1

P1.- Un satélite de 500 kg de masa se mueve alrededor de Marte, describiendo una órbita circular a 6·106 m de su superficie. Sabiendo que la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es 3,7 m/s2 y que su radio es 3400 km, se pide:a) Fuerza gravitatoria sobre el satélite.b) Velocidad y periodo del satélite. c) ¿A qué altura debería encontrarse el satélite para que su periodo fuese el doble?

a) Datos extraídos:

Rm = 3400000 m

Rs= hs + Rm =3,4·106 + 6·106 = 9,4·106

g0m= 3,7 m·s-2

Rs

Rm

2

a) Calcular la fuerza gravitatoria que actua sobre el satélite.

• La fuerza sobre el satélite nos la da la ley de Newton de gravitación universal:

• Substituyendo [3] en [1]:

N242=

De esta ecuación nos falta la masa del planeta: Pero dado que tenemos el dato de g en la superficie:

a) Datos extraídos:

Rm = 3400000 m

Rs= 9,4·106

g0m= 3,7 m·s-2

Rs

Rm

]1[2S

SmS R

mMGF −=

]3[20 mmm GMRg =⇒]2[20

m

mm R

MGg =

SS

mmS m

R

RgF

2

20=

3

b) Calcular la velocidad y el periodo del satélite.

• Teníamos que:

• Finalmente:

Rio

Rj]8[

20

S

mmS R

Rgv =⇒

]7[2S

S

m vR

MG =

• Teniendo en cuenta la relación [3]

1·2133 −= smvS

a) Datos extraídos:

Rm = 3400000 m

Rs= 9,4·106

g0m= 3,7 m·s-2 ]3[20 mmm GMRg =

• Sustituyendola en [7] y operando

S

mmS R

Rgv

202 =

4

b) Calcular la velocidad y el periodo del satélite.

• Sabemos que :

Rio

Rj

]9[2

S

SS T

Rv

π=

• Despejamos de [9]:

•Sustituimos:

sTS 27690=

a) Datos extraídos:

Rm = 3400000 m

Rs= 9,4·106

g0m= 3,7 m·s-2

vs=2133 m·s-1

]10[2

S

SS v

RT

π=

5

c) ¿A qué altura el periodo del satélite seria el doble?

• Por la tercera ley de Kepler:

Rio

Rj

• Despejamos Rs:

• Primero averiguamos el radio de la orbita y luego le restamos el radio del planeta:

m610·9,14=

mRRh mSS6'' 10·52.11=−=

a) Datos extraídos:

Rm = 3400000 m

Rs= 9,4·106

g0m= 3,7 m·s-2

T = 25443 s

23 ·TKRS =

3 2·TKRS =

• Para el nuevo radio se duplica el periodo: ( )3 2' 2· TKRS =

• Por tanto: 3 23' ·4 TKRS =

3' 4SS RR =⇒

6

P2.- Un satelite artificial de 10 Tm de masa se mueve alrededor de un planeta describiendo órbitas circulares con un periodo de 50,47 h y un radio de 500000 km. Se pide :a) Calcular la fuerza gravitatoria que actua sobre el satélite.b) La energia cinética, la energia potencial y la total sobre el satélite.c) Si el satélite duplica su velocidad de forma repentina sin cambiar de dirección ¿que sucederá? Demuestra y razona la respuesta. e tu respuesta.

Rs

Datos extraídos:

ms = 10000 kg

Rs= 5·108 m

T = 50,47 h = 181692 s

7

P2- a) Calcular la fuerza gravitatoria que actua sobre el satélite..

Rs

Datos extraídos:

ms = 10000 kg

Rs= 5·108 m

T = 181692 s

Por la segunda ley de Newton:

]1[SSS amF =

• La aceleración que actua es la centrípeta: ]2[

2

S

ScSS R

vamF ==

•Substituyendo [3] en [2] y operando:

•Y, como sabemos: ]3[2

S

SS T

Rv

π=

]4[4

2

2

S

SSS T

RmF

π=

•Finalmente: NFS 5979=

8

P2.- b) La energía cinética, la energía potencial, y la energía total del satélite.

JmvE Sc122 10·495.1

2

1 ==

s

sPp R

mMGE −=

Calculemos primero la velocidad del satélite:

Rs

Datos extraídos:

ms = 10000 kg

Rs= 5·108 m

T = 181692 s

1·172912 −== sm

T

Rv

S

SS

π

Ahora el cálculo de la EC es inmediato:

Para calcula la energia potencial podemos usar la fórmula directa:

Pero habria que usar la tercera ley de kepler para calcular previamene la masa del planeta.

9

P2.- b) La energía cinética, la energía potencial, y la energía total del satélite.

]5[2

1PCPT EEEE =+=

Estamos calculando la energia potencial.

Rs

Datos extraídos:

ms = 10000 kg

Rs= 5·108 m

T = 181692 s

vs=17291 m·s-1

Ec=1,495·1012 J

Luego:

Recordemos que para el caso de orbitas circulares:

]6[2 CP EE −=

Finalmente de [5]:

JEP1210·990.2−=

JET1210·495.1−=

10

P2.- c) Que pasaría si de repente la velocidad orbital se duplicara? Justifica numéricamente tu respuesta.

Rs

La energía actual es (órbita circular):

Si duplicamos la velocidad:

PST EmvE += 2

2

1

PST EvmE += 2' )2(2

1

JET1210·990.2=

En consecuencia la energía total es positiva y escapará de la órbita.

Sustituyendo datos:

Datos extraídos:

ms = 10000 kg

Rs= 5·108 m

T = 181692 s

vs=17291 m·s-1

Ec=1,495·1012 J

Ep=-2,990·1012 J

P3.- Dos masas iguales de 3000kg iguales están situadas en los vértices A y B de un triángulo equilátero de 1,250 m de lado.

a) Calcula el campo gravitatorio en el vértice C del triángulo.b) Calcula la fuerza que se ejerce sobre una masa de 2 kg situada en el vértice C del

triángulo.c) Calcula el potencial sobre el vértice C del triángulo.d) Calcula el trabajo necesario para trasladar una masa desde el punto central de la línea

que une las masas hasta el vértice C de triángulo. ¿El proceso es espontáneo? ¿Por Qué?

mA=3000 kg mB=3000 kg

mirA

625,0−=

mirB

625,0=

mjrC

)60·sin(25,1=

1. Veamos el dibujo:

60º

1,250 m

C

mjmjrC

083,13625,0 ==⇒

3. Calculemos las posiciones:

2. Centremos el triangulo según la figura.

Datos extraídos:

mA = mB =3000 kg

L=1,25 m

a) Calcula el campo gravitatorio en el vértice C del triángulo.

mirB

625.0=

mA=3000 kg mB=3000 kg

C

mjrC

083.1=

gBC

El calculo de los campos:.

mirA

625.0−=

gAC

gR

ACAC

AAC r

r

mGg

3

−=

BCACR ggg +=

• Examinemos primero el esquema:

• El campo total es la suma de campos:

BCBC

ABC r

r

mGg

3

−=

Hemos de calcular los vectores.

Datos extraídos:

mA = mB =3000 kg

L=1,25 m

a) Calcula el campo gravitatorio en el vértice C del triángulo.

mirB

625.0=

mA=3000 kg mB=3000 kg

C

mjrC

083.1=

rBC

mirA

625.0−=

rAC

• El primer vector: ACAC rrr −=

)625.0(083.1 ijrAC

−−=

jirAC

083.1625.0 +=

mrAC 25,1=

• Igualmente:

jirBC

083.1625.0 +−=

mrBC 25,1=

BCBC rrr −=

• Volvamos al cálculo del campo

Datos extraídos:

mA = mB =3000 kg

L=1,25 m

a) Calcula el campo gravitatorio en el vértice C del triángulo.

jirAC

083.1625.0 += mrAC 25,1=

jirBC

083.1625.0 +−= mrBC 25,1=

• Volvamos al cálculo del campo: BC

BC

BAC

AC

AC r

r

mGr

r

mGg

33

−−=

( )[ ]jijir

mGgC

083.1625.0083.1625.0

3+−++−=

• Como las masas son iguales y los modulos de los vectores son iguales,

=====

mrrr

mmm

BCAC

BA

25,1

• Sacamos factor comun y sustituimos:

• Simplificamos:

• Finalmente:17 ·10·219.2 −−−= kgNjgC

• Podia haberse calculado solo la componente vertical ya que la horizontal se anula por simetria

b) Calcula la fuerza que se ejerce sobre una masa de 2 kg situada en el vértice C del triángulo.

mA=3000 kg mB=3000 kg

C• Tenemos como dato:

• El cálculo de la fuerza es sencillo:

17 ·10·219.2 −−−= kgNjgC

FC

CC gmF·=

• Substituyendo valores y operando:

NjFC

710·483.4 −−=

c) Calcula el potencial sobre el vértice C del triángulo.

mA=3000 kg mB=3000 kg

C• El potencial es un

escalar, se suma directamente:

• Todos los datos son conocidos

• Substituyendo valores y operando:

BCACC VVV +=

AC

A

AC

AC r

mG

r

mGV −−=

=====

mrrr

kgmm

BCAC

BA

25,1

2

JVC510·202.3 −−=

d) Calcula el trabajo necesario para trasladar una masa desde el punto central de la línea que une las masas (D) hasta el vértice C de triángulo. ¿El proceso es espontáneo? ¿Por Qué?

mA=3000 kg mB=3000 kg

C

• Calculamos el potencial en el punto medio (D) ya que el potencial en C ya lo tenemos:

• Los datos:

• Substituyendo valores y operando:

AD

A

AD

AD r

mG

r

mGV −−=

====

mrr

kgmm

BDAD

BA

625.0

2

110 ·10·269.4 −−−= kgJVD

• El trabajo se puede calcular a traves de los potenciales:

)( CDCD VVmW −=→

D

d) Calcula el trabajo necesario para trasladar una masa desde el punto central de la línea que une las masas (D) hasta el vértice C de triángulo. ¿El proceso es espontáneo? ¿Por Qué?

Dado que el trabajo es negativo el sistema pasa a un estado mas energético y por tanto el proceso no es espontáneo.

• Ahora ya tenemos los datos:

( )( )1010 10·1344.210·269.4 −−→ −−−= mW CD

−=

−=−−

−−

110

110

·10·1344.2

·10·269.4

kgJV

kgJV

C

D

D

mA=3000 kg mB=3000 kg

C

JmW CD1010·1344,2· −

→ −=

( )CDCD VVmW −=→

• Podemos calcular el trabajo:

C1 .- La figura representa las líneas de fuerza de un campo gravitatorio uniforme de 8 N/kg de módulo. Sabiendo que la distancia AB es de 14cm y que AC es de 18 cm calcula:

A

BC

a) El trabajo que habría que realizar para trasladar una masa de 2kg del punto A al punto B. ¿Sería un proceso espontáneo?

En este caso no se realiza ningún trabajo ya que el desplazamiento es perpendicular a las líneas del campo. No cabe hablar de espontaneidad

xFW

∆= ·)·cos(·· αxmgxgmW ∆=∆=

gmF

=

Dado que el campo es constante:

C1 .- La figura representa las líneas de fuerza de un campo gravitatorio uniforme de 8 N/kg de módulo. Sabiendo que la distancia AB es de 14cm y que AC es de 18 cm calcula:

A

BC

b) El trabajo que habría que realizar para trasladar una masa de 2kg del punto B al punto C. ¿Seria un proceso espontáneo?

===−=∆

Nmg

mx

168·2

1131,014,018,0 22

JW 96,18031,11·16 ==

El trabajo es positivo: se realiza a favor del campo y por tanto el proceso es espontáneo

xFW

∆= ·)·cos(·· αxmgxgmW ∆=∆=

gmF

=

Al igual que antes:

Pero ahora campo y el campo son paralelos:

xmgW ∆= ·

Consecuencias (1)

El momento angular de un sistema se conserva siempre que la suma de momentos que actúan sobre el sistema sea nula

Dado que

vmxrL=

FxrMdt

dL ==

Dado que

La conservación de L implica que la velocidad no puede cambiar de sentido

Dado que para que se conserve L: 0== FxrM

Como en los sistema planetarios r y F no son nulos la única manera de que se anule F es que r y F sean paralelos, por tanto

La conservación de L implica que el giro siempre tiene lugar en el mismo plano.

Consecuencias (2)

Los sistemas planetarios son sistemas centrales

C2.- Enuncia el teorema de conservación del momento angular. ¿Que consecuencias tiene sobre las órbitas de los planetas?

dias h y dias TP 375,2524

925925 =+==

Despejamos

RT = Distancia tierra - sol = 1,496·1011mRP = Distancia planeta - sol (incognita)TT = Periodo de la tierra = 365.25 diasTP = Periodo del planeta helioestacionario:

La tercera ley de kepler aplicada a la tierra y un planeta cualquiera: 2

2

3

3

P

T

P

T

T

T

R

R =

De esta expresión sabemos

Sustituimos y tenemos que:

C3.- Teniendo en cuenta que el sol gira alrededor de si mismo con un periodo de 25 días y 9 horas calcula el radio de la órbita de un planeta “Helioestacionario” (igual que geoestacionario pero sobre el sol).

2

233

T

PTP T

TRR =

m RP1010·53.2=

32

23

T

PT T

TRR =⇒ 3

2

=⇒

T

PTP T

TRR

C4.- Si se supone que no existe rozamiento, con que velocidad llegaría a la superficie de la tierra una masa que se abandona sin velocidad inicial en un punto del espacio situado a una altura cinco veces el radio de la tierra.

v0= 0m/s

Así:

)()(0 finalEinicialE mfm = cffpcp EEEE +=+⇒ 00

Dado que no hay rozamiento la energía mecánica se ha de conservar, así:

220 2

1

2

1

6 fTT

mvR

MmGmv

R

MmG +−=+−

Substituyendo los datos se obtiene que: vf = 10200 m·s-1

⇒

•El radio inicial seria R0=RT+5RT = 6RT

•La energía cinética inicial es nula ya que la velocidad inicial también lo es

0

Usamos los datos:

Tf R

GMv

3

5=

TT GMRg =20⇒ Tf Rgv 03

5=