OyO - P2- Osciladores Acoplados y Continuos

8/19/2019 OyO - P2- Osciladores Acoplados y Continuos

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Superposición de movimientos armónicosSistemas de N osciladores acoplados

Sistemas continuos de vibración y la ecuación de onda

Osciladores acoplados, continuos y la ecuación deonda

Alejandro Gallardo Lozada

UPIITA

Ingenieŕıa Mecatrónica

1 de diciembre de 2015

Dr. Alejandro Gallardo Lozada Osciladores acoplados, continuos y la ecuación de onda

http://find/http://goback/


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1 Superposición de movimientos armónicos

S-MAS paralelos con frecuencias iguales y diferentesS-MAS perpendiculares con frecuencias igualesFiguras de Lissajous

2 Sistemas de N osciladores acoplados

Modos de vibración discretosDos y tres osciladores acopladosN osciladores acoplados

3

Sistemas continuos de vibración y la ecuación de ondaUn número infinito de vibradores acopladosLa cuerda y la ecuación de onda bi-dimensionalLa ecuación de onda tri- y cuatri-dimensional




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Muchos fenómenos f́ısicos involucran dos o más vibraciones simultaneasde un mismo sistema, (acústica, óptica, etc.). Para iniciar consideraremos

la hipótesis de que el dezplazamiento de las perturbaciones son proporcio-nales a las fuerzas que lo producen, es decir el sistema es lineal. De esto,concluimos que:

La resultante de dos o más oscilaciones armónicas es simplemente la

suma de las oscilaciones individuales.Sean dos vibraciones sinusoidales de igual frecuencia, x 1 = A1 cos (ωt + α1)y x 2 = A2 cos (ωt + α2). Por lo tanto, la combinación puede expresarse co-mo:

x (t ) = x 1 + x 2 = A1 cos (ωt + α1) + A2 cos (ωt + α2)

o de otra forma

x (t ) = A cos(ωt + α) (1)




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Considerando el método vectorial, se observa que OP 1 hace un ángulo(ωt + α1) y OP 2 un ángulo (ωt + α2), aśı que la amplitud y fase de la

resultante son:

A2 = A21 + A22 + 2A1A2 cos (α2 − α1) , α = α1 + β

En el caso especial donde A1 = A2 y se defina la diferencia de fase δ =α2 − α1, se tiene que:

β = δ

2 entonces A = 2A1 cos

δ

2




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Consideremos ahora dos vibraciones de frecuencias y amplitudes diferentes.Como se puede apreciar, a diferencia del caso anterior, en este caso la fase

no permanece constante sino mas bien cambia continuamente, por lo quela diferencia de fase nula inicialmente, α1 = α2 = 0 no quita generalidad,aśı que x 1 = A1 cos ω1t y x 2 = A2 cos ω2t .

Como se aprecia en la figura la lon-gitud entre del vector resultante de-

be estar comprendido entre la sumay difererncia de A1 y A2. A menosque exista una relación simple entrelas frecuencias el desplazamiento seráuna función complicada.

En este caso, la condición precisa para que exista un movimiento periódicoa partir del movimiento combinado es que éste sea conmensurable. Esdecir, que existan dos, n1 y n2 números tales que:

T = T 1n1 = T 2n2. (2)


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Como se aprecia en lafigura el periodo del

movimiento combina-do será el valor de T utilizando los valoresmás pequeños de n1 yn2, que satisfagan la

ecuación anterior.Por otro lado, el as-pecto relevante de es-ta combinación estámarcadamente descri-

ta por la fase relati-va inicial, aunque enfenómenos sónicos es-te cambio de fase escasi inperseptible parael oido.

Superposicion


S i i´ d i i ´ i S MAS l l f i i l dif

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Si dos MAS tienen frecuencias muy parecidas, la perturbación combinadapresenta lo que se llama pulsación o batido. Este fenómeno puede descri-

birse como aquel en que en que la vibración combinada es una perturbacióncon una frecuencia igual a la media de las frecuencia que las combinan,pero con una amplitud que varia con el tiempo.

Si x 1 = A cos ω1t y x 2 = A cos ω2t se tendrá

x (t ) = 2A cos

ω1 − ω22t

cos

ω1 + ω22

Donde ωprom = ω1+ω2

2 y ωmod ω1−ω2

2 . Aunqueesto es cierto matemáticamente, la situaciónf́ısica solo tiene sentido si

|ω1−

ω2|


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Superposición de movimientos armónicos S MAS paralelos con frecuencias iguales y diferentes


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Superposicion de movimientos armonicosSistemas de N osciladores acoplados



1 Dos vibraciones a lo largo de la misma ĺınea son descritos por

y 1 = A cos(10πt ) y y 2 = A cos(12πt ). Determine si existe unapulsación en la superposición, y si es aśı halle el periodo de lapulsación. Dibuje cuidadosamente la superposición de losmovimientos.

2 Determine la frecuencia del movimiento combinado de los MAS a)

x 1 = sin(2πt −√ 2) y x 2 = cos(2πt ). b)x 1 = sen(12π) + cos ((13π − π/4)).


Superposición de movimientos armónicos S MAS paralelos con frecuencias iguales y diferentes

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Ahora se estudiará la superposición de vibraciones en direcciones perpen-diculares, para ello es útil la descripción vector rotatorio. Considerese dos

oscilaciones x = A1 cos (ω1t + α1) y y = A2 cos (ω2t + α2), aśıConstruimos dos circunferencias deradios A1 y A2, la primera describeel movimiento en x y la segunda eny . Se trazan dos ĺıneas desde el vec-

tor rotatorio correspondiente hasta suintersección en P respecto a un ori-gen O situado en el centro de unrectángulo de lados 2A1 y 2A2. Cual-quiera que sea la relación de las fre-cuencias, el movimiento está confina-

do al rectángulo y los lados serán tan-gentes a la tratectoria de P .

Mientras no se especifique nada respecto a la relación entre las frecuenciasno se puede decir mucho, solo que si las frecuencias son inconmensurablesel punto P no repetirá posición en el rectángulo.


Superposición de movimientos armónicos S-MAS paralelos con frecuencias iguales y diferentes

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S MAS paralelos con frecuencias iguales y diferentesS-MAS perpendiculares con frecuencias igualesFiguras de Lissajous

Frecuencias iguales

Consideremos las oscilaciones x = A1 cos ωt y y = A2 cos (ωt + δ ), dondeδ es la diferencia de fase inicial (constante). El valor de δ nos muestra ungran número de posibilidades de movimiento, esto es:

Con δ = 0 da y = A2A1x

Con δ = π/2 da x 2A21+ y 2A22

= 1

Con δ = π da y = −A2A1

x

Con δ = 3π/2 da

−x 2

A21 −

y 2

A22

=−

1

Con δ = π/4 da2x 2

A21+ 2y

2

A22− 2

√ 2

A1A2xy = 1

Note que antes de δ = π la rotación es en sentido horario y después deδ = π la rotación es antihorario.



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S MAS paralelos con frecuencias iguales y diferentesS-MAS perpendiculares con frecuencias igualesFiguras de Lissajous

La construcción de la gráfica del movimiento para δ = π/4 es de la si-guiente manera:

Se dibujan los circulos correspondientesde manera perpendicular.

Se localizan los puntos de inicio en losejes correspondientes; en x sobre deleje, y en y se localiza el punto en elángulo correspondiente a la fase, δ =π/4.

Se van hallando los puntos de intersec-

ción la aumentar la posición angular enlos correspondientes circulos.

Se traza la trayectoria uniendo los pun-tos hallados.



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p pSistemas de N osciladores acoplados


p g yS-MAS perpendiculares con frecuencias igualesFiguras de Lissajous

¿Qué pasa si las frecuencias son diferentes pero en proporción finita? Paraverificar ésto considerese dos movimientos perpendiculares cuyas frecuen-

cias angulares sean ω2 = 2ω1, y por simplicidad consideremos que δ = 45◦.Bajo estas condiciones la construccion es:

1 Se puede construir la trayectoria usan-do solo media circunferencia como semuestra en la figura. Partiendo el mo-vimiento a la fase determinada.

2 Durante un ciclo de ω2 se recorre mediociclo de ω1. Para obtener un ciclo com-pleto del movimiento combinado, es ne-

cesario un ciclo completo de ω1.3 Esta trayectoria cerrada es llamada la

figura de Lissajous.

4 Abajo se muestra las diversas figurascon varias δ .





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p pSistemas de N osciladores acoplados


p g yS-MAS perpendiculares con frecuencias igualesFiguras de Lissajous

Encuentre las figuras deLissajous de las frecuen-

cias 1 : 2, 2 : 3, 3 : 4 condiferencia de fase δ = 0,δ = π/4 y δ = π/2.

Investigue las aplicacio-nes de las figuras de Lis-

sajous.



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Sistemas de N osciladores acopladosSistemas continuos de vibración y la ecuación de onda

S-MAS perpendiculares con frecuencias igualesFiguras de Lissajous

Una de las aplicaciones de las fi-

guras de Lissajous fue determi-nar la frecuencia de sonidos oseñales de radio. Se aplica en eleje horizontal de un osciloscopiouna señal de frecuencia conoci-

da, y la señal cuya frecuencia sedesea medir se aplica en el ejevertical.

Los lectores ópticos (de su-permercado) tienen un arreglo

mecánico que permite la lectu-ra del código de barras a travésde un haz de luz que genera lasfiguras de Lissajous

Encriptación


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Superposición de movimientos armónicosSi t d N il d l d

Modos de vibración discretosD t il d l d


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Dos y tres osciladores acopladosN osciladores acoplados

Un modo normal de un sistema oscilatorio es la frecuencia a la cual laestructura deformable oscilará al ser perturbada. Los modos normales son

tambián llamados frecuencias naturales o frecuencias resonantes. Para cadaestructura existe un conjunto de estas frecuencias que es único. Cuandoeste tipo de sistema es excitado en una de sus frecuencias naturales, todassus part́ıculas se mueven con la misma frecuencia. Las fases de las part́ıculasson exactamente las mismas o exactamente las contrarias.



Modos de vibración discretosDos tres osciladores acoplados

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Para estudiar un sistema formado por N osciladores acoplados, considerare-mos primero como modelo el sistema formado por dos part́ıculas de masas

m1 y m2 situadas en los extremos de dos resortes de idéntica constanteelástica k y acopladas como se muestra.

Las ecuaciones mostradas se pueden expresar en una ecuación matricial.Además se busca la solución del tipo x i (t ) = Ai cos(ωt + φi ). Por lo que alsustituir y eliminar los términos semejante se obtiene la ecuación matricial. 2k

m1− k

m1

− k m2

2k m2

A1A2

= ω2

A1A2

(3)



Modos de vibración discretosDos y tres osciladores acoplados

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Como podemos ver esta matriz es simétrica y cumple con la ecuaciónde eigenvalores |M − ω2I| = 0. Considerando m1 = m2 el cálculo deldeterminante da el polinomio calaracteŕıstico:

p (ω) = ω4 − 4k ω2

m +

3k 2

m2 . (4)

Cuyos valores propios son ω = ± k m2

(2m ±m). Las amplitudes paracada uno de los modos de vibración se calculan resolviendo el sistemahomogéneo:

2k

m − ω2

A1k − k

mA2k = 0. (5)

Con ω1 se halla A21 = A21(A11) y con ω2 se halla A22 = A22(A12). Por loque el movimiento general de las part́ıculas es una combinación ĺıneal delos modos normales de vibracioń:

x 1 = A11 cos(ω1t ) + A12 cos(ω2t ),

x 2 = A21 cos(ω1t ) + A22 cos(ω2t ). (6)




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Resumiendo los resultados anteriores se determina que:

Eigenvalores de ω2 Eigenvectoresk /m (A11, A11)

3k /m (A12,−A12)

Dos Modos




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Ahora consideremos el caso de tres part́ıculas de masa m1 y m2, acopladaspor resortes de igual constante de restitución.

El sistema generador por este sistema es:

2k m1

− k m1

0

− k

m2

2k

m2 − k

m2

0 − k m1

2k m1

A1

A2A3

= ω

2A1

A2A3

(7)

Si consideramos las masas iguales se obtine el polinomio caracteŕıstico:

p (ω) = −ω6 + 6k ω4

m − 10k

2ω2

m2 +

4k 3

m3 (8)




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De lo anterior se encuentra que:

Eigenvalores de ω2 Eigenvectores2k m

1 − √ 22

(A11, A11√ 2, A11)

2k /m (A12, 0,−A12)2k m

1 +

√ 22

(A13,−A13

√ 2, A13)

resModos






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pSistemas continuos de vibración y la ecuación de onda

y pN osciladores acoplados

Finalmente consideraremos el sistema de N part́ıculas acopladas cada unacon masa mi y constante de resorte k i . Es decir:

Después de introducir las soluciones al sistema de ecuaciones de movimien-to, se obtiene la siguiente ecuación matricial:

k 0+k 1m1

− k 1m1

0 0 0 0 0 0

−k 1m

2

k 1+k 2m

2 −k 2m

2 · · · 0 0 0 0 0

... . . . − k i −1

mi

k i −1+k i mi

− k i mi

. . . · · ·0 0 0 0 0 0 0 − k N −1

mN

k N −1+k N mN






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Sistemas continuos de vibración y la ecuación de onda N osciladores acoplados

Aśı la ecuación que se obtendrá es M · X = ω2X, siendo X el vectorcolumna de las amplitudes. Aśı, se obtiene el polinomio caracteŕıstico al

calcular |M − ω2

I| = 0 y los eigenvalores ω j al resolver el polinomio. Porotro lado, las amplitudes se calculan usando la relación de recurrencia

k i −1mi

Ai −1 +k i −1 + k i

mi − ω2 j

Ai − k i

mi Ai +1 = 0 (10)

El movimiento de cada part́ıcula será una superposición de todos los modosde vibración x 1 = A11 cos(ω1t ) + A12 cos(ω2t ) + · · ·+ A1N cos(ωN t ), y aśıtodos los demas.El primer modo de vibración de la frecuencia ω1 se establece cuando A12 =A13 = ... = A1N = 0 y A11 = 0. Aśı el modo j -ésimo de frecuencia ω j seestablece cuando A11 = A13 = ... = A1N = 0 y A1 j = 0.Cabe observar que en algunos modos existirán part́ıculas que no se moveránde su posición de equilibrio.






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Ahora si las masas son iguales, se tendrá que los eigenvectores yeigenvalores son:

resModos



Si i d ib i´ l i´ d d

Modos de vibración discretosDos y tres osciladores acopladosN il d l d

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1 Encuentre los modos de vibración de un sistema de cuatropart́ıculas de igual masa y acopladas por resortes de igual cons-tante de restitución.

2 Considere el sistema compuesto por dos resortes de igual cons-tante de restitución k , unidos a una masa M como se muestra.Determine la ecuación que describe las oscilaciones transversa-

les y halle su solución.3 Estudie el oscilador bidimensional. Determine sus ecuaciones yhalle su solución.



Si t ti d ib i´ l i´ d d

Modos de vibración discretosDos y tres osciladores acopladosN il d l d



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Como se puede observar las part́ıculas vibran a frecuencias especiales demanera que forman un patrón definido (modo).

Se puede observar que en el modo deN osciladores existen varios aspectosespeciales:

De una u otra forma se observaque la primera y la última

part́ıcula permanecen fijas.Existen puntos dentro de losmodos (a exepción del primermodo) que tampoco tienenmovimiento. Estos puntos se

llaman nodos.




Un número infinito de vibradores acopladosLa cuerda y la ecuación de onda bi-dimensionalLa ecuación de onda tri y cuatri dimensional

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Sistemas continuos de vibracion y la ecuacion de onda La ecuacion de onda tri- y cuatri-dimensional

Si el número de part́ıculas es muy grande se puede observar que el modoo patrón se hacerca cada vez a la forma de una onda senusoidal continua.

Entre mas part́ıculashalla y más grande seael modo existirán más

puntos nodales.

Si realizamos el ĺımitecuando N tiende ainfinito el conjunto depart́ıculas acopladas se

transforma en unacuerda perfecta.




Un número infinito de vibradores acopladosLa cuerda y la ecuación de onda bi-dimensionalLa ecuación de onda tri y cuatri dimensional

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Consideremos una cuerda como un conjunto infinito de puntos acoplados.Aśı considerese lo siguiente: La figura muestra un elemento de cuerda que

está sometida a una tensión T . La vibración de las part́ıculas acopladashan provocado que el elemento sea desplazado de su posición en equilibrio.

Considerando una longitud δ x , y la segundaley de Newton se tiene que:

F y = T sin θ2 − T sin θ1.

Como se puede observar la compenentes x ’sse anulan. Si cse consideran desplazamientospequeños, entonces sin θ ≈ tan θ, ası́ que:

F y ≈ T tan θ2 − T tan θ1 = T δ (tan θ) (11)

donde δ (tan θ) = tan θ2 − tan θ1.Además, esta suma de fuerzas debe ser igual a la masa del elemento δ m =µδ x por componente de la aceleración. Donde µ es la densidad lineal.




Un número infinito de vibradores acopladosLa cuerda y la ecuación de onda bi-dimensionalLa ecuación de onda tri- y cuatri-dimensional

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De esta manera se obtiene que:

F y = δ may , → T δ (tan θ) = µδ xay → δ (tan θ)

δ x =

µ

T ay

de la definición de derivada y considerando que el movimiento ocurre tantoen el tiempo como en el espacio se llega a que:

δ (∂ψ/∂ x )

δ x =

µ

T

∂ 2ψ

∂ t 2 → ∂ 2ψ

∂ x 2 =

µ

T

∂ 2ψ

∂ t 2

Donde se tomo el ĺımite para δ x → 0. De esta manera, al remplazar µT

por1v 2

se obtiene:

Ecuación de onda

La ecuación de la onda es definida por:

∂ 2ψ(x , t )

∂ x 2 − 1

v 2∂ 2ψ(x , t )

∂ t 2 = 0, (12)

donde v es la velocidad de la onda.





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Sistemas continuos de vibracion y la ecuacion de onda La ecuacion de onda tri y cuatri dimensional

Como podemos inferir todos los materiales estan constituidos por part́ıculaspor lo que ellos pueden vibrar en diferentes frecuencias; aśı que las olas

de mar, las ondas de sonido son ondas mecánicas que viajan a través deun medio deformable. Éstas se originan cuando cierta parte del medio sedesplaza de su posición original y queda liberada para vibrar. Debido aque las part́ıculas están acopladas la perturbación se propaga a través delmedio. Una onda transporta enerǵıa pero no materia.

Envio de una onda transversal a lolargo de una cuerda.

Envio de una onda longitudinal a lo

largo de un resorte.Envio de una pulzación a lo largo deuna cuerda.

Como en lo anterior se restringirá al estudio de ondas armónicas.





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S y y

Considerese una pequeña pulsación de longitud δ l . Esta sección formaaproximadamente un arco de ćırculo de radio R .

La masa del elemento es δ m = µδ l . La ten-sión es el tirón tangencial en cada extremode este segmento. De aqúı se obtiene que:

F ⊥ = 2F sin θ ≈ 2F θ = F δ l R

.

Esto da la fuerza que suministra la aceleración centŕıpeta de las part́ıculasde la cuerda dirigidas hacia O . Aśı que

F δ l

R =

µδ lv 2

R ⇒ v 2 = F

µ.

Resuelva la ecuación de onda para una cuerda con tensión T y den-sidad lineal µ, la cual se pone a vibrar mientras sus extremos estánfijos para todo t .

Compruebe que ψ(x , t ) = f (x − vt ) y φ(x , t ) = g (x + vt ) son solu-ciones de la ecuación de onda.







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y y

Como podemos observar para resolver el problema de la cuerda, se usa elmétodo de la separación de variables, por lo que se propone una solución

del tipo ψ(x , t ) = X (x )T (t ) y una constante de separación −κ2

, aśıd 2X

dx 2 + κ2X = 0,

d 2T

dt 2 + (v κ)2 T = 0.

Se han separado las ecuaciones y ∴ las solución de la ecuación de la ondaes:

ψ(x , t ) = A cos(κx + φx )cos(ωt + φt )

donde ω = v κ, φ son las fases espaciales y temporales. Es importantemencionar que κ es el llamado número de onda y cumple con v = ω

κ,

κ = 2πλ

, donde λ es la longitud de onda o periodo espacial.

Ahora al plantear las condiciones de frontera de la cuerda: φ(x , t = 0) = 0,φ(x = 0, t ) = 0, φ(x = L, ) = 0, se obtiene:

ψ(x , t ) = A sinnπ

L x

sin(ωt )

donde n = 1, 2, 3,...





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La relación espacial, κ = ω/v en la función de onda, ψ = A sinnπL x

sin(ωt )nos permite generar los modos o formas en las cuales vibrará la cuerda.

nπ

L = κ = ω/v =

2π

λ

De estas ecuaciones se observan que:

L = nλ

2 , ν n = n v

2L (13)

Lo que indica que la longitud de la onda en lacuerda debera entrar n/2 veces en la longitudL, como se muestra en la figura.

Es importante notar que la solución encontrada para la ecuación de la ondaes la llamada solución estacionaria, y aunque no se translada la cuerdaexiste movimiento y la velocidad que interviene aqúı es la velocidad de laonda superpuesta. (Se verá más adelante)







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Un vibrador pone en movimiento a la cuerda con una frecuencia de120Hz . La cuerda tiene una longitud de L = 1.2 m, ρ = 1.6 gr /m ¿A

qué valor se debe ajuastar la tensión para obtener el cuarto modo?

Un extremo de una cuerda de 120cm se mantiene fijo mientras queel otro extremo puede deslizarse a lo largo de una barra sin fricción.¿Cuales son las tres longitudes de onda más grandes posibles de ondasestacionarias en la cuerda. Trace los modos correspondientes.

Al meter un bote, un niño produce ondas de agua en la superficiedel un lago previmente tranquilo. Se observa que el bote produce 12oscilaciones en 30 s y también que la cresta de una onda determinadallega 5 s a la orilla que esta alejada 15 m. Halle (a) ν , (b) v , y (c) λ.





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Como es de suponerse la ecuación de onda en 2, 3, 4, ... dimensionesespaciales es:

∇2ψ(x , y , z , ...., t ) − 1v 2

∂ 2ψ(x , y , z , ...., t )∂ t 2

= 0. (14)

De igual manera existe la solución estacionaria para estos sistemas. Estossistemas darán patrones definidos o modos en sus respectivos medios.







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r = (x , y , z ) ∇

2ψ = ∂ 2ψ

∂ x 2 +

∂ 2ψ

∂ y 2 +

∂ 2ψ

∂ z 2 . (15)

r = (ρ,ϕ, z ) ∇2ψ = 1ρ

∂ ρ (ρ∂ ρψ) + 1

ρ2∂ 2ϕψ + ∂

2z ψ. (16)

r = (r , θ , ϕ) ∇2ψ = 1r 2

∂ r r 2∂ r ψ

+

1

r 2 sin θ∂ θ (sin θ∂ θψ) +

1

r 2 sin2 θ∂ 2ϕψ. (17)

La solución de la ecuación de onda en coordenadas curviĺıneas describenla propagación de una onda.







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Resolvamos la ecuación de onda en tres dimensiones usando el métodode separación de variables, es decir, proponemos la solución ψ(x , y , z , t ) =

X (x )Y (y )Z (z )T (t ). Después de resolver la ecuación se llega a la solución:ψ(r, t ) = Ae i (ωt −k·x) (18)

donde ω es la frecuencia angular temporal de oscilación y k es el vectornúmero de onda. Además, se sabe que k da la dirección de propagación dela onda viajera. Debemos recordar que las variables k, v y ω deben cumplir

con la relación de disperción v = ω/k , o v = ν λ.Con esto debemos diferenciar de dos tipos de velocidad que existen en unaonda viajera.

Velocidad Fase y Velocidad de Grupo

La velocidad de fase de una onda es la tasa a la cual la fase de lamisma se propaga en el espacio, v f =

ωk .

La velocidad de grupo de una onda es la velocidad con la que lasvariaciones en la forma de la amplitud de la onda se propagan en elespacio, v g =

∂ω∂ k

.







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Determine la solución estacionaria de la ecuación de onda tresdimensional en coordenadas cartesinas.

Encuentre los modos de vibración de un tambor cuadrado delongitudes a) l × 2l .Escriba la ecuación de onda en coordenadas ciĺındricas y esféricas.

Determine la dirección de propagación de la onda planaψ(x , y , z ) = A sin

kx √ 14

+ ky √ 14

+ kz √ 14 − ωt

.

Considere las perturvaciones a) ψ1 = 2 cos(8t − x ) yψ2 = 2 cos

7.75− 1516x

; b) ψ1 = 2 cos(8t − x ) y

ψ2 = 2 cos 7.75− 14.516.5x ; y c) ψ1 = 2 cos(8t −

x ) y

ψ2 = 2 cos

7. − 2931x

. Determine para cada casa las velocidades dela envolvente y la modulación.

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OyO - P2- Osciladores Acoplados y Continuos

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