P O W E R D E T R I G O N O M E T RÍ A

19

Transcript of P O W E R D E T R I G O N O M E T RÍ A

Page 1: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

         

Page 2: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

1. ÁNGULOS. GENERACIÓN Y SIGNOS

2. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

*FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

*SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

*REPRESENTACION SEGMENTARIA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

3. RELACIONES ENTRE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE DISTINTOS ÁNGULOS

Page 3: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

Ángulos:Ángulos: Definición: Definición:

q

op

M

S

A

Sea PQ un arco de circunferencia de centro O. Se llama ángulo A correspondiente al arcoPQ al conjunto de puntos de todas las semirrectas OM tal que M PQ .

En símbolo: A = x/x OM con M PQ

Es decir A es el conjunto de puntos del plano barridos por la semirrecta s s al pasar de una posición inicial final s´.s´.

Page 4: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

Todo ángulo A A cuyo arco correspondiente sea un cuarto de circunferencia se denomina

Ángulo recto (figura1-2).

o

A

SP

QA: ángulo recto

Page 5: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

Al generar un ángulo por una semirrecta que gira en un plano es necesario saber en que sentido a girado dicha semirrecta.

Se ha convenido en que:

Todo ángulo que se ha generado por una semirrecta que gira en el sentido que giran las agujas de un reloj se llaman ángulos ángulos negativos. negativos. A la medida de un ángulo negativo se le antepone el signo menos (-) para recordar en qué sentido fue generado.

A = -30º

p

oq

S

A

s S´o

Page 6: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

Todo ángulo que sea generado por una semirrecta que gira en sentido contrario al que giran las agujas del relojsentido contrario al que giran las agujas del reloj se llama ángulo positivoángulo positivo. A la medida de un ángulo positivo se le antepone el signo más (+) para recordar en qué sentido fue generado.

El signo indica solamente el sentido de generación, y si los ángulos se generan en sentido positivo, suele omitirse la escritura del signo (+).

o

= +60 º

= +30 º = 30 º

oo

Page 7: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

ÁNGULOS SIMÉTRICOS U OPUESTOS

Sean y ´ ángulos tales que la medida del sea igual a la medida de ´ , pero generados en sentido contrario, es decir positivos y ´ negativos.

´

´= -

= - ´

A los pares de ángulos de igual medida, pero no negativo y el otro positivo, se les llama ángulos opuestos o simétricosángulos opuestos o simétricos.

Page 8: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

ÁNULOS MAYORES QUE UN GIRO.ÁNGULOS CONGRUENTES

Q

Q´´ Q´

s

s´P sP´´P´

SIGUIENTE

Page 9: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

Definición: es la circunferencia que tiene su centro en el origen de su sistema de coordenadas cartesianas, de radio unidad y en el cual se considera como lado inicial para la generación de ángulos al semieje positivo de las abscisas.

P

Mo

Page 10: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

Sen = ordenada = cateto opuesto = PM radio vector hipotenusa OP

Cos = abscisa = cateto adyacente = OM radio vector hipotenusa OP

Tg = ordenada = cateto opuesto = PM abscisa cateto adyacente OM

Cotg = abscisa = cateto adyacente = PM ordenada cateto opuesto OM Sec = radio vector = hipotenusa = OP abscisa cateto adyacente OM

Cosec = radio vector = hipotenusa = OP ordenada cateto opuesto PM

C

O

F

U

N

C

I

O

N

E

S

F

U

N

C

I

O

N

E

S

Page 11: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Sen +

Cos –

Tg –

Cotg –

Sec –

Cosec +

Sen –

Cos –

Tg +

Cotg +

Sec –

Cosec –

Sen –

Cos +

Tg –

Cotg –

Sec +

Cosec –

Sen +

Cos +

Tg +

Cotg +

Sec +

Cosec +

Vemos así en el primer cuadrante todas las funciones son positivas y en los demás cuadrantes hay en cada uno dos funciones positivas que son: sen y cosec, segundo cuadrante; tg y cotg, tercer cuadrante; cos y sec,

cuarto cuadrante; siendo las cuatro restantes negativas.

Page 12: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

REPRESENTACIÓN SEGMENTERIA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Consideramos solo el primer cuadrante.

Sen = PM

Cos = OM

Tg = TN

Cotg = LQ

Sec = OR

Cosec = OS

P

y

x

cotg

cosec

0 cos M N

tg

sen

L

T

sec

Q

y

Page 13: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

a) Reducción al primer cuadrante

Esto se emplea para calcular las funciones trigonométricas de ángulos mayores de 90º negativos usando los valores de las funciones de ángulos del primer cuadrante.

b) Reducción al segundo cuadrante

c) Reducción al tercer cuadrante

Se aplica la relación entre ángulos que difieren en .

Fórmula de pasaje: = -180

Se aplica la relación entre ángulos que difieren en .

Fórmula de pasaje: = 180º

P´P

o

P

o

Page 14: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

d) Reducción al cuarto cuadrante

Se aplica la relación entre ángulos simétricos.

Fórmula de pasaje : = 360º -

Valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de 0º,30º,45º,60º,90º.

Regla de nemotécnica para recordar dichos valores.

P

12

3 2

60º= /3

0

1

90º= /2

22

22

45º = /4

3 2

12

30º= /6

1

0

cos

sen

SIGUIENTE

Page 15: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

3.RELACIONES ENTRE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE DISTINTOS ÁNGULOS.

Ángulos complementariosDefinición: dos ángulos son complementarios si y solo si su suma

es igual a un ángulo recto.

Relación: las funciones de un ángulo son iguales a las cofunciones de sus complemento y recíprocamente.

y

o

M x

Sen = Cos

Cos = Sen

Tg = Cotg

y son complementarios

Page 16: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

Ángulos opuestosDefinición: dos ángulos son opuestos si y solo si su suma de los

mismos es igual a 0.

Relación: las funciones trigonométricas del mismo nombre de ángulos opuestos son números opuestos excepto cosenos y

secantes que son números iguales.

-

P

M

Sen ( -) = - Sen Cos ( -) = Cos

Tg ( -) = -Tg

y ( -) son opuestos

o

Page 17: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

Ángulos suplementarios:Definición: dos ángulos son suplementarios si y solo si la suma es

igual a un ángulo llano .

Relación: las funciones trigonométricas del mismo nombre de ángulos suplementario son números opuestos ( excepto los senos y los cosecantes que son números) iguales.

Sen = Sen Cos = -Sen Tg = -Tg

y son suplementarios

o

Page 18: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

Ángulos que difieren en /2:Relación: si dos ángulos difieren en /2 las funciones y las cofunciones

del mayor de los ángulos son los números opuestos de las cofunciones y funciones del menor, excepto sen y cosec que son iguales al cos y sec

= + P

o

Sen (/2 + )= Cos

Cos (/2 + )=- Sen

Tg (/2 + )= - Cotg

Cotg(/2 + )= - Tg

Sec (/2 + )= - Cosec

Cosec (/2 + )= Sec

Page 19: P O W E R  D E  T R I G O N O M E T RÍ A

Ángulos que difieren en :

Relación:

las funciones trigonométricas del mismo nombre de ángulos que difieren en son números opuestos excepto las tangentes y las

cotangentes que son números iguales.

o

= +Sen ( + )= -Sen

Cos ( + )= - Cos

Tg ( + )= Tg

Cotg ( + )= Cotg

Sec ( + )= - Cosec

Cosec ( + )= - Sec

SIGUIENTE