea, facilitó aún más el llevarlas a cabo en el aula, dado que procuramos avanzar todos al mismo tiempo, es absolutamente necesaria una coordinación docente-alumnos. Para reforzar los tipos de rectas y además darle una aplicación a la vida real, me pareció conveniente utilizar un plano de calles y lanzarles preguntas para que respondiesen cómo son entre sí tales dos calles pero también para que supieran reconocer una calle paralela, secante o perpendicular a tal otra dada. Tras esto ellos mismos voluntariamente añadieron sus propios ejemplos, con lo que pareció quedar bastante clarificado. En relación a las actividades con el geoplano, he de reconocer que este material tan sencillo, revolucionó a todos los niños. Sin duda fue el que más les atrajo y con el que mejor llegaron a conectar. Algunos de sus comentarios al respecto fueron: “es como un juego”, “qué divertido es”, “estas clases son más divertidas”, “quiero que te quedes fija para que sigamos haciendo estas cosas”. Incluso días después insisten en volver a utilizarlo.


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En cuanto a los resultados, he de decir que la representación de líneas rectas, secantes y paralelas fue buena pero, en cambio, les resultó algo más difícil realizar perpendiculares en otra posición diferente a la imagen que están acostumbrados, lo que implica la necesidad de trabajar dicho aspecto. Además, como el geoplano se empleó para trabajar tanto rectas como ángulos, bien es cierto que, en relación a las primeras, encontraron mayor dificultad para representar estos últimos. Y sobre todo, lo más costoso fue recordar el nombre específico de cada uno, es decir, los términos agudo, recto y obtuso. El póster dio pie a repasar desde las rectas secantes, entre ellas, el caso de las perpendiculares, pasando por las rectas paralelas, hasta la formación de ángulos como consecuencia del cruce de dos rectas, los principales elementos de un ángulo y las clases de los mismos. Se realizó un ejemplo para que todos vieran el procedimiento a llevar a cabo a la hora de comprobar de qué clase es un ángulo dado. Individualmente fueron saliendo y procedieron de la misma manera sobreponiendo un ángulo previamente elegido al azar a uno recto. Con lo que fueron comprobando por sí mismos que si coincide uno sobre otro es un ángulo recto, que si no llega a cubrir la amplitud del recto es más cerrado, más pequeño y, por tanto, el ángulo es agudo y, que si la sobrepasa es obtuso. En algunos casos, se ayudaron por parejas y repitieron con otros ejemplos pues, como es lógico, algunos de ellos necesitan más dedicación y apoyo. De nuevo estuvo presente la dificultad para recordar y memorizar los nombres, intercambiando los términos agudo y obtuso. En dicha actividad surgió otro conflicto pues algunos de los alumnos no hallaban la manera de superponer y hacer coincidir ambos ángulos. Dada la actitud mostrada todo esto fue altamente positivo para ellos. En una visita posterior, algunos de ellos me confirman que gracias a esto pudieron verlo claro y llegaron a entenderlo. Por último, en el caso del tangram, al hacer la actividad de “medir” y comprobar los ángulos de cada pieza del juego, estuvo perfectamente claro por parte de todos que la pieza cuadrado tiene sus cuatro ángulos rectos pero, aunque no de forma generalizada, resurgió la confusión para nombrar al ángulo de menor amplitud, “agudo”; y, al de mayor amplitud que el recto, “obtuso”; también hubo dudas a la hora de manipular en un pequeño número de casos, lo que dio lugar a necesarias explicaciones individualizadas por mi parte. Además de incorporar todos estos materiales a las sesiones, se utilizaron otros instrumentos para valorar tanto la materia de Matemáticas, como la puesta en práctica de estas sesiones y sus resultados. Las preguntas recogidas en el cuestionario que se pasó al alumnado antes de iniciar la puesta en práctica, las incluidas en el cuestionario de satisfacción una vez terminada la misma y el pequeño ejercicio de evaluación relacionado con los contenidos trabajados, es decir, los tests tal y como se entregaron a los alumnos, y las valoraciones de las respuestas con sus correspondientes gráficos cuantificativos han sido recopilados al final del trabajo (ANEXO I: Cuestionario Inicial y resultados; ANEXO II: Cuestionario de Satisfacción y resultados; y, ANEXO III: Ejercicio de Evaluación y resultados). Conclusiones: consecuencias e implicaciones Primeramente, reflejaremos de qué manera los objetivos que nos planteábamos al principio, se han cumplido o no. Así, en nuestro caso concreto, concluimos que la implementación de recursos pedagógicos innovadores como son juegos educativos y materiales manipulativos en las clases de matemáticas y, en concreto, en sesiones de geometría, genera en el alumnado una serie de ventajas como que permiten captar la atención de los alumnos y alumnas, generando en ellos el deseo de ser partícipes activos de las actividades que con estos se desarrollan, ya que hemos querido que el centro de toda nuestra propuesta consista en lo que podemos denominar “aprender haciendo”. Si bien los alumnos por su día a día consideran los juegos como una actividad que les entretiene, al ser estos


