P RIMERA PARTE Funciones S EGUNDA PARTE Integrales T ERCERA PARTE Ecuaciones diferenciales C UARTA...

PRIMERA PARTEFunciones

SEGUNDA PARTEIntegra les

TERCERA PARTEEcuac iones d i ferenc ia les

CUARTA PARTEMétodo para reso lver una ecuac ión d i ferenc ia l

Análisis Matemático III

Parte I Funciones

FUNCIONES

Definición

La función denota una regla que asigna a cada elemento de x del conjunto A, exactamente un elemento, denotados por f(x) del conjunto B.

BAf :f Función

A y B Conjuntos

x

a

f(x)

f(a)BA

FUNCIONES

Considerando que los conjuntos A y B son conjuntos de números reales:

Dominio es el conjunto A de la función, denotado por D(f).

Rango es el conjunto de todos los valores posibles f(x) conforme varía en todo el dominio A.

El número f(x) es el valor de f en x.

RBA

FUNCIONES

y=f(x)

Rango

Dominio

x

y

AxxffR :)()(

FUNCIONES

Ejemplo

Encuentre el dominio y rango de cada función:1. f(x)=2x-12. g(x)=x2

FUNCIONES

Solución1. La ecuación de la gráfica es y=2x-1, la cual es la

ecuación de una recta con pendiente y ordenada en el origen de -1. La expresión esta definida por todos los números reales, de manera que D(f)=R y su rango es también R(f)=R.

-1-1

1

1/2 1

FUNCIONES

Solución2. La ecuación de la gráfica g(x)=x2, la cual

representa una parábola. La función g esta definida para cualquier número real, así D(g)=R y su rango es positivo.

1

2

3

4

1 2-1-2

I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Funciones Potencia

Funciones donde la base es una variable y la potencia es una constante, tiene la siguiente forma:

Ejemplos:

xa

xf )( Ra

1

2

xxh

xxg

xxf

)(

)(

)(


Función Exponencial

Función donde la base es una constante y la potencia es una variable, es la función exponencial de base a, tiene la siguiente forma:

Ejemplos:

ax

xf )(R

x

a 0

x

x

xg

xf23)(

2)(

x

xh

21

)(


Propiedades de la Función Exponencial

Siendo:

1. 4.

2. 5.

3. 6.

10 a

yxyx aaa

yxy

x

aaa

xxx baab

yxyx aa

x

xx

ba

ba

0, ba Ryx,


En cálculo se decide trabajar como base el número irracional e que tiene un valor aproximado de 2.718281828.

DefiniciónLa función exponencial para cualquier x є R se define como:

Cuenta con las mismas propiedades que cualquier función exponencial de base a.

718281828.211

0

x

x

xxLime


Gráfica de la Función Exponencial “base e”

2

3

4

0.5

1 1.5

-1.5

-1 -0.5

1


Función LogarítmicaPara a>0 y a1 y x>0 denotamos la función logaritmo de base a por logax, y se define como:

Si x>0 entonces logax es el exponente al que debe elevarse la base a para dar x.

xabx ba log


Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas una de otra, como se puede ver en los siguientes ejemplos:

Forma Logarítmica

Forma Exponencial

log28=3 23=8

loga1=0 a0=1

log10 0.1=-1 10-1=0.1

log10 1000=3 103=1000


Propiedades de la Función Logarítmica

Siendo: a, b 1 y x, y >0 se tienen las siguientes características:

1. 2.

3. 4. 5. 6.

7.

