Laboratorio de Óptica, Grupo 8791 – Semestre 2015-2 Profesor: Héctor Cruz Ramírez. Ayudante: Jorge Arturo Monroy Ruz Equipo n° 5: Jesús Isaí Ramírez Alvarado, Emmanuel de los Santos Vázquez, Abel Torres Añorve, Omar Elías Velasco Castillo.

PRÁCTICA N°2: LENTES E IMÁGENES.

RESUMEN En este reporte se da a conocer el desarrollo y los resultados de una práctica de laboratorio realizada con el uso de lentes positivas

y negativas, para posteriormente pasar a emplearlas en el montaje de dos arreglos ópticos que hagan las veces de un telescopio

kepleriano y un microscopio compuesto. Una vez determinadas las distancias focales de las lentes, que fueron de 32.7 cm +/- 7

mm en un caso con objeto infinito y 20.7 cm +/- 8 mm en otro caso para la positiva y de -46.500 cm para la negativa; se discutió

el funcionamiento de las lentes cualitativa y cuantitativamente. Después se dispuso las lentes para otro tipo de arreglos ópticos:

el telescopio y el microscopio. Finalmente con esto se realizaron los cálculos de los aumentos para las lentes en cada uno de los

casos, obteniendo una magnificación de -0.182 en el telescopio y de +2.331 para el microscopio.

OBJETIVOS 1. Medir la distancia focal de una lente positiva mediante la formación de imágenes.

2. Medir la distancia focal de una lente negativa mediante la formación de imágenes.

3. Construir un telescopio kepleriano.

4. Construir un microscopio compuesto.

INTRODUCCIÓN Como ya se anticipó, se pretende centrar nuestro

análisis para la clasificación de las lentes como

positivas y negativas.

Las lentes esféricas positivas son lentes que

convergen los rayos de luz de un objeto distante (en

el infinito) en un punto de la imagen. También son

conocidas simplemente como lentes convergentes o

positivas (+) [7]. Ambas superficies de tal lente

pueden ser esféricas, o una plana y la otra esférica.

Las lentes convexas, por otro lado, son más gruesas

en el centro que en los bordes. Son frecuentemente

lentes biconvexas con la misma curvatura en ambas

superficies [2], [4], [6].

En contraparte tenemos a las lentes negativas

esféricas, también conocidas como lentes

divergentes o negativas (-) [7], son aquellas en las que

el haz de rayos que incide diverge después de

refractarse. Estas lentes son frecuentemente

bicóncavas con la misma curvatura en ambas

superficies. Las dos superficies de estas lentes pueden

ser ambas esféricas o una plana y la otra esférica.

Siempre son lentes delgadas en el centro y gruesas en

los extremos [2], [4], [6].

Así pues, bajo este criterio de clasificación, tenemos

una definición para un instrumento óptico tal como

es la lente: una lente funge como un instrumento que

fomenta de cierta forma la convergencia o

divergencia de un haz de rayos de luz [3], que para

fines prácticos se puede ver como las imágenes de

cualquier objeto a nuestro alrededor. Es aquí cuando

se realiza una clasificación para las que se pueden

formar con ellas [7]:

Imagen real: Una imagen que se forma por

rayos de luz que convergen (y se intersectan)

en puntos de una imagen, puede recogerse

en una pantalla.

Imagen virtual: Contrariamente a una

imagen real, es una imagen imaginaria

formada por rayos divergentes de luz. Cada

punto de una imagen virtual es fuente

aparente de rayos de luz divergentes. No

puede recogerse en una pantalla.

Cualquiera de los dos tipos de imagen puede

visualizarse en un arreglo con lentes positivas y/o

negativas si se determinan los parámetros para las

distancias de recorrido de los rayos luminosos que

según la teoría son los adecuados (cf. Teoría, [2], [3]).

Precisamente antes de pasar a ella, se discuten

algunos conceptos más que son necesarios para

entender el desarrollo de este informe [3], [7]:

Distancia focal: Distancia a lo largo del eje,

entre el plano central de la lente delgada y el

sitio donde se forma la imagen de un objeto

muy lejano. Por ejemplo, si la luz procedente

de una fuente de luz distante se enfoca a 1.0

m de la lente, la distancia focal es 1.0 m.

Distancia objeto: es la distancia que hay

entre la primera lente en un arreglo y el

objeto del cual se busca obtener una imagen.

Desde otro punto de vista lo podemos ver

como la longitud de la trayectoria de la luz

de un cuerpo hasta refractarse en una

primera lente.

Distancia imagen: a grandes rasgos,

distancia (desde una lente) a la cual se

formará la imagen del objeto.

Magnificación: La razón entre el tamaño de

la imagen y el tamaño del objeto (tamaño de

la imagen/tamaño del objeto). Puede ser

positiva (si la imagen del objeto es derecha)

o negativa (si la imagen del objeto es

invertida).

Por último, en un arreglo de 2 lentes o más,

es de suma importancia definir la distancia

de separación entre ellas. Esta longitud nos

hará variar la formación de la imagen en

todos sus aspectos.

TEORÍA Para el análisis de los parámetros que describen el

recorrido de la luz en la teoría de la óptica geométrica

paraxial y de primer orden, la formación de imágenes

con lentes delgadas (el que una lente sea delgada es

una aproximación adicional) está dada por la llamada

ecuación de lentes delgadas:

1

𝑓=

1

𝑠𝑜+

1

𝑠𝑖 (𝐸𝑐. 1)

La Ec.1 también es conocida como la ecuación de

Gauss para lentes delgadas. En la Fig. 1 se muestra un

sistema óptico conformado por una fuente de luz (F),

una lente (L) de distancia focal f. Si el objeto (O) se

encuentra en la posición so, entonces la imagen se

encuentra en la posición si de tal forma que se cumple

la Ec. (1).

Fig.1. Dibujo cualitativo que muestra gráficamente

los parámetros para las distancias que puede haber

en un arreglo óptico con una lente.

Donde so es la distancia del objeto, O, ver Fig.1, a la

lente delgada L; si es la distancia de la lente al plano

donde se forma la imagen (I) y f es la distancia focal

de la lente. Existe una convención de signos para so, si

y f que se resume en la Tabla 1:

Tabla 1. Convención de signos para los parámetros

so, si y f.

Véase que de (1) se puede tener que:

𝑠𝑖 =𝑠𝑜𝑓

𝑠𝑜 − 𝑓 (𝐸𝑐. 2)

Que viene siendo una expresión para la distancia de

formación de la imagen si en términos de la distancia

focal y la distancia de la lente al objeto (para una sola

lente).

El comportamiento de so y si es sintetizado en la Fig. 2

para una lente positiva y en la Fig. 3 para una lente

negativa. Todo sistema óptico se le asocia un eje

óptico, en este caso será el eje z de la Fig. 1, el cual es

definido como la dirección de un rayo de luz que pasa

por el centro de la lente de tal forma que el rayo

reflejado y el rayo transmitido tienen la misma

dirección que el rayo incidente. El plano que se

encuentra a la distancia focal de la lente y del lado del

objeto se llama plano focal posterior, y el plano que

se encuentra a la distancia focal de la lente del lado

de la imagen se llama plano focal frontal [3].

Fig.2. Relación entre so y si para una lente positiva

(f>0).

Fig.3. Relación entre so y si para una lente negativa

(f<0).

Por otro lado, la imagen puede ser amplificada e

invertida. Lo cual se modela con la siguiente ecuación

de amplificación transversal (Mt) [3]:

𝑀𝑡 = −𝑠𝑖

𝑠𝑜 (𝐸𝑐. 3)

En un arreglo con dos lentes, llamémosles 1 y 2, se

tiene una relación:

𝑠𝑜2 = 𝑠𝑖1 + 𝑑 (𝐸𝑐. 4)

Donde d denota la distancia de separación entre las

lentes. De aquí se tiene:

𝑠𝑜2 = 𝑑 − 𝑠𝑖1

Fig. 4. Dos lentes delgadas separadas por una

distancia más pequeña que sus distancias

focales.

Fig. 5. Dos lentes delgadas separadas a una distancia

mayor que la suma de sus distancias focales, se

forma una imagen intermedia real en medio de

ambas.

