P r o p o s i c i ó nEs toda oración o enunciado

al que se le puede asignar un

cierto valor (v o f).

Si no puede concluir que es verdadero o falso no es

proposición.

La verdad o falsedad de una

proposición es lo que se llama su valor lógico o valor de verdad

Las proposiciones se denotan con letras minúsculas. Ejemplo: p, q, r, a, b.

Hoy es lunes. (si es proposición ya que se puede verificar).

E j e m p l o:

El árbol es grande. (no es proposición ya que no se puede verificar, puesto que no sabemos de que árbol se

habla).

Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones.

Las oraciones interrogativas, las exhortativas o

imperativas, las desiderativas y las

exclamativas o admirativas no son

proposiciones porque ninguna de ellas afirma o niega algo y,

por lo tanto, no son ni verdaderas ni falsas.

Asimismo, las oraciones dubitativas y las

de juicios de valor – aunque afirmen

algo – no constituyen ejemplos de

proposiciones, pues su verdad o falsedad no

puede ser establecida.

"a)" es proposición porque es una oración aseverativa verdadera;

"b)" no es una proposición porque es una oración interrogativa;

"c)" no es una proposición porque es una oración imperativa o exhortativa;

"d)" tampoco es proposición porque es una oración desiderativa;

"e)" no es una proposición porque es una oración exclamativa o admirativa;

"f)" no es una proposición porque es una oración dubitativa

"g)" no es proposición porque constituye un juicio de valor.

a) El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

b) ¿Qué es la lógica?

c) Debemos honrar a nuestros héroes.

d) Sea en hora buena.

e) ¡Por Júpiter! ¡Casi me saco la lotería!

f) Quizá llueva mañana.

g) Valentín es bueno.

“c)" y “d)" son también ejemplos de oraciones aseverativas, pero no son

proposiciones; no son ni verdaderas ni falsas porque en ellas figura una o más

letras sin interpretar, son ejemplos de funciones proposicionales.

Toda proposición es una oración aseverativa, pero no toda oración aseverativa es una proposición.

a) El triángulo es inteligente

b) Eduardo es un número racional

c) x + 3 = 5

d) a es la capital del Perú

“a)",“b)",“c)", “d)" son ejemplos de oraciones aseverativas mas no de proposiciones.

“a)" e “b)" son expresiones lingüísticas que tienen apariencia de

proposiciones, pero que realmente no lo son porque no tiene

sentido decir de ellas que son verdaderas o falsas. Son pseudo

proposiciones, es decir, son falsas proposiciones.

Para que una expresión lingüística sea proposición debe cumplir con

los siguientes requisitos:

1.Ser oración.

2.Ser oración aseverativa.

3.Ser o bien verdadera o bien falsa.

Clases de proposiciones

PROPOSICIONES SIMPLES PROPOSICIONES COMPUESTAS

Existen dos clases

proposiciones atómicas proposiciones moleculares

Son aquellas proposiciones que no se pueden dividirSon aquellas que están formadas por dos o más proposiciones

simples unidas por los operadores lógicos

•El cielo es azul •Si el miércoles próximo me saco la lotería•entonces te regalare un auto

Conectivos (operadores) lógicos

Análisis de la proposición compuesta:

p: Si estudio mucho entonces obtendré buenas calificaciones y me darán un premio.

Primero se separan en proposiciones simples:

s: estudio mucho.

t: obtendré buenas calificaciones.

r: me darán un premio.

Se lee simbólicamente de la siguiente manera la proposición compuesta p:

p: Si s → t ^ r

TIPOS DE CONECTIVOS Y EJEMPLOS

A) NEGACION:EJEMPLO: Juan conversa.Juan no conversa.

B) CONJUNCION:EJEMPLO: P: La casa esta sucia.Q: La empleada la limpia mañana.PQ: La casa esta sucia y la empleada la limpia mañana.

D) CONDICIONAL:EJEMPLO: P: Si me saco la lotería.Q: Te regalare un carro.PQ: Si me saco la lotería entonces te regalare un carro.

C) DISYUNCION:EJEMPLO: P: Pedro juega básquet.Q: María juega futbol.PVQ: Pedro juega básquet o María juega futbol.

E) BICONDICIONAL:EJEMPLO: P: Simón bolívar vive.Q: Montalvo esta muerto.PQ: Simón bolívar vive si y solo si Montalvo esta muerto.

CONECTIVOS Y REGLAS

NegaciónSe aplica para modificar proposiciones de cualquier tipo

invirtiendo su valor

Se representa con el símbolo ¬Para negar una proposición se coloca el símbolo antes de ella, ejemplo:

q: El día está nublado.

Su negación quedará así:

¬ q: El día no está nublado.

Nombre del Conectivo SímboloNombre del tipo de

proposición

Y ^ Conjunción

O V Disyunción

Si.. Entonces → Implicación o condicional

Si y solo si ↔ Bicondicional

Tabla de conectivos lógicos:

Ejemplo: p: La nieve es fría y se derrite. (Ésta proposición compuesta está formada por dos proposiciones simples).

p: La nieve es fría.

q: se derrite.

De manera simbólica quedaría: p ^ q

Conjunción (Y)

se representa p ^ q y se lee p y q.

Une dos afirmaciones, con la peculiaridad de que ambas deben cumplirsepara que la proposición compuesta sea verdadera

Ejemplo: q: Hoy es un día bonito o es un día caluroso. (Ésta proposición compuesta está formada por dos

proposiciones simples).

q: Hoy es un día bonito.

s: es un día caluroso.

de manera simbólica quedaría: q V s

Disyunción (o)Une dos afirmaciones, basta que una de ellas sea verdadera

para que la proposición sea verdadera

se representa p V q y se lee p ó q.

Implicación o condicional (→)

Ejemplo: p: Si está nublado entonces hoy lloverá (ésta proposición compuesta está formada por dos proposiciones simples).

p: Está nublado.

q: Hoy lloverá.

de manera simbólica se escribe: p → q

Une dos afirmaciones, es falsa cuando la primera proposición es verdadera

y la segunda es falsa

se representa p → q y se lee si p entonces q

Considera la siguiente proposición: Ejemplo

"Si obtienes una A en lógica, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo."

p: "Obtienes una A en lógica,"

q: "Te voy a comprar un Mustang amarillo."

La proposición original quiere decir lo siguiente: Sip es verdad, entonces q es verdad, o,

más simple, si p, entonces q. También

podemos escribir la frase como p implica q, y

escribimos p→q.

Ahora supongamos es verdad. Esto no significa que tu

obtendrás una A en lógica; lo único que quiere decir es

que si tu lo haces, entonces te voy a comprar un Mustang

amarillo.

Ejemplo:(a) Verdad o falsa? "1+1 = 3 si y solo si Marte es un agujero negro."

(a) Verdadera. La proposición dada tiene la forma p↔q, dónde p: "1+1=3" y q: "Marte es un agujero negro." Ya que

ambas proposiciones son falsas, el bicondicional p↔q es verdadera

Bicondicional (↔)

se representa p ↔ q y se lee p si y solo si q.

Une dos afirmaciones, cuando sucede lo que la primera proposición afirma o niega, se cumplirá lo que afirma o niega la segunda;

la proposición compuesta es falsa cuando una de las dos es diferente a la otra

Ejemplos de coimplicaciones verdaderas: Motivos por los que pq es verdadera:

(a) "La Tierra es cúbica si y sólo si el Sol es un planeta" p: "La Tierra es cúbica": F q: "El Sol es un planeta": F

(b) "La Tierra es esférica si y sólo si el Sol es una estrella" p: "La Tierra es esférica": V q: "El Sol es una estrella": V

(c) "Los cocodrilos tienen ruedas si y sólo si los sapos bailan flamenco"

p: "Los cocodrilos tienen ruedas": F

q: "Los sapos bailan flamenco": F

(d) "Los cocodrilos no tienen ruedas si y sólo si los sapos no bailan flamenco".

p: "Los cocodrilos no tienen ruedas": V

q: "Los sapos no bailan flamenco": V

Ejemplos de coimplicaciones falsas: Motivos por los que pq es falsa:

(a) "La Tierra es cúbica si y sólo si 2+2=4" p: "La Tierra es cúbica": F q: "2+2=4": V

(b) "El Sol es una estrella si y sólo si 1+2=4" p: "El Sol es una estrella": V q: "1+2=4": F

(c) "Los cocodrilos tienen ruedas si y sólo si los sapos no bailan flamenco"

p: "Los cocodrilos tienen ruedas": F

q: "Los sapos no bailan flamenco": V

(d) "El Bernesga pasa por León si y sólo si Napoleón escribió el Quijote"

p: "El Bernesga pasa por León": V

q: "Napoleón escribió el Quijote": F

TABLAS DE VERDAD

Es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta,

para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

El valor verdadero se representa con la letra V;

si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1;

El valor falso se representa con la letra F;

si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0

Verdadero

Falso

Para una variable lógica A, B, C, … que pueden ser

verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:

A AV V

F F

Para proposiciones compuestas p, q, r cuyos valores pueden ser verdaderos V, o falsos F,

los operadores fundamentales se definen así:

p qV V

V F

F V

F F

Es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictoriode la proposición considerada.

A ¬ A

VF

FV

Negación

Conjunción

Es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones

son verdaderas, y falso en cualquier otro caso.

p q p ^ q

VVFF

VFVF

VFFF

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

p q p v q

VVFF

VFVF

VVVF

Es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las

proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

Disyunción

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

p q p → q

VVFF

VFVF

VFVV

Es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de

verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo

cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa,

y verdadero en cualquier otro caso.

Implicación o Condicional

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

→

p q p ↔ q

VVFF

VFVF

VFFV

Es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas

proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad son diferentes.

Equivalencia o Bicondicional

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

↔

Por ejemplo, nótese la diferencia entre las dos proposiciones siguientes:

Una persona es mayor de edad si tiene el carné de conductor.

Una persona es mayor de edad si y sólo si tiene el carné de conductor.

La primera proposición es correcta, puesto que es imposible tener el carné de conducir siendo menor de 18 años. Por tanto, si se tiene el carné, se tiene que ser obligatoriamente mayor de edad.

La segunda es incorrecta, puesto que la relación entre "tener el carné de conducir" y "ser mayor de edad" no es bicondicional. Dicho de otro modo: se puede ser mayor de edad sin tener el carné de conducir.

Condicional / Bicondicional