OUII-Segunda Prueba Parte II

8/17/2019 OUII-Segunda Prueba Parte II

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Transferencia de Calor en Superficies Extendidas

Fuente: INCROPERA ¨Fundamentos de Transferencia de Calor¨

Análisis de conducción general

Una aleta recta es cualquier superficie prolongada que se une a una pared plana.Puede ser de área de sección transversal uniforme, o el área de sección transversal

puede variar con la distancia x desde la pared. Una aleta anular es aquella que se une

de forma circunferencial a un cilindro, y su sección transversal varía con el radio desde

la línea central del cilindro. Los tipos de aleta precedentes tienen secciones

transversales rectangulares, cuya área se expresa como un producto del espesor de la

aleta t y del ancho w para aletas rectas o la circunferencia 2 p r para aletas anulares.

En contraste, una aleta de aguja, o spine, es una superficie prolongada de sección

transversal circular. Las aletas de aguja también pueden ser de sección transversal

uniforme o no uniforme. En cualquier aplicación, la selección de una configuración de

aletas particular depende de consideraciones de espacio, peso, fabricación y costos, así

como del punto al que las aletas reducen el coeficiente de convección de la superficie y

aumentan la caída de presión asociada con un flujo sobre las aletas.




Superficies extendidas particulares podrían mejorar la transferencia de calor de una

superficie al fluido circundante. Para ello, debemos primero obtener la distribución

de temperaturas a lo largo de la aleta.

Al igual que hicimos anteriormente,

empezaremos siempre llevando a cabo un

balance de energía sobre un elemento dife-

rencial apropiado. Consideremos la superficie

extendida de la figura. El análisis se simplifica si

se hacen ciertas suposiciones.

I . Regimen Permanente

II. K=Constante

ó

IV. Unidireccional.

ℎ,


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Observación a los supuestos:Elegimos suponer condiciones unidimensionales en la dirección longitudinal ( x ),

aunque la conducción dentro de la aleta es en realidad bidimensional. La rapidez a la

que se desarrolla la convección de energía hacia el fluido desde cualquier punto sobre

la superficie de la aleta, debe balancearse con la rapidez a la que la energía alcanza

ese punto debido a la conducción en la dirección transversal (y , z). Sin embargo, «en la

práctica la aleta es delgada y los cambios de temperatura en la dirección longitudinal

son mucho más grandes que los de la dirección transversal. Por tanto, podemos

suponer conducción unidimensional en la dirección x». Consideraremos condiciones

de estado estable y también supondremos que la conductividad térmica es una

constante, que la radiación desde la superficie es insignificante, que los efectos de la

generación de calor están ausentes y que el coeficiente de transferencia de calor por

convección h es uniforme sobre la superficie.




Al aplicar el requerimiento de conservación de

la energía, mediante un balance de ésta,

podemos obtener:

ℎ,

De la ley de Fourier sabemos que:

Donde,

Ac es el área de la sección transversal, que

varía con x.


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ℎ,

Como la conducción de calor en x + dx se

expresa como:

Y si el calor de convección sabemos que se

define como:

Donde y , corresponde a los diferenciales del elemento, note que es el área

superficial del elemento diferencial.

Si reemplazamos entonces queda:




La ecuación por balance de energías finalmente , al sustituir las expresiones

anteriores queda:

+

+ ℎ( )

Esta expresión, se puede simplificar si resolvemos por términos semejantes y

desarrollamos, lo que se reescribe de la siguiente forma:

∗1

∗

∗1

Y desarrollamos la derivada, obtenemos finalmente la forma general de la ecuación

de energía para condiciones unidimensionales en una superficie extendida


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Análisis de conducción en Aleta Rectangular

La solución para condiciones de frontera apropiadas proporcionará la distribución detemperaturas, que se usará después con la Ecuación de Fourier, para calcular la

transferencia de calor por conducción en cualquier x .


Cada aleta se une a una superficie base de

temperatura T (0) = Tb y se extiende en un fluido de

temperatura.

Para las aletas que se establecen, Ac es una

constante y As es el área de la superficie medida de

la base a x, P es el perímetro de la aleta. En conse-

cuencia, con dAc /dx = 0 y dAs/dx = P , la ecuacióngeneral de superficies extendidas se reduce a lo

siguiente:




0P

Para simplificar la forma de esta ecuación, transformamos la variable dependiente

definiendo un exceso de temperaturaƟ como:


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donde, como ,es una constante, d Ɵ/dx = dT /dx . Al

sustituir la ecuación anterior Ɵ(x) en la forma general

para aleta rectangular, obtenemos:

Donde:

Esta es una ecuación diferencial

lineal de segundo orden,

homogénea, con coeficientes

constantes.

La solución general a la ecuación de segundo orden, anterior es:




Para hallar las constantes , es necesario recurrir como siempre a las

condiciones de borde.

Una condición de borde se especifica en términos de la temperatura en la base de

la aleta ( x = 0)

Condiciones de borde:

I. X=0 =0

La segunda condición de borde, especificada en el

extremo de la aleta ( x = L), corresponde a cualquiera

de cuatro diferentes situaciones físicas.


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II. Condiciones de Borde número 2(dos) según:

Caso 1: Punta de la aleta, calor por convección ( )

i +

ii +

− − +

Si resolvemos el sistema anterior de cosenos y senos

hiperbólicos que representan obtenemos finalmente la

distribución de temperaturasƟ(x):





Caso 2: Extremo de la aleta aislada (Adiabático en la cola)

i +

ii

=

q= 0

Si resolvemos el sistema anterior de cosenos y senos

hiperbólicos que representan obtenemos finalmente

la distribución de temperaturasƟ(x):


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Caso 3: Temperatura en el extremo de la aleta

i +

ii. Ɵ(x=L)

Si resolvemos el sistema anterior de cosenos y senos hiperbólicos que representan

obtenemos finalmente la distribución de temperaturasƟ(x):





∞Caso 4: Aleta muy larga, L ∞ →

i +

ii

→

Si resolvemos el sistema anterior de cosenos y senos hiperbólicos que representan

obtenemos finalmente la distribución de temperaturasƟ(x):


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Ejemplo:

Se desea incrementar en un 100% la disipación de calor de una capa cilíndrica enfriada

por aire de 0,5 de área, para ello, se dispone de aletas rectangulares y en forma

de tubos. La temperatura de pared es de 800 F y la del aire es de 90 F. El coeficiente de

convección es de 20

. Las aletas de acero inoxidable tienen una coeficiente de

convección de 15

.

I. Comparar las situaciones con aletas y sin aletas para el problema.

II. Determinar el número de aletas rectangulares y tubulares.

Suponiendo para II: aletas adiabáticas. 1,5 ‘’

¼’’

0,5’’




Ejemplo:

Una aleta recta de 4mm de espesor y 6 cm de longitud, tiene una T° en su base de

170°C. La temperatura del aire exterior es de 20°C y el coeficiente de convección es 50

[W/ °C]. Determine el calor disipado por la aleta por el método aprendido,

asumiendo que pierde calor por el extremo y el coeficiente de conducción es de 50

[W/m°C].

6 cm

4 mm

1 m

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