Sustituyendo esto último en la Ec.2 para el caso de la

lente 2:

𝑠𝑖2 =𝑠𝑜2𝑓3

𝑠𝑜2 − 𝑓2=

{𝑑 − [𝑠𝑜1𝑓1

𝑠𝑜1 − 𝑓1]} 𝑓2

(𝑠𝑜1𝑓1

𝑠𝑜1 − 𝑓1) − 𝑓2

(𝐸𝑐. 5)

En este mismo arreglo de dos lentes, el aumento

transversal total a la imagen final es el producto de

los aumentos transversales individuales de las lentes

1 y 2, los que sufren los rayos luminosos al traspasar

cada una:

𝑀𝑇𝑡 = 𝑀𝑡1𝑀𝑡2

De donde con la ayuda de las relaciones pasadas, se

llega a una ecuación para el aumento transversal total

final:

𝑀𝑇𝑡 =𝑓1𝑠𝑖2

𝑑(𝑠𝑜1 − 𝑓1) − 𝑠𝑜1𝑓1

Donde todas son cantidades conocidas por todo lo

anterior.

Otra relación útil para la magnificación transversal, en

valor absoluto, para una lente i = 1,2,… viene dada

por:

| 𝑀𝑡𝑖 | = |

𝑓𝑖

𝑥𝑜𝑖 |

Donde f es el parámetro de distancia focal para cada

lente y xo es la distancia objeto-foco, la separación

entre el objeto y el extremo que tiene la longitud focal

DESARROLLO EXPERIMENTAL

LENTE POSITIVA.

Nuestro arreglo experimental fue alineado con ayuda

de un láser y dos diafragmas. Después de estos se

retiró el láser y se colocó una fuente de luz colimada

blanca que también se alineó con la ayuda de los

diafragmas. Terminado todo el trabajo de alineación

se procedió a colocar nuestra lente positiva, una

imagen b/n y una pantalla sobre nuestro riel

graduado con ayuda de nuestros carritos.

Se fijó nuestra lente positiva y lo que varió fue la

distancia de nuestra imagen a la lente (So), después se

encontró la imagen sobre nuestra pantalla (Si).

LENTE NEGATIVA.

El arreglo experimental es muy análogo al de la lente

positiva, lo único que varía es que en esta parte

tenemos una lente positiva e introducimos una lente

negativa con cierta f (distancia focal). Se movió la

posición de nuestra diapositiva (imagen) y se

mantuvo fijo la distancia entre la lente negativa y

positiva, con este arreglo se procedió a encontrar

nuestra Si (imagen).

TELESCOPIO KEPLERIANO

Siempre hacemos énfasis en alinear nuestro sistema

y después colocar nuestros objetos. En este punto se

usaron dos lentes positivas separadas una distancia d,

se obtiene una imagen virtual y amplificada de un

objeto que se encuentra muy lejos.

MICROSCOPIO COMPUESTO

Se colocó un objeto muy pequeño en una pantalla

blanca. El objeto se colocó cerca del plano focal de la

primera lente (nombrado objetivo) se forma una

imagen. La imagen formada por el objetivo sirvió

como objeto para la segunda lente (nombrada ocular).

La posición de esta lente fue de tal manera que

obtenemos una imagen virtual amplificada.

RESULTADOS

LENTE POSITIVA

1.- Con objeto en el “infinito”.

Tenemos la ecuación de lentes:

1

so+

1

si=

1

f

Como el objeto se encuentra, en teoría, en el infinito,

el termino dependiente de So tiende a cero y la

formula puede expresarse como

1

si=

1

f

Se procedió a colocar el objeto lo ms lejos que el

arreglo experimental permitió (1.3 m) y se encontró

el rango de visibilidad óptima entre 32 y 33.4 cm.

Entonces

f = 32.7 cm +/- 7 mm

2.- Variando la distancia del objeto con lente fijo.

Nuevamente tenemos la ecuación de lentes:

1

so+

1

si=

1

f

Se colocó la lente a una distancia fija y el objeto se

puso en tres distancias distintas a esta

SO1 = 60 cm +/- 1 mm

SO2 = 50 cm +/- 1 mm

SO3 = 40 cm +/- 1 mm

Mediante una pantalla blanca y con la luz colimada se

encontró el rango de visión óptimo de la imagen para

cada caso:

(31.4, 32.2) cm => SI1 = 31.6 cm +/- 2 mm

(35, 36.1) cm => SI2 = 35.6 cm +/- 5 mm

(42.2, 44.4) cm => SI3 = 43.3 cm +/- 11 mm

Utilizando la ecuación de las lentes, se obtuvo una

distancia focal para cada caso de:

F1 =20.7 cm +/- 6 mm

F2 = 20.8 cm +/- 8 mm

F3 = 20.8 cm +/- 9 mm

Se podría concluir entonces que la distancia focal de

la lente tenía un valor de

f = 20.7 cm +/- 8 mm

Fig. 6 Diagrama de rayos para lentes positivas. El

rayo C viene de “infinito” y pasa por el foco, el rayo E

pasa por el eje óptico y no se desvía, el rayo F pasa

por el foco y se va a “infinito”.

LENTE NEGATIVA

Fig. 7. Sistema de dos lentes, la primera negativa, la

segunda positiva. So- forma una imagen virtual con

respecto a nuestra lente negativa, esta imagen

virtual se vuelve real gracias a la ayuda de nuestra

lente positiva. So+, Si+ es la distancia de la objeto e

imagen respecto a la lente positiva, So- , Si-

distancia objeto e imagen con respecto a la lente

negativa. El foco de la lente positiva y negativa es

(f+ , f- ).

Por nuestro diagrama, sabemos que

𝑆𝑜+ = 𝑆𝑖− + 𝑑

Ahora por la ec. De Gauss para lentes delgadas

sabemos lo siguiente:

1

So ++

1

Si +=

1

f +

Sustituyendo las relaciones pasadas tenemos

𝑆𝑖− =𝑑𝑓+ + 𝑆𝑖+(𝑓+ − 𝑑)

𝑆𝑖+ − 𝑓+

La lente negativa y la positiva, están separadas

(25±0.1) cm.

Al final llegamos a la ecuación #, pero algo muy

importante que debemos recalcar, es que hemos

encontrado una relación entre nuestra imagen virtual

(l. negativa), imagen real (l. positiva) y la So-. Entonces

usando un programa creado con ayuda de Octave

(estos detalles serán colocados en un Anexo) y con

ayuda de mínimos cuadrados vamos a detectar cuál

es nuestro f-(l. negativa)

Gráfica 1. Representa los parámetros (focos) que

mejor ajustarían una curva a nuestra ecuación So- vs

Si-. El eje x representa nuestros parámetros y el eje y

representa la suma de mínimos cuadrados debido a

un cierto parámetro.

De la gráfica anterior se nota que el mínimo está entre

46 cm y 48 cm, pero nuestro programa nos arrojó que

el mejor parámetro estaba entre 46.500 cm y 47.500

cm.

Ahora graficando nuestros datos So- vs Si- tenemos lo

siguiente.

Gráfica 2. Nuestro eje x representa So- y nuestro eje y

representa Si-.

Usando a nuestros datos la siguiente curva

𝑆𝑖− =𝑆𝑜− ∙ 𝑓∗

𝑆𝑜− − 𝑓∗

Donde f* es nuestro mejor parámetro

f* =-46.500 cm

y el signo menos se introdujo debido a la convención

de signos.

Gráfica 3. Curva no lineal (ec #) ajustada a nuestros

datos experimentales, hay que observar que es un

buen ajuste y esto gracias a que se eligió el

parámetro correcto.

TELESCOPIO KEPLERIANO

Esta parte fue desarrollada muy cualitativamente y

este fue nuestro resultado. Para lograr la imagen de

la Fig.8 se aleja la imagen a una distancia muy grande

en nuestro caso de 4 m. Hay que notar que la imagen

se invierte.

Fig 8. Telescopio Kepleriano.

Fig 9. Diagrama de rayos para el Telescopio

Kepleriano.

Para el telescopio se obtuvieron los siguientes

parámetros:

f1 = 7 cm +/- .5 mm

f2 = 20 cm +/- .5 mm

xo = 380 cm +/- .5 mm

xo* = -2 cm +/- .5 mm

Tomando valor absoluto en la fórmula para la

magnificación o aumento total transversal viene dada

por:

|𝑀𝑇𝑡| = |𝑀𝑡1||𝑀𝑡2|

Donde

|𝑀𝑡1| = |𝑓1

𝑥𝑜| =

20

380= 0.052

Y

|𝑀𝑡2| = |𝑓2

𝑥𝑜 ∗| =

7

2= 3.5

Así, la magnificación fue de un orden de:

|𝑀𝑇𝑡| = (0.052)(3.5) = 0.182

Lo cual concuerda con la idea de que un telescopio

debe achicarnos la imagen de un objeto grande.

Tomamos valor absoluto para evitar la convención de

signos sin olvidar que según nuestro diagrama de

rayos, el aumento es negativo puesto que se forma

una imagen virtual (invertida, como indica la Fig. 8).

MICROSCOPIO COMPUESTO

Lamentablemente en esta parte no pudimos tomar

foto de un objeto en específico, pero ponemos el

ensamble del experimento y el respectivo análisis de

rayos. Se nota también una imagen invertida y más

grande.

Fig. 10. Microscopio Compuesto.

Fig. 11. Análisis de rayos para Microscopio compuesto.

Por su parte para el microscopio se obtuvieron los

siguientes parámetros:

f1 = 7 cm +/- .5 mm

f2 = 7 cm +/- .5 mm

xo = 10.5 cm +/- .5 mm

xo* = -2 cm +/- .5 mm

Tomando valor absoluto en la fórmula para la

magnificación o aumento total transversal viene dada

por:

|𝑀𝑇𝑡| = |𝑀𝑡1||𝑀𝑡2|

Donde

|𝑀𝑡1| = |𝑓1

𝑥𝑜| =

7

10.5= 0.66

Y

|𝑀𝑡2| = |𝑓2

𝑥𝑜 ∗| =

7

2= 3.5

Así, la magnificación fue de un orden de:

|𝑀𝑇𝑡| = (0.66)(3.5) = 2.331

Lo cual también viene de acuerdo con la idea de que

un microscopio debe agrandar una imagen

proveniente de un objeto de tamaño pequeño.

Ciertamente esta magnificación debe ser positiva, sin

considerar los valores absolutos, por nuestro

diagrama de rayos. La imagen aumentada por el

microscopio debe ser real.

DISCUSIÓN

LENTE POSITIVA

En esta parte en realidad debimos haber usado

nuestro método de mínimos cuadrados para

encontrar el foco de la lente, lamentablemente por

una mala organización del tiempo y problemas para

alinear nuestro sistema, solo pudimos tomar 3 datos

y en realidad sentimos que aplicar este método para

tres datos y va a ser mucho. Así que calculamos el

foco (y su incertidumbre) usando la ec. de lentes

delgadas. Pero algo importante de esta parte es

observar cómo se forma la imagen sobre una pantalla,

esta imagen en los libros de texto se conoce como

imagen virtual.

LENTE NEGATIVA

Para esta sección se tomaron los datos de So- y Si+,

tratamos de encontrar una relación entre ambos

datos, para esto usamos la ec. correspondiente que

es construida de alguna forma gracias a nuestro

diagrama de rayos. Después con un programa

computacional aplicamos mínimos cuadrados a

nuestros puntos SI+ y So+ (=Si-) y tratamos de encontrar

el parámetro tal que cuando sumaras ciertas cosas (cf.

Anexo) obtuvieras la suma menor. Algo muy curioso

que cabe recalcar en esta parte fue que nuestra

programa funcionaba bien, pero que teníamos

problemas con el signo del foco, hasta que después

de analizar en equipo llegamos a la conclusión que

nuestro programa necesitaba en una parte ser

multiplicado por -1, corrigiendo esta errata

empezamos a graficar nuestros parámetros(focos)

contra nuestras sumas. La gráfica 1 muestra que el

posible mínimo se puede encontrar entre 46.500 y

47.500(una distancia de 1), pero nuestro programa

nos arrojó que el parámetro que alcanzaba la menor

suma era f*=-46.500(ojo, como se trata de una lente

negativa se introduce un menos). Se grafican nuestros

puntos y con ayuda de Gnuplot® podemos ajustar

nuestros datos a la ec. correspondiente con nuestro

parámetro f*. Nótese que en realidad es un buen

ajuste, quizá podría ser ligeramente mejor, pero

debido a las incertidumbres y otros pequeños

factores difieren muy poco de nuestros datos

experimentales.

TELESCOPIO Y MICROSCOPIO

Se pudo observar lo siguiente:

Si se tienen dos lentes convergentes y una

configuración como las Fig. 9 y 11; hay que

notar que nuestros “segundas” imágenes

están después del foco, esto produce una

imagen virtual sobre nuestra segunda lente,

pero si comparamos la distancia imagen y la

distancia objeto nos daremos cuenta que la

distancia imagen > distancia objeto por lo

cual tendríamos un |M|>1 que indica un

aumento. Es por eso que en nuestras

imágenes observamos imágenes invertidas y

más grandes.

Para el telescopio se considera un objeto en

el infinito, como sabemos que esto es

imposible, nos ponemos muy lejos de

nuestro arreglo experimental.

Además de poder ver la magnificación con los cálculos

realizados, se pudo notar realmente el

“empequeñecimiento” del objeto a observar en el

telescopio kepleriano de la Fig. 8.

CONCLUSIÓN

Se observó cuál es la relación que hay entre la

distancia focal y la distancia objeto e imagen. Se nota

también que bajo ciertas condiciones de distancia

focal, distancia entre lentes o el tipo de lente, se

puede observar una imagen en una pantalla o

simplemente pasa lo contrario (imagen virtual).

Los datos obtenidos (tomando en cuenta la

incertidumbre asociada a cada uno de ellos) son muy

similares a lo dictado por la teoría. El foco encontrado

con el método de mínimos cuadrados difiere 0.500

cm del foco reportado por el laboratorio de Óptica.

El telescopio y el microscopio fueron una parte muy

esencial de la práctica pues nos enseñaron como

debemos armar un sistema de lentes para notar un

aumento en nuestra imagen final respecto a la

imagen objeto.

Por último un buen comentario sería que hay que

tener presente siempre la convención de signos para

lentes, pues de lo contrario se obtendrán datos

erróneos y se graficaran cosas no deseadas que

pueden causar conflicto al momento de analizar. Pero

su naturaleza siempre puede ser evitada en los

cálculos con valores absolutos y para determinar el

signo se realiza un diagrama de rayos adecuado para

poder tener la idea de cómo será la imagen formada

al último.

BIBLIOGRAFÍA [1] Ditchburn, R.W. (1982). Óptica [Light, en inglés].

(Julián Hernández Ferrer, trad.). Barcelona: Reverté.

(Obra original publicada en 1952).

[2] Guenther, Robert D. (1990). Modern Optics.

EE.UU.: John Wiley & Sons.

[3] Hecht, Eugene. (1998). Optics. (3a ed.). EE.UU.:

Addison-Wesley Longman.

[4] Hecht, Eugene. (1977). Teoría y Problemas de

Óptica. (Eduardo Carriazo Paz, trad.). México:

McGraw-Hill. (Obra original publicada en 1974).

[5] Oda Noda, Berta. (2005). Introducción al análisis

gráfico de datos experimentales. (3a ed.) México:

UNAM, Facultad de Ciencias, (Colección Las Prensas

de Ciencias).

[6] Pedrotti, F. y L. Pedrotti. (1993). Introduction to

Optics. (2a ed.) EE.UU.: Prentice Hall.

[7] Física Experimental III, Curso 2012 (2012).,

Lentes y Óptica del Ojo. Departamento de Física,

Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional

de La Plata. Recuperado de:

http://www2.fisica.unlp.edu.ar/materias/FEIII/

/2012/lentes.pdf.

ANEXO (PROGRAMA PARA CALCULAR MÍNIMOS CUADRADOS)

Tenemos la siguiente ecuación

∑(𝑦𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖, 𝛼))2

𝑛

yi = los datos obtenidos experimentalmente.(variable dependiente)

f(xi,α)=función propuesta evaluada en los datos obtenidos experimentalmente(variable independiente) y con un

cierto parámetro.

Si se gráfica los parámetros con respecto a la suma, se tiene que encontrar un mínimo en la función, si eso no llega a

ocurrir hay que proponer otros parámetros.

PROGRAMA

#inicio de script

So=[Conjuntos de valores

So obtenidos exp.]

Si=[Conjunto de valores

Si obtenidos exp.]

d=distancia entre las dos lentes

f2=distancia focal lente positiva

Sineg=((d*f2)+(Si.*(f2-d)))./((Si-f2))

f=linspace(46,48,100)

Suma=zeros(1,100)

for i=1:100

fun=(So.*f(i))./(So-f(i))

SS=(Sineg-fun).^2

Suma(i)=sum(SS)

plot(f,Suma)

end

[smin,j]=min(Suma)

fmin=f(j)

#fin del script

Este programa fue realizado en Octave(Linux).