PAPER TRANSFORMACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS - DANIEL LARA.pdf
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PROCESOS ESTOCÁSTICOS TRANSFORMACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS PAG 1 ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO INGENIERIA ELECTRÓNICA PROCESOS ESTOCÁSTICOS TRANSFORMACION DE VARIABLES ALEATORIAS DANIEL LARA [email protected] Resumen: Uno de los problemas que enfrenta el estadístico es el de evaluar funciones de distribución o densidad de probabilidad de alguna variable aleatoria y=u(x 1 ,x 2 ,…,x n ), lo que requiere técnicas especiales mediante las cuales se puedan transformar éstas de forma que los resultados sean objetivos en el presente paper damos como como investigación el siguiente método para la realización de problemas de variables aleatorias. PALABRA CLAVE Transformación de variables aleatorias Transformaciones Monótonas 1 OBJETIVOS Desarrollar y comprender el método de transformación de variables aleatorias. Aplicar en ejercicios para determinar cómo funciona este método. Llegar a entender claramente cómo aplicar la transformación de variables aleatorias. 2 TEORIA 2.1 DEFINICION TRANSFORMACIONES DE UNA VARIABLE ALEATORIA La variable X puede ser una variable aleatoria discreta, continua o mixta. A su vez, la transformación T puede ser lineal no lineal, segmentada, escalonada, etc. Existen varios casos pero en los que se pondrá énfasis son: (1) X continua, y T continua y monótonamente creciente o decreciente con X;(2) X continua y T continua pero no monótona; (3) X discreta y T continua TRANSFORMACIONES MONÓTONAS DE UNA VARIABLE CONTINUA. Una transformación T se dice que es monótonamente creciente si para cualquier . Es monótonamente decreciente si para cualquier Consideremos en primer lugar la transformada creciente. Supongamos que T es continua y derivable en todos los valores de x para los que f(x) ≠0. Sea Y talque tiene el valor particular que se corresponde con valor particular de X, como se muestra en la figura Los dos números se relacionan como sigue: Donde representa la inversa de la transformación T. Ahora la probabilidad del
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PROCESOS ESTOCSTICOS
TRANSFORMACIN DE VARIABLES ALEATORIAS PAG 1
ESCUELA POLITCNICA DEL EJRCITO
INGENIERIA ELECTRNICA
PROCESOS ESTOCSTICOS
TRANSFORMACION DE VARIABLES ALEATORIAS
DANIEL LARA [email protected]
Resumen: Uno de los problemas que enfrenta el
estadstico es el de evaluar funciones de
distribucin o densidad de probabilidad de
alguna variable aleatoria y=u(x1,x2,,xn), lo que requiere tcnicas especiales mediante las cuales
se puedan transformar stas de forma que los
resultados sean objetivos en el presente paper
damos como como investigacin el siguiente
mtodo para la realizacin de problemas de
variables aleatorias.
PALABRA CLAVE
Transformacin de variables aleatorias Transformaciones Montonas
1 OBJETIVOS
Desarrollar y comprender el mtodo de transformacin de variables aleatorias.
Aplicar en ejercicios para determinar cmo funciona este mtodo.
Llegar a entender claramente cmo aplicar la transformacin de variables aleatorias.
2 TEORIA
2.1 DEFINICION TRANSFORMACIONES DE UNA
VARIABLE ALEATORIA
La variable X puede ser una variable aleatoria
discreta, continua o mixta. A su vez, la
transformacin T puede ser lineal no lineal,
segmentada, escalonada, etc. Existen varios
casos pero en los que se pondr nfasis son: (1)
X continua, y T continua y montonamente
creciente o decreciente con X;(2) X continua y
T continua pero no montona; (3) X discreta y T
continua
TRANSFORMACIONES MONTONAS DE
UNA VARIABLE CONTINUA.
Una transformacin T se dice que es
montonamente creciente si para
cualquier . Es montonamente
decreciente si para cualquier
Consideremos en primer lugar la transformada
creciente. Supongamos que T es continua y
derivable en todos los valores de x para los que
f(x) 0.
Sea Y talque tiene el valor particular que se
corresponde con valor particular de X, como
se muestra en la figura Los dos nmeros se
relacionan como sigue:
Donde representa la inversa de la
transformacin T. Ahora la probabilidad del
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PROCESOS ESTOCSTICOS
TRANSFORMACIN DE VARIABLES ALEATORIAS PAG 2
suceso debe ser a la probabilidad del
suceso porque existe una
correspondencia uno a uno entre X e Y. Por
tanto,
3.4.2 Transformaciones montonas: (a)
creciente (b) decreciente
Dado que el resultado se aplica para cualquier
ahora podemos eliminar el subndice y
escribir:
De forma ms compacta tenemos:
Para la parte b de la funcin decreciente
tenemos:
Dado que la pendiente de (y) tambin es
negativa, concluimos, que para cualquier tipo de
transformacin montona:
|
|
O simplemente:
-
PROCESOS ESTOCSTICOS
TRANSFORMACIN DE VARIABLES ALEATORIAS PAG 3
TRASFORMACIONES NO MONOTONAS
DEUNA VARIABLE ALEATORIA
CONTINUA
En el caso ms general una transformada puede
no ser montona. La figura 3.4.3 ilustra una
transformacin de este tipo. No es mas que un
intervalo de valores de X que se corresponde
con el suceso Para el valor de
mostrado en la figura, el suceso
corresponde al suceso
Por tanto la probabilidad del suceso
es igual a la probabilidad del suceso
lo que
escribiremos como . En otras
palabras.
3 ANALISIS
Para el anlisis de este mtodo de resolucin, lo
aplicaremos a tres ejemplos. Los ejemplos son
planteados a continuacin:
EJERCICIO 1:
Una variable aleatoria gaussiana, para la que
Se aplica a un dispositivo cuadrtico para
generar una nueva variable aleatoria (de salida)
. (a) Hallar la funcin de densidad de
Y. (b) Hallar los momentos
(Consejo: plantee su en respuesta en
trminos de la funcin gamma definida en el
problema 3.2-27.)
a)
b)
(
)
(
)
EJERCICIO 2:
Una variable aleatoria gaussiana, para la que
se transforma en una
variable aleatoria mediante la transformacin
{
a) Hallar la funcin de densidad de Y.
(
)
(
) (
)
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PROCESOS ESTOCSTICOS
TRANSFORMACIN DE VARIABLES ALEATORIAS PAG 4
(
) (
)
(
)
Finalmente
b) Hallar la media y la varianza de Y.
Entonces:
EJERCICIO 3:
Repita el problema 3.4-1 pero con una
transformacin con
.
(
)
(
)
4 RESLUTADOS
Se realiz el anlisis con ejercicio para
comprender el desarrollo del mtodo.
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PROCESOS ESTOCSTICOS
TRANSFORMACIN DE VARIABLES ALEATORIAS PAG 5
5 CONCLUSIONES
Esta tcnica es usada tanto
en distribuciones de probabilidad
variables aleatorias discretas
como en distribuciones
de probabilidad de variables
aleatorias continuas
Este mtodo de transformacin de variables aleatorias no se utiliza con
mucha frecuencia.
6 ENLACES
http://www.konradlorenz.edu.co/images/stories/suma_digital_matematicas/Tranformacion%20de%20funciones%20variables.pdf
7 LIBROS
Probability Random Variables and
signal Principles, [Peebles ] Capitulo 3