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utilizados para una función educativa provocan en ellos dos efectos: el de divertirlos y, a la vez, el de enseñarles de una forma significativa, por lo que no será tan fácilmente olvidado por el estudiante y perdurará a través del tiempo, no por el mero hecho de pasarlo bien sino porque realmente son ellos quienes construyen su propio aprendizaje, lo que constituía el primero de nuestros objetivos. Respecto a las estrategias y técnicas metodológicas empleadas, cumplen la función de invitar al estudiante a aprender a partir de sus conocimientos y capacidades. Además, desempeñan funciones de socialización, aumentando el interés y desarrollando procesos de pensamiento, y siendo un agente que rompe con la rutina de las clases habituales. Es decir, gracias a ellas, conseguimos oportunidades de trabajar de otra forma. Pero es aquí en donde nosotros como docentes cumplimos un rol de mediador de los aprendizajes, por ello debemos saber manejar los factores que pueden influir en el desarrollo de las clases, tal como es el caso de la indisciplina, frente a la cual se debe poseer un dominio de la metodología a utilizar, como de igual forma un dominio del grupo con el que vamos a trabajar, siendo el manejo de dichos factores lo que permitirá alcanzar cualquier objetivo que nos planteemos. A partir de lo expuesto anteriormente, se concluye que todos estos recursos son innovadores en el aula de matemáticas partícipe y que aumentan la disposición hacia su estudio; en consecuencia, cambian la visión que muchos alumnos, e incluso, docentes poseen de esta área, alcanzando los objetivos segundo y tercero. En este sentido, aún cuando la opinión que la muestra de alumnos dio respecto a la materia en un principio ya era positiva (véase ANEXO I), más de la mitad mejoraron su opinión acerca de la misma (gráfico pregunta nº 8 – Anexo II) y la mayoría recomendarían a otros esta forma de trabajo desarrollada (gráfico pregunta nº 6 – Anexo II).

Pregunta n.º 8

57% 31%

4%

4%

4% 0%

012345

Pregunta n.º 6

76%

12%

8%

0%

4% 0%

012345

De hecho, al inicio, un tercio de la muestra dijo que no le gustaría que hubiera ningún cambio en la enseñanza de matemáticas que recibía (gráfico pregunta nº 10 – Anexo I), sin embargo, al final de las sesiones, cerca de la mitad dijo que no prefería la enseñanza de siempre a como se había trabajado en esta unidad (gráfico pregunta nº 7 – Anexo II).


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Pregunta n.º 10

11%

36%

14%

4%

21%

7%

7%

Pregunta n.º 727%

4%

4%

15%

46%

4%

012345

Así como, hemos de afirmar que los materiales y recursos didácticos facilitan el proceso de enseñanza-aprendizaje por su papel de intermediarios entre el sujeto y el objeto de conocimiento y contribuyen positivamente al aprendizaje matemático de los alumnos, colaborando en determinadas actividades que de otra manera serían difíciles o casi imposibles de visualizar, permitiéndoles entender mucho mejor los contenidos abordados; por ejemplo, de los resultados de los ejercicios de evaluación (Anexo III), destacamos que en el apartado 1, algunos de ellos confunden rectas secantes no perpendiculares y rectas secantes perpendiculares, pero sí saben que en ambos casos han de cortarse. Ciertamente, sólo una minoría no se detiene a comprobar que dos rectas perpendiculares siempre forman cuatro ángulos rectos al cortarse. En cuanto a las rectas paralelas, sólo unos pocos no tienen asentada la idea de que son aquellas entre las cuales todos sus puntos distan a la misma distancia. Además, solamente a otros tantos les cuesta trabajo relacionar tres rectas que no cumplan la misma característica, como queda reflejado en el apartado 2. Por otro lado, prácticamente casi todos expresan a la perfección cuál es la región de plano a la que llamamos ángulo, sus elementos y tipos estudiados. En cambio, a la hora de dar una explicación acerca de cómo comprobar de qué tipo es un ángulo, aún habiéndolo realizado en el aula y de manera individual, apenas la mitad de ellos ofrece una respuesta coherente, pues el resto olvida tener como guía el ángulo recto, ya que siempre posee la misma amplitud, 90º. Lo que implica que habrá que seguir insistiendo en cuestiones de este tipo, perfeccionando la forma de presentarlas a los alumnos para su visualización. Como dice Barrantes (2002), este material sirve como actualización y mejora del quehacer diario de un maestro. Él mismo se apoya en la opinión de Calvo (1996) quien afirma que el material debe tener una doble función: por una parte favorecer el aprendizaje de los alumnos y por otra servir de instrumento de formación del maestro, pues el contraste entre su conocimiento práctico y lo que vaya aprendiendo con el material deberá desembocar en una mejora de su práctica docente. Es decir, nuestro fin era desembocar en una mejora de la calidad de la enseñanza, a través de la innovación. Lo que hemos conseguido también al mismo tiempo ofreciendo la metodología descrita a presentes y futuros maestros, lo que constituía el último de nuestros objetivos generales. Por otro lado, como aparece en el estudio de Burgos y otros (2005), apoyamos la idea que planteaba “Piaget, quien señala que el juego debería reemplazar a la forma tradicional de enseñanza. Los niños deberían tener una amplia oportunidad de jugar y trabajar, ya que el juego para Piaget, no es una actividad contraria, ni separada del trabajo en las actividades de los niños, estos simplemente ”hacen”, sin distinguir entre juego y trabajo...” (citado por Cox, 2002,p.92). Asimismo, conscientemente, optamos por materiales de bajo coste que cualquier centro puede reproducir o adquirir fácilmente y tratamos de dar respuesta a las preguntas claves que su utilización


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plantea. La aportación fundamental de los mismos ha incidido especialmente en la forma, sentido y calidad del aprendizaje, sin olvidar que, sumado a ello, contribuyen a mejorar el ambiente de clase; de cualquier manera, todos ellos requieren un trabajo previo por parte del maestro antes de su utilización. La inclusión de contenidos lejanos para muchos alumnos y maestros, el tratamiento dado a los contenidos del currículum, la abundante utilización de recursos manipulativos, siendo el geoplano el recurso estrella según las valoraciones de los alumnos, el trabajo en equipo y comunicativo, y el diseño de actividades atractivas, abiertas y adecuadamente secuenciadas, configuran unas sesiones de Matemáticas a nivel de Primaria considerablemente distintas a las habituales, donde la preocupación por facilitar el aprendizaje y mantener el interés de los alumnos, unido a la atención a la diversidad de intereses y capacidades, conforman la sólida base de esta propuesta. Definitivamente, la idea clave se ha cumplido: haber sido capaces de alejar el aburrimiento o la rutina del aula partícipe para hacer de ella un lugar donde los alumnos han disfrutado haciendo Matemáticas. Por último, concluir que este proyecto ha pretendido aportar algunas ideas para animar a emprender este largo camino llamado innovación, invitando a una última reflexión formulada bajo la pregunta: ¿por qué no utilizar todo este tipo de material en nuestras aulas? Y, por supuesto, dejando la puerta abierta a la inclusión de recursos TIC como excelente apoyo tanto al trabajo manipulativo como al trabajo gráfico en el área que hemos abordado. Referencias bibliográficas

BARRANTES, M. (2002). Recuerdos, expectativas y concepciones de los estudiantes para maestro sobre la geometría escolar y su enseñanza – aprendizaje. Cáceres: Universidad de Extremadura. En: http://www.dialnet.unirioja.es/servlet/fichero_tesis?codigo=278&orden=0 (Fecha de consulta: 13 de Marzo de 2010).

BURGOS, V. G.; FICA, D. M.; NAVARRO, L. C.; PAREDES, M. E.; PAREDES, D. S.; REBOLLEDO, D. M. (2005). Juegos educativos y materiales manipulativos: un aporte a la disposición para el aprendizaje de las matemáticas. Temuco. En:http://biblioteca.uct.cl/tesis/viadys-burgos-damaris-fica-luisa-navarro-daniela-paredes-maria-paredes-dora-rebolledo/tesis.pdf (Fecha de consulta: 24 de Febrero de 2010).

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FERRERO, L. (1991). El juego y la matemática. Madrid: La Muralla, S.A. En http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/orden/mate5i.htm (Fecha de consulta: 13 de Marzo de 2010).

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RODRÍGUEZ, P. (2004). “Juegos y matemática: tangram”. Correo del Maestro, número 99. En: http://www.correodelmaestro.com/anteriores/2004/agosto/nosotros99.htm (Fecha de consulta: 24 de Abril de 2010).

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Anexo I: Cuestionario Inicial y Resultados Nombre: Simbología para las respuestas:

0 = NADA / NO 3 = BASTANTE 1 = ALGO 4 = MUCHO 2 = REGULAR 5 = TOTALMENTE / SÍ

1. Considero las matemáticas como una asignatura necesaria en mis estudios.

0 1 2 3 4 5 2. Las matemáticas son demasiado teóricas y lejanas para que puedan servirme de algo en mi vida diaria.

0 1 2 3 4 5 3. Cuando me enfrento a un problema de matemáticas soy capaz de pensar con claridad.

0 1 2 3 4 5 4. Estoy calmado/a y tranquilo/a cuando me enfrento a un problema de matemáticas.

0 1 2 3 4 5 5. Las matemáticas son agradables y divertidas para mí.

0 1 2 3 4 5 6. Me siento bien y estoy contento cuando resuelvo problemas de matemáticas.

0 1 2 3 4 5 7. Las matemáticas hacen que me sienta incómodo/a y nervioso/a.

0 1 2 3 4 5 8. Lo que trabajo en las clases de matemáticas es muy poco interesante.

0 1 2 3 4 5 9. Me gustan las matemáticas y considero que son útiles.

0 1 2 3 4 5 10. ¿Cómo te gustaría que te enseñara matemáticas tu profesor o profesora? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Este cuestionario recoge las respuestas dadas por alumnos de 3.º de Educación Primaria. En el mismo participaron 25 de los 26 alumnos que componen la clase, debido a una ausencia. PREGUNTA nº 1

0% 0%

24%

0%

16%60%

0

1

2

3

4

5


42

PREGUNTA nº 2

24%

20%

12%

24%

12%

8%0

1

2

3

4

5

PREGUNTA nº 3

28%

48%

8%

12%

0% 4%0

1

2

3

4

5

PREGUNTA nº 4

24%

32%

8%

32%

0% 4%0

1

2

3

4

5

PREGUNTA nº 5

60%

4%

24%

4%

0% 8%0

1

2

3

4

5


43

PREGUNTA nº 6

64%20%

0%

16%

0%0%0

1

2

3

4

5

PREGUNTA nº 7

24%

56%

4%

8%

8% 0%0

1

2

3

4

5

PREGUNTA nº 8

8%0%

8%

4%

76%

4%

0

1

2

3

4

5

PREGUNTA nº 9

56%

12%

0%

28%

4%0%

0

1

2

3

4

5


44

PREGUNTA nº 10

11%

36%

14%

4%

21%

7%

7%

Cambio de metodología

Ningún cambio

Referencia al tiempo

Más contenidos

Salir a la pizarra

Nombra contenidosmatemáticosOtros

Respuestas reales de los alumnos: - Que nos enseñe cosas interesantes y divertidas. - Me gustaría que me enseñe cosas nuevas y cosas que no sé, y que me las explicara bien y sin prisas, para que así las entienda. - Me gustaría que sea divertida. - Con juegos, sin ejercicios y cinco exámenes al año. - Como lo está haciendo. - Como lo hacen, explicando, poniendo ejemplos, haciendo los deberes,… - Que siga así. - Me gusta cómo me enseñan los profesores las matemáticas, no quiero que cambien la forma con la que nos enseñan. - Como lo hacen siempre. - No me gustaría de otra forma. - Como lo hace. - Igual que siempre. - Como me enseñan ahora. - Como lo hace, a mí me gustaría que siguiera haciéndolo así. - Bien, para que nos enseñara mucho. - Me gusta que las enseñe bien, explicando y ayudándonos a resolverlo. - Despacio. - Paso a paso y bien. - Tranquilos. - Despacito, explicándolo poco a poco, empezando con sumas y terminando con fracciones. - Poco a poco. - En clase que nos sacara a todos a la pizarra en grupos de tres en tres. - Que saliéramos un poco más a la pizarra. - Con claridad y que yo las entienda. - Con los números del uno al mil, con multiplicaciones, divisiones, sumas y restas.


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Anexo II: Cuestionario de Satisfacción y Resultados Nombre: Simbología para las respuestas:

0 = NADA / NO 3 = BASTANTE 1 = ALGO 4 = MUCHO 2 = REGULAR 5 = TOTALMENTE / SÍ

1. Me ha gustado que me enseñen matemáticas de esta forma.

0 1 2 3 4 5 2. Me gustó realizar actividades de doblado de papel.

0 1 2 3 4 5 3. Me ha gustado trabajar con el geoplano.

