Polinomios y Teoría de ecuaciones278

Ejercicios resueltos

6 –10 – 4 –3 6 2

12 4 0 – 6

6 2 0 –3 0

Bajo la línea horizontal se obtienen los coefi cientes del cociente, cuyo grado es inferior en una unidad al grado del dividendo y el último número representa el resto de la división. En este caso es 0.

Así, el cociente es 6x3 + 2x2 – 3 y el resto es 0.

8. Efectuar la división entre los siguientes polinomios:

P(x) = 5x5 – 3x2 + 6x + 12 y Q(x) = x + 1

Solución:

Usaremos división sintética (ver explicaciones del ejercicio anterior).

Dividendo P(x) = 5x5 – 3x2 + 6x + 12

Divisor Q(x) = x + 1

Coefi cientes del dividendo

5 0 0 –3 6 12 –1 O

–5 5 –5 8 –14 5 –5 5 –8 14 –2

X coefi cientes del cociente resto

Luego cociente C (x) = 5x4 – 5x3 + 5x2 – 8x + 14y el resto R (x) = – 2

Observar que el resto es independiente de x pues su grado debe ser menor que el del divisor que en este caso es uno.

9. Determinar el resto que se produce al dividir

P(x) = x6 – 3x2 + 2x – 5 por x – 1

Solución:

Para hallar la solución basta con evaluar P(1). (Solución de la ecuación x – 1 = 0, divisor igual a cero).

P(1) = 16 – 3(1)2 + 2(1) – 5

= 1 – 3 + 2 – 5 = – 5

10. Sean P(x) = x3 – ax2 + x – b y Q(x) = x3 – 2x2 + ax + b dos polinomios. Determinar a y b para que P(x) + 2 sea divisible por

x – 1 y Q(x) – 3 sea divisible por x + 1.

Solución:

P(x) + 2 = x3 – ax2 + x – b + 2

Dividiendo P(x) + 2 por x – 1:

término independiente del divisor con signo contrario.

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Polinomios y Teoría de ecuaciones 279

CAPÍTULO 5

Ejercicios

1 –a 1 –b + 2 1

1 1 – a 2 – a

1 1 – a 2 – a – a – b + 4

– a – b + 4 = 0 (1) El resto debe ser cero.

Q(x) – 3 = x3 – 2x2 + ax + b – 3

Dividiendo Q(x) – 3 por x + 1

1 –2 a b – 3 –1

–1 3 – a – 3

1 –3 a + 3 – a + b – 6

– a + b – 6 = 0 (2) El resto debe ser cero.

Resolviendo el sistema (1) y (2).a + b = + 4 fi a = – 1 y b = 5a – b = – 6

1. Dados los siguientes polinomios, determine su valor para el nú mero real indicado:

a) P(x) = 5x6 – 3x4 + 2x2 – 1 x = 2

b) P(x) = –x5 – 2x4 + x3 + x2 – 3x – 1 x = –1

c) P(x) = 4x4 – 3x + 4 x = 0

d) P(x) = 36x6 – 2x5 – x – 3 x = 1

2

e) P(x) = 2x4 – x3 + 3x2 – x + 2 x = 4

f) P(x) = x3 – x + 2 x = –3

g) P(x) = 3x3 + x2 + 5x x = –2

h) P(x) = 2x2 – x + 5 x = 5

i) P(x) = 1

2 x4 – x2 + 2

3x – 1 x = 2

j) P(x) = x5 – x4 – x3 + x2 + x – 1 x = 1

k) P(x) = x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1 x = –1

l) P(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 x = 1

m) P(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 x = –1

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