01log a1log aa

yxxy aaa logloglog yxyx

aaa logloglog

xnx an

a loglog ax

xb

ba log

loglog

ab

ba log

1log


Logaritmo Natural

Es la función para un x>0 se define como la función logaritmo cuya base es el número e y se denota por:

Esta función goza de las mismas características que la función logarítmica de base a, dados x, y > 0.

xx elogln


Función de Logaritmo Natural

-2

-1

-4

0.5

1 1.5

-3

2


Propiedades como Funciones Inversas

1. Si a > 0 y a 1 se tiene:

2. Si a = e se tiene:

xaxa log

Rx

xa xa log

0x

xex lnRx

xe x ln

0x


Ejemplo:

Desarrolla las siguientes expresiones:

910

log5 23ln x5

log2

xy 3

2

1

2ln

xx

x


Solución:

1. Aplicando la propiedad 4 de logaritmos:

9log10log910

log 555

ylogxlogyx

log aaa


Solución:

2. Aplicando la propiedad 5 de logaritmo natural:

23ln21

23ln xx

xnlogxlog an

a


Solución:

3. Aplicando la propiedad 3 y 4 de logaritmos:

5logloglog5

log 2222 yxxy

ylogxlogxylog aaa ylogxlogyx

log aaa


Solución:

4. Aplicando la propiedad 3, 4 y 5 de logaritmo natural:

1ln31

ln3ln21ln3ln1

2ln 32

3

2

xxxxxx

xx

x

ylogxlogxylog aaa

ylogxlogyx

log aaa

xnlogxlog an

a


Ejercicios de Tarea:

1. Desarrolla la siguiente expresión:

2. Despejar x de las siguientes expresión:

a) b) c)

3

3

2 1ln

x

x

1log3log 1010 xx 4ln xe 3ln xe

I.2 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Funciones de Base Arbitraria

Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ax es:

y para la derivada de au es:

xx aaadxd

ln

dxdu

aaadxd uu ln


Ejemplo:

1. Derivar las siguientes funciones:(a)y=2x (b) y=2senx

Solución:

(a) (b) xx

dxd

y 22ln2' senx

dxd

y 2'

senxxy 22lncos'

senxdxd

y senx22ln'


Funciones de Base e

Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ex es:

y para la derivada de eu es:

xx eedxd

dxdu

eedxd uu


Ejercicios para Realizar en Clase:

1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=e3x+1

b) y=(ex+1)2

c) y=e3x

d) y=etan3x



1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=a5x-1

b) y=x2ex

c) y=e5x

I.3 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Derivación con Base e

Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de lnx es:

y la derivada de lnu es:

xx

dxd 1

ln

dxdu

uu

dxd 1

ln


Ejemplo:

1. Derivar las siguientes funciones:(a) (b)

Solución:

(a) (b) 1ln' 3 xdxd

y

2

1ln'

x

xdxd

y

1ln 3 xy2

1ln

x

xy

11

1' 3

3

x

dxd

xy

13

'3

2

xx

y

2

1

2

11

'x

xdxd

x

xy

2125

'

xxx

y


Ejercicios para Resolver en Clase:

1.Derivar las siguientes funciones: a)

b)

c)

coslnf

xaxa

xg

ln

xxxf ln



1.Derivar las siguientes funciones: a)

b)

4ln 2 xxf

xxf ln

I.3.1 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA

El cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos.

Método de la Derivación Logarítmica:1. Tome logaritmos naturales en ambos miembros de una ecuación y=f(x) y aplique la propiedad de los logaritmos para simplificar.2. Derive con respecto a x.3. Resuelva la ecuación resultante para y’.


Ejemplo:1. Derivar las siguiente ecuación:

Solución:

524

3

23

1

x

xxy

23ln51ln21

ln43

ln 2 xxxy

2315

1431

2

xxx

xdxdy

y

23x

151x

x4x3

23x

1xx25

243

2315

143

2 xxx

xy

dxdy

5

243

23

1lnln

x

xxy


Ejercicios para Resolver en Clases:

1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones:

a) b) 324 1873 xxy senxxy



1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones:

a) b) 8

34

3

51

x

xxy xxy

CAPÍTULO II Integrales

II.1 INTEGRAL INDEFINIDA

DefiniciónUna función F se dice que es una primitiva o antiderivada de f en un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I.

EjemploSe necesita encontrar una función F que su derivada sea f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciación se diría que:

Por lo tanto F es una primitiva de f.

4)( xxF 34 4xxdxd


Familia de Primitivas:Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:

EjemploSabemos que la función F(x)=x4 es una primitiva de f(x)=4x3 así que las siguientes funciones:

G1(x)=x4+5 G2(x)=x4-123

también son primitivas de f(x).

CxFxG R

C

Ix

CxxG 4 Es la familia de primitivas de f(x)


Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación:

DefiniciónEl proceso de calcular las primitivas de una función f se denomina integración, así que tenemos:

lo que significa que:

dxxf

CxFdxxf

xfxFCxFdxd

'

RC


Partes de la Integración:

CxFdxxf

Variable de Integración

Integrando

Símbolo de la

Integración

Constante de

Integración


Reglas de la Integración:

1.

2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Cxdxx

ln1

dxxgdxxfdxxgxf

11

1

nCnx

dxxn

n

dxxfkdxxkf

Cedxe xx Ca

adxa

xx

ln

Cxsenxdx cos Csenxxdxcos


Reglas de la Integración:

9. 10.

11. 12.

13. 14.

Cxxdx tansec2 Cxxdx cotcsc2

Cxxdxx sectansec Cxxdxx csccotcsc

Cxdxx

12

tan1

1

Cxsendxx

1

2 1

1


Ejemplo:

Encuentre las siguientes integrales indefinidas:

1. 2.

3. 4.

5.

dxx3

1 dxx

senxdx2 dxx 2

dxxxx 24 53


Solución:

C2x1

dxx1

23C

xdxx

2

23

Cx32

dxx 3 CxCx

dxx 232

3

2/1

32

23

C2cosx2senxdx Cxdxsenx cos22

1.

2.

3.


Solución:

C2x2x

dx2x2

dxdxx 2

xdxdxxdxx 24 53dxx5x3x 24

Cx21

x35

x53 235

C

xxx23

55

3235

4.

5.


Ejercicios para resolver en Clase:


1.

2.

3.

dxxx 24 sec210

dxxx 63

dx

xxx

13

622

3




1.

2.

3.

dxxx 122/3

dxxsenx cos32

dxx

xx 12

II.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Identidades Fundamentales:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

senxx

1csc

xx

cos1

sec

xsenx

xcos

tan xsenxx coscot

xx

tan1

cot 1cos22 xxsen

xx 22 sec1tan xx 22 csc1cot


Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden las fórmulas básicas de integración:

15. 16.

17. 18.

Cxxdx coslntan Csenxxdx lncot

Cxxxdx tanseclnsec Cxxxdx cotcsclncsc


Ejemplo:

Calcular la siguiente integral

Solución:

dyy 1tan2

Ctany ydydyy 22 sec1tan


Ejercicios para Resolver en Clases:

1. Resolver las siguientes integrales

a) b)

c)

dxxsenx cos32

dxxxcotcsc1

dxsenxx2sec

II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Entre ambas ramas existe una relación descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que se denomina Teorema Fundamental del Cálculo, el cual afirma que la diferenciación e integración son operaciones mutuamente inversas.

Ramas del Cálculo

Cálculo Diferencial

Cálculo Integral

Teorema Fundamental de Cálculo

Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b] entonces:

Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:

b

a

aFbFdxxf )()(


b

a

ba aFbFxFdxxf )()(

Propiedades de la Integral Definida

Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces:

1. Si k es cualquier constante entonces:

2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:

dxxfkdxxkfb

a

b

a


dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a


3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es integrable en [a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]:

4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:

dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a


0 dxxfa

a


5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la integral definida de b a a de f, es decir:

dxxfdxxfa

b

b

a


Ejemplo

Resuelva las siguientes integrales:

1.

2.

dxx 1

2

2 3


dxx4

1

3

Solución:1. Geométricamente la integración de la función (1)

en el intervalos [1, 2] es el área de la región sombreada:


1

2

1

2

2 3dxdxxdx3x1

2

2

121

2

3

33

xx

6338

31

32

Solución:2. Geométricamente la integración de la función (2)

en el intervalos [1, 4] es el área de la región sombreada:


14

4

1

2/34

1

21

2/333

xdxx /dxx3

4

1

2/32/3 1242

Ejercicios para Resolver en Clase

Resolver las siguientes integrales:

1.

2.

3.

dxx1

0

2


dxx

0

1

2

dxxx

1

0 3

Ejercicios de Tarea

Resolver las siguientes integrales:

1.

2.

3.

dxx

2

12

13


dxx

1

1

3 2

dxx

x4

1

2

Método de SustituciónSea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces:

Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces du=g’(x)dx y:

Este método es comparable a la regla de la cadena en la diferenciación.

II.4 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

CxgFdxxgxgf '

CuFduuf

Ejemplo:

1. Resolver la integral:

Solución:


dxxx 13 32

duuduudxxx 2/132 13

dxxdu

xu2

3

3

1

CuCu

2/32/3

32

23

C1x32 33 cx

2/33 132

Ejercicios para Resolver en Clases

1. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)


dxxx 42 12

dxxx 22 1

dxxx 5cos5

Existen dos métodos para evaluar una integral definida por sustitución.

Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en seguida aplicar el TFC, por ejemplo:

II.4.1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS

4

0

2/34

0

4

0 2/312

21

21221

12

xdxxdxx

326

12731

131

931

1231 2/32/3

4

0

2/3x

El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian los límites de integración cuando se cambie la variable, como se explica a continuación:

Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es sobre el rango de u=g(x) entonces


duufdxxgxgfbg

ag

b

a

)(

)(

'

Ejemplo

SoluciónTomando la sustitución u=2x+1 tenemos que

Hallamos los nuevos límites de integración:


dxx 4

0

12

dxdu 2 dudx21

110200 ux

914244 ux


Por lo tanto:

duu 9

1

dx12x4

0

912/39

1

2/3

9

1

2/39

1

2/1

31

32

21

322

121

uuu

duu

326

2/32/3 1931


Ejemplo:Evaluar la siguiente integral dxxx

1

0

32 1

xdxdu

xu

2

12

xdxdu

21 11000 2 ux

21111 2 ux

duuduu 2

1

32

1

3

21

21

815

44 1281 214

2

1

4

81

421

uu


Evaluar las siguientes integrales:

1.

2.

3.


dxx

x

5

1 12

dxxxe

1

ln

dxx 7

3

3

Ejercicios de Tarea

Calcular las siguientes integrales

1.

2.

3.


dxx

xx

732

dxxx

1

1

32 1

dxxx 292

Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:

Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se muestra a continuación:

II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES

dxxfxgxgxfdxxgxf ''

)(

)(

xgv

xfu

dxxgdv

dxxfdu

)('

)('

vduuvudv

Ejemplo

Solución

De manera que:


dxxsenxxudxdu

senxdvxv cos

dxxxxdxxxxdxxsenx coscoscoscos

Csenxxcosx


SoluciónNotamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces du=cosx y v=x2/2 por lo que:

es una integral mas difícil de calcular.

dxxsenx

dxxxsenxx

dxxsenx cos21

22

2

dxcosxx2

Ejemplo

Solución

De manera que:

La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.


dxex x 2

2xuxdxdu 2

dxedv xxev

dxxeexdxex xxx 222


dxxexxu dxdu dxedv x xev

Cexedxexedxxe xxxxx 2

Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que: Cexeexdxxeexdxex xxxxxx 22 222

1xxx2 C2e2xeex CC 21



1.

2.

3.

4.


dxxln

dxsenxexdxxx ln2

dxx 3sec


Fórmula de Integración por Partes para Integrales Definidas

b

a

b

a

ba vduuvudv


Ejemplo

De donde:

Por lo tanto:

dxxex1

0

dxdu

xu

x

x

ev

dxedv

101

0

1

0

1

0

1

0

xxxxx exedxexedxxe 1 10 ee

Ejercicios de Tarea


1. 5.

2. 6.

3. 7.

4.


dxxe x 2

dxxx cos

dxxsen 1

dxsen cos

dxxx2

0

2cos

dxx4

1

ln

dxxx 1

0

1tan

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