FRACTURA Y MECANICA DE FRACTURA

FRACTURA Y MECANICA DE FRACTURAPANDEO DE COLUMNAS

IntroduccinLos diferentes elementos que conforman una estructura pueden fallar por diferentes motivos, dependiendo de los materiales utilizados, tipos de cargas, ligaduras y apoyos.Muchos de estos tipos de fallos se podran evitar, dimensionando dichos elemento de tal forma, que las tensiones y deformaciones mximas que se produzcan permanezcan dentro de los lmites admisibles y as se efectuaran los dimensionamientos a resistencia y rigidez.Pero existen otros tipos de fallos, como es el fallo por inestabilidad o pandeo, que puede tener lugar en el caso de elementos estructurales esbeltos sometidos a comprensin. En estos casos, el elemento puede aparecer una flexin lateral que puede llegar a ser grande y hacer fallar al elemento.

La aparicin de dicha flexin lateral, su rpido crecimiento y la prdida total de estabilidad del elemento y el consiguiente colapso de la estructura, constituyen el estudio del pandeo.En el presente trabajo se analizar el comportamiento de las columnas y se indicaran algunos de los mtodos que se emplean para disearlas. El trabajo comienza con un estudio general del pandeo, seguido de una determinacin de la carga axial necesaria para pandear una columna que se denomina ideal. Despus se aborda un anlisis ms realista, que toma en cuenta cualquier flexin de la columna. Adems, se presenta el pandeo inelstico de una columna como un tema especial. Al final del captulo se analizaran algunos de los mtodos usados para disear columnas cargadas de manera concntrica y excntrica, las cuales estn fabricadas con materiales comunes de ingeniera.

Pandeo de columnasCARGA CRTICACada vez que se disea un elemento, es necesario que cumpla con requisitos especficos de resistencia, deflexin y estabilidad. En los captulos anteriores se han analizado algunos de los mtodos que se usan para determinar la resistencia y de la deflexin de un elemento, en los que siempre se supone que el elemento se encuentra en equilibrio estable. Sin embargo algunos elementos pueden estar sometidos a cargas de compresin y dichos elementos son largos y delgados, la carga puede ser lo suficientemente grande para hacer que el elemento experimente deflexin lateral o se ladee. En especfico, los elementos largos y delgados que se someten a una fuerza de compresin axial se denominan columnas, y la deflexin lateral que se produce se llama pandeo. Con mucha frecuencia, el pandeo de una columna puede llevar a una falla repentina y dramtica de una estructura o mecanismo y, como resultado, debe prestarse atencin especial al diseo de las columnas para que puedan soportar con seguridad las cargas previstas sin pandearse.

Fig.1:a) Carga axialb) Deflexin lateral

La carga axial mxima que puede soportar una columna cuando est al borde del pandeo se llama carga critica, , figura 1a .Cualquier carga adicional har que la columna se pandee y, por lo tanto, sufra una deflexin lateral como se muestra en la figura 1b.Con el fin de comprender mejor la naturaleza de esta inestabilidad, considere un mecanismo de dos barras consistentes en barras rgidas sin peso que se conectan mediante un pasador, como se muestra en la figura 2.Cuando las barras estn en posicin vertical, el resorte, con una rigidez K, se encuentra sin estirar y se aplica una pequea fuerza vertical P en la parte superior de una de las barras. Esta posicin de equilibrio puede alterarse al desplazar el pasador en A una pequea distancia figura 2b. Como se demuestra en el diagrama de cuerpo libre del pasador cuando las barras se desplazan fig. 2c, el resorte producir una fuerza de restauracin F = K, mientras que la carga aplicada P desarrolla dos componentes horizontales, =, que tiende a empujar al pasador (y a las barras) ms lejos del equilibrio. Como es pequeo, (L/2) y tan . As la fuerza de restauracin del resorte se convierte en y la fuerza perturbadora es 2P = 2P. Si la fuerza de restauracin es mayor que la fuerza perturbadora, es decir, KL/2 2P entonces como se cancela, se puede despejar P, donde resulta: Equilibrio estableEsta es una condicin de equilibrio estable puesto que la fuerza desarrollada por el resorte es adecuada para restaurar las barras hasta su posicin vertical. Sin embargo, si , o bien Equilibrio inestableEntonces el mecanismo se encuentra en equilibrio inestable. En otras palabras, si se aplica esta carga P y ocurre un ligero desplazamiento en A, el mecanismo tiende a moverse fuera del equilibrio y no se restaurara a su posicin original.

Fig.2:

El valor intermedio de P, que requiere KL/2=2P, es la carga critica aqu. Equilibrio neutroEsta carga representa un caso del mecanismo en equilibrio neutro. Como es independiente del (pequeo) desplazamiento de las barras, cualquier alteracin ligera del mecanismo no causara que se aleje del equilibrio, ni se restaurara a su posicin original. En cambio, las barras se mantendrn en la posicin con deflexin.Columnas IDEALES

Columna con extremos articulados sometida a compresin, al incrementar gradualmente la carga axial P, se alcanza una condicin de equilibrio neutro en que la columna puede tener una forma flexionada; el valor correspondiente a la carga, es la carga critica Pcr. Con esta carga la columna puede sufrir pequeas deflexiones laterales sin cambios en la fuerza axial; una pequea carga lateral producir una forma flexionada que no desaparece cuando se elimina la carga lateral. La carga critica puede mantener la columna en equilibrio ya sea en posicin recta o en una posicin un tanto flexionada. A valores mayores de la carga, la columna es inestable y puede fallar por pandeo; es decir por flexin excesiva. Para el caso ideal, la columna estar en equilibrio en posicin recta, cuando la carga axial P sea mayor que la carga critica; sin embargo, la mnima perturbacin ocasionara que la columna se flexione en sentido lateral. Una vez esto pasa, las deflexiones aumentan de inmediato y la columna falla por pandeo. En resumen: Si P < Pcr la columna esta en equilibrio estable en posicin recta.Si P = Pcr la columna estar en equilibrio neutro en posicin recta o ligeramente flexionada. Si P > Pcr la columna estar en equilibrio inestable en posicin recta y se pandeara ante la ms pequea perturbacin.

Cargas axiales especficas o cargas crticas de pandeo correspondientes a todos los modos de deformacin porpandeo:Pcr =

La menor carga crtica est asociada a n = 1, y corresponde al primer modo de deformacin por pandeo:Pcr =

A continuacin se presenta un grfico quedescribe la geometra de las deformaciones causadas por el pandeo de acuerdo con los tresprimeros modos de deformacin. Fig. 3

Debe anotarse que, en elpresente caso, la carga crtica depandeo para el segundo modo de deformacin es 4 veces mayor que la carga crtica de pandeo para el primer modo de deformacin, y la carga crticade pandeo para el tercer modo de deformacin es 9 veces mayor que la carga crtica de pandeo para el primer modo de deformacin. Es evidente que el primermodo de deformacin controlar el pandeo delas columnas. El segundo modo de deformacin tiene utilidadpor su semejanza a lasdeformaciones producidas por estados de carga flexionantes frecuentes, que afectan a las columnas, loque podra provocar una amortiguamiento temporal del primer modo dedeformacin en elementos estructurales reales (no ideales).Los restantes modos de deformacin tienen una utilidadestrictamente acadmica, por loque no son trascendentales para la prctica ingenieril. Para otros tipos decondiciones de borde (bordes empotrados, bordes libres, bordes elsticamente sustentados, etc.), la ecuacin bsica de Euler para elprimer modo de deformacin se vemodificada por un factor de forma de la elstica de deformacin que afecta a la longitud depandeo:Pcr = Donde k toma los siguientes valores para condiciones de bordebien definidas: Barras apoyadas - apoyadas k = 1.00

Barras empotradas en un extremo y libres en el otro k =2.00

Barras empotradas en los dos extremos k= 0.50 Barras empotradas en un extremo y apoyadas en el otro k = 0.70

Tericamente, una columna perfecta sometida a una compresin axial creciente, nodebera presentar ninguna seal de deformacin transversal hasta que la cargaaxial iguale a lacarga crtica de pandeo correspondiente al primer modo, momento en elcual la estructura pierde estabilidad yse pueden producir deformaciones transversales de cualquier magnitud y en cualquier direccin, sin queel elemento sea capaz de recuperar su geometra original.Este comportamiento terico puede ser descrito mediante el siguiente grfico.

Fig.4

En una columna real esimposible evitar la presencia simultnea de cargas axiales ymomentos flectores, por muy pequeos que sean estos ltimos. Existen excentricidades y momentos flectores inducidos por las imperfecciones de los materiales constitutivos de los elementos estructurales; producidos adems por las imperfecciones geomtricas de las columnas durante el proceso constructivo; generados tambin por la incertidumbre acerca de la posicin real de accin de las solicitaciones exteriores; y,desde luego, provocados por el tipo de solicitaciones que actan sobre la estructura, por lo que,Desde el inicio delproceso de carga, las columnas reales adquieren deformaciones transversales pequeas que sevuelven cada vez msimportantes conforme la carga axial se aproxima a la carga crtica de pandeo.Una curva tipo quepuede describir esquemticamente la deformacin transversal de unacolumna real, en la que existen deformaciones transversales inclusive sin la presencia de cargas axiales, es lasiguiente:

Fig.5

COLUMNAS QUE TIENEN VARIOS TIPOS DE APOYOSLa carga de Euler se obtuvo para una columna que est conectada mediante un pasador o que puede girar libremente en sus extremos. Sin embargo, es comn que las columnas estn soportadas de alguna otra manera. Por ejemplo, considere el caso de una columna fija en su base y libre en la parte superior figura 6a. A medida que la columna se pandea la carga se desplaza y en x el desplazamiento es y a partir del diagrama del cuerpo libre mostrado en la 6b, el momento interno en la seccin arbitraria es . En consecuencia la ecuacin diferencial de la curva de deflexin es:

Fig. 6

Esta ecuacin es no homognea debido al trmino distinto de cero en el lado derecho. La solucin consta de una solucin complementaria y una solucin particular, a saber,

Las constantes se determina a partir de la condiciones de frontera. En x=0, , de modo que , por otra parte,

En x=0, dv/dx=0, de modo que . Por lo tanto la curva de deflexin es

Como la deflexin en la parte superior de la columna es , es decir, en x=L, , se requiere

En la solucin trivial indica que no ocurre pandeo, sin importar la carga P. en vez de esto, o bien La menor carga critica se produce cuando n=1, de modo que

En comparacin con la ecuacin 13-5, se ve que una columna apoyada fijamente en su base y libre en su parte superior soportara solo un cuarto de la carga crtica que puede aplicarse a una columna soportada por pasadores en ambos extremos.Las columnas con otros tipos de soportes se analizan de manera similar. LONGITUD EFECTIVA Como se mencion antes la frmula de Euler, se desarroll para el caso de una columna que tiene extremos articulados o que giran libremente. En otras palabras, L en la ecuacin representa la distancia sin soporte entre los puntos de momento cero. Esta formula puede usarse para determinar la carga critica en las columnas que tienen otros tipos de soporte siempre que L represente la distancia entre los puntos de momento cero. Esta distancia se denomina longitud efectiva de la columna Le. Como es obvio, para una columna con extremos articulados Le= L, figura 7a. Para la columna con un extremo fijo y otro libre se encontr que la curva de deflexin, es un medio de la curva para la columna conectada mediante pasadores y tiene una longitud de 2L, figura 7b. Por lo tanto, la longitud efectiva entre los puntos de momento cero es Le=2L. La columna con extremos fijos, figura 7d, tiene puntos de inflexin a puntos de momento cero a L/4 de cada soporte. Entonces, la longitud efectiva est representada por un medio de su longitud Le=0.5L. Por ltimo la columna con un extremo articulado y otro fijo, figura 7c, tiene un punto de inflexin aproximadamente 0.7L de su extremo articulado, por lo que Le=0.7L.

Fig. 7: Longitud efectiva de algunas columna

K=1K=2K=0.7K=0.5

En vez de especificar la longitud efectiva de la columna, muchos cdigos de diseo proporcionan frmulas que emplean un coeficiente sin unidades K llamado factor de longitud efectiva. Este factor se define a partir de Le=KL

En la figura 7 se proporcionan valores especficos de K. por lo tanto, con base en esta generalizacin puede escribirse la frmula de Euler como

O bien Aqu es la relacin de esbeltez efectiva de l columna. Por ejemplo, si la columna esta fija en su base y libre en su extremo, se tiene K=2.Ejemplo: La columna de aluminio se encuentra fija en su parte inferior y arriostrada en su parte superior por medio de cables que tienen el propsito de evitar el movimiento en esa parte a lo largo del eje x. si se supone que esta fija en su base, determine la mayor carga P permisible que puede aplicarse. Use un factor de seguridad para el pandeo de F.S. = 3.0. Tome EAl = 70 GPa, y = 215 MPa, A = 7.5x10-3 m2, Ix = 61.3x10-6 m4, Ix = 23.2x10-6 m4. Fig.8a

Solucin: En las figuras 8b y 8c, se muestra el pandeo con respecto a los ejes x e y. si se usa la figura 8a, para el pandeo del eje x-x, K = 2 por lo que (KL)X= 2(5m)= 10m. Adems, para el eje y-y K= 0.7, por lo que (KL) y=0. 7(5m)= 3.5m.Al aplicar la ecuacin 13,11, se obtienen las cargas criticas para cada caso

Fig.8b

Por comparacin a medida que P se incrementa la columna se pandea en torno al eje x-x, por lo tanto, la carga permisible es

Dado que Es posible aplicar la ecuacin de Euler.

Fig.8c

LA FORMULA DE LA SECANTELa frmula de la Euler se obtuvo al suponer que la carga P se aplicaba siempre a travs del centroide del rea transversal de la columna y que la columna es perfectamente recta. En realidad esto es muy poco realista, ya que las columnas fabricadas nunca son perfectamente rectas, ni la aplicacin de la carga se pandean subitamente, sino que empiezan a doblarse en forma ligera inmediatamente despus de la aplicacin de la carga. En consecuencia, el criterio real para la aplicacin de cargas debera estar limitado a una deflexin de la columna especificada o a no admitir que el esfuerzo mximo en la columna exceda el esfuerzo permisible.Para estudiar este efecto, se aplicara la carga P a la columna en una distancia excntrica corta e desde su centroide, esta carga sobre la columna es estticamente equivalente a la carga axial P y al momento flexionante M=Pe que se indica en la figura 9b. Como se muestra en ambos casos, como los extremos A y B estn soportados de modo que pueden girar con libertad (soporte de pasador). Al igual que antes, solo se consideraran pendientes y deflexiones pequeas y con un comportamiento elstico lineal del material. Adems, el plano x-v es un plano de simetra para el rea de la seccin transversal.A partir del diagrama de cuerpo libre de la seccin arbitraria, figura 9c, en el momento interno en la columna es Por lo tanto, la ecuacin diferencial de la curva de deflexin es:

Fig.9bFig.9c

Fig.9a

O bien:Esta ecuacin es similar a la ecuacin 13-7 y tiene una solucin general que consiste en las soluciones complementarias y particulares, a saber,Para evaluar las constantes se deben aplicar las condiciones de frontera.En x=0, v=0, por lo que C2=e. Y en x=L, v=0, lo que resuta enComo 1-cos (P/El/L)=2 sen2 ((P/El/L/2) y sen (P/El/L)= 2 sen(P/El/L/2)cos(P/El/L/2) se tiene Por lo tanto la curva de deflexin, puede describirse como

DEFLEXION MAXIMADebido a la simetra de la carga, tanto la deflexin mxima como el esfuerzo mximo se producen en el punto medio de la columna. Por lo tanto cuando x=L/2, v=vmax por lo que: Tenga en cuenta que si e se aproxima a cero, entonces vmax tambin tiende a cero. Sin embargo, si los trminos entre parntesis tienden al infinito cuando e se aproxima a cero, entonces vmax tendr un valor distinto e cero. Matemticamente, esto representara el comportamiento de una columna cargada axialmente al momento de fallar cuando est sometida a carga critica Pcr por lo tanto para encontrar Pcr se requiere

Que es el mimo resultado que se encontr en la frmula de EulerSi la carga P contra la deflexin vmax para diferentes valores de excentricidad e, resulta la familia de curvas en color gris que se muestra en la figura 10.

Fig.10

Aqu la carga critica se convierte en una asntota a las curvas, y por supuesto representa el caso no realista de una columna ideal (e=0). Como se dijo anteriormente, e nunca es cero debido a las imperfecciones en la rectitud inicial de la columna y la aplicacin de la carga; sin embargo, cuando e tiende a 0 las curvas tienden a acercarse al caso ideal. Adems, estas curvas son apropiadas solo para deflexiones pequeas, ya que la curvatura se aproxim mediante d2v/dx2. Si se hubiera realizado mediante un anlisis ms exacto, todas estas curvas tenderan a girar hacia arriba, intersecando y despus elevndose por encima de la lnea P=Pcr. Por supuesto, esto indica que se requiere una mayor carga P para crear grandes deflexiones de la columna. Sin embargo, aqu no se ha considerado este anlisis puesto que el diseo de ingeniera suele restringir la deflexin de las columnas a valores pequeos.Tambin debe sealarse que las curvas de color gris en la figura 10 solo son aplicables cuando el material se comporta de forma elstico lineal. Este es el caso cuando la columna es larga y esbelta. Sin embargo, si se considera una columna gruesa de longitud corta o intermedia, el incremento de la carga aplicada puede causar que el material ceda y que la columna comience a comportarse de una manera inelstica. Esto ocurre en el punto A de la curva en color negro en la figura 10. Cuando la carga incrementa an ms, la curva nunca alcanza la carga critica sino que llega a un valor mximo en B. Despus, se produce una disminucin sbita de la capacidad de carga mientras la columna sigue cediendo y doblndose en mayor medida.Por ltimo, las curvas en gris de la figura 10 tambin ilustran que se produce una relacin no lineal entre la carga P y la deflexin v. En consecuencia, el principio e superposicin no puede usarse para determinar la deflexin total de una columna causada por la aplicacin de cargas sucesivas a la columna. En cambio, primero deben sumarse las cargas para poder determinar la deflexin correspondiente con base en su resultante. La razn fsica por la que las cargas y deflexiones sucesivas no pueden superimponerse es que el momento interno de la columna depende tanto de la carga P como de la deflexin v, es decir, M=-p(e+v). La frmula de la secante El esfuerzo mximo en la columna puede determinarse al observar que es causado tanto por la carga axial como por el momento, figura 13-15. El momento mximo se produce en el punto medio de la columna, y mediante las ecuaciones se determina que tiene una magnitud de:Como se muestra en la figura 11 el esfuerzo mximo en la columna es de compresin, y tiene un valor deFig.11

Como el radio de giro se define como r2=I/A, la ecuacin anterior puede escribirse en una forma llamada la frmula de la secante:Aqu:max=esfuerzo elstico mximo en la columna, que ocurre en el lado interior cncavo en el punto medio de la columna. Este esfuerzo es de compresinP= carga vertical aplicada a la columna P