0 1 2 3 4 5 4. Estos juegos y materiales me han ayudado a entender mejor los contenidos estudiados.

0 1 2 3 4 5 5. Sólo me he divertido utilizando estos recursos.

0 1 2 3 4 5 6. Le recomendaría a otros compañeros que aprendieran matemáticas como lo he hecho yo.

0 1 2 3 4 5 7. Prefiero la enseñanza de siempre a como hemos trabajado en esta unidad.

0 1 2 3 4 5 8. Mi opinión acerca de las matemáticas ha cambiado para mejor, después de estas sesiones.

0 1 2 3 4 5 Valora del 1 al 6 las siguientes actividades según cuánto te hayan gustado (a la que más me gustó le doy el número 1, a la siguiente le doy el número 2...):

- Actividad con cuerdas - Actividad doblando papel - Actividad con el geoplano - Actividad comparando ángulos - Actividad libro de clase - Actividad de dibujar

(*) Quedan reflejadas las respuestas dadas por los 26 niños que integran el grupo participante en el proyecto. PREGUNTA nº 1

88%

8%

0% 4%0%0%0

1

2

3

4

5


46

PREGUNTA nº 2

62%

38%

0%0%0%0%

0

1

2

3

4

5

PREGUNTA nº 3

80%

12%

0%8%

0%0%0

1

2

3

4

5

PREGUNTA nº 4

77%

23%

0%0%0%0%0

1

2

3

4

5

PREGUNTA nº 5

4%12%

8%

8%

64%

4%

0

1

2

3

4

5


47

PREGUNTA nº 6

76%

12%

8%

0%

4% 0%

0

1

2

3

4

5

PREGUNTA nº 7

27%

4%

4%

15%

46%

4%

0

1

2

3

4

5

PREGUNTA nº 8

57%31%

4%

4%

4% 0%

0

1

2

3

4

5

(*) Dado que esta última pregunta que desarrollamos a continuación, valora los ítems de diferente forma la hemos separado del resto de cuestiones anteriores, para evitar posibles confusiones en las respuestas del alumnado. (**) Una alumna no valoró el material como se pedía en el enunciado. Por tanto, se han cuantificado las respuestas de 25 alumnos. (***) Un alumno estuvo ausente el día que se trabajó con las cuerdas. Cuantificadas para este ejercicio: 24 respuestas.


48

VALORACIÓN: CUERDAS

4%13%

25%

13%

21%

24%

1

2

3

4

5

6

VALORACIÓN: GEOPLANO

4%4%

12%

4%

72%4%

1

2

3

4

5

6

VALORACIÓN: LIBRO DE CLASE

4%13%

25%

13%

21%

24%

1

2

3

4

5

6

VALORACIÓN: DOBLADO DE PAPEL

8%8%

20%32%

0%32%

1

2

3

4

5

6

VALORACIÓN: ÁNGULOS MANIPULABLES

12%

40%

16%

20%

0%12%

1

2

3

4

5

6

VALORACIÓN: REPRESENTACIÓN GRÁFICA

12%

24%

20%

24%

4%16%

1

2

3

4

5

6


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Anexo III: Ejercicio de Evaluación y Resultados Nombre: 1. Observa el plano:

a) ¿Cómo son las calles Curro Romero e Ignacio Sánchez Mejías? __________________. b) Señala en color azul dos pares de calles que sean perpendiculares. c) ¿Cómo son las calles que no tienen ningún punto en común? __________________. Señala en rojo dos pares de

calles que sean así. 2. a) Representa dos líneas rectas paralelas y una línea recta secante a ellas. Marca con color los ángulos formados. b) Ahora, dibuja un ángulo y señala los elementos que lo componen. 3. a) ¿Qué tipos de ángulos hemos estudiado? Di sus nombres. ___________________________________________________________________________________________________ b) Explica cómo harías para saber de qué tipo es un ángulo. Puedes ayudarte de dibujos para explicarlo con más detalle. ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ PREGUNTA nº 1, a):

23%

77%

Respuesta correcta

Respuesta incorrecta /No responde


50

PREGUNTA nº 1, b):

4%

73%

23%Correcto

No responde / Incorrecto

Respuesta incompleta

PREGUNTA nº 1, c):

8%

69%

23%Respuesta completa ycorrecta

Respuesta incorrecta /No responde


PREGUNTA nº 2, a):

19%

81%


Respuesta incorrecta / Noresponde


PREGUNTA nº 2, b):

8%

84%




PREGUNTA nº 3, a):

8%

92%





51

PREGUNTA nº 3, b):

42%

46%




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