Parametros de mantenimiento

PARAMETROS DE MANTENIMIENTO

HENRY J. [email protected]

PARAMETROS DE MANTENIMIENTOESQUEMA

� OBJETIVO DEL CURSO� ANALISIS PROBABILISTICO

DEL MANTENIMIENTODISTRIBUCIONES DE

HENRY VILLARROEL

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

� PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDADMANTENIBILIDADDISPONIBILIDAD

CURSO PARAMETROS DE MANTENIMIENTO OBJETIVOS

� LLEGAR A CARACTERIZAR EL COMPORTAMIENTO DE LOS EQUIPOS MEDIANTES PARAMETROS MEDIBLES CON EL FIN DE

DIAGNOSTICAR SU CONDICION

HENRY VILLARROEL

PARAMETROS DE MANTENIMIENTOINGENIERIA DE MANTENIMIENTO

� Es la rama de la ingeniería responsable de la definición de procedimientos,

HENRY VILLARROEL

procedimientos, métodos, análisis de técnicas a utilizar, contratos, estudios de costos y medios para hacer el mantenimiento incluyendo la investigación y desarrollo

HENRY VILLARROEL

ESTUDIO DE LAINGENIERIA DE

MANTENIMIENTO


HENRY VILLARROEL

En base a la condiciónDel Equipo y/o Sistema

En base al estudio de la Estadística

•Confiabilidad•Mantenibilidad•Disponibilidad

•Tribología•Vibraciones Mecánicas

•Ensayos No Destructivos

EN INGENIERIA, TRATAMOS DE REPRESENTAR LA REALIDAD A TRAVES DEMODELOS MATEMATICOS.

MODELOS MATEMATICOSMODELOS MATEMATICOS

PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELOS PROBABILISTICOS

HENRY VILLARROEL

NO HAY INCERTIDUMBRE ACERCA DEL RESULTADO

HAY INCERTIDUMBRE ACERCA DEL RESULTADO

MODELOS MATEMATICOS.

MODELOS DETERMINISTICOS

MODELOS PROBABILISTICOS

“VARIABLE ALEATORIA”“VARIABLE ALEATORIA”

“VARIABLE NO ALEATORIA”“VARIABLE NO ALEATORIA”

DETERMINAN UN UNICO RESULTADO FINAL

DETERMINAN UN RANGO DE “PROBABLES”

RESULTADOS

VARIABLES ALEATORIASVARIABLES ALEATORIAS

SON VARIABLES CON ALGUN GRADO DE INCERTIDUMBRE ASOCIADO.

TAMBIEN SON CONOCIDAS COMO VARIABLES DISTRIBUIDAS.


HENRY VILLARROEL

VARIABLES ALEATORIAS VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASDISCRETAS

VARIABLES ALEATORIAS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUASCONTINUAS

� NUMERO DE ELEMENTOS DEFECTUOSOS

� NUMERO DE EQUIPOS EN OPERACIÓN

� NUMERO DE BARRILES DE CRUDO

� NUMERO DE ESTUDIANTES REPROBADOS

� TIEMPOS DE OPERACIÓN

� TASA DE FALLAS

� TIEMPOS DE REPARACIÓN

� VARIABLES DE PROCESOS (PRESION, TEMP. , ETC)

EN INGENIERIA EN MANTENIMIENTO, PARA VALIDAR NUESTROS MODELOSMATEMATICOS, REALIZAMOS EXPERIMENTOS DONDE SIMULAMOS LA REALIDAD

EXPERIMENTOSEXPERIMENTOS


HENRY VILLARROEL

MATEMATICOS, REALIZAMOS EXPERIMENTOS DONDE SIMULAMOS LA REALIDADDEL COMPORTAMIENTO DEL EQUIPO Y/O SISTEMA Y MEDIMOS LOS RESULTADOS.

UN EXPERIMENTO PUEDE ENTENDERSE COMO UNA “MUESTRA DE LA REALIDADDEL COMPORTAMIENTO DEL EQUIPO Y/O SISTEMA” QUE PERMITE ,A TRAVES DE LAOBSERVACION CONTROLADA, FORMULAR “UN MODELO”.

PARA FORMULAR MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS , (MODELOSPROBABILISTICOS) ES NECESARIO HACER EXPERIMENTOS

POBLACION

UNIDADES DE INTERES

MUESTRA


HENRY VILLARROEL

MUESTRA

PEQUEÑA PARTE REPRESENTATIVA DE LA POBLACION

DATA DE CONFIABILIDAD

ANALISIS ESTADISTICO DE CONFIABLIDAD

INFORMACION

ACERCA DE LA POBLACION

ACCION

EJEMPLO DE MODELO PROBABILISTICO

En la tabla siguiente se muestran las horas de operación antes de fallar de un montacargas de la empresa Otinsa. Desarrollar un modelo probabilistico para las fallas del montacargas

Horas antes de fallar Causa de la falla


HENRY VILLARROEL


11 caucho

19 Carburación

28 Sistema hidráulico

15 Sistema de elevación

5 Sistema de dirección


2 Caucho


EJEMPLO DE MODELO PROBABILISTICO (Cont.)

2min =X

49max=X

47249minmax =−=−= XXRango

1 3.33 8 4K Log= + ≅ 1275.114

47 ≅==I


HENRY VILLARROEL

Intervalos (horas) Fr f (t)

2 - 14 4 0.50

15 - 27 2 0.25

28 - 40 1 0.125

41 - 53 1 0.125

Grafica de f(t) montacargas

0.5

0.4

0.5

0.6F

recu

enci

a re

lativ

a (%

)


HENRY VILLARROEL

0.25

0.125 0.125

0

0.1

0.2

0.3

0.4

O2 - 14 15 - 27 28 - 40 41 - 53

Intervalos de Clase

Fre

cuen

cia

rela

tiva

(%)

SE PUEDE ADOPTAR UN MODELO PROBABILISTICO EXPONENCIAL PARA MODELAR ELCOMPORTAMIENTO DE FALLA DEL MONTACARGAS.

� DISTRIBUCION NORMAL

DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS PARAMETRICASDISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS PARAMETRICAS


HENRY VILLARROEL

VARIABLES ALEATORIAS VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASDISCRETAS

VARIABLES ALEATORIAS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUASCONTINUAS

DISTRIBUCION NORMAL

� DISTRIBUCION EXPONENCIAL

� DISTRIBUCION DE WEIBULL

� DISTRIBUCION BINOMIAL

� DISTRIBUCION HIPERGONOMETRICA

� DISTRIBUCION DE POISSON

� Es la distribución que mejor modela la tasa de falla constante o vida útil de los equipos

Fre

cuen

cia

rela

tiva

(%)

PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMODELO PROBABILISTICO

EXPONENCIALHENRY

VILLARROEL

útil de los equipos� Muchos componentes

electrónicos tales como circuitos, transistores muestran un comportamiento de falla exponencial

Fre

cuen

cia

rela

tiva

(%)

Intervalos de Clase (tiempo)

Modelo matemático

ttf e λλ −=)(

ttR e λ−=)(

Fre

cuen

cia

rela

tiva

(%)


EXPONENCIALHENRY

VILLARROEL

ttR e λ−=)(

λλ

λλ =−

−==

t

t

tR

tfth

ee

)(

)()(

∫ ∫∞ ∞

=−==0 0

1)(

λλλ dttdttRMTBF e

Fre

cuen

cia

rela

tiva

(%)


Tasa

de

Fal

la (

%)


)(1)( tRtF −=

Modelo matemático

ttR e λ−=)(

1==haciendo

Con

fiabi

lidad

R(t

)


EXPONENCIALHENRY

VILLARROEL

λ1== MTBFt

368.01

1

)( =−=

−= eetR λ

λ

haciendo

Con

fiabi

lidad

R(t

)Intervalos de tiempo

0.368

MTBF

ttR e λ−=)(

Linealizando la ecuación R(t)


EXPONENCIALHENRY

VILLARROEL

ttR λ−=)(ln

Linealizando la ecuación R(t)

( ) ( )22.

)(ln.)(ln..

∑∑

∑ ∑ ∑−

−=−=

ii

i

ttn

tRttRtnb iλ

y bx a= +Aplicando regresión lineal, se obtiene la tasa de falla:

Ln R

(t)

Intervalos de tiempo

0.368

MTBF

Procedimiento para la predicción del MTBF y tasa de falla en la distribución exponencial:

� Agrupar los datos y graficar f(t) vs. Tiempo� Ordenar la información de los tiempos de operación en orden

ascendente (de menor a mayor)Calcular la probabilidad de falla estadística por:


EXPONENCIALHENRY

VILLARROEL

� Calcular la probabilidad de falla estadística por:

i= numero de orden de observaciónN=numero total de observaciones

� Calcular la probabilidad de supervivencia R(t)=1-F(t)� Construir la recta de confiabilidad versus tiempos de operación en

papel exponencial� Determinar el MTBF con R(t)=37%aprox. en la grafica

1)(

+=

N

itF

4.03.0

)(+

−=N

itF 50≥N20≤N5020 ≤≤ N

N

itF =)(

EJEMPLO En la tabla siguiente se muestran las horas de operación antes de fallar de un montacargas de la empresa Otinsa. Se desea estimar la probabilidad que no falle a las 30 horas de operación



EXPONENCIALHENRY

VILLARROEL


11 caucho

19 Carburación


15 Sistema de elevación



2 Caucho


EJEMPLO DE APLICACIÓN DISTRIBUCION EXPONENCIAL (Con t.)

2min =X

49max=X

47249minmax =−=−= XXRango

1 3.33 8 4K Log= + ≅ 1275.114

47 ≅==I


EXPONENCIALHENRY

VILLARROEL

Intervalos (horas) Fr f (t) No. De sobrevivientes

h (t)

2 - 14 4 0.50 8 0.50

15 - 27 2 0.25 4 0.50

28 - 40 1 0.125 2 0.50

41 - 53 1 0.125 1 1.00

Grafica de f(t) montacargasGrafica de h(t) del Montacargas


EXPONENCIALHENRY

VILLARROEL

0.5

0.25

0.125 0.125

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

O2 - 14 15 - 27 28 - 40 41 - 53

Intervalos de Clase

Fre

cuen

cia

rela

tiva

(%)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2.0 - 14.0 15.0 - 27.0 28.0 - 40.0

Intervalos de Clase

Tasa

de

falla

(%)

Ordinal (i) Tiempo (horas)

F(t) R(t) R(t) en %

1. Ordenar en forma ascendente

2. Calculo de

3. Calculo de R(t)=1-F(t)4.03.0

)(+

−=N

itF


EXPONENCIALHENRY

VILLARROEL

(horas)

1 2 0.0833 0.0833 8.33

2 5 0.2023 0.2023 20.23

3 7 0.3214 0.3214 32.14

4 11 0.4404 0.4404 44.04

5 15 0.5595 0.5595 55.95

6 19 0.6785 0.6785 67.85

7 28 0.7976 0.7976 79.76

8 49 0.9166 0.9166 91.66

R(t)=36.8%

HENRY VILLARROEL

MTBF=18 horas

Utilizando el método grafico, se obtiene el siguiente cuadro:


EXPONENCIALHENRY

VILLARROEL

1 10.055

18MTBFλ = = =

180.055(30) 1.65(30) 0.1920 19%

MTBF

R e e− −= ≅= =

Ordinal (i) Tiempo (horas)

R(t) LnR(t)

Utilizando el método analítico de la regresión lineal, se obtiene el siguiente cuadro:


EXPONENCIALHENRY

VILLARROEL

(horas)

1 2 0.9167 -0.1165

2 5 0.7977 -0.2484

3 7 0.6786 -0.4004

4 11 0.5596 -0.5798

5 15 0.4405 -0.8209

6 19 0.3215 -1.1086

7 28 0.2024 -1.5141

8 49 0.0834 -2.2072

8

8

136

n

t

=

=∑

Aplicando el método analítico, se realiza un resumen estadístico:

8 8 8

. . ( ) . ( )i i i in t LnR t t LnR t−∑ ∑ ∑


EXPONENCIALHENRY

VILLARROEL

1

82

1

8

1

8

1

136

3970

( ) 194.5880

( ) 6.9963

ii

ii

i ii

ii

t

t

t LnR t

LnR t

=

=

=

=

=

=

= −

= −

∑

∑

∑

∑

1 1 128 8

2

1 1

2

0.04508(30)

. . ( ) . ( )

.

(8)( 194.5880) (136)( 6.9963)0.04508

(8)(3978) (136)

1 122.11

0.04508

( )

( 30) 0.2586 26%

i i i ii i i

i ii i

t

n t LnR t t LnR t

n t t

MTBF

R t

R t

ee

λ

λ

λ

λ

= = =

= =

−

−

−− =

−

− − −− = = −−

= = =

== = = ≅

∑ ∑ ∑

∑ ∑

horas

� En mantenimiento esta distribución describe el periodo de desgaste de los


DE GAUSS O NORMALHENRY

VILLARROEL

de desgaste de los equipos

� También puede ser utilizada para modelar los tiempos de reparación de los equipos

� La tasa de falla aumenta aumenta sostenidamente porque los elemento 2

− µ



VILLARROEL

porque los elemento del equipo sufren un proceso de deterioro físico

� Se define como una variable aleatoria continua x que es normalmente distribuida con media y varianza

2

2

1

.2

1)(

=

−−

σµ

πσ

xt

etf

∫∞

−=0

)(1)( dttftR xMTBF µ=

xµ2σ

)(.

)(

)(

)()(

tR

Z

tR

tfth

σφ

==

Distribucion normal estándar

� Dado que y determinan completamente la distribución normal,

σxµ

1

f x( ) 0.5

1

f(xi)f(xi)



VILLARROEL

completamente la distribución normal, entonces en la distribución normal existen familias de distribuciones normales, una de mas cuales la mas importante es la distribución normal estándar( , )

� La distribución normal se puede estandarizar con:

0=xµ 1=σ

−=σ

µxtZ

0

128 x8 9 10 11 12

0

Variable Aleatoria

xixi

−

=2

2

.2.

1)1,0,(

z

tf eπσ

dt

z

zF ez

−

= ∫∞−

2

2

.2.

1)(

πσ

)(1)( zFzR −=

Ejemplo de aplicación de la distribucion normal� En tabla adjunta que se muestra a continuación se muestran los tiempos de

reparación (datos agrupados) de las tareas de mantenimiento de la planta eléctrica P-01. La Gerencia de mantenimiento desea estimar para planificación de la próxima tarea de mantenimiento la probabilidad de reparar la planta eléctrica entre 4 a 10 horas



VILLARROEL

entre 4 a 10 horasIntervalos de Clase

(horas)Acciones de

mantenimiento

1.1 - 2 5 0.06

2.1 - 4 10 0.18

4.1 - 6 16 0.37

6.1 - 8 22 0.64

8.1 - 10 14 0.81

10.1 . 12 10 0.93

12.1 - 14 5 0.06

14.1 - 16 1 0.01

)(tf

6.6 MTTRµ= = horas14.3=σ horas

Histograma de Frecuencia Tiempos de Reparacion Plan ta Electrica

20

25

Fre

cuen

cia

de C

lase



VILLARROEL

0

5

10

15

20

1.1 - 2 2.1 - 4 4.1 - 6 6.1 - 8 8.1 - 10 10.1 - 12 12.1 - 14 14.1 - 16

Intervalos de Clase (horas)

Fre

cuen

cia

de C

lase

Resolución del Problema

)104( ≤≤ TM Estandarizando los tiempos:

83.0)14.3

61.64()

)(1 −=−=

−=

σµxt

Z

08.1)14.3

61.610()(2 =−=−=

σµxt

Z

?)08.183.0( =≤≤− TM

?)( 21 =≤≤ ZTZM



VILLARROEL

∞−

=≤≤− )08.183.0( TM

=≤≤− )08.183.0( TM

?)08.183.0( =≤≤− TM

83.01 −=Z 08.12 =Z 08.12 =Z∞− 83.01 −=Z

= -

)08.1(φ )83.0(−φ-

0.8599 0.2033-

0.6560 (65.66%)=≤≤ )104( TM

HENRY VILLARROEL

� Es la distribución de vida mas ampliamente utilizada en los análisis para describir la tasa de falla de los equipos, por su versatilidad.


DE WEIBULLHENRY

VILLARROEL

versatilidad.� Matemáticamente se define:

( )βαβ

ααβ /.

1

)( tettf −−

=

1)( −= ββα

β tth

( )βα/)( tetR −=

h(t)

β=Pendiente o parámetro de forma

α = Parámetro de escala (edad característica de falla)

Características:� β<1 tasa de falla

decreciente (Mortalidad infantil)β =1 tasa de falla


DE WEIBULLHENRY

VILLARROEL

� β =1 tasa de falla constante (vida útil)

� β > 1 tasa de falla creciente (desgaste)

)1

1(.β

α +Γ=MTBF

)1

1(β

+Γ = Función Gamma

Casos particulares:

1=β α=MTBF

5.0=β α.2=MTBF

( )βα/)( tetR −=PAPEL WEIBULL

METODO GRAFICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WE IBULL


DE WEIBULLHENRY

VILLARROEL

e

1=β

α=t

3678.01)( =−== etR α

6322.0)(1)( ==−== αα tRtF

Haciendo:

Intervalos de tiempo

0.6322

F(t)PAPEL WEIBULL

α=t

METODO ANALITICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

( )βα/)( tetR −=β

α

=− t

tLnR )( ( ) bLntLntn

tRLnLnLnt

tRLnLnLntn

i

ii

=−

−

=∑∑

∑ ∑ ∑22.

))(

1.)

)(1

(..

β


DE WEIBULLHENRY

VILLARROEL

α

=− tLnR )(

αββ LnLnttR

LnLn ..)(

1 −=

axby += .

( )LntLntn i− ∑∑.

( ) aLntLntn

tRLnLnLnt

tRLnLnLnt

Lni

i

=−

−

=−∑ ∑

∑ ∑∑22

2

.

))(

1(.)

)(1

(.

. αβ

βα

−= a

Ln

−= βα

a

e

Aplicando Regresión Lineal a la ecuación

Procedimiento para la predicción edad característica de falla y modo de falla en la distribución Weibull:

� Agrupar los datos y graficar f(t) vs. Tiempo� Ordenar la información de los tiempos de operación en orden

ascendente (de menor a mayor)


DE WEIBULLHENRY

VILLARROEL

� Calcular la probabilidad de falla estadística por:

� i = numero de orden de observación� N=numero total de observaciones� Construir la recta de confiabilidad versus tiempos de operación� Determinar la edad característica de falla( ) con F(t)=62.22% aprox.

en la grafica� Determinar

1)(

+=

N

itF 4.0

3.0)(

+−=

N

itF 50≥N20≤N5020 ≤≤ N N

itF =)(

α

β

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

� El gerente de mantenimiento de una planta eléctrica desea la probabilidad de que no falle a las 200 horas de operación, el tiempo promedio entre fallas (MTBF) de un motor diesel. Para este propósito disponen de los tiempos de operación en horas del equipo hasta fallar: 6,23,163,282,215,46,503,92,12,46,20


DE WEIBULLHENRY

VILLARROEL

Intervalos de clase (horas)

Frecuencia de clase

0 – 100 9

100 – 200 1

200 – 300 2

300 – 400 2

400 – 500 0

500 - 600 1

Histograma de Frecuencia Motor Diesel

0

2

4

6

8

10

0 - 100 100 - 200 200 - 300 300 - 400 400 - 500

Intervalos de Clase (horas)

Fre

cuen

cia

de C

lase

4.03.0

)(+

−=N

itF

RESOLUCION UTILIZANDO EL METODO GRAFICO

Ordinal Tiempo F(t) F(t) en %

1 2 0.0523 5.23

2 6 0.1269 12.69

3 12 0.2015 20.15


DE WEIBULLHENRY

VILLARROEL

3 12 0.2015 20.15

4 16 0.2761 27.61

5 20 0.3507 30.07

6 23 0.4254 42.54

7 46 0.500 50.00

8 46 0.5746 57.46

9 92 0.6492 64.92

10 163 0.7239 72.39

11 215 0.7985 79.85

12 282 0.8731 87.31

13 503 0.9478 94.78

Graficar la recta de confiabilidad F(t) vs. Tiempo en papel Weibull

62.22 %

HENRY VILLARROEL

α = 85 horas

Resultados por el método grafico:

0.6

85

βα

== horas

(Mortalidad infantil)


DE WEIBULLHENRY

VILLARROEL

0.6200

85

85

. (1 1/ )

(85)( (2.66))

(85)(1.496) 127.16

(200) 0.1880 19%

MTBF

MTBF

MTBF

R e

αα β

−

== Γ += Γ= =

= = ≅

horas

RESOLUCION UTILIZANDO EL METODO ANALITICO DE LA REGRESIÓN LINEAL

Ordinal Tiempo F(t) R(t) Lnt Ln(Ln(1/R(t)))

1 2 0.0523 0.9477 0.6931 -2.9240

2 6 0.1269 0.8731 1.7917 -1.9972

3 12 0.2015 0.7931 2.4849 -1.4915


DE WEIBULLHENRY

VILLARROEL

4 16 0.2761 0.7985 2.7725 -1.1297

5 20 0.3507 0.6493 2.9357 -0.8396

6 23 0.4254 0.5746 3.1354 -0.5944

7 46 0.5000 0.5000 3.8286 -0.3665

8 46 0.5746 0.4254 3.8286 -0.1569

9 92 0.6492 0.3509 4.5217 0.0461

10 163 0.7239 0.2761 5.0937 0.2523

11 215 0.7985 0.2061 5.3706 0.4570

12 282 0.8731 0.1269 5.6419 0.7248

13 503 0.9478 0.0522 6.2205 1.0827

Realizamos el resumen estadístico necesario para la aplicación de la regresión lineal

13

1

13

48.371ii

n

Lnt=

=

=∑

Resumen estadístico :


DE WEIBULLHENRY

VILLARROEL

1

132

1

13

1

13

1

13 13 13

1 1 1

13 132

1 1

( ) 211.37

( (1/ ( ))) 7.123

. ( (1/ ( ))) 7.241

. . ( (1/ ( ))) . ( (1/ ( )))

.

i

ii

ii

i ii

i i i ii i i

i ii i

Lnt

Ln Ln R t

Lnt Ln Ln R t

n Lnt Ln Ln R t Lnt Ln Ln R t

n Lnt Lnt

β

=

=

=

=

= = =

= =

=

= −

= −

−=

−

∑

∑

∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑2 2

(13)( 7.241) (48.371)( 7.123)0.631

(13)(211.37) (48.371)

− − −= =−

13 13 13 132

1 1 1 1213 13

2

1 1

( ) . ( (1/ ( ))) . ( (1/ ( )))..

.

(211.37)( 7.123) ( 7.241)(48.371)

i i i i ii i i i

i íi i

Lnt Ln Ln R t Lnt Ln Ln R t LntLn

n Lnt Lnt

β α = = = =

= =

−− =

−

− − −

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑


DE WEIBULL

2

(211.37)( 7.123) ( 7.241)(48.371). 2.831

(13)(211.37) (48.371)

2.831

Ln

Ln

β α

αβ

− − −− = = −−

− −= =−

0.631200

88.76

2.8314.486

0.631

4.486 88.76

. (1 1/ ) (88.76). (2.361) (88.76)(1.463) 129.85

( 200) 0.1883 19%t

MTBF

R t

e

e eβ

α

αα β

− −

=−

== Γ + = Γ = =

= = = = ≅

=horas

horas

Estudio de l a Ingeniería de Mantenimiento

Análisis de FallaEstudio del comportamiento del

Equipo y/o Sistema basado


HENRY VILLARROEL

Análisis de Falla Equipo y/o Sistema basadoEn modelos Probabilísticos

Análisis de Falla TécnicoAnálisis de Falla basado en

La Estadística

• Diagrama Causa Efecto•AMEF

•Diagrama de Pareto•Tasa de Falla

•Análisis de Criticidad

•Confiabilidad•Mantenibilidad•Disponibilidad

IntroducciónTodo equipo cumple una determinada función que satisfaga nuestras necesidades y

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PARAMETROS DE MANTENIMIENTOCONFIABILIDAD

nuestras necesidades y expectativas, pero inevitablemente antes o después hemos sufrido las consecuencias negativas de sus fallas que pueden traer consecuencias económicas y de seguridad, tomemos 3 ejemplo:�Bombillo�Pastillas de freno de un vehiculo�Motor de un Avión

�Surge la necesidad de estudiar enprofundidad los mecanismos a travésde los cuales se produce una falla paraasí evitar su aparición o minimizar losefectos, si es que llega a producirse,

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efectos, si es que llega a producirse,esto implica:Determinar las exigencias deseguridadRealizar tareas de mantenimiento periódico.En resumen se puede concluir que :�No siempre es fácil determinar elmomento en que el sistema falla.

� No todas las fallas son igualmente predecibles o evitables.

� No todas las fallas producen las mismas consecuencias económicas operativas

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económicas operativas� No todas las fallas tienen las

mismas repercusiones sobre la seguridad de los usuarios.

� No todas las fallas tienen su origen en las mismas causas (Hardware, software, usuarios, mantenedores).

� La confiabilidad trata sobre el estudio de las fallas de los equipos y sistemas.

Confiabilidad. Concepto

� Es la ciencia que se encarga de lapredicción, estimación u optimización de lasdistribuciones de probabilidad de

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distribuciones de probabilidad desupervivencias de los componentes osistemas (Elsayed, 2000)

�“Habilidad de un activo en ejercer unafunción en una condición establecida y por unperiodo de tiempo definido”. (Nava, 1996)

�Probabilidad de que un equipo, maquinaria osistema realicen sus funcionessatisfactoriamente bajo condicionesespecificas dentro de cierto periodo detiempo, medido por MTBF”. (Mckenna, 1998)

Medición de la Confiabilidad�Tiempo promedio entre

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�Tiempo promedio entre fallas (MTBF)�Tasa de Riesgo (h(t))�Confiabilidad en sistemas No Reparables, sistemas Reparables

Sistema No Reparables� Un equipo no reparables es

aquel cuya condición operativa no puede ser restaurada después de una falla.

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falla.� Su vida termina con una

“única” falla y debe ser reemplazado.

� Para caracterizarlo probabilisticamente se requiere estimar la “tasa de falla λ(t)”

Sistema Reparables.� Un equipo reparable es aquel

cuya condición operativa puede ser restaurada después de una falla, por la acción de reparación diferente al

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falla, por la acción de reparación diferente al reemplazo total del mismo.

� Para caracterizarlo probabilisticamente se requiere estimar la “tasa de falla λ (t)” y la tasa de reparación µ(t).

� Además de la confiabilidad se requiere calcular la disponibilidad.

Tiempo promedio entre falla (MTBF):�Es una medida de la confiabilidad, representa el valor medioentre falla.�No debe ser confundido con el tiempo medio a la falla MTTF(Mean Time To Failure)

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(Mean Time To Failure)� Si t es una variable aleatoria continua, el valor esperado puedeser determinado por:

∫∞

=0

)()(. tdtftMTBF

∫−=

−=t

dttftR

tFtR

0

)(1)(

)(1)(

)()( tfdttdR −=

Tiempo promedio entre falla (MTBF )

dtMTBF dtttdR

∫∞

−=0

)(

∫∞

−= )(. tdRtMTBF

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Integrando por partes :∫−=0

)(. tdRtMTBF

)(

**

tRvtu

vduvudvu

=∴=

−=∫ ∫Sustituyendo:

[ ] ∫∫∞

∞−=−

000

)()(*)( dttRtRtttdR

,0)( =∞R 1)0( =REvaluando:

∫ ∫∞ ∞

=0 0

)()( dttRttdR

Tiempo promedio entre falla (MTBF)

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(Sistema Reparables)

(Sistema No Reparables)

∫∞

=0

)( dttRMTBF

∫∞

=0

)( dttRMTTF

Tasa de Riesgo (Rate hazard): Es la propiedad de falla instantánea de un equipo en un tiempo “t” .

liabilitytRfailuretfth Re)(

)()( ===

Tasa

de

Fal

la

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liabilitytRfailuretfth Re)(

)()( === No. de equipos que fallaron en un tiempo t

No. de equipos que sobreviven en un tiempo t

Tiempo de Operación (Edad o vida)

Mortalidad infantil Vida útil Periodo de desgate

Decrecimiento de la tasa de falla

Tasa de fallas constante Incremento de latasa de falla

Tasa

de

Fal

la

Tasa de Riesgo h (t):

)(

)()(

tR

tfth = )(1)( tFtR −=

)()( tfth =

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)(1)()( tF

tfth −=Para el caso de una función de distribución de probabilidad exponencial:

tetf λλ

−=)(

∫=t

dttftF0

)()(

dttFt

te∫−=

0

)( λλ

Tasa de Riesgo h (t):

dttFt

te∫−=

0

)( λλ dt

t te∫−=

0

λλ

t eeλ −==

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ttt eetF λλλλ −−− −== 1)( 01

tetRtFtR λ−=⇒−= )()(1)(

λλλλ == −

−te

e t

tR

tfth

)(

)()(

λλλ

λ

10

)(0 0

=∞−−=

∫ ∫∞ ∞ −==

teMTTF

dttRMTTFte

Tasa de Riesgo h (t) de las distribuciones De probabilidad mas comunes

)(tf )(thNombre parámetros

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te λλ −.

λ λ

2

2

1

.2

1

−

−σ

µ

πσ

xt

e)(. tR

xt

σσ

µφ

−

σµ ,x2ln

2

1

2..

1

−

−σ

µ

πσ

xt

et

)(..

ln

tRt

xt

σσ

µφ

−

σµ ,x

( )βαβ

ααβ /.

1tet −

−

1−ββα

β t αβ ,

Exponencial

Normal

Log-Normal

Weibull

ANALISIS DE CONFIABILIDAD

ANÁLISIS DE CONFIABILIDAD PARA SISTEMAS

PREGUNTAS CLAVES

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ANALISIS DE CONFIABILIDADPARA SISTEMAS

ANALISIS DE CONFIABILIDADBASADO EN LA CONDICION

ANALISIS DE CONFIABILIDADBASADO EN HISTORIA DE FALLA

¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA FALLA DEL

EQUIPO HAGA FALLAR EL SISTEMA Y AFECTE AL

PROCESO?

¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE

FALLE EL EQUIPO?

Confiabilidad del sistema :BLOQUE II

COMPRESION

BLOQUE 2 FALLA

�Permite la estimación de la probabilidad de falla o confiabilidad de un sistema basándose en las

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63

BLOQUE 2 FALLA

SIST 3 FALLA SIST 4 FALLA

OPER.FALLA

SWITCHFALLA

COMP.# 1FALLA

COMP.# 2FALLA

de un sistema basándose en las probabilidad de cada equipo componente del sistema.

�Se sustenta en diagramas de bloques�Permite estimar la contribuciones de cada equipo en la probabilidad de falla o confiabilidad del sistema.

CONFIABILIDAD EN SERIE:�Si existe una independencia entre los equipos:

R (s) = R(A).R(B).R(C)

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R (s) = R(A).R(B).R(C)

( )∏==

n

iRiRs

1

�La confiabilidad de un sistema en Serie es mucho mas pequeña que la confiabilidad de las unidades individuales.

Considere un sistema que consiste en 5 componentes, 3 de los cuales tienen una tasa de falla constante , los otros dos restantes componentes tienen un comportamiento de tasa de weibull con

horasxhorasxhorasx /6

1093,/6

1032,/6

1051−=−=−= λλλ

Ejemplo Confiabilidad en Serie:

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restantes componentes tienen un comportamiento de tasa de weibull con parámetros. 1.2,14523,2.2,7650 5544 === = βαβα horashoras

2 3 41 5

hx /6

1032−

=λ hx /6

1093−

=λhx /6

1051−

=λ

2.24

/6

1076504

=

−=

β

λ hx

1.25

/6

10145234

=

−=

β

λ hx

Determine la confiabilidad del sistema en t =1000horas.

−−∑ ∑

= ==3

1

2

1

)/(

)( i i

iitit

etRsβαλ

Ejemplo Confiabilidad en Serie (Continuación):

( ) ( ) ( ) 017.01000*16

1096

1036

105321

3

1=

−+

−+

−=++=∑

=h

horasxxxt

iti λλλλ

β

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0149.00036.00113.0

1.2

14523

10002.2

7650

10002

1=+=+=∑

=

h

h

h

hi

i i

tβ

α

( )

( )%86.96)1000(

9686.01000

0319.00149.0017.0)1000(

=

=

−=

−−=

Rs

Rs

eeRs

CONFIABILIDAD EN PARALELO:

Asumiendo independencia tenemos:F= FALLA, F+R=1

Fs = F ( A ) .F( B ).F(B)

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( )∏=

−=n

iiRFs

1

1

Fs = F ( A ) .F( B ).F(B)

La confiabilidad de un sistema de un sistema en paralelo, entonces es:

( )∏=

−−=n

iiRRs

1

11

EJEMPLO CONFIABILIDAD EN PARALELO:Considere un sistema en paralelo con 2 componentes que tienen una tasa de falla constante de Cuál es la confiabilidad del sistema a las 1000 horas?, ¿Cuál es la tasa de Falla del sistema?

hxhx /103.0,/105.0 62

61

−− == λλ

λ

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Falla del sistema?1λ

2λ

( )( )( )( ) ( )

1

0.000005(1000) 0.000003(1000)

2( ) 1 1

1

2( ) 1 1 1

( ) 1 1 1

( ) 1 (0.0049)(0.0029)

( ) 0.999 99%

itRs t

i

ttRs t

Rs t

Rs t

Rs t

e

e e

e e

λ

λλ

− −

−∏= − −=

−−= − − −

= − − −

= −

= ≅

CONFIABILIDAD DE SISTEMA K DE N:� Existen sistemas que no pueden ser considerados que fallan completamente hasta que al menos K componentes de N componentes no hayan fallado, estos sistemas son conocidos con “K de N”.

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( ) knP

kP

k

nPnkR

n

kr

−−∑=

=

1..),,(

“K de N”.� Ejemplo de sistemas K de N:

Avión, Cables, Plantas de generación de potencia.� Asumiendo que todas las unidades tienen idénticas e independientes las distribuciones de vida y la probabilidad que una unidad este funcionando es P, entonces la probabilidad que exactamente K unidades estén funcionando de n es:

Ejemplo de sistema K de N:Considere el sistema de bomba de crudo mostrado en la figura. La confiabilidad de todas las bombas soniguales y Rp = 0.8. Adicionalmente, las válvulas de bloqueo y las válvulas check de las bombas tienen unaconfiabilidad de 0.99. Finalmente la confiabilidad de la válvula de control en la descarga del sistema es de0.98 y las válvulas del by pass y de entrada tienen una confiabilidad de 0.98. El sistema requiere que 2 delas 5 bombas estén en funcionamiento para cumplir con el requerimiento de la empresa

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1

4

3

5RV=0.9

8

RV=0.98

RVc=0.98

RVb=0.99RV=0.9

9

RVc=0.99

2

Rp=0.80

DIAGRAMA DE BLOQUE DEL SISTEMA :

Rv =0.99 Rvc =0.99Rp =0.80

Rvb =0.99Rvc =0.99Rp =0.80Rv =0.99

Rvb=0.99

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RV =0.98Rvb =0.99Rp =0.80 Rvc =0.99

Rvb =0.99

Rv =0.99

Rv =0.99

Rv =0.99 Rp =0.80

Rp =0.80 Rvb =0.99

Rvc =0.99

Rvc=0.99

Rvc =0.98

Rv =0.98

Para el sistema A: Válvula de bloqueo- bomba – válvula check - válvula de bloqueo

Ra =(0.99)(0.80)(0.99)(0.99) = 0.7762

∏=

=∴4

1

,i

RiRs

DIAGRAMA DE BLOQUE DEL SISTEMA (continuación)

Ra =0.776

Rv =0.99Ra =0.776

Ra =0.776 Rvc =0.99

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Ra =0.776

Ra =0.776

Ra =0.776

Rv =0.99

Para un requerimiento del sistema Ra, es un sistema K de n, ya que se requieren que 2 de las 5 bombas estén en funcionamiento

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

989.0)776.0,5,2(

776.01776.05

5

776.01776.04

5776.01776.0

3

5776.01776.0

2

5)776.0,5,2(

776.01776.02

5)776.0,5,2(

05

142332

325

2

=

−

+−

+−

+−

=

−

= ∑=

Rs

Rs

Rsr

Diagrama de Bloque del Sistema ( continuación):

RV =0.982 de 5

Rs =0.989

Rvc =0.98

Rv =0.98

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Rv =0.98

[ ] [ ] [ ]21 1 ( ) 1 1 0.98 * 1 0.98 0.996 99.6%

1Rvc by pass R tii

∏+ − = − − = − − − = ≅=

Finalmente, la confiabilidad de todo el sistema de bombeo viene dada por:

*. ( ) .( )

0.98 * 0.989 * 0.996 0.965 96.5%.

R R R Rsist bombeo v entrada sist bombas vc by pass

Rsist bombeo

= + −

= ≅=

DA

• Existen sistema que no pueden ser modelados o son difíciles de modelar como sistema serie, paralelo, o K de N,

SISTEMAS COMPLEJOS DE CONAFIABILIDAD

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D

EC

B

Acomo sistema serie, paralelo, o K de N, por ejemplos sistemas de comunicaciones, redes de computación.

• La confiabilidad de estos sistemas complejos puede ser determinada por otros métodos, entre otros Método de la tabla de la verdad de Booleana.

Método de la tabla de la verdad Booleana :Se basa en la condición de los componentes, si funcionan o no. Una columna es creada en la tabla de cada componente con valores de 0 y 1 para indicar que un componente esta funcionando o no respectivamente. Cada columna en la tabla entonces representa un estado del sistema (probabilidad de estado). La confiabilidad del sistema es la suma de todas las probabilidades de estado donde el

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confiabilidad del sistema es la suma de todas las probabilidades de estado donde el sistema funciona.

Ejemplo:Calcular la confiabilidad del sistema mostrado utilizando el método de la tabla de la verdad Booleana,Donde R(E) = 0.6, R(A) = 0.7, R(B) = 0.8, R(C) = 0.9 y R(D) = 0.78

A

D

E

B C

El número de probabilidades de estado (PE) viene dado por la siguiente ecuación:

nPE 2=Donde n representa en número de componentes del sistema, para este caso: n=5

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Donde n representa en número de componentes del sistema, para este caso: n=5

3225 ==PE

El siguiente paso es encontrar las diferentes combinaciones de equipos en estado operativo (1) o de falla (0) en el sistema funcione (1), donde se encontrará la probabilidad de estado que es el productos de las diferentes probabilidades, las suma de todas las propiedades de estado donde el sistema esta funcionando serála confiabilidad del sistema.

A B C D E Estado del

sistema

Probabilidad de estado (PE)

1 0 1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 1 R(A)F(B)F(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.1)(0.78)(0.6)=0.0065

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1 0 0 1 1 1 R(A)F(B)F(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.1)(0.78)(0.6)=0.0065

1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 1 R(A)F(B)F(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.1)(0.22)(0.6)=0.0018

1 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 F(A)R(B)R(C)R(D)R(E)=(0.3)(0.8)(0.9)(0.78)(0.6)=0.1010

0 1 1 1 0 1 F(A)R(B)R(C)R(D)F(E)=(0.3)(0.8)(0.9)(0.78)(0.4)=0.0673

0 1 1 0 1 0 0

0 1 1 0 0 0 0

Continua…

A B C D E Estado del

sistema


1 1 1 1 1 1 R(A)R(B)R(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.78)(0.6)=0.2358

1 1 1 1 0 1 R(A)R(B)R(C)R(D)F(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.78)(0.4)=0.1572

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Continua…

1 1 1 0 1 1 R(A)R(B)R(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.22)(0.6)=0.0665

1 1 1 0 0 1 R(A)R(B)R(C)F(D)F(E)=(0.7)(0.8)(0.9)(0.22)(0.4)=0.0443

1 1 0 1 1 1 R(A)R(B)F(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.1)(0.78)(0.6)=0.0262

1 1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 1 1 R(A)R(B)F(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.8)(0.1)(0.22)(0.6)=0.0073

1 1 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 1 R(A)F(B)R(C)R(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.9)(0.78)(0.6)=0.0589

1 0 1 1 0 1 R(A)F(B)R(C)R(D)F(E)=(0.7)(0.2)(0.9)(0.78)(0.4)=0.0393

1 0 1 0 1 1 R(A)F(B)R(C)F(D)R(E)=(0.7)(0.2)(0.9)(0.22)(0.6)=0.0166

A B C D E Estado del sistema


0 1 0 1 1 0 0

0 1 0 1 0 0 0

0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0

HENRY VILLARROEL


0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 1 1 1 F(A)F(B)R(C)R(D)R(E)=(0.3)(0.2)(0.9)(0.78)(0.6)=0.0252

0 0 1 1 0 1 F(A)F(B)R(C)R(D)F(E)=(0.3)(0.2)(0.9)(0.78)(0.4)=0.0168

0 0 1 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0

∑=

==15

1

8715.0i

PEiRs

Mantenibilidad� Probabilidad de un

equipo, maquinaria o sistema pueda ser restaurado a

PARAMETROS DE MANTENIMIENTOMANTENIBILIDAD

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restaurado a condiciones normales de operación dentro de un periodo de tiempo dado cuando su mantenimiento ha sido realizado de acuerdo a procedimientos establecidos

Tiempo fuera de servicio

Tiempo activo de mantenimiento Tiempo en demoras logísticas Tiempo en demoras administrativas

Mantenimiento Correctivo Mantenimiento Preventivo

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Tiempo de Reparación

Tiempo de Inspección

Tiempo de Servicio

Tiempo de Checkout

Reparación del Mantenimiento

Localización y aislamiento de

falla

Desensamblaje del equipo

Reparación del elemento en sitio

Reemplazo del elemento fallado con repuesto

Reensamble del equipo

Ajuste, calibración o alineación, etc.

Verificación de condiciones (Checkout

Medición de la Mantenibilidad

� Medición basada en tiempo (Tiempo promedio de Reparación, MTTR)


Reparación, MTTR)� Medición basada en carga de

trabajo (Horas hombres de mantenimiento, Horas hombres por acciones de mantenimiento)

� Medición basada en costos de las tareas (Costo promedio de la tarea, costo anual)

Medición de la mantenibilidad basada en tiempo

� La función mantenibilidad es una distribución de la variable aleatoria del Tiempo medio a reparar MTTR (Mean Time To Repair), que representa el tiempo de ejecución de una tarea de mantenimiento cualquiera, ya sea preventiva o correctiva:

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∫=≤=t

dttmtMTTRPtM0

)()()( m(t)= La función de densidad de la variable aleatoria MTTR

mantenimiento cualquiera, ya sea preventiva o correctiva:

�En este curso trabajaremos con dos tipos de distribuciones que mejor simulan la mantenibilidad:

- La distribución de Gauss o Normal- La distribución Weibull- La distribución de Gumbel Tipo I - La Exponencial

Distribución Normal :�Tienen aplicación en tiempos de reparaciones de los equipos mecánicos y electromecánicos.Definición: Es una variable aleatoria

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Definición: Es una variable aleatoria continua x que esta normalmente distribuida con la media y varianzaχµ 2σ

2*

21

*2

1)(

−−

= σµ χ

πσ

t

etf

∫∞

=0

)()( dttftM χµ=MTTR

EJEMPLO DE APLICACIÓN� En la tabla 1 se muestran los tiempos en minutos de las actividades de mantenimiento

correctivo de un montacargas. Se desea determinar las siguientes interrogantes:a)¿Cuál será la probabilidad de presentarse una falla de hacer la tarea de mantenimientocorrectivo entre 52 y 72 minutos?

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b)¿Cuál es el tiempo por debajo del cual se comportaran el 85% de las tareas demantenimiento correctivo?

Tabla 1

51 71 75 67 86 58 52 64 41 74

48 55 43 72 30 39 64 45 63 37

70 37 48 71 69 83 57 83 46 72

33 59 97 66 93 76 68 50 65 63

75 63 51 69 75 64 54 53 59 92

Ejemplo de aplicación (Continuación)

Intervalos de clases

Frecuencia de Clase

30 - 39.5 5

Frecuencia de Mantenimeinto Correctivo del Montacar gas

14

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30 - 39.5 5

40 – 49.5 6

50 – 59.5 11

60 - 69.5 12

70 - 79.5 10

80 - 89.5 3

90 - 99.5 3

0

2

4

6

8

10

12

30 - 39.5 40 - 49.5 50 - 59.5 60 - 69.5 70 - 79.5 80 - 89.5 90 - 99.5

Intervalos de Clase en Minutos

Fre

cuen

cia

de C

lase

∑=

====n

i niMTTR

1min92.61

50

3096χχµ

min74.1549

12138

1

2)(==

−∑ −

=n

xix µσ

Ejemplo de aplicación (Continuación)a.

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491−n

64.074.15

)92.6172(63.0

74.15

)92.6152(21 =−=−=−= ZZ

)(7389.0)()(2643.0)( 21 tablaZtablaZ == φφ

2643.07384.0

)()()( 1221

−=−=∠∠ ZZZXZM φφ

Z1 Z2%)41.47(4741.0)7252( ≡=∠∠XM

)(85.0?)(85.0 ztM φ=⇒==Ejemplo de aplicación (Continuación)b.

Por tabla A3

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04.18508.0?)( =⇒== Zzφ

min26.78. =⇒+=⇒−

=

mctxZmctxmct

Z µσσ

µ

Distribución de probabilidad de Gumbel I

� La distribución de Gumbel I es utilizada en mantenimiento para

)(

)(

utaeetP−−−=

=u

1

Media o edad característica para reparar

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Función acumulativa de Gumbel I


utilizada en mantenimiento para predecir la mantenibilidad de los equipos, ya que los tiempos de reparación de los equipos obedecen a la ley del efecto proporcionado.

� La Ley del efecto proporcionado expresa que en si el cambio de una variable en cualquier paso del proceso es una porción al azar del valor previo de la variable.

===

==

=

MTTR

u

a

ua

tm

a

,

1

auMTTR

5778.0+=

Inverso de la pendiente de la recta de mantenibilidad

Tiempo estimado para el próximo trabajo

Coeficientes de la distribución Gumbel I

Parámetro de dispersión

Parámetro de posición

Tiempo promedio de reparación del equipo

Los tiempos de reparación de un equipo están compuestos por:� Enfriamiento�Ubicación de las fallas�Reparación de la falla

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�Reparación de la falla�Puesta en funcionamiento.El tiempo de reparación será la suma de los dos tiempos parciales del proceso Modela:�Situaciones de pocas paradas de corta duración�Se presta para cálculos analíticos

Los parámetros a y u son los mas importantes en esta distribución. Para la estimación de estos parámetros existen 2 métodos de resolución: Método Gráfico y el Método Analítico.

Método Analítico

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)()(

utaeetP−− −

=)()( utaetLnP −−−=

)()]([ utatLnPLn −−=−

atautLnPLn −+=− )]([

axby +=

Aplicando logaritmos a la ecuación

Ecuación linealizada

∑∑∑ ∑ ∑

−−−−

=−22

)()(*

)]([.)]([..

ii

ii

ttn

tLnPLnttLnPLntna

Aplicando regresión lineal

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∑∑ − )()(* ii ttn

∑ ∑∑ ∑∑∑−

−−−=

22

2

)().(

)].(*[.)]([..

ii

iii

ttn

ttPLnLnttLnPLntua

Se determinan las constantes a , u

Método Gráfico:� Ordenar los datos, (tiempos fuera de servicio) en orden ascendiente� Numerar los valores observados de 1 en adelante� Calcular la probabilidad de ocurrencia

1+=

n

iPf

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� i = numero de orden de la observación � n = numero total de observaciones � Utilizar el papel probabilístico de Gumbel I para valores extremos � Ajustar la curva � Determinar los valores de y u gráficamentea

37.0)( 1 === −eutP

ut =

1+nf

Para determinar u, se hace que en la ecuación:)(

)(utaeetP

−− −

=

Se obtiene la edad característica de reparar, u

0)( ttm x −

= Pendiente de la recta de mantenibilidad (donde VR = Variable reducida)

Método Grafico (continuación )

Para obtener , se calcula la pendiente de la rectaa

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0)( VRVRm

x −= (donde VR = Variable reducida)

ma

1=

auMTTR

5778.0+=

EJEMPLO DE APLICACIÓNLa empresa Otinsa esta programando un mantenimiento preventivo a una bomba centrifuga P-04 utilizada para el bombeo de agua de alimentación de la planta. La gerencia de mantenimiento, desea estimar el tiempo promedio de reparación de la bomba en la próxima parada. Los tiempos de reparaciones anteriores (en horas) se enumeran a continuación : 85, 118, 68, 78, 71, 106, 92, 74, 138

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85, 118, 68, 78, 71, 106, 92, 74, 138

)(tfPORDINAL(i) TIEMPO (en horas)

(%)

1 68 0.10 10

2 71 0.20 20

3 74 0.30 30

4 78 0.40 40

5 85 0.50 50

6 92 0.60 60

7 106 0.70 70

8 118 0.80 80

9 138 0.90 90

)(tfP

horastVR i 10611 =→=

Método Grafico�Ajustando los datos en el papel Gumbel

horasutPf 78%)37( 0 ==→=

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horasa

uMTTR

ma

VRVRtt

m

18.940357.05778.0

785778.0

0357.02811

28128

0178106

01

01

=+=+=

===

==−−=

−−=

horastVR

horastVR i

780

1061

02

1

=→==→=

ORDINAL(i) TIEMPO “t” en horas

1 68 0.10 0.8340

2 71 0.20 0.4758830

9

==

∑ t

n

Método analítico

)(tfP ( ))( tf

LnPLn −

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3 74 0.30 0.1856

4 78 0.40 -0.87421

5 85 0.50 -0.3665

6 92 0.60 -0.6717

7 106 0.70 -1.0309

8 118 0.80 -1.4999

9 138 0.90 -2.2503

54,592)]([.

81118

4113.4)]([

830

2

−=−

=

−=−

=

∑∑

∑∑

tLnPLnt

t

tLnPLn

t

fi

i

f

i

)4113.4(*)830()34.592(9

)().(

))((.)]([..22

−−−=−

−−−−

=−∑ ∑

∑ ∑ ∑

a

ttn

tLnPLnttLnPLntna

ii

fifi

Método analítico (continuación)

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04056.004056.0

)830()81118(*9)4113.4(*)830()34.592(9

2

=⇒−=−−

−−−=−

aa

a

horasua

uua

ua

ttn

ttLnPLnttLnPLntua

ii

ififi

14.802507.3

2507.3.

)830()81118(*9)830)(34.592()4113.4)(81118(

.

)().(

).)((.))((..

2

22

2

=⇒=⇒=

−−−−=

−−−−

=∑ ∑

∑∑ ∑ ∑

horasa

uMTTR 38.94

5778.0 =+=

µ

µµ

1)(

.)(

−−=

−=t

etM

tetf µ

Distribución Exponencial

= tasa de reparación

Probabilidad que el equipo sea reparado en un tiempo t

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µ

1=MTTR

CARACTERISTICAS�Modela mecanismos de reparación de:- Equipos relativamente sencillos- Equipos que requieren ajustes frecuentes de muy poca duración�Es muy útil para cálculos analíticos

DISTRIBUCION LOG-NORMAL

2)(11

2)(21

2

1)(

µµµ

σµ

πσ

LnaLnbxy

Lnb

b

adx

xLnx

etf

−−−−

∫

−−=

f(x)

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)()(

2)(21

2

1)(

σ

µφ

σ

µφσ

µ

σπ

xLnaxLnbdy

xy

eLnb

Lnatf

−−

−=

−−∫=

CARACTERISTICAS

�Aplica en los mismos casos que la distribucion de Gumbel

�No se presta para cálculos analíticos

x0 2 4 6 8 10 12

DISPONIBILIDAD

� La disponibilidad, del termino en ingles availability puede ser definida como la probabilidad de que un equipo este operando o este disponible para

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PARAMETROS DE MANTENIMIENTODISPONIBILIDAD

este operando o este disponible para su uso, durante un periodo de tiempo determinado.� Es una función que permite estimar en forma global el porcentaje de tiempo total que se puede esperar, que un equipo este disponible para cumplir la función para la cual fue diseñado.

MANTENIBILIDAD

Tiempo de operación



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Tiempo de reparación

Tiempo de reparación

CONFIABILIDAD MTTR

MTBF

DISPONIBILIDAD

Sea:

Ti Di Ti+1

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Sea:Ti = tiempo de duración del i periodo de funcionamiento (V. Aleatoria)Di = tiempo de duración del i periodo de reparación o reemplazo (V. Aleatoria) (t) = función densidad de probabilidad de reparación o reemplazo del equipo (g1, g2, g3)W(t) = función densidad de probabilidad de falla del equipo (w1, w2, w3)A(t) = función de convulación entre la función w(t) , g(t)

)]().(1.[)(1

)(

)}({)}.({)}({

sgsWs

sWsAdonde

tgLtwLtAL

−−=

=

)}({)(

)](*)(1[*

)(1)(

1 sALtA

sgsws

swsA

−=−

−=

A(t) = Es definida como la probabilidad de que el componente este disponible (funcionando) apropiadamente en el tiempo t, es también llamada la

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t

t

ee

tg

twµ

λ

µ

λ

−

−

==

)(

)( λ

disponible (funcionando) apropiadamente en el tiempo t, es también llamada la disponibilidad instantánea en un tiempo aleatorio t.

EJEMPLO

Calcular la disponibilidad de un equipo en el cual la función densidad de probabilidad de falla w(t) y la función densidad de probabilidad de reparación g(t) son de carácter exponencial (tasa de falla y reparación constante).

donde = tasa de falla

donde = tasa de reparaciónµ

}{

}{}{)(

)}({)(

)()(

)](*)(1[*)(1

)(

tt ee LLsw

tgLsg

twLsw

tgswSsw

sA

λλ −− ====

−−=

)(

]))((

))(([

)()(

λ

µλλµµλ

λλλ

+

++−++

+−+

=

s

s

ss

sss

s

s

sA

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}{}{)( .tt ee LLsw λλ

λλ−− ==

)]).((1[

)(1)(

)()(

)()(

µµ

λλ

λλ

µµ

λλ

++−

+−

=

+=

+=

sss

ssA

ssg

ssw

]))((

))(([

)()(

]))((

[

)()( 2

µλµλ

λ

µλλµλµλµ

λ

++++

+=

++−+++

+=

ssss

s

ss

sA

ss

ssss

ssA

x

)]([)(

)(

))]((([))((

)(

µλµ

λµλµλ

+++=

+++++=

ss

sSA

sssssss

sA

4.-)]([

)()(

µλµ++

+=ss

ssA

Aplicando fracciones parciales

)( µ+=

+ BAs

B

ABA

)()(1

1)(

λµ

µλλ

µλµ

µλµ

+=

+−=

−=∴+

=5.-

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)(

1

)()(

)]([

)([

)]([

)(

)()]([

)(

µλµ

µλµ

µλ

µλ

µλ

µ

µλµλ

µ

+=

+=

+++=+

++

+++=

++

+

+++=

++

+

A

BA

sBAsAs

ss

sBsA

ss

s

s

B

s

A

ss

s

tetA

sL

sLtA

ssss

s

)(

)()(

})(

)({

1}

)({

1)(

)(

)()(

)([

)(

)( µλ

µλ

λ

µλ

µ

µλ

µλ

λ

µλ

µ

µλ

µλ

λ

µλ

µ

µλ

µ

+−

++

+

++

+−++−=

++

++

+=

++

+

=

)()()( )(

µλ

λ

µλ

µ µλ

++

+

∞→

= +−

t

tA teA(t)

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)()(

µλ

µ

+=

∞→

tA

t

)()(

µλµ+

=+

=∞→MTTRMTBF

MTBFtA

t

MTBFMTBF+MTTR

Incluye solamente el mantenimiento correctivo del sistema (el tiempo de reparar o reemplazar componentes fallados) y excluye las paradas de mantenimiento

MTTRMTBF

MTBFA

+=

Disponibilidad Inherente o de estado estable

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reemplazar componentes fallados) y excluye las paradas de mantenimiento preventivo, tiempos logísticos tiempos de espera o administrativos.

__

MMTBM

MTBMAa

+=

Disponibilidad Alcansada

Esta incluye las paradas de mantenimiento preventivo que impliquen la disponibilidad del sistema (tanto correctivas y algunas preventivas) y es el tiempo de parada (tanto de acciones correctivas como de preventivas).

__

M

Disponibilidad operativa:

Incluye los rasgos logísticos por falta de repuestos, personal, equipos de apoyo.

RLMMMTBM

MTBMA

++= __0 =∴ RLM Retrazo logístico

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Incluye los rasgos logísticos por falta de repuestos, personal, equipos de apoyo.

Es la medida de disponibilidad mas apropiada para medir la disponibilidad ya que incluye la mayoría de los elementos presentes del sistema.

Importancia de la Disponibilidad :A través del estudio de los factores que influyen sobre la disponibilidad, MTBF y MTTR es

posible gerenciar y evaluar distintas alternativas de acción para lograr aumentos necesarios de disponibilidad:� Aumentar el MTBF� Reducción del MTTR � Aumentar el MTBF y reducir el MTTR simultáneamente

Ejemplo de aplicación de Disponibilidad .

La empresa BASERCA esta interesada en un estudio de disponibilidad de una planta de compresión de gas durante los 161 días correspondiente al primer semestre del año. En la tabla adjunta se muestran los registros de horas de

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semestre del año. En la tabla adjunta se muestran los registros de horas de operación y de reparación durante este semestre.

La gerencia de Mantenimiento esta interesada en conocer:

� El MTTR

� El MTBF

� La disponibilidad inherente

Corrida Fecha de inicio Horas de Operación Horas de Re paración

1 Enero 26 14 34

2 Enero 28 82 7

3 Febrero 2 95 18

4 Febrero 7 27 1

5 Febrero 9 6 8

6 Febrero 13 103 17

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7 Febrero 18 53 10

8 Febrero 21 107 32

9 Febrero 27 134 34

10 Marzo 5 40 60

11 Marzo 10 185 13

12 Marzo 19 250 12

13 Marzo 30 120 25

14 Abril 10 280 2

15 Abril 22 320 47

16 Mayo 8 578 3

17 Junio 2 450 28

18 Junio 22 375 23

19 Julio 9 120 5

Número Horas de Operación

1 6

2 14

3 27

4 40

5 53

6 82

Ordenando los tiempos de operación en orden ascendente, se obtiene la tabla 1.

Se agrupan los datos con el fin de obtener la función densidad de probabilidad más conveniente:

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6 82

7 95

8 103

9 107

10 120

11 134

12 185

13 230

14 250

15 280

16 320

17 375

18 450

19 578

Tabla 1

19=n

1 3.33 19 5.25 5K Log= + = ≈

Números de intervalos aproximados

minmax XXR −=

Rango de datos

R=578-6=572 horas

Tamaño de los intervalos de clase:K

RI =

572114.4 114

5I = = ≅

Intervalos Frecuencia

6 – 120 10

Tabla de datos agrupados

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Histograma de fallas de Operación

8

10

12

Fre

cuen

cia

de F

alla

6 – 120 10

121 – 235 3

236 –350 3

351 – 465 2

466 – 580 1

Del grafico anterior se puede suponer un comportamiento de distribución de probabilidad de falla exponencial

0

2

4

6

8

6 - 120 121 - 235 236 - 350 351 - 465 466 - 580

Intervalos de Clase (Horas)

Fre

cuen

cia

de F

alla

)(tF )(tR )( itLn it 2 )(. tLnRitOrdinal (i) Tiempo (t)

1 6 0.036 0.964 -0.0366 36 -0.2116

2 14 0.087 0.913 -0.0910 196 -1.2740

3 27 0.139 0.861 -0.1496 729 -4.0392

4 40 0.190 0.810 -0.2107 1600 -8.4280

5 53 0.242 0.758 -0.2770 2809 -14.6810

6 82 0.293 0.707 -0.3467 6724 -28.4294

7 95 0.345 0.665 -0.4231 9025 -40.1945

Utilizando el método de la regresión lineal para determinar el MTBF, se determina la probabilidad de falla, utilizando la siguiente expresión:

4.0

3.0)(

+−=

N

itF )(1)( tFtR −=

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7 95 0.345 0.665 -0.4231 9025 -40.1945

8 103 0.396 0.604 -0.5041 10609 -51.9223

9 107 0.448 0.552 -0.5942 11449 -63.5794

10 120 0.500 0.500 -0.6931 14400 -83.1720

11 134 0.551 0.449 -0.8007 17956 -107.2938

12 185 0.603 0.397 -0.9238 34225 -170.9030

13 230 0.650 0.346 -1.0613 52900 -244.0990

14 250 0.706 0.294 -1.2241 62500 -306.0250

15 280 0.757 0.243 -1.4146 78400 -396.0880

16 320 0.809 0.191 -1.6554 102400 -529.7280

17 375 0.860 0.140 -1.9661 140625 -737.2875

18 450 0.912 0.088 -2.4304 202500 -1093.6800

19 578 0.963 0.037 -3.2968 334084 -1905.5504

Por regresión lineal se obtiene la tasa de falla λ

( ) ( )22.

)(ln.)(ln..

∑∑

∑ ∑ ∑−

−=−

ii

i

ttn

tRttRtniλ

Realizando un resumen estadístico se obtiene:

344919

1

=∑=i

it

∑=

−=19

1

6393.18)(i

itLnR

108316719

1

2 =∑ it

5941.5786)(.19

1

−=∑ tLnRt i

)6393.18).(3449()5941.5786).(19( −−−=− λ

Sustituyendo para obtener la tasa de falla

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2)3449()1083167).(19(

)6393.18).(3449()5941.5786).(19(

−−−−

=− λ

3102574.5 −−=− xλ

310*2574.5

11−

==λ

MTBF

MTBF ≅ 190 horas

Aplicando el método de Gumbel I para los tiempos de reparación para obtener MTTR

)(tPf ))(( fPLnLn −it 2 ))((. fi PLnLnt −Ordinal

(i)Tiempo

(t)

1 1 0.05 1.0971 1 1.0971

2 2 0.10 0.8340 4 1.6680

3 3 0.15 0.6403 9 1.9209

4 5 0.20 0.4758 25 2.3790

5 7 0.25 0.3266 49 2.2862

6 8 0.30 0.1856 64 1.4848

( ) ( )22.

))(((.))(((..

∑∑∑ ∑ ∑

−

−−−=−

titin

tPLnLntitPLnLntina

HENRY VILLARROEL


6 8 0.30 0.1856 64 1.4848

7 10 0.35 0.0486 100 0.4848

8 12 0.40 -0.0874 144 -1.0488

9 13 0.45 -0.2250 169 -2.9250

10 17 0.50 -0.3665 289 -6.2305

11 18 0.55 -0.5144 324 -9.2592

12 23 0.60 -0.6717 529 -15.4491

13 25 0.65 -0.8421 625 -21.0525

14 28 0.70 -1.0309 784 -28.8652

15 32 0.75 -1.2458 1024 -39.8656

16 33 0.80 -1.4999 1089 -49.4967

17 34 0.85 -1.8169 1156 -61.7746

18 47 0.90 -2.2503 2209 -105.7641

19 60 0.95 -2.9701 3600 -178.2060

( ) ( )22

2

.

)).((.))(((..

∑∑∑ ∑ ∑∑

−

−−−=

titin

titLnPLntitPLnLntiua

Realizando un resumen estadístico de regresión lineal para determinar las constantes

19=n

19

1

( ( )) 9.913ii

Ln LnP t=

− = −∑

19

1

378ii

t=

=∑

192

1

12194ii

t=

=∑19

1

. ( ( )) 508.615i ii

t Ln LnP t=

− =∑

Sustituyendo en las ecuaciones de y se obtiene:a ua.

HENRY VILLARROEL


Sustituyendo en las ecuaciones de y se obtiene:a ua.

2)378()12194)(19(

)913.9).(378()615.508).(19(

−−−−

=− a

0666.0−=− a

2)378()12194).(19(

)378)(615.508()913.9).(12194(.

−−−−

=ua

06.120666.0

8037.08037.0 ===a

u horas

73.200666.0

5778.006.12

5778.0 =+=+=a

uMTTR horas

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21MTTR≅ horas

MTTRMTBF

MTBFA

+=

190

190 210.90 90%

A

A

=+

= =

¿Alguna pregunta?

PARAMETROS DE MANTENIMIENTOHENRY

VILLARROEL

Parametros de mantenimiento

Engineering

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