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17 MOMENTOS DE INERCIA Y TEOREMA DE STEINER

OBJETIVOS

Determinacin de la constante recuperadora de un muelle espiral. Comprobacin del teorema de Steiner. Determinacin experimental del momento de inercia de diferentes cuerpos y su

comparacin con los correspondientes valores tericos.

MATERIAL

Soporte con resorte espiral Barra con dos masas mviles Esfera Cilindro macizo Cilindro metlico hueco Disco

Disco con agujeros Regla Cronmetro y clula fotoelctrica Dinammetro de 1 N Dinammetro de 3 N

FUNDAMENTO

Muelle espiral

El muelle o resorte espiral es un sistema elstico que cumple la ley de Hooke. Cuandoel sistema sufre un desplazamiento desde la posicin de equilibrio, aparece un par recuperadorque tiende a llevarlo de nuevo a la posicin inicial. Para pequeas oscilaciones, se puedeconsiderar, aplicando la ley de Hooke, que el par recuperador es proporcional al ngulo girado:

R = [1]

dondeR se denomina constante recuperadora del muelle espiral.

El perodo de oscilacin de un sistema fsico sujeto al muelle espiral viene dado, parapequeas oscilaciones, por la expresin:

2I

T = [2]

siendo Iel momento de inerciadel sistema respecto al eje de rotacin. Una vez conocido elvalor de R, es fcil estimar el momento de inercia, I, de un sistema fsico, con slo medir el

perodo de las oscilaciones como se deduce de la ecuacin [2].

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90 Tcnicas experimentales en Fsica General

Teorema de Steiner

El teorema de Steiner se enuncia de la siguiente manera: el momento de inercia de uncuerpo respecto de un eje cualquiera, es igual al momento de inercia respecto a un eje,

paralelo al dado, que pase por su centro de masas, ms el producto de la masa del cuerpo por

el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes:

2CMI I md= + [3]

siendo CMI el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masas, y d la

distancia entre ambos ejes.

Figura 1.- Muelle espiral y montaje de la barra con las masas mviles

Variacin del momento de inercia de una cuerpo con la distancia al eje

El momento de inercia del sistema, I, formado por una barra delgada y dos masascilndricas movibles dispuestas en forma simtrica sobre ella (Figura 1), respecto a un eje

perpendicular a la barra que pase por su centro es:

22( )b c

I I I md= + + [4]

siendo bI el momento de inercia de la barra respecto a dicho eje, cI el momento de inercia de

las masas cilndricas con respecto a un eje paralelo al anterior que pasa por su centro de masas,y dla distancia desde ste al centro de cada una de las masas mviles. Para un sistema comoste el periodo de las oscilaciones valdr, sustituyendo [4] en [2]:

22 24 2 2

b cT I I md R

= + + [5]

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Momentos de inercia y teorema de Steiner 91REALIZACIN

Para la realizacin de esta prctica se va a utilizar el muelle espiral con el montaje quese muestra en la Figura 1 (las masas movibles no son necesarias).

Ley de Hooke

Una forma de determinarla constanteRdel muelle espiral que se emplea en la prctica,es usar la ley de Hooke (ecuacin [1]). Para ello,

1. Se monta simtricamente la varilla en el muelle espiral.2. Mediante un dinammetro y empleando el soporte adicional para su correcta posicin

(horizontal y perpendicularmente a la varilla), se hace girar la varilla un ngulo2

= ,

anotando la lectura de la fuerza que registra el dinammetro y el brazo al eje de giro( d) en la Tabla 1. Prstese especial atencin para que el ngulo entre el dinammetro yla varilla sea en todos los casos 90 .

3. La operacin se repite para ngulos sucesivamente crecientes: /2, , 3/2, 2, ..., 5/2.4. Se representa grficamente f( ) = 5. Del ajuste de los datos a una recta por mnimos cuadrados se deduce el valor deR.

Tabla 1.- Clculo de la constante del muelleR

Brazo = d= m

ngulo (Brazo, Fuerza) = 90

ii

()i

(rad)i

(N)sin(90 )i iF d =

(N m)

( )i

(N m)1 2 3 .. .. .. ..

Teorema de Steiner

Para comprobar el teorema de Steiner y obtener de forma alternativa la constante delmuelle espiral, se emplea el disco con agujeros. El mtodo a seguir ser hallar el momento deinercia con respecto a los ejes definidos por los orificios y comprobar si siguen la expresin[3]. Para ello, mediremos el periodo de oscilacin para cada eje ya que combinando lasexpresiones [2] y [3]:

22 24

CMT I md R

= + [6]

El procedimiento que se va a seguir es el siguiente:

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Momentos de inercia y teorema de Steiner 93Tabla 3. Momento de inercia de una masa en funcin de la

distancia al eje

Barra delgada Masas mvilesMasa, bm = g Masas mviles, 2m = g

Longitud, L = cm Longitud, h = cm

Dimetro,= cm Dimetro interior int = cm

Dimetro exterior tex = cm

i id

(cm)

2id

(cm2)iT

(s)

2iT

(s)1 2

.... .... .... ....

Determinacin de la constante elstica del muelle espiral

Como valor de la constante elstica del muelle espiral, tomaremos la media ponderada delos tres valores anteriores.

Momento de inercia de slidos de geometra sencilla

En este apartado se van a comparar los momentos de inercia tericos con losexperimentales para algunos sistemas fsicos sencillos: una esfera, un disco, un cilindro hueco,

un cilindro macizo y una varilla.

Se procede de la siguiente manera:

1. Se determinan los valores tericos empleando las expresiones de la Tabla 4 y anotandoen sta los valores.

2. Se determinan los valores experimentales usando el valor deR obtenido en el apartadoanterior y empleando la ecuacin [2]. Para ello:

a) Se sujetan stos, sucesivamente, al muelle espiral.b) Se desplaza el sistema de su posicin de equilibrio un ngulo pequeo, se libera y

se mide el perodo de oscilacin, T.c) Se halla el momento de inercia experimental del objeto en cuestin, anotando los

datos en la Tabla 5.

3. Se comparan los valores obtenidos por ambos mtodos y se estudia su discrepancia.

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94 Tcnicas experimentales en Fsica GeneralTabla 4. Momentos de Inercia tericos

Sistema dimetro (cm)

m

(g)

Momento de

Inercia

I

(g cm2)Esfera ( ) 225I mr= = Disco ( ) 212I mr= =

Cilindro hueco 2I mr= = Cilindro macizo ( ) 212 mr= =

Varilla L = ( ) 2112I mL= =

Tabla 5. Valores "experimentales" del momento de inercia

Sistema T(s)

2

24

TI R

=

(g cm2)Esfera Disco Cilindro hueco Cilindro Varilla

RESULTADOS Y CONCLUSIONES

a)Grfica f( ) = , y valor de la constanteR del muelle espiral deducido del ajuste pormnimos cuadrados.

b)Para el disco con orificios, grfica 2 2f( )T d= y ajuste por mnimos cuadrados paraverificar que se cumple del teorema de Steiner, y valor de la constante R del muelleespiral.

c) Grfica 2 2f( )T d= , para las masas mviles en la varilla segn varias posicionessimtricas, ajustada por mnimos cuadrados. Valores obtenidos para 2b cI I+ yR.

d)Media ponderada de los valores deR obtenidos.e)Valor terico y experimental del momento de inercia de los diversos objetos (esfera,disco, cilindro macizo y cilindro hueco y varilla) y su comparacin.