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Mayor Menor Diferencia Cociente Resultado aproximado11 1 10 11 / 1 1112 2 10 12 / 2 613 3 10 13 / 3 4,3333...14 4 10 14 / 4 3,515 5 10 15 / 5 316 6 10 16 / 6 2,6666...20 10 10 20 / 10 240 30 10 40 / 30 1,333...80 70 10 80 / 70 1,14285...

100 90 10 100 / 90 1,1111...Si bien la distancia (medida en aos) es y ser siempre la mis-

ma mientras ambos estn vivos, el cociente va cambiando a me-dida que avanza el tiempo. Ese numerito se va haciendo cada vez ms chico, como se aprecia en la tabla adjunta. Es ms: si usted presta atencin a esa tabla con un poco ms de cuidado, ver que el cociente es un nmero que se va aproximando a uno. Es decir, a medida que van creciendo los dos nios, el nmero no slo se hace ms pequeo, sino que cada vez est ms cerca de uno.

Desde el punto de vista de las equivalencias, lo que est di-ciendo es que una persona de 80 aos y otra de 90 tienen ya muchas similitudes. Es muy fcil descubrir quin es mayor en el caso de 12 y 2 aos (respectivamente). Sin embargo, entre dos personas que se lleven 10 aos pero de las cuales uno tiene 80 y el otro 90, es muchsimo ms difcil.

Es decir, que del hecho de que ese cociente entre las edades sea un nmero que se acerque al nmero uno, lo que est dicien-do es que cada vez, a medida que va pasando el tiempo, cada vez son ms parecidos!

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De hecho, si yo le preguntara a usted: ac tiene dos nmeros (llammoslos a y b). Son iguales? Una manera sera restar los dos nmeros, y fi jarse si el resultado es cero. Sin embargo, otra forma equivalente, sera dividir uno por el otro, y en ese caso, el resultado debera ser... el nmero uno.

Y eso es muy importante. La forma ms usual de decidir si dos cantidades son iguales o si estn cerca en magnitud o si son equivalentes... es dividir una por otra y fi jarse si uno obtiene un nmero cercano a uno. Cuanto ms cerca de uno est, ms pare-cidos son los nmeros que uno est comparando31.

Tomemos el caso de una moneda. Uno cree que porque la probabilidad de que salga cara o ceca es (o 50%) para cada lado, esto signifi ca que si uno tira la moneda 100 veces, entonces saldr la mitad de veces cara y la otra mitad, ceca. O sea, uno querra que la diferencia entre caras y cecas sea cero, porque cree que habr el mismo nmero.

Y eso no es as, ni tiene que serlo. Nadie garantiza (porque sera falso) que si uno tirara una moneda 10 veces saldrn tan-tas caras como cecas. Pero lo que s va a suceder es que a me-dida que uno siga tirando la moneda al aire, la divisin entre el nmero de caras y de cecas se acercar al nmero 1, como pasaba en la tabla con las edades de los nios. Bien podra suce-der que uno tirara una moneda un milln de veces y que saliera en 510.000 ocasiones cara y 490.000 veces ceca. La diferencia entre los dos casos es de veinte mil!, pero el cociente (510.000 / 490.000) = (aprox.) 1,04.

31. Sera interesante (aunque escapa al objetivo de este libro) hablar de la diferencia entre error absoluto y error relativo que aparece en las mediciones fsicas. Uno podra desviarse en miles de kilmetros midiendo la distancia entre estrellas, pero el error relativo podra ser muy pequeo.

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Es decir, si tirramos la moneda indefi nidamente, la diferen-cia entre el nmero de caras y de secas puede ser enorme, e in-cluso ir agrandndose cada vez ms, pero lo importante es que el cociente debera tender a uno!

Y eso es lo que le interesa. Eso es lo que en matemtica se llama La Ley de los Grandes Nmeros.

Por ltimo, quiero retomar la pregunta que haba quedado planteada despus del ejemplo del casino de Monte Carlo en donde el color negro se repiti 26 veces seguidas en una de las mesas de ruleta: Por qu no se altera la probabilidad de que salga el mismo color repetido tantas veces?.

Antes que siga yo, se siente en condiciones de conjeturar una potencial respuesta despus de lo que ley hasta ac?

Pensmoslo juntos: es que uno ahora ya sabe que del hecho de que la probabilidad de que salga colorado o negro sea la mis-ma no se desprende que el nmero de colorados y negros sea el mismo. Puede salir cien o mil veces seguidas el mismo color y eso no altera nada. Lo que importa es saber que el cociente entre esos dos nmeros se acercar a uno a medida que las jugadas se sigan sucediendo.

Por eso, si usted va a apostar o jugar en algn juego de azar, le conviene leer algo de probabilidades porque es muy posible que lo que usted cree que va a pasar, no sea lo que predice la ciencia.

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Aos bisiestos

El ao 2012 (como tantos otros) lleg con 29 de febrero in-cluido. Por qu? Por qu sucede que hay febreros que tienen 29 das y otros que no? Qu pasara si no hubiera aos bisiestos32? Quin lo decidi? Desde cundo? Ac van algunas respuestas.

Hace no mucho tiempo le que si bien la Tierra tiene mu-chsimos problemas, por lo menos garantiza una vuelta al Sol gratis todos los aos. Ahora bien: uno podra pensar que ese giro (alrededor del Sol) lleva exactamente 365 das. Pero no es as. La vuelta completa tarda un poco ms: 365,242190419 das. Por ahora, para no contabilizar tantos decimales, digamos 365,25 y despus miramos juntos (usted y yo) qu nos estamos perdiendo con los datos que no incluimos. En este caso, seran 365 das y

32. En latn, un da determinado, por ejemplo el 24 de febrero, se deca: Ante diem sextum kalendas martias. Esto se entendera en castellano como: Da sexto antes del primero de marzo. Algo as como faltan seis das para el primero de marzo. Pero como los romanos no tenan 29 de febrero, pero s tenan dos das 24 de febrero, que sera el 24 bis, cada cuatro aos apareca este da, y el sacerdote encargado de anunciarlo deca: Ante diem bis sextum kalendas martias, o lo que es lo mismo (casi): Hoy es el da bis sexto antes del primero de marzo. Y de esa frase, surge la palabra bisiesto, por bis sextum (fuente: etimologias.dechile.net).

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un cuarto, o sea, 365 das y 6 horas. Estas 6 horas que sobran, en cuatro aos se transformaran en un da. Si no incluimos all el 29 de febrero, quedara como 1 de marzo cuando debera ser 29 de febrero. En 8 aos, pasar a ser 2 de marzo, y as siguiendo. En 40 aos en lugar de tener un 29 de febrero tendramos el 10 de marzo, en 80 aos sera un 20 de marzo y un poco ms de un siglo, ya nos adelantamos un mes.

Esto, dicho de esta forma, parece irrelevante. Slo que termi-naramos teniendo veranos en junio e inviernos en enero (y al revs en el Hemisferio Norte). Las playas de Mar del Plata esta-ran invadidas de gente en agosto y los que esquan en Bariloche viajaran hacia all en febrero. El da de la primavera se festejara en abril y, si usted es religioso, las Pascuas caeran en octubre.

Pero ms an: el problema estara en que esto ira variando con el tiempo, con lo cual en lugar de recordar cundo un ao es bisiesto, tendramos que llevar la cuenta de cmo van suce-dindose las estaciones a medida que van pasando nuestras vidas y sera virtualmente imposible programar cualquiera tipo de acti-vidad que tuviera alguna relacin con las estaciones.

El emperador romano Julio Csar fue el primero que tom nota de la situacin y agreg un da al calendario empezando en el ao 45 antes de Cristo. Se lo conoce con el nombre de Calen-dario Juliano y sigui en vigencia en algunas partes del mundo hasta el siglo XX. Pero fue un papa (s, un papa) el que introdujo la modifi cacin ms esencial. Gregorio XII instituy el da 29 de febrero cada cuatro aos, y comenz la era de los aos bisiestos. Esto sucedi en 1582. Por supuesto, para no ser menos que Julio Csar cuyo calendario se llama Juliano, el nuevo calendario lleva el nombre de Gregoriano. Cuando se produjo esa modi-fi cacin, en marzo de 1582, el calendario le erraba a la fecha correcta por 10 das! Por lo tanto, y preste atencin a esto, el da

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siguiente del 5 de octubre de 1582 no fue 6 de octubre, sino que pas directamente al 15. Se imagina ahora a todo el planeta po-nindose de acuerdo en algo semejante? Resulta hasta gracioso imaginar una reunin en las Naciones Unidas discutiendo sobre un cambio de este tipo.

Tampoco fue fcil en esa poca, no crea. Por ejemplo, la igle-sia ortodoxa rusa todava usa el calendario juliano. Por ejemplo, la Navidad para ellos llega el 7 de enero. Cada siglo pierden un da. El grupo de personas que se guan por esas convenciones, estn 13 das atrs de nosotros, y en el ao 2100 llegarn a 14.

Pero como deca antes, agregar un 29 de febrero cada cuatro aos no resuelve el problema en forma completa. Es que la Tierra no entiende de nmeros redondos. Sera muchsimo ms fcil que efectivamente diera el giro alrededor del Sol en 365 das y un cuarto. Bastara cada tanto con agregar un da ms al calen-dario y listo. Pero no. En realidad, no tarda 365,25, sino que una buena aproximacin es aceptar que le lleva 365,242190419 das.

Los efectos de tantos decimales seran solamente perceptibles si furamos a vivir decenas de miles de aos. Presumo que para entonces, quienes nos sigan, se habrn ocupado de encontrar al-guna otra solucin que la que usamos ahora.

No obstante, si bien tantos decimales no son necesarios, s hace falta considerar algunos ms. Si uno acepta 365,2425 con cua-tro dgitos despus de la coma entonces el 29 de febrero cada cuatro aos no es sufi ciente. Es que ese pequeo factor de 0,0025 obliga a saltearse algunos aos bisiestos y compensar con otros.

Y eso hacemos: si bien todos los aos que son mltiplos de cuatro son bisiestos (por eso 2004 fue bisiesto, igual que 2008, 2012, 2016, 2020, 2024 y as siguiendo) los que son mltiplos de 100, no. Y esto ya es un incordio de acordarse: los aos 1700, 1800 y 1900 no fueron bisiestos.

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Y cuando uno est dispuesto a decir que ya entendi todo, fal-ta un dato. Para seguir compensando esos decimales que parecan tan intrascendentes, hace falta que s sean bisiestos los mltiplos de 400! Es decir, el ao 2000 que NO debi ser bisiesto, sin em-bargo lo fue porque es mltiplo de 400, y lo mismo suceder con el ao 2400.

En cada ciclo de 2.000 aos hay 485 aos bisiestos y, por lo tanto, 485 das que caen en 29 de febrero. Esos son los que he-mos agregado y reconocido hasta ac.

En fi n. Los nmeros decimales que parecan tan irrelevantes (y de hecho, a partir del cuarto dgito lo son33), tienen una in-cidencia muy singular en nuestra vida cotidiana. Si no hubiera aos bisiestos, las estaciones empezaran a correrse (a baja velo-cidad34, pero se correran) y cualquier planifi cacin que depen-diera de ellas sera una tortura.

La ltima pregunta que la/lo invito a pensar es la siguiente: un nio que naci el 29 de febrero de 2004, cuntos aos cum-pli el pasado 29 de febrero de 2012? Dos u ocho?

33. Si uno considerara algunos decimales ms, descubrira que cada 4.000 aos (el primero sera el ao 4.000, despus el 8.000, etc.) esos aos tampoco seran bisiestos! Es decir, a pesar de que 4.000 es mltiplo de 400, se sera el primero en el que, debiendo tener un 29 de febrero, no lo va a tener. Sin embargo, a esa altura, a quin le va a importar?

34. Se correran ocho das cada mil aos.

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Diputados y senadores

El prximo caso esespecialpara diputados, senadores, funcio-narios pblicos, gente que toma decisiones. Les pido que lean con atencin lo que sigue y vern como en algn momento de sus vidas se tropezaron (o se tropezarn) con un problema pare-cido. Ac va.

Una compaa maderera (y papelera) est muy interesada (obviamente) en talar rboles en un bosque del noroeste ar-gentino. El rea est repleta de pinos, a tal punto que despus del ltimo relevamiento de la zona se sabe que el 99% de los rboles de esa regin son justamente pinos: un lugar ideal para predar. A la compaa maderera en cuestinnicamentele in-teresan los pinos y ya estn listos para fi rmar un contrato con los dueos de la tierra.

Los residentes de la zona y las organizaciones sociales sabien-do lo que est por pasar, luchan para que no se tale ningn rbol. Sin embargo, como buenos conocedores de que eso no habra de prosperar (por la cantidad de dinero que hay en juego) es-tn dispuestos a hacer algunas concesiones. Para eso, presionan a los funcionarios pblicos que tienen la obligacin de regular esa rea y logran que se incorpore al contrato una clusula que impone algunas restricciones.

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En un gesto que resulta curioso, es la propia maderera la que enva el texto de la clusula que termina siendo aceptado y, ms an, votado por la abrumadora mayora de los legisladores, quie-nes encerrados entre la oferta de la empresa y el reclamo popular encontraron fi nalmente una va de solucin.

As las cosas, le pido (a usted) que ahora lea con cuidado el siguiente texto:

Se permite a la maderera tal y cual proceder a la poda de pi-nosnicamente.Habida cuenta de que a la fi rma del contrato, el nmero de pinos del rea representa el 99% del total de rboles, la empresa tendr 60 das para realizar su tarea, y al fi nalizar la poda, la cantidad de pinos remanentes tendrn que representar el 90% del total de rboles de la zona en discusin.

Con esta clusula, todo el mundo qued satisfecho. Los pobla-dores y referentes sociales, si bien no haban logrado que la regin resultaraintocablecomo pugnaron en un principio entendie-ron que reducir de un 99% a un 90% no pareca un episodio tan grave. Y lo mismo sucedi entre los funcionarios que la terminaron aprobando casi por unanimidad. Ni que hablar de la maderera.

Qu pas cuando termin la poda? Pas que se arm un es-cndalo increble, con tomas de ruta, quemas de neumticos, funcionarios acusados de corrupcin, escraches pblicos, solici-tadas en los diarios denunciando atropellos/abusos y violaciones al contrato fi rmado a los dueos de la compaa. En defi nitiva, un desastre.

Por qu? Qu pas? No era que el contrato estipulaba que al fi nalizar la poda los pinos tenan que representar el 90% del total de rboles de la zona? Cuntos pinos termin llevndose la compaa? Si el contrato se respet, qu fue lo que funcion mal?

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Antes de sacar conclusiones, le propongo que hagamos algu-nas cuentas y despus revisemos quin tiene/tena razn.

Caso testigo

Supongamos que en el bosque hubiera 100 rboles nada ms. Entonces, como se sabe que el 99% son pinos, eso quiere decir que 99 de los 100 rboles son pinos. En todo caso, solamente uno es un no pino (por ponerle algn nombre35). Lo que queremos hacer es calcular cuntos pinos se llev la maderera.

Lo que sabemos seguro es que el nico rbol queno era un pino tiene que estar entre los queno se llev la compaa.Pero (y ac le pido que me preste atencin) la diferencia est en que mientras ese nico rbol representaba el 1% del total de rboles antes de la poda, una vez fi nalizada, ese nico rbol, ahora tiene que representar el 10% de los que quedaron.

Y cul tiene que ser el total de rboles que quedaron para queunrbol constituya el 10%? (Quiere pensar la respuesta usted?) Cuntos rboles tiene que haber para que 1 sea el 10% del total?

S, la respuesta que usted pens es correcta:unoes el 10% de 10. O sea, luego de la poda, el total de rboles se redujo a diez!Por lo tanto, la compaa maderera se llev 90 pinos! de los 99 que haba al principio.

35. Cuando Carlos DAndrea estaba revisando el texto, me envi un men-saje con esta observacin que quiero compartir: No conoca este problema, me parece MUY interesante la presentacin. Ahora, yo sacara el no pino y pondra algo as como que slo hay pinos y abetos. Eso de no pino es muy de matemticos. Confi eso que cuando lo le estall en una carcajada. No cambi en el texto el NP (no pino), pero si a usted le resulta ms cmodo o familiar, use la idea de Carlos y piense en abetos, por ejemplo.

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O sea,nadie viol ningn contrato!Lo que pas es que ha-berles permitido podar los pinos que haba (99) hasta reducir la cantidad de manera tal que despus de la poda, el nmero de pinos represente el 90% del total de rboles que quedaron, le permiti a la empresa llevarse 90 de los 99 pinos que haba. Y nadie puede reclamar nada! O mejor dicho, s, hay mucho para reclamar: hay que saber hacer las cuentas antes! Hay que sa-ber leer las clusulas que involucran porcentajes bien explcitos, pues una sociedad no bien educada puede en principio ig-norar el dao al que se est sometiendo.

Las compaas (madereras o no) no ignoran esto. Y ya no me estoy refi riendo a la letrachicade un convenio. No. Me refi ero a algo mucho ms evidente y fl agrante: es la propia letra del con-trato la que fue fi rmada.

Est claro que el ejemplo36 es fi cticio. La subnota adjunta ex-plica que lo mismo sucedera en el caso general, cuando el total de rboles no fuera 100: vale siempre, en la medida en que se respeten los porcentajes indicados.

Pero lo que no nos debera pasar es creer que porque en apariencia reducir de un 99% a un 90% no es tan grave, sin embargo, resulta ser un desastre, que es lo que se quera evitar. No hubo engao: hubo ignorancia. Y a eso s que no tenemos derecho.

36. La esencia de este problema fue ideada por dos matemticos: Ser-gio Yuhjtman y Cristian Czubara. Sin ellos, este artculo no hubiera existido. Todo el crdito les corresponde a ellos.