Para resolver:

f(X) = ax2 + bx + c = 0

Se utiliza la formula cuadratica:

a

acbbx

2

42

El objeto del calculo de las raíces de una ecuación es

determinar los valores de X para los cuales se cumple

f(X) = 0

Para una función polinómica se cumple que tiene tantas

raíces como el grado del Polinomio:

F(x)=0Métodos Cerrados

Método Grafico

Bisección

Falsa Posición

Si en un intervalo cerrado se cumple que entonces se tiene que:0)()( bfaf

ba,

Exista un numero impar de raíces

a b

Si en un intervalo cerrado se cumple que entonces se tiene que:0)()( bfaf

ba,

a b

Exista un numero imparde raíces

Si en un intervalo [a,b] cerrado se cumple que

Entonces se tiene que:

No existan raíces o haya un numero par de raíces

0)()( bfaf

a b

Ejemplo: utilizar graficas por computadora para

localizar las raíces de F(x)=x3+x

2-3x+5

-1000

-500

0

500

1000

1500

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ejercicio: utilice el método gráfico para determinar el

coeficiente de arrastre c necesario para que un

paracaidista de masa m=68.1 kg tenga una velocidad de

40 m/s despues de una caida libre de t=10 s.

40138.667

)(

401)1.68(8.9

)(

146843.0

10)1.68/(

c

c

ec

cf

o

ec

cf

1. Buscar un intervalo (xi, xs) de tal forma que la

función cambie de signo:

0)(.)( si xfxf

Si se cumple existe al menos una raíz real entre xi y xs

xi xsf(xs)

f(xi)

f(x)Intervalo en el que se encuentra la raíz.

2. Se debe hallar el punto medio del

intervalo, tomando el punto de bisección xr como

aproximación de la raíz buscada.

xsxi

f(xs)

2

sir

xxx

rx

3. Se analiza de manera independiente cada uno de los

intervalos. Se elige entre (xi , xr) y (xr , xs), un intervalo

en el que la función cambie de signo.

r

entonces

sr

ri

entonces

sr

rs

entonces

ri

xesraizlaxfxfSi

xxxfxfSi

xxxfxfSi

___0)().(_

0)().(_

0)().(_

Error aproximado

%100actual

r

anterior

r

actual

r

apx

xxE

Ejemplo: utilice el método de bisección para determinar

el coeficiente de arrastre c necesario para que un

paracaidista de masa m=68.1 kg tenga una velocidad de

40 m/s después de una caída libre de t=10 s.

F(x)=e-x – ln x, con un E < 1% en el intervalo [1,1.5]

1. Debemos verificar que f (1) y f (1.5) tengan signos

opuestos.

F(1)= e(-1) – ln(1) = 0.3678 f(1) > 0

F(1.5)= e(-1.5) – ln (1.5) = - 0.18233 f(1)< 0

2. Ahora hallamos Xr = (1+1.5)/2 =1.25

Evaluando Xr = 1.25

f(1.25)= 0.0636 > 0

Repetimos el proceso con el nuevo intervalo [1.25,1.5].

Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda

aproximación a la raíz)

Xr = (1.25+1.5)/2 = 1.375

Aquí podemos calcular el primer error aproximado pues ya

contamos con la aproximación actual y la aproximación

anterior:

%09.9%100

actual

r

anterior

r

actual

r

apx

xxE

Ahora evaluamos f(1.375)= - 0.06561 < 0

Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1.25,1.375].

Entonces calculamos el punto medio

Xr = (1.25+1.375)/2=1.3125

Aprox. a la raíz Error aprox

1.25

1.375 9.09%

1.3125 4.76%

1.28125 2.43%

1.296875 1.20%

1.3046875 0.59%

%76.4%100

actual

r

anterior

r

actual

r

apx

xxE

Y calculamos el nuevo error aproximado:

Se obtuvieron los siguientes datos:

Determine las raices reales de f(x)= 5x3 – 5x2 + 6x – 2

Calcule la raiz cuadrada positiva de 18 con E = 0.5% . Emplee como valores iniciales Xi =4 y Xs = 5.

Una técnica alternativa del método de bisección, consiste en unir f(xi) y f(xs) con la línea recta.

La intersección de esta línea con el eje de las x representa una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplacé la curva por una línea recta da una falsa posición de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín regula falsa.

También se la conoce como método de interpolación lineal.

s

s

sr

s

ir

i

xx

xf

xx

xf

)()(

)()(

))((

si

sissr

xfxf

xxxfxx

CHAPRA, Steven C. y CANALE, Raymond P.: Métodos Numéricos para Ingenieros. McGraw Hill 2002.

http://lc.fie.umich.mx/~calderon/programacion/notas/Bisecciones.html

http://www.youtube.com/watch?v=5e1GUYfnc9I

https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2008/1/MA33A/1/material_alumnos/objeto/14587