2

Resumen El objetivo de este trabajo es estudiar las caractersticas importantes de los cdigos de bloque lineales, en especial el cdigo Hamming, muy utilizado en la codificacin de canal, su capacidad de deteccin y correccin de errores, como tambin mostrar algunas de sus aplicaciones.Consideraciones importantes del cdigo de Hamming A. Moreno, asmoreno1@espe.edu.ecF. Quinga, fdquinga@espe.edu.ecS. Ypez, sntg.yepez@gmail.comUniversidad de las Fuerzas Armadas ESPE

Palabras clave cdigos, codificacin, Hamming, deteccin, error, correccin, distancia de Hamming, distancia mnima, peso de Hamming. I. IntroduccinLas operaciones bsicas que se realizan en un sistema de comunicacin digital son: codificacin de fuente, codificacin de canal y modulacin, (en el lado del transmisor, Fig 1.1), as como los procesos inversos en el lado del receptor. Los cdigos para deteccin y correccin de errores corresponden a la codificacin de canal. [1],[3]

Figura 1.1 Procesos que atraviesa la seal en el lado del transmisor.

El objetivo de la codificacin de canal es reducir la tasa de error binaria (BER) para un cierto valor de la relacin de energa de bit a densidad espectral de ruido (Eb/No). Esta herramienta consiste en transformar secuencias binarias en secuencias mejores que incluyan redundancia estructurada: los bits redundantes pueden ser utilizados para detectar y corregir errores [1], [4], [5]

En la tabla1.1 se muestran los diferentes tipos de codificacin de canal: [7]

Forma de ondaSecuencias estructuradas

OrtogonalesBi -ortogonalesCdigos de bloqueCdigos Trellis

LinealNo linealCdigos Convolucionales

Tabla 1.1 Tipos de Cdigos de Canal

En este artculo nos enfocaremos en el cdigo Hamming, que es un tipo de Cdigo de Bloque lineal.

En la actualidad se emplean dos formas de controlar errores, una de las cuales es conocida como FEC (Forward Error Correction), donde se tiene la capacidad de detectar y corregir errores, es utilizada en los sistemas de comunicacin que operan en tiempo real, el cdigo de Hamming utiliza este tipo de control de errores. El otro tipo de control de errores se conoce como ARQ (Automatic Repeat Request), donde nicamente se puede detectar errores mas no se puede corregirlos, si se detecta un error se solicita una retransmisin de la informacin.[2], [3],[6]II. Cdigos Lineales de BloqueLos cdigos lineales de bloque, son cdigos de chequeo de paridad, que usan cantidades lineales de bits de informacin llamados bits de paridad, para la deteccin o correccin de errores. [2], [10]

En un cdigo de bloque, la secuencia de informacin se divide en bloques de longitud k y cada bloque es mapeado en entradas de canal de longitud n, en otras palabras, un cdigo de bloque (n,k), est completamente definido por M=2k secuencias binarias de longitud n llamadas palabras de cdigo, es decir n representa al nmero de bits totales de la palabra de cdigo, mientras que k representa el nmero de bits de informacin, por lo tanto los bits de paridad sern n-k.[2],[9]

Cada mapeado es independiente del anterior, por lo tanto no existe memoria de un bloque a otro. [9], [10]

Figura 2.1 Estructura de la palabra de cdigo

III. Peso y distancia HammingSe conoce como peso Hamming, como el nmero de componentes no nulos de una palabra de cdigo, y se denota como W(ci) donde ci es la palabra de cdigo. `[9][10]La distancia Hamming entre dos palabras de cdigo se define como el nmero de elementos que difieren entre dichas palabras, dadas dos palabras de cdigo (ci , cj) la distancia Hamming se denota como d(ci, cj). Se puede encontrar la distancia a partir del peso como se muestra en la ecuacin (3.1): [2][8][9]

Donde es la operacin suma mdulo 2 entre las palabras de cdigo.La distancia mnima de un cdigo es el valor mnimo de la distancia Hamming entre palabras de cdigo.[2][9][10]

En cualquier cdigo lineal se cumple que :

Donde Wmin es el peso Hamming mnimo de las palabras de cdigo.[8]IV. Deteccin y Correccin de erroresAl transmitir una palabra de cdigo Ui, la palabra de cdigo recibida r tiene que estar ms cerca de Ui que de cualquier otra palabra de cdigo para que se pueda corregir el error, esta situacin se muestra en la figura 4.1, [10][8]

Figura 4.1 Relacin entre dmin y tComo se observa alrededor de cada palabra de cdigo existe una Esfera de Hamming de radio t, donde t es el nmero de errores corregibles, mientras estas esferas estn disjuntas, el cdigo es capaz de corregir t errores, de la Figura 4.1 se puede decir que: [2][8][9]

De donde se obtiene:

En algunos casos interesa nicamente detectar errores, por ejemplo en sistemas de comunicacin un enlace de retroalimentacin del receptor al transmisor, el nmero mximo de errores detectables est dado por la ecuacin 4.3.[8][2][9]

Esto es porque si ocurren dmin-1 o menos errores, la palabra de cdigo transmitida se convertir en una secuencia que no pertenece al vector de cdigos y por lo tanto se detecta un error. [8] VI. Cdigo de Hamming

VII. Conclusiones La codificacin de canal sirve para detectar errores para poder corregirlos en el receptor. La capacidad de un cdigo para detectar y corregir errores depende de la distancia mnima que presenta el cdigo. Se puede encontrar la distancia de Hamming a partir del peso de Hamming En los cdigos lineales se cumple que la suma de 2 palabras de cdigo, da como resultado otra palabra de cdigo, elemento de la matriz de cdigos. El aumento de bits de paridad ayuda a detectar y corregir errores.

VIII. REFERENCIAS

[1] R Alvarado, Cdigos para deteccin y correccin de errores en comunicaciones digitales, 2004.[2] B. Sklar, Digital Communications Fundamentals Aplications, second edition. California: Los Angeles, 2003.[3] E. Monroy, Introduccin a la codificacin de canal, 2005, disponible en la pgina web: http://upcommons.upc.edu/revistes/bitstream/2099/9512/1/Article007.pdf [4] J. Martnez, Transmisin de Datos, Codificacin de Canal, 2012, disponible en la pgina web: http://arantxa.ii.uam.es/~jms/tdatos/TDAT_2011_12_3_CodificacionCanal.pdf[5] Codificacin de Canal, recuperado el 18 de mayo de 2014 de la pgina web: http://www.slideshare.net /esarrian/codificacin-de-canal [6] Cdigo de Canal, recuperado el 18 de mayo de 2014 de la pgina web: http://es.wikipedia.org/wiki/ C%C3%B3digo_de_canal[7] M. Aguilar, Codificacin de Canal, recuperado el 18 de mayo de 2014 de la pgina web: http://sertel.upc.edu/tdatos/Transparencias/CodCanPant.pdf. [8] J. Proakis, M. Salehi, communications systems engineering, 2nd edition, 2001.[9] J. Proakis, Digital Communications, 3th edition, 2002.[10] Teorema de Hamming, recuperado el 19 de mayo de 2014, de la pgina web: http://www.virtual. unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4040051/html/capitulos/cap_iii/teorema_de_hamming.pdf