Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”1

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

PÁGINA 38

48 Reduce a una sola potencia.

a) (x2)5 b) (m4)3 c) [a10 : a6]2

d) (a · a3)3 e) (x5 : x2) · x4 f ) (x6 · x4) : x7

a) (x2)5 = x10 b) (m4)3 = m12 c) [a10 : a6]2 = a8

d) (a · a3)3 = a12 e) (x5 : x2) · x4 = x7 f ) (x6 · x4) : x7 = x3

49 Expresa como una potencia única.

a) 52 · (–5)3 b) (–6)8 : (–6)5 c) [74 · (–7)4] : (–7)6

d) (24)3 : 29 e) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 f ) (52)5 : [(–5)3]2

a) 52 · (–5)3 = –55 b) (–6)8 : (–6)5 = –63 c) [74 · (–7)4] : (–7)6 = 72

d) (24)3 : 29 = 23 e) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 = –33 f ) (52)5 : [(–5)3]2 = 54

50 Opera y calcula.

a) [29 : (23)2] · 53 b) 102 : [(52)3 : 54]

c) 63 : [(27 : 26) · 3]2 d) [(62)2 · 44] : (23)4

a) [29 : (23)2] · 53 = [29 : 26] · 53 = 23 · 53 = 103 = 1 000

b) 102 : [(52)3 : 54] = 102 : [56 : 54] = 102 : 52 = (10 : 5)2 = 22 = 4

c) 63 : [(27 : 26) · 3]2 = 63 : [2 · 3]2 = 63 : 62 = 6

d) [(62)2 · 44] : (23)4 = [64 · 44] : (23)4 = [6 · 4]4 : (23)4 = [3 · 23]4 : (23)4 = 34 = 81

■ Raíces de números enteros

51 Calcula.

a) √49 b) √72 c) √– 49

d) √152 e) √225 f ) √–225

g) √2 500 h) √502 i ) √–2 500

a) ±7 b) ±7 c) No existe.

d) ±15 e) ±15 f ) No existe.

g) ±50 h) ±50 i) No existe.

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Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

52 Calcula las raíces siguientes:

a) √x 2 b) √(–x )2 c) √–x 2

d) √a 4 e) √(–a )4 f ) √–a 4

g) √m 6 h) √(–m )6 i ) √–m 6

a) ±x b) ±x c) No existe.

d) ±a2 e) ±a2 f ) No existe.

g) ±m3 h) ±m3 i) No existe.

53 Calcula, si existen, estas raíces:

a) ³√1 b) ³√–1 c) ³√64

d) 4√625 e) 4√–625 f ) 4√10 000

a) 1 b) –1 c) 4

d) ±5 e) No existe. f ) ±10

54 Calcula.

a) ³√a 3 b) 4√x 4 c) 5√m5

a) a b) ±x c) m

55 Observa el ejemplo y razona, en cada caso, de manera similar.

• 4√x12 = x3, puesto que (x3)4 = x3 · 4 = x12

a) ³√a 12 b) 5√m10 c) √x 10

a) ³√a12 = a4, ya que (a4)3 = a4 · 3 = a12

b) ⁵√m10 = m2, ya que (m2)5 = m2 · 5 = m10

c) √x10 = ±x5, ya que (x5)2 = x10 y (–x5)2 = x10

■ Interpreta, describe, exprésate

56 El brazo mecánico de un robot ha sido programado de la siguiente forma:

— Encendido: inicio del programa.

— Primer minuto: avanza 1 cm y retrocede 5 cm.

— Segundo minuto: avanza 2 cm y retrocede 5 cm.

— Tercer minuto: avanza 3 cm y retrocede 5 cm.

— …

Y así continúa, hasta que, al final de un determinado minuto, se encuentra en la posición inicial. Entonces repite el proceso.

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Unidad 1. Divisibilidad y números enteros

¿Cuántas veces repite el ciclo en hora y media? Justifica la respuesta.

MINUTO 1 2 3 4 5

AVANCE 1 2 3 4 5

RETROCESO 5 5 5 5 5

VARIACIÓN – 4 –3 –2 –1

POSICIÓN – 4 –7 …

Veamos cuánto dura un ciclo completo:

MINUTO 1 2 3 4 5 6 7 8 9

AVANCE 1 2 3 4 5 6 7 8 9

RETROCESO 5 5 5 5 5 5 5 5 5

VARIACIÓN – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

POSICIÓN – 4 –7 –9 –10 –10 –9 –7 –4 0

Un ciclo completo dura 9 minutos.

Por tanto, en hora y media (90 min), repetirá el ciclo 90 : 9 = 10 veces.

57 Una plataforma petrolífera marina se sostiene sobre flotadores, a 55 metros sobre la superficie del agua, anclada en una zona con una profundidad de 470 m.

Sobre ella, hay una grúa de 35 m de altura, de la que pende un cable y en su extre-mo un batiscafo auxiliar para los trabajos de mantenimiento de la plataforma.

En este momento, la grúa ha largado 120 metros de cable y sigue bajando el batis-cafo a razón de un tercio de metro por segundo.

a) ¿Cuál o cuáles de estas expresiones representan la distancia del batiscafo al fondo en este momento?

470 + 55 + 35 – 120 470 – [120 – (55 + 35)] (470 + 55) – (120 – 35)

b) ¿Cuánto tardará el batiscafo en llegar al fondo?

c) ¿Cuánto tardará la grúa en izar el batiscafo hasta la superficie de la plataforma, si sube a la misma velocidad que baja?

a) Todas las expresiones son equivalentes y representan la posición del batiscafo, que está a 440 m del fondo.

b) Tardará 440 · 3 = 1 320 segundos. Esto es, 1 320 : 60 = 22 minutos.

c) Desde el fondo hasta la plataforma, hay 470 + 55 = 525 m.

Tardará 525 · 3 = 1 575 s = 26,25 min = 26 min 15 s

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