Parametros de Lineas

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA A ELI-240

Vh 1

LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

1.- ASPECTOS GENERALES Componentes de un Sistema de Suministro de Energía Eléctrica y balance de energía.

El segmento de Transmisión está constituido por el conjunto de empresas eléctricas propietarias de instalaciones destinadas al transporte de electricidad desde los generadores hasta los centros de consumo o distribución. Este segmento se caracteriza por poseer un mercado con claras economías de escala y características monopólicas, es decir la


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tarifación por el uso de las líneas del sector de transmisión es regulada. En el SIC (2007) se tenía aproximadamente 14.500 km de líneas en el rango de los 33 a 500 kV y participan 20 empresas (Traselec–50%, CGE Transmisión–17%) y en el SING se tenía aprox. 6.200 km de líneas en el rango de los 66 a los 345 kV y participan 24 empresas (75% perteneciente a Transelec Norte, AES Gener, Codelco/Suez y Minera Escondida). Partes constitutivas de una línea de transmisión: Torres Conductores de transporte, y cables de guardia y protección Aisladores Herrajes Fundaciones Torres más comunes: en redes de media tensión y hasta las más altas de hasta 500 kV, se emplean torres de hormigón y acero reticulado. La elección del tipo de torre se hace sobre la base de criterios económicos, de sismicidad y en base al vano, que es la distancia entre dos torres. Los estudios técnico-económicos, que tienen en cuenta los factores técnico, climáticos y precios, permiten generar programas de computación con los cuales se determina lo que se denomina vano económico, que es la distancia entre torres que hace mínimo el costo por kilómetro. Las estructuras de soporte, torres o postes, pueden ser de suspensión o de retención. Las primeras se instalan en los tramos rectos de las líneas, mientras que las segunda son para los lugares


Vh 3

en que, además, la línea debe soportar esfuerzos laterales, producto del cambio de dirección (ángulo) o finales de línea. Las torres tienen el llamado hilo de guardia, marcado con las letras HG. Este elemento es de acero galvanizado. Las torres metálicas son estructuras de perfiles ángulos, vinculados directamente entre sí o a través de chapas, mediante uniones abulonadas. Para mejor mantenimiento, son galvanizadas y el acero es de alta resistencia. Las estructuras se dimensionan por medio de sistemas computarizados que minimizan el peso de las estructuras. Los postes de hormigón, en cambio, serán del tipo armado, centrifugado o pretensado. Las crucetas o ménsulas, serán del mismo material en la mayor parte de los casos. En la figura tenemos la silueta de una torre autosoportante o de retención.

Estructura tipo A (o autosoportante). Torres A-0: 0° de deflexión de la línea de transmisión. Torres A-35: hasta 35° de deflexión de la línea. Torres A-50: hasta 50° de deflexión de la línea.


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En la figura siguiente tenemos una torre de suspensión o atirantadas, que es más económica.

Estructura tipo V (o atirantadas). Torres V-0: no permite deflexión de la línea, es decir se utiliza en trayectorias rectas. Torres V-7: permite hasta 7° de deflexión de la línea de transmisión.

Clasificación de las estructuras según su función: Torres de suspensión en recta: A-0 y V-0.

Torres de suspensión en ángulo: V-7.

Torres de Anclaje: A-35 y A-50. Alturas típicas:

Torres tipo V: 25 – 29,5 – 37 [m].

Torres tipo A: 25 – 29,5 – 37 [m].


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Caso especial: línea de transmisión entre el continente chileno y la Isla de Chiloé (Canal Chacao). Distancia: 2680 [m]. Altura de las torres: 179 [m] => altura de la línea de transmisión

= 55 [m]. Exigencia de la línea: lluvia permanente, temperaturas bajo cero

y vientos de hasta 100 [km/h].


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Conductores eléctricos Característica de un buen conductor: Alta conductividad, Buena resistencia mecánica (tracción), Bajo peso por unidad de longitud, y Bajo costo. Es muy difícil encontrar todas las características en un solo conductor, por ejemplo se obtiene una alta conductividad en el cobre (Cu), pero éste tiene una baja resistencia mecánica. Para mejorar las características de los conductores se fabrican conductores cableados. Materiales: acero, cobre, aluminio y aleaciones.

1) Diámetros pequeños (4-7 mm): hilo macizo o alambre de sección circular.

2) Secciones mayores: cables, hilos (filamentos) trenzados helicoidalmente alrededor de unos hilos centrales (alma o núcleo). Estos cables son fáciles de fabricar, son más flexibles que los sólidos, y sin la cubierta del aislante tienen una mejor disipación del calor.


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Conductores de Acero Material más barato. Mayor resistencia eléctrica (0,11 [Ωmm2/m]). Menor resistencia a agentes atmosféricos, por ejemplo para el

cable galvanizado, se deberá realizar una reposición cada 10-15 años.

Uso reducido como conductor, por ejemplo para redes rurales. Principal uso para conductor de tierra o hilo de guarda. Conductores de Cobre Material de menor resistividad. Tipos de alambre según resistencia a rotura: duros, semiduros y

blandos. El temple de cada uno depende del tiempo del recocido al cual se expongan los conductores. 1) recocido o blando: utilizado para empalmes. 2) Semiduro: utilizado en líneas de baja tensión con vanos

menores a 50 [m]. 3) Duro: líneas aéreas. 4) Duro telefónico: aleación de cobre, estaño y silicio.

Conductores de Aluminio Más ligero que el cobre, por lo que se involucra un menor precio

en los elementos auxiliares (aisladores, apoyos, herrajes, etc.), obteniendo un costo total menor la línea de transmisión.

Ha sustituido al cobre en las líneas aéreas.


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ACAR: Alluminum Conductor Alloy Reinforced (conductor de

aluminio con refuerzo de aleación)

AAAC: All Alluminum Alloy Conductor (conductor de aleación de

aluminio)

Conductores de aluminio reforzado con acero (ACSR: Aluminum Cable Steel Reinforced)

Filamentos de aluminio alrededor de un núcleo de filamentos de

acero. Buenas propiedades eléctricas. Mayor resistencia mecánica.


Vh 10

AACSR: conductor de aleación de aluminio con refuerzo de acero

Conductores huecos De cobre, aluminio o sus aleaciones con alma de acero y gran

diámetro, por lo que tienen un menor efecto corona. Derivación de corriente debida a la ionización del aire (potencial de conductor > rigidez dieléctrica del aire). Esta corriente involucra pérdidas: proporcionales a las tensiones e inversamente proporcionales a la sección transversal de los conductores y a la distancia entre ellos.

Cables aislados

1) Conductores eléctricos (cobre o aluminio), 2) Envoltura aislante por fase (papel impregnado en aceite), 3) Huecos rellenos de material aislante, 4) Envoltura aislante común, 5) Envoltura de plomo (anti-humedad), 6) Capa de papel aceitado (anti-corrosión), 7) Envoltura de fibra textil impregnada (asiento del fleje), 8) Fleje o armadura de acero (resistencia mecánica), 9) Cubierta exterior (caucho, plástico).


Vh 11


Vh 12

Unidades de medida Sistema mks: generalmente se utiliza la sección del conductor en

[mm2].

Sistema Inglés: se especifica el diámetro en [mil] y la sección en circular mil [cmil]. 1 mil = 0,001 [in]. 1 cmil: es el área de una circunferencia de diámetro 1 mil. 1 cmil = π(d/2)2 = πd2/4 = π/4 mil2 1 kcmil = 1000 cmil.

Sistema AWG – American Wire Gage: este sistema se define en base a una serie de calibres, donde la razón entre diámetros consecutivos se mantiene constante. Si el calibre 4/0 tiene un diámetro de 460 mil y el calibre 36 tiene un diámetro de 5 mil, entonces se establece la siguiente progresión geométrica.

# AWG diámetro [mil] 4/0 3/0 2/0 1/0 1 2 3 … 35 36

460/k0

460/k1

460/k2

460/k3

460/k4

460/k5

460/k6

…

460/k38

460/k39

460/k39=5 mil

k=1,123


Vh 13

2.- CÁLCULO DE PARÁMETROS EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN Una línea de transmisión de electricidad tiene cuatro parámetros que afectan su capacidad para cumplir su función como parte de un sistema de potencia: resistencia, inductancia, capacitancia y conductancia.

a) Resistencia Parámetro que cuantifica la oposición ofrecida por un elemento determinado al paso de la corriente eléctrica. La corriente eléctrica puede producir calor, este es el efecto conocido como Efecto Joule, esto se debe a que los electrones que forman la corriente eléctrica chocan contra los átomos del material liberando energía.

A mayor temperatura del elemento: => aumenta la probabilidad de colisiones => aumenta la disipación de calor => aumenta la resistencia.

Factores que afectan la Resistencia Material y dimensiones del conductor.

� =� ∗ �

�

Donde; �: resistividad del conductor [Ωmm2/m].

Temperatura.

�� = ��(1 +∝� �)


Vh 14

�� =� ∗ ��

= ��(1 +∝� �)

Donde; ∝�: coeficiente de temperatura relativo a 0 °C [1/°C]. ��: resistencia a 0 °C.

Relación de las resistencias de un mismo conductor a dos valores de temperatura:

��

=��+��+��

Donde; ��: coeficiente de temperatura característico (0 °C).

Frecuencia: efecto Skin o peculiar. La corriente tiende a circular por la superficie del conductor a medida que aumenta la frecuencia de la corriente. El efecto Skin depende de: las dimensiones del conductor, resistividad (inversamente proporcional), frecuencia (directamente proporcional). Por lo que, mientras menor sea la sección útil, mayor será la resistencia efectiva.


Vh 15

Cercanía a otros conductores: efecto de proximidad o inducción. Conductores cercanos afectan (distorisión) la distribución de corriente en el conductor, ocasionando un aumento de la resistencia efectiva. Este efecto es despreciable en líneas aéreas, y su análisis es de suma importancia en cables aislados.

Considerando estos dos factores la resistencia de un conductor la podríamos determinar con la siguiente expresión:

�� = �� +��+��

�(1 + ��)(1 + ��)

Donde; Ks: coeficiente de efecto Skin. Kp: coeficiente de efecto de proximidad.


Vh 16

Espiralidad. La longitud real del conductor es diferente a la longitud de la línea, es decir hay un aumento en la resistencia de la línea del orden de 1-2 %.

Intensidad de la corriente en conductores magnéticos (acero). Esta circulación de corriente ocasiona un aumento de las pérdidas magnéticas del conductor, aumentando por ende la resistencia del conductor. En conductores ACSR por ejemplo, � del alma de acero es mucho mayor al � de los filamentos de aluminio, por lo que el efecto magnético es despreciable.


Vh 17

b) Conductancia

La conductancia se presenta entre conductores o entre conductores a tierra y toma en cuenta las corrientes de fuga en los aisladores de líneas aéreas y a través del aislamiento de los cables. Aún en las líneas con un muy buen aislamiento existen estas corrientes., estas corrientes se pueden deber a dos razones:

1) Corrientes de fuga a través de los aisladores y torres de las

líneas.

Alineación Anclaje Ángulo Fin de línea Especiales

Alineación: soporte de conductores y cables de tierra (sólo en

alineaciones rectas). Anclaje o amarre: para seguridad. Ángulo: vértices del trazado. Fin de línea: punto de línea de mayor resistencia. Especiales: cruces sobre ferrocarriles, vías fluviales, líneas

de telecomunicaciones, etc. La corriente debida a la conductancia es:

��=��

�= � ∗ ��[�]


Vh 18

Donde; ��: diferencia de potencial entre el conductor y tierra. R: resistencia del aislamiento en [Ω]. La pérdida de potencia debido a la conductancia es:

� = ��.��∗ = � ∗ �� = ��[� /��]

�� = 3��[� ]

G: depende de varios factores, entre los que se puede mencionar el tipo de aislador, el número de aisladores por cadena, las condiciones atmosféricas (humedad por ejemplo) y con las propiedades conductoras de la contaminación que se deposita sobre los aisladores. Generalmente la pérdida de potencia P se expresa en [kW/km], con lo que:

� =�[�� ]/[��]/��

(��[��])�

�

10��[�/��/��]

Se ha observado que en un aislador de suspensión, de tipo normal, las pérdidas son:

Tiempo pérdidas [W] Seco

Húmedo 1 – 3 5 – 20

Para la conductancia se ha observado:

Tiempo pérdidas [W] Seco

Húmedo 1*10-8 – 10*10-8 hasta 30*10-8


Vh 19

2) Efecto corona.

Si el gradiente del campo eléctrico (radial) alrededor de un conductor supera la rigidez dieléctrica del aire, se produce corrientes de fuga (a través del aire) similares a las corrientes debidas a la conductancia de los aisladores. La descarga corona también varía bastante con las condiciones atmosféricas. En la oscuridad, este fenómeno es visible, pudiéndose observar círculos luminosos alrededor de los conductores. Definiciones: Tensión crítica disruptiva: tensión a la cual se rompe la rigidez dieléctrica del aire. Tensión crítica visual: tensión a la cual el efecto corona es visible. Las pérdidas por efecto corona comienzan a producirse desde el momento que la tensión crítica disruptiva sea menor que la tensión de la línea. Empíricamente se determino que la tensión crítica disruptiva puede estimarse mediante la siguiente expresión:


Vh 20

�� = ��√3 =29,8

√2.√3.��.�.�� + ln(�/�)

Donde; Uc: tensión crítica disruptiva rms (línea a línea). Vc: tensión crítica disruptiva rms (fase).

29,8: rigidez dieléctrica del aire a 25 °C y presión barométrica de 76 cm de mercurio. �� : coeficiente de rugosidad del conductor (“1”: para conductores de superficie lisa y “0,83-0,87”: para cables. ��: coeficiente meteorológico (toma en cuenta el efecto que produce la humedad – “1” para clima seco y “0,8” para clima húmedo). r: radio del conductor en centímetros. D: distancia geométrica entre fases en centímetros. �: factor de corrección de la densidad del aire (función de la altura sobre el nivel del mar).

Empíricamente se demostró que la pérdida por efecto corona para cada conductor puede estimarse de la siguiente manera “fórmula de Peek”:

� =241

�(� + 25)�

�

��

√3−��

√3��

10��[�� /��]

Donde; f: frecuencia eléctrica en [Hz].

Umax: tensión rms en estado normal más alta que puede poseer la línea.

Generalmente, ambas pérdidas son normalmente pequeñas, por lo su efecto es despreciable.


Vh 21

c) Inductancia

1) Ecuaciones básicas.

� =��

��

En materiales líneas: � =�

�[�]

En un conductor L = L interna + L externa

Inductancia interna (Γ2<=r): ¿Calcular las concatenaciones de flujo internas en el conductor? Aplicando la ley de Ampere: recoge la evidencia empírica de que a lo largo de una trayectoria cerrada s cualesquiera, la integral de la componente de la intensidad de campo magnético H paralela al camino de integración es igual a la totalidad de la corriente i abrazada por ese camino de integración.

� ��⃑ .�� = ��


Vh 22

� �� =��

�

��

�� =��2��

[�/�] �� =��2��

[�� /��]

Considerando una densidad de corriente (J) constante:

� =�

��=

��

�� = ��

��

�

EL flujo magnético Φ a través de una superficie S:

� = � ��⃗�

.��⃗

El diferencial de flujo producido por Bx es:


Vh 23

�� = ��.�A = ��.��.��=��2��

��[�� ]

��: enlaza únicamente a �� = ��

��, es decir enlaza sólo a

una porción “i” de la corriente. El flujo concatenado por el conductor es � = � �, donde N=1 para mi línea infinita. Entonces:

�� = � � ��

��

��

�

�

�

�

=��

8��[�� .�]

�� =��

=��

8�[�]

�� =�

8�[�/�]

Inductancia externa (Γ1>r): ¿Calcular las concatenaciones de flujo internas en el conductor? Aplicando la ley de Ampere:


Vh 24

� ��⃑ .�� = ��

Asumiendo linealidad en el medio y μ la permeabilidad del medio [H/m].

�� =�

2��[�/�] �� =

��

2��[�� /��]

El flujo magnético Φ a través de una superficie S:

� = � ��⃗�

.��⃗

El diferencial de flujo producido por Bx es:


Vh 25

�� = ��.�� = ��.��.��

Luego el flujo externo en el conductor es:

�� = � � ��

�

�

�

�

��=��

2�ln�

�

�� [�� ]

��: enlaza una sola vez a la corriente “i”.

El flujo concatenado por el conductor es � = � �, donde N=1 para mi línea infinita. Entonces:

�� = �� =��

2�ln�

�

��[�� .�/�]

�� =��

=�

2�ln�

�

��[�/�]

� = �� + �� =�

8�+

�

2�ln�

�

��

�

��=

�

2�ln�

�

��

�

��

Donde; RMG= ��/� : es el radio medio geométrico de un

conductor considerando la densidad de corriente (J) constante.


Vh 26

Significado:

� =�

8�+�

2�ln�

�

��

�

��

Posee flujos magnéticos en el interior como en el exterior del conductor.

� =�

2�ln�

�

��

�

��

Sólo posee flujos en el exterior del conductor.

2) Inductancia en una línea de tres conductores.

En un principio, se considerará sólo los

flujos magnéticos hasta el punto “p”.

��(�) = ��(�) + ��(�) + ��(�)

��(�) =�

2�� ln�

��

��[�� .�/�]

��(�) =�

2�� ln�

��

��[�� .�/�]

��(�) =�

2�� ln�

��

��[�� .�/�]

��(�) =�

2�� ln�

��

�� + �� ln�

��

�� + �� ln�

��

��


Vh 27

=�

2�� ln�

1

�� + �� ln�

1

��

+ �� ln�1

�� + �� ln�� + �� ln�� + �� ln��

Como i1+i2+i3=0, entonces, i3=-(i1+i2).

��=�

2�� ln�

1

�� + �� ln�

1

�� + �� ln�

1

�� + �� ln�

��

�� + �� ln�

��

��

Finalmente,

��= lim�→∞

(��(�)) =�

2�� ln�

1

�� + �� ln�

1

�� + �� ln�

1

��

Se puede realizar un desarrollo similar para obtener las

concatenaciones de flujo λ2 y λ3.

Se puede demostrar que para un sistema de “n” conductores

las ecuaciones de enlaces de flujo son:

�

��

� =�

2�

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡ln�

1

��

ln�1

��

ln�1

��

ln�1

��

ln�1

��

ln�1

��

ln�1

��

ln�1

��

ln�1

��⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

��[�]��

��

�

Esta ecuación también es válida en el plano fasorial.


Vh 28

Aplicando: Ley de Faraday y Lenz.

�� = [�][��]

Caso 1: línea trifásica simétrica

Si RMG=RMG1=RMG2=RMG3, se obtiene:

��=�

2�� ln�

1

�� + �� ln�

1

�� + �� ln�

1

��[�� .�/�]

��=��

=�

2��ln�

�

��[�/�]

Se puede demostrar que � = �� = �� = �� =�

��ln�

�

��.

Caso 2: línea trifásica con transposición (línea asimétrica)

Cuando los conductores de una línea trifásica no están

espaciados de manera equilátera, el problema de encontrar la

inductancia se hace más difícil. Los enlaces de flujo y por

ende las inductancias de cada fase no son iguales. En un

1

2 3

D

D

D


Vh 29

circuito desbalanceado se obtiene una inductancia diferente

en cada fase. Se puede restablecer el balance en las tres

fases intercambiando las posiciones de los conductores en

intervalos regulares a lo largo de la línea, de forma que cada

conductor ocupe la posición que tenía originalmente los otros

a igual distancia. A este intercambio de posiciones en los

conductores se le conoce como transposición. En la

siguiente figura se muestra un ciclo completo de transposición.

La transposición da como resultado que cada conductor tenga

la misma inductancia promedio en todo el ciclo.

Por lo general, las líneas de los sistemas de potencia

modernos no se transponen en intervalos regulares, aunque

se puede hacer un intercambio de las posiciones de los

conductores en las subestaciones de interconexión, con el fin

de balancear las inductancias de las fases en forma

aproximada. Afortunadamente, la simetría de las fases de una

línea que no está transpuesta es pequeña y se desprecia en la

mayoría de los cálculos de inductancia. Si la asimetría es

despreciable, la inductancia de la línea no transpuesta se


Vh 30

toma como igual al valor promedio de la reactancia inductiva

de una fase de la misma línea transpuesta correctamente. Los

desarrollos que siguen se hacen para líneas transpuestas.

Tramo I:

��=�

2�� ln�

1

�� + �� ln�

1

�� + �� ln�

1

��[�� .�/�]

Tramo II:

��=�

2�� ln�

1

�� + �� ln�

1

�� + �� ln�

1

��[�� .�/�]

Tramo III:

��=�

2�� ln�

1

�� + �� ln�

1

�� + �� ln�

1

��[�� .�/�]

Debido a la linealidad del sistema se puede obtener un ��

equivalente considerando la siguiente expresión:

��=��+ ��+ ��

3

��=�

3 ∗ 2��3�� ln�

1

�� + �� ln�

1

�� + �� ln�

1

��

Como i1+i2+i3=0, entonces, i3=-(i1+i2).

��=�

3 ∗ 2��3�� ln�

1

�� − �� ln�

1

��


Vh 31

��=�

3 ∗ 2��3�� ln�

1

�� + 3�� ln��

� ��

��=�

2�� ln�

��

��[�� .�/�]

Entonces, � = �� = �� = �� =�

��ln�

��

��[�/�].

Donde; RMG=RMG1=RMG2=RMG3 y DMG= ��

(Diámetro medio geométrico).

3) Inductancia de una línea monofásica con múltiples conductores por fase.

1

2

3

D13

D23

D12

1

2 3

DMGEQUIVALE

Línea asimétrica Línea simétrica

DMG

DMG


Vh 32

Hipótesis: los subconductores de “x” poseen un radio rx y conducen una corriente idéntica igual a ��/�. De la misma forma los subconductores de “y” poseen una radio ry y conducen una corriente idéntica igual a ��/� = − (��/�).

Considerando el subconductor k se tiene:

��=�

2��ln�

1

��

�

��

−��

� ln�1

��

�

��

�

La corriente que conduce el conductor k es ��/�, entonces:

��=��

=�

2��

�ln�1

��

�

��

−��

� ln�1

��

�

��

�

Luego, el enlace de flujo total es ��= �(��).

...


Vh 33

��= ��

�

��

��=�

2��

1

��ln�

1

��

�

��

�

��

−1

�� ln�

1

��

�

��

�

��

�

��=�

2��

1

��ln�

1

∏ ��

�

�

��

−1

��ln�

1

∏ ��′′′′′′′′′

�

�

��

�

��=�

2��

1

��ln�

1

∏ ∏ ��

��

� −1

��ln�

1

∏ ∏ ��

��

��

��=�

2�� ln

⎝

⎛�∏ ∏ ��

��

��

��

�∏ ∏ ��

��

��

⎠

⎞[�� .�/�]

Finalmente,

��=��

��=

�

2�ln�

��

��[�/�]

Donde; �� = �∏ ∏ ��

��

��: Distancia media

geométrica entre los conductores “x” – “y”.

�� = �∏ ∏ ��

��

��

: radio medio geométrico

del conductor compuesto “x”.

También,


Vh 34

��=��

��=

�

2�ln�

��

��[�/�]

Donde; �� = �∏ ∏ ��

��′

��

.


Vh 35

d) Capacitancia

1) Condensador: acumulación de carga. c.c.

� = � ∗ ��.�. c.a.


Vh 36

En líneas eléctricas este fenómeno está presente entre líneas y entre línea y tierra.

Aunque la línea de transmisión esté en vacio, por ella circulan corrientes debido al fenómeno oscilatorio de carga y descarga de los conductores.

Estas corrientes se llaman “corrientes de carga” y en líneas de alta tensión y de gran longitud llegan a ser significativas. Ecuaciones generales: Ley de Gauss: es una de las leyes más importantes, y con la cuál puedo encontrar de manera fácil el campo eléctrico en cuerpos cargados geométricamente de manera regular.

a

b

c


Vh 37

La carga total contenida en un cuerpo cargado es igual a la suma de flujo que atraviesa la superficie gaussiana. Se considera que toda la carga se concentra en la superficie del cuerpo.

�� = � ��⃑ .��⃑ =��

Donde; ��: permitividad del medio en el vacío.

��2�� = ��/��

�� =�

2��[�]

Donde; � = ��/� (carga por unidad de longitud). Hipótesis: i) Efecto de borde despreciable. ii) Conductor perfecto (sin pérdidas), entonces �� = � ∗

� = 0.

�� = � ��⃑ .��⃑�

= � ��

��

[�]


Vh 38

�� =�

2��

1

��

��

��

=�

2��ln�

��[�]

Esta ecuación también es válida en el plano fasorial.

�� =��

2��ln�

��[�]

Donde; �� = 8,854∗ 10��[�/�]. Cuando el dieléctrico no es el espacio libre, ��, se reemplaza por � = ��[�/�]. Para líneas aéreas � = ��, �� = 1.

2) Cálculo de la capacitancia en una línea de dos conductores.

�� + �� = 0

�� =��

��

�� = �(��,��)

Considerando el principio de superposición:

�� = ��(��) + ��(��)

��(��)=��2��

ln��

��[�]

��(��)=��2��

ln��[�]

Se tiene que �� = −��, entonces:


Vh 39

�� =��2��

ln��

�� −

��2��

ln�� =

��2��

ln��

��

�� =��

ln��

√��[�]

Por lo tanto, la capacitancia de esta línea será:

�� =��

��=

��

ln��[�/�]

Esta expresión es válida para r=r1=r2. Se acostumbra a especificar la capacitancia a un punto neutro.

Donde:

�� =�� + ��

=��2=��2

Entonces, �� = ��.

�� = �� =2��

ln��[�/�]


Vh 40

3) Capacitancia de una línea trifásica simétrica.

�� + �� + �� = 0

� = �� = �� = ��

�� = �(��,��,��)

�� =��2��

ln��

�� +

��2��

ln�� +

��2��

ln��

��

�� =��2��

ln��

�� +

��2��

ln��

�� +

��2��

ln��

�� = ��√3⌊30°

�� = ��√3⌊− 30°��

�� + �� =1

2��2��ln�

�

�� + �� ln�

�� + �� ln�

��= 3��

Entonces:

�� =��2��

ln��

��[�]

1

2 3

D

D

D


Vh 41

Por lo tanto la capacitancia resulta:

�� =2��

ln��[�/�]

Se puede demostrar que C1=C2=C3.

4) Capacitancia de una línea trifásica asimétrica con transposición.

Tramo I:

�� =�/3

2��ln�

�� + �� ln�

��

� + �� ln��

��

Tramo II:

�� =�/3

2��ln�

�� + �� ln�

��

� + �� ln��

��

Tramo III:


Vh 42

�� =�/3

2��ln�

�� + �� ln�

��

� + �� ln��

��



�� = �� + �� + ��

Si � = �� = �� = �� se obtiene:

�� =�

2��ln�

��

�� + �� ln�

�

��[V.m]

Donde; �� = �� (Diámetro medio geométrico).

De igual forma se puede obtener:

�� = �� + �� + ��

Finalmente,

�� =�� + ��

3=

��2��

ln��

��[V]

Se puede demostrar también que:

�� = �� = �� =2��

ln��

�[�/�]


Vh 43

5) Capacitancia de una línea trifásica considerando el efecto de tierra.

Método de las Imágenes

�� = − ��

�� = − ��

�� = − ��

��

��

��

= 0

Se considera además que la línea tiene transposición.

Tramo I:

�� =1

2��ln�

1

�� + �� ln�

1

�� + �� ln�

1

��

+ ��ln�1

��′′� + �� ln�

1

��′′� + �� ln�

1

��′′��

Tramo II:

�� =1

2��ln�

1

�� + �� ln�

1

�� + �� ln�

1

��

+ ��ln�1

��′′� + �� ln�

1

��′′� + �� ln�

1

��′′��

Tramo III:


Vh 44

�� =1

2��ln�

1

�� + �� ln�

1

�� + �� ln�

1

��

+ ��ln�1

��′′� + �� ln�

1

��′′� + �� ln�

1

��′′��



�� =1

2��

1

3��ln�

1

�� + �� ln�

1

�� + �� ln�

1

��

+ ��ln�1

��′′��′′��′′� + �� ln�

1

��′′��′′��′′�

+ �� ln�1

��′′��′′��′′��

Por simetría:

�� = �� = �� = ��

�� = 2�� = 2�� = 2��

Considerando:

�� = − (�� + ��)

�� = − (�� + ��)

Se obtiene:

�� =1

�2��ln�

��

�� + ln�

��′′��′′��′′�

2��[Ω/fase]

Donde; �� = �� y �� = ��

�

Parametros de Lineas

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