Parametrizar en r3

7/24/2019 Parametrizar en r3

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parametrizacin de una superficie ejemplos vectores tangentes

Parametrizacin de superficies en R3

Jana Rodriguez Hertz

Clculo 3

IMERL

11 de abril de 2011
http://find/


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definicin

parametrizacin de una superficie

definicin (parametrizacin de una superficie)
http://find/


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definicin



:D R2 R3 continua e inyectiva
http://find/


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definicin




parametrizacin de una superficiesi
http://find/


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definicin




parametrizacin de una superficiesi

(u, v) = (x, y, z)con

(S)

x=x(u, v)

y=y(u, v)z=z(u, v)

i i d fi i j l
http://find/


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definicin


t i i d fi i j l t t t
http://find/


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esfera

esfera

esfera centro 0 radior

http://find/


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esfera

esfera


x=rcosucos v

y=rsinucos vz=rsin v

u (0, 2), v (2 ,

2 )

http://find/


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esfera

esfera


x=rcosucos v


u (0, 2), v (2 ,

2 )falta una curva

http://find/http://goback/


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esfera

esfera


x=rcosucos v


u (0, 2), v (2 ,

2 )falta una curva

parametrizar la curva que falta

http://find/


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elipsoide

ejercicio

parametrizar el elipsoide

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2 =1



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cilindro

cilindro

cilindro elptico centro 0, radios

ayb



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p p j p g

cilindro

cilindro

cilindro elptico centro 0, radios

ayb

x=acosuy=bsinuz=v

u (0, 2), v (1, 1)

http://find/


14/35

p p j p g

toro

toro

http://find/


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toro

toro

x= (a+rcosu) cos vy= (a+rcosu) sin vz=rsinu

u (, ), v (0, 2)



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toro

observacin

observacin

hay infinitas formas de parametrizar una misma superficie

http://find/


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definicin

vectores tangentes

definicin (vectores tangentes)



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definicin

vectores tangentes


:D R2 R3 diferenciable en(u0, v0)

http://find/


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definicin

vectores tangentes



u (u, v0)y

http://find/


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definicin

vectores tangentes



u (u, v0)y

v (u0, v)curvas diferenciables en(u0, v0)

http://find/


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definicin

vectores tangentes



u (u, v0)y


llamamosvectores tangentesen las direccionesuyv:



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definicin

vectores tangentes



u (u, v0)y



u(u0, v0) =

u

= (xu, yu, zu)



23/35

definicin

vectores tangentes



u (u, v0)y



u(u0, v0) =

u

= (xu, yu, zu)

v(u0, v0) =

v = (xv, yv, zv)

http://find/


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definicin

vectores tangentes en las direccionesuyv

http://find/


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definicin

vector tangente a la superficie


http://find/


26/35

definicin




http://find/


27/35

definicin




t (u(t), v(t)) =(t)curva en la superficie



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definicin




t (u(t), v(t)) =(t)curva en la superficievector tangentea

d

dt

t=t

0

= (t0)



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definicin




t (u(t), v(t)) =(t)curva en la superficievector tangentea

d

dt

t=t

0

= (t0)

llamamosvector tangentea la superficie a todos los



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proposicin

proposicin

proposicin

todos los vectores tangentes a(D)son combinacin lineal de

u(u0, v0) y v(u0, v0)

http://find/


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proposicin

proposicin

proposicin

todos los vectores tangentes a(D)son combinacin lineal de

u(u0, v0) y v(u0, v0)

concretamente,



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proposicin

proposicin

proposicin


i i
http://find/


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proposicin

proposicin

proposicin

:D R2 R

3

diferenciable en(u0, v0)


i i
http://find/


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proposicin

proposicin

proposicin

:D R2 R

3

diferenciable en(u0, v0)(t0)vector tangente a t (u(t), v(t))


proposicin
http://find/


35/35

proposicin

proposicin

proposicin

:D R2 R

3

diferenciable en(u0, v0)(t0)vector tangente a t (u(t), v(t))

(t0) = u(t0)u(u0, v0) + v(t0)v(u0, v0)

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