6.4 PANDEO TORSIONAL Y FLEXOTORSIONAL

Usualmente las secciones cerradas no se pandean por torsin debido a su alta rigidez torsionante. Sin embargo, en el anlisis de la estabilidad de secciones abiertas de pared delgada se deben contemplar tres modos de falla posibles (pandeo por flexin, por torsin y por flexotorsin).

Cuando una columna de seccin abierta se pandea por flexotorsin, la flexin y torsin de la seccin ocurren simultneamente [ver Fig. 6.6(a)]. Como consecuencia, la seccin se desplaza un valor u y v en las direcciones x y y, respectivamente, y gira un ngulo f con respecto al centro de cortante, como se muestra en la Fig. 6.6(b

Fig. 6.4 Comparativo entre ecuaciones de diseo para el Mtodo ASD(4)

Fig. 6.5 Comparativo entre ecuaciones de diseo para el Mtodo LRFD(4)

7

(a) (b)

Fig. 6.6 Pandeo latero-torsional bajo compresin axial de un perfil de seccin abierta. (a) Perfil C; (b) Historial de desplazamiento de una seccin no simtrica durante el pandeo latero-torsional.

Las ecuaciones de equilibrio de una columna sujeta a una carga axial P conllevan a las siguientes ecuaciones diferenciales:

ivEI x v Pviv

Pxof 0

(6.16)EI y u

Pu Pyof 0

(6.17)

fwEC iv

o(GJ

Pr 2 )f

Pyo u

Pxo v 0

(6.18)

dondeIx Iy u= momento de inercia con respecto al eje x= momento de inercia con respecto al eje y= desplazamiento lateral en la direccin xv= desplazamiento lateral en la direccin yf= ngulo de rotacinxoyoE= coordenada en x del centro de cortante.= coordenada en y del centro de cortante.= mdulo de elasticidadG= mdulo de cortanteJ= constante de torsin de St. Venant dada por JI i tiCw ECw GJ= contante de alabeo por torsin de la seccin= rigidez de alabeo= rigidez torsionante3

r0 = radio de giro polar con respecto al centro de cortante, dado por

2r2x2y2ro rx y o orx, ry = radios de giro de la seccin con respecto a los ejes x y y.

Todas las derivadas son con respecto a z, la direccin del eje longitudinal del miembro.

Considerando las condiciones de frontera de un miembro con extremos completamente fijos, en z = 0, L,se obtiene:

u v f 0u v f 0

(6.19)

y para un miembro con extremos articulados, en z = 0, L, se obtiene:

u v f 0u v f 0

(6.20)

Aplicando estas condiciones de frontera a las Ecs. (6.16) a (6.18) se obtiene la siguiente ecuacin caracterstica:

r 2 (P

P )(P

P )(P

P ) P

2 y 2 (P

P ) P

2 x 2 (P

P ) 0

(6.21)o cr

x cr

y cr z

cr o cr x

cr o cr y

p EI2 x donde Px = carga de pandeo por flexin de Euler con respecto al eje x =

2(K x Lx )

(6.22)

yp 2 EIPy = carga de pandeo por flexin de Euler con respecto al eje y =

2(K y L y )

(6.23)

Pz = carga de pandeo por torsin con respecto al eje z

p EC2 1= w GJ(K L ) 2 r 2

(6.24)t t o

KL = longitud efectiva de la columna; en teora, para extremos articulados K = 1 y para extremos fijos K = 0.5.

El modo de pandeo de la columna puede ser determinado por la Ec. (6.21). La carga crtica de pandeo es el valor menor de las tres races de Pcr. A continuacin se presentan las ecuaciones para determinar la carga crtica de pandeo para varios tipos de secciones.

6.4.1 Secciones con Simetra Doble

Para secciones con simetra doble, como las secciones I o en cruz, el centro de cortante coincide con el centroide de la seccin (ver Fig. 6.7), esto es xo = yo = 0. Para este caso, la ecuacin caracterstica [Ec. (6.21)] se reduce a:

(Pcr

Px )(Pcr

Py )(Pcr

Pz ) 0

(6.25)

La carga crtica de pandeo es el valor menor de las siguientes tres soluciones:

(Pcr )1 Px (Pcr ) 2 Py (Pcr )3 Pz

(6.26) (6.27) (6.28)

Fig. 6.7 Perfiles con simetra doble

Una inspeccin de estas soluciones posibles de la carga crtica de pandeo indica que para secciones con simetra doble, la columna falla ya sea por flexin pura o por torsin pura, dependiendo de la longitud de la columna y la configuracin de la seccin. Usualmente los miembros a compresin se dimensionan para que no estn sujetos a pandeo torsional. Sin embargo, si el diseador desea evaluar el esfuerzo de pandeo torsional st, la siguiente ecuacin basada en la Ec. (6.18) puede ser usada:

La carga crtica para pandeo por flexin fue ya discutida en el Art. 6.3.

6.4.2 Secciones con Simetra Simple

Los perfiles angulares, sombrero, secciones T, C y U, as como las secciones I con patines desiguales (Fig. 6.8) son ejemplos de secciones con simetra simple. Si el eje x es el eje de simetra, yo = 0 por lo que la Ec. (6.21) se reduce entonces a:

Para este caso, una de las soluciones esta dada por:

la cual es la ecuacin de la carga crtica de pandeo por flexin con respecto al eje y. Las otras dos soluciones para la carga crtica de pandeo por flexotorsin puede obtenerse resolviendo la siguiente ecuacin cuadrtica:

6.4.3 Secciones con Simetra con Respecto a un Punto

Para las secciones con simetra con respecto a un punto, como las secciones Z y en cruz, el centro de cortante coincide con el centroide de la seccin. Por consiguiente, xo = yo = 0.

De manera anloga a secciones con simetra doble, la Ec. (6.21) se reduce a:

6.4.3 Secciones con Simetra con Respecto a un Punto

Para las secciones con simetra con respecto a un punto, como las secciones Z y en cruz, el centro de cortante coincide con el centroide de la seccin. Por consiguiente, xo = yo = 0.

De manera anloga a secciones con simetra doble, la Ec. (6.21) se reduce a:

Fig. 6.14 Correlacin entre los resultados experimentales y analticos.

Por lo tanto, la seccin falla ya sea por pandeo por flexin (Px o Py) o por pandeo por torsin (Pz), dependiendo de la configuracin de la seccin y de la longitud de la columna (los ejes x y y son ejes principales).

Aunque aun no estn disponibles las curvas para determinar el modo de pandeo para secciones Z, una investigacin limitada realizada en la Universidad de Cornell demostr que las secciones Z simples con labios atiesadores fallan en pandeo simple de Euler, siempre y cuando la longitud efectiva para flexin con respecto al eje principal menor sea igual o mayor que la longitud efectiva por torsin (KLy KLt).

6.4.4 Secciones Asimtricas

Si una seccin abierta no tiene simetra con respecto a un eje o a un punto, las tres posibles cargas de pandeo Pcr son de flexotorsin. El valor menor de Pcr siempre es menor que el menor de los tres valores de Px, Py y Pz.

En el diseo de secciones compactas asimtricas, el esfuerzo por pandeo elstico por flexotorsin, sTFO, puede ser calculado de la siguiente expresin mediante un procedimiento de aproximaciones sucesivas: