Parametros intersecciones

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1.1 Preliminares En este capítulo se entrega una detallada revisión bibliográfica de los antecedentes existentes acerca de la modelación de intersecciones prioritaria, con un especial énfasis en cuanto a la estimación de la capacidad e indicadores de performance (demoras, paradas, etc.) de los movimientos no prioritarios. El alcance de esta revisión, respecto a la profundidad y especificidad de los modelos presentados, sobrepasan los objetivos específicos de esta tesis, sin embargo, son incluidos, pues entregan una noción clara de los alcances de esta tesis y de la validez de los modelos propuestos en el resto del informe. Una intersección es un nodo de una red de calles y es usualmente donde el tráfico genera cuellos de botella. La capacidad de la intersección puede restringir la capacidad de toda la red. Las intersecciones prioritarias son las más comunes en las redes. La capacidad de estas intersecciones es difícil de determinar. Dos modelos generales de estimación de la capacidad han sido utilizados en intersecciones prioritarias, modelos empíricos basados en técnicas de regresión y modelos de aceptación de gaps, basados en la teoría de probabilidades. 1.1 Modelo Lineal de Capacidad Otra manera de estimar la capacidad, corresponde a la determinación de ésta por medio del mejor ajuste a datos observados usando técnicas de regresión. De esta manera, se busca linealizar el flujo de la vía no prioritaria en función del flujo de la prioritaria, de la siguiente manera: 0 ∑ Error! No text of specified style in document.-1 Caso general (da cuenta de todo tipo de situaciones): 0 ∑ Error! No text of specified style in document.-2 C(s): capacidad del movimiento no prioritario q(0): flujo de saturación o máximo del no prioritario cuando todos los q(i)=0

Transcript of Parametros intersecciones

Page 1: Parametros intersecciones

1.1 Preliminares

En este capítulo se entrega una detallada revisión bibliográfica de los antecedentes

existentes acerca de la modelación de intersecciones prioritaria, con un especial énfasis

en cuanto a la estimación de la capacidad e indicadores de performance (demoras,

paradas, etc.) de los movimientos no prioritarios.

El alcance de esta revisión, respecto a la profundidad y especificidad de los modelos

presentados, sobrepasan los objetivos específicos de esta tesis, sin embargo, son

incluidos, pues entregan una noción clara de los alcances de esta tesis y de la validez de

los modelos propuestos en el resto del informe.

Una intersección es un nodo de una red de calles y es usualmente donde el tráfico

genera cuellos de botella. La capacidad de la intersección puede restringir la capacidad

de toda la red. Las intersecciones prioritarias son las más comunes en las redes. La

capacidad de estas intersecciones es difícil de determinar.

Dos modelos generales de estimación de la capacidad han sido utilizados en

intersecciones prioritarias, modelos empíricos basados en técnicas de regresión y

modelos de aceptación de gaps, basados en la teoría de probabilidades.

1.1 Modelo Lineal de Capacidad

Otra manera de estimar la capacidad, corresponde a la determinación de ésta por

medio del mejor ajuste a datos observados usando técnicas de regresión. De esta

manera, se busca linealizar el flujo de la vía no prioritaria en función del flujo de la

prioritaria, de la siguiente manera:

���� � ��0� � ∑ ���� �� ���� Error! No text of specified style in document.----1111

Caso general (da cuenta de todo tipo de situaciones):

���� � '(��0� � ∑ )���� �� ���� * +, Error! No text of specified style in document.----2222

C(s): capacidad del movimiento no prioritario

q(0): flujo de saturación o máximo del no prioritario cuando todos los q(i)=0

Page 2: Parametros intersecciones

q(i): flujo del movimiento prioritario pertinente

ρi: coeficiente de la regresión

X,Y,Z: funciones de parámetros geométricos

En la figura XX se presenta la nomenclatura utilizada para describir los flujos

involucrados.

1.1.1 Parámetros Geométricos

X representa Cambios proporcionales en la capacidad. Magnitudes dadas por:

1+bw, W: ancho de la vía no prioritaria

1+aV, V: visibilidad del conductor en la no prioritaria hacia la prioritaria

'. � /1 * 0.094�2.34 � 3.65�8/1 * 0.0009�9.34 � 120�8 Error! No text of specified style in document.----3333 ': � /1 * 0.094�2:3. � 3.65�8/1 * 0.0009�9 : � 120�8/1 * 0.0006�9;: � 150�8 Error! No text of specified style in document.----4444 '< � /1 * 0.094�2<3: � 3.65�8/1 * 0.0009�9<3: � 150�8 Error! No text of specified style in document.----5555 '4 � /1 * 0.094�243< � 3.65�8/1 * 0.0009�9 4 � 120�8/1 * 0.0006�9;4 � 150�8 Error! No text of specified style in document.----6666 =: � /1 * 0.094�2:3< � 3.65�8/1 * 0.0009�9 : � 150�8 Error! No text of specified style in document.----7777 =4 � /1 * 0.094�243. � 3.65�8/1 * 0.0009�9 4 � 150�8 Error! No text of specified style in document.----8888

Page 3: Parametros intersecciones

Donde,

Wcr es el ancho de la reserva central en intersecciones de con vía prioritaria con

pistas en ambos sentidos.

Wes el ancho total en la vía prioritaria, excluyendo reservas centrales.

wA-D es el ancho de pista disponible para el flujo A-D.

V iB y VdB son las visibilidades hacia la izquierda y derecha respectivamente desde un

punto 10 metros antes de la línea de detención en la vía prioritaria.

VA-D es la visibilidad a lo largo de la vía prioritaria para el flujo A-D que esta

esperando para doblar.

Y representa el efecto del ancho de la pista prioritaria en la capacidad, dado por:

) � �1 � 0.0345@� Error! No text of specified style in document.----9999 H por su parte representa el efecto de la presencia de refugios centrales para los giros

a la derecha desde la vía no prioritaria.

+ � A14@<B C�DE F GF HIDIJKF LE MD�ED�NFD�E0 ENDE� OGPQE� R Error! No text of specified style in document.----10101010

1.1.2 Capacidad en una intersección T

�´:3< � =:/754 � )�0.364�.3< * 0.144�.3:�8 Error! No text of specified style in document.----11111111 �:3. � ':/627 * + � )�0.364�.3< * 0.144�.3:*0.229�<3. * 0.520�<3:�8 Error! No text of specified style in document.----12121212 �<3: � ':/754 � 0.364)��.3< * �.3:�8 Error! No text of specified style in document.----13131313 Con C´ es la capacidad de un movimiento que será modificada producto del efecto

del cambio de visibilidad asociado a la generación de colas.

1.1.3 Capacidad para Cruces

�´:3< � =:/754 � )�0.364�.3< * 0.144�.3:�8 Error! No text of specified style in document.----14141414

Page 4: Parametros intersecciones

�:3. � ':/627 * + � )(0.364��.3< * �.34 * �43. * �43:�RRR*0.144�.3:*0.229�<3. * 0.52�<3: * R0.182�43<,8

Error! No text of specified style in document.----15151515 �<3: � ':/754 � 0.364)(��.3< * �.3:� * 0.52�.34,8 Error! No text of specified style in document.----16161616 Para movimientos no prioritarios que crucen la intersección (B-D o D-B) la

capacidad es:

�:34 � T/627 * + � )(0.364��.3< * �.34�RR * 0.144�.3:R*0.52�<3: * R0.299��<3. * �<34�,8 Error! No text of specified style in document.----17171717

(para la pista izquierda es C´B-D)

Con

T � U=:V1 * 0.0006�9;: � 150�W M��NF �X�P�IDHF': M��NF HIDIJKF R

Error! No text of specified style in document.----18181818

Para CD-A, CD-C, CA-D y CD-B se deriva similarmente usando ZD, XD, XA, VdD y los

flujos simétricos respectivos.

1.2 Teoría de Aceptación de Brechas (gap)

En una intersección prioritaria, las llegadas estocásticas de vehículos del flujo

prioritario, tanto con un proceso deterministico o aleatorio de inserción, definen un

proceso de aceptación de gaps. Como es sostenido en Heidemann (1997), este proceso

induce una secuencia alternante de tiempos disponibles para la inserción llamados

antibloqueos y períodos ocupados, debido a un vehículo o a un pelotón, definido como

bloqueo.

La capacidad del flujo no prioritario estará determinada por la percepción y manera

de actuar de los conductores hacia los gaps y bloqueos que se generen en el flujo

prioritario.

La idea básica del modelo de aceptación de gaps es que los vehículos de la vía

prioritaria pueden cruzar la intersección sin experimentar demora, y los vehículos no

prioritarios sólo se les permite el paso por el área de conflicto si el gap observado por

los conductores son mayores a un gap crítico (tc), de lo contrario, tienen que esperar.

Page 5: Parametros intersecciones

Más aún, los vehículos no prioritarios pueden entrar al menos tf segundos (tf es el follow

time) después de la partida del vehículo previo.

Partiendo de la capacidad, otros parámetros de tráfico, que representan la calidad del

tráfico, pueden ser calculados.

En una intersección prioritaria, un movimiento no prioritario esta sujeto a distintos

movimientos prioritarios. Asociado al sistema de prioridad en la intersección, existe una

jerarquía entre los movimientos de acuerdo a la prioridad que se tenga para cruzar.

La nomenclatura utilizada para describir cada uno de los movimientos involucrados

se presenta en la Figura Error! No text of specified style in document.-1.

Figura Error! No text of specified style in document.-1: Nomenclatura de movimientos

De esta manera podemos clasificar los movimientos involucrados como:

• Cruce prioritario: Movimientos 2 y 5.

• Giro a la derecha prioritario: Movimientos 3 y 6

• Giro a la izquierda prioritario: Movimientos 1 y 4

• Cruce no prioritario: Movimientos 8 y 11

Page 6: Parametros intersecciones

• Giro a la derecha no prioritario: Movimientos 9 y 12

• Giro a la izquierda no prioritario: Movimientos 7 y 10

• Cruce peatonal prioritario: Movimientos 15 y 16

• Cruce Peatonal no prioritario: Movimientos 13 y 14

La interacción de estos movimientos en la intersección debe satisfacer un orden de

prioridad. De esta manera podemos hacer un ranking de los movimientos a partir de la

prioridad que tengan en la intersección:

• Ranking 1: Movimientos 2, 3, 5, 6, 15 y 16

• Ranking 2: Movimientos 1, 4, 9,12 13 y 14

• Ranking 3: Movimientos 8 y 11

• Ranking 4: Movimientos 7 y 10

1.2.1 Distribuciones de Headway

De manera de poder estimar la capacidad de los movimientos involucrados en la

intersección, es necesario modelar el proceso de llegadas y formación de headways de

los movimientos prioritarios.

Por headway se entiende a la distancia temporal entre las partes frontales de dos

vehículos consecutivos que pasan un punto de observación. Corresponde a la suma del

tiempo que le toma a un vehículo pasar el punto de observación (tiempo de ocupación)

y el intervalo de tiempo (gap) con respecto a la llegada del siguiente vehículo. Por lo

tanto, si se ignora el largo de los vehículos, headways y gaps son iguales.

Si asumimos que un vehículo no prioritario llega a la línea de detención o de ceda el

paso en un tiempo τ, que el vehículo prioritario predecesor lo hizo en el instante τi, y el

vehículo prioritario siguiente en el instante τ i+1 (ver Figura Error! No text of specified

style in document.-2). El tiempo entre la pasada del vehículo prioritario previo y la

llegada del vehículo no prioritario, B(τ) = τ - τi, se llama “Backward waiting time” o

“current life”. El tiempo entre la llegada y la pasada del vehículo prioritario siguiente,

γ(τ) = τi+1 – τ, se llama “Forward waiting time” o lag.

Page 7: Parametros intersecciones

Figura Error! No text of specified style in document.-2 Relación headways y lags

Llamaremos f(t) a la función de densidad de probabilidad, F(t) a la función

acumulada de probabilidad, R(t) a la función de supervivencia, E[T] a la esperanza

matemática de la distribución, fγ(t) a la función de densidad de probabilidad de lags y

Rγ(t) a la función de supervivencia de lags.

Se cumple, por teoría de probabilidades que:

Y�N� � Z O�N�HN[\ Error! No text of specified style in document.----19191919 ]�N� � Z O�N�HN^

[ � 1 � Y�N� Error! No text of specified style in document.----20202020

_/`8 � Z NO�N�\ � Z ]�N�HN\ Error! No text of specified style in document.----21212121 Oa�b� � B�c�d/e8 Error! No text of specified style in document.----22222222 ]a�b� � �d/e8 Z ]�f�Hfc Error! No text of specified style in document.----23232323 Si las llegadas de vehículos en el flujo prioritario se asumen completamente

aleatorias, la densidad de probabilidad de headways t entre dos vehículo es una

exponencial negativa. A continuación, se presentan las principales funciones que

representan la distribución:

O�N� � gI3h[ Error! No text of specified style in document.----24242424

Page 8: Parametros intersecciones

Y�N� � 1 � I3h[ Error! No text of specified style in document.----25252525 ]�N� � I3h[ Error! No text of specified style in document.----26262626 _/`8 � Z ]�N�HN\ � Z I3h[HN\ � �h Error! No text of specified style in document.----27272727 A partir del headway esperado se puede sostener que λ = 1/E[T], es decir, λ = qp

[veh/seg].

Oa�b� � B�c�d/e8 � gI3hc Error! No text of specified style in document.----28282828 ]a�b� � I3hc Error! No text of specified style in document.----29292929 Una de las principales características de esta distribución, que al tratarse de llegadas

aleatorias de un proceso de Poisson, se cumple la propiedad markoviana de un proceso

sin memoria, es decir:

i�` j k * b|` j k� � mno�pqr�mnop � I3hc � i�` j b� Error! No text of specified style in document.----30303030

Si se asume llegadas aleatorias, pero con un gap mínimo ∆, se esta en presencia de

una distribución exponencial desfasada. La función de densidad de probabilidad es:

O�N� � s 0 N t ∆vI3w�[3x� N y ∆R Error! No text of specified style in document.----31313131

Con θ un parámetro de escala. De esta manera, se obtiene:

Y�N� � s 0 N t ∆1 � I3w�[3x� N y ∆

R Error! No text of specified style in document.----32323232

]�N� � s 1 N t ∆I3w�[3x� N y ∆

R Error! No text of specified style in document.----33333333

_/`8 � Z ]�N�HN^\ � Z HN∆

\ * Z I3w�[3x�HN^∆ � ∆ * �

w Error! No text of specified style in document.----34343434

�d/e8 � w

�zw∆ Error! No text of specified style in document.----35353535

Page 9: Parametros intersecciones

De esta manera, se puede De esta manera, se puede De esta manera, se puede De esta manera, se puede expresar θ en funciexpresar θ en funciexpresar θ en funciexpresar θ en función del flujo prioritario como:ón del flujo prioritario como:ón del flujo prioritario como:ón del flujo prioritario como: v � h

�3hx � ���3��x Error! No text of specified style in document.----36363636

Oa�b� � B�c�d/e8 � wB�c��zw∆ � � w�zw∆ b t ∆wmn��rn��

�zw∆ b y ∆R Error! No text of specified style in document.----37373737

]a�b� � �1 � wc�zw∆ b t ∆

mn��rn���zw∆ b y ∆R

Error! No text of specified style in document.----38383838 En cambio, si se tienen condiciones de apelotonamiento, se modela la combinación

de vehículos libres y apelotonados. Se asume que los vehículos apelotonados siguen una

distribución exponencial desfasada con un headway mínimo ∆ (Cowan, 1975). El

tráfico bajo esta distribución se subdivide en dos categorías.

• Flujo prioritario libre: bajo esta condición, se asume que los vehículos no

influyen al vehículo de atrás. Matemáticamente significa que: las llegadas de

vehículos que van en sucesión por azar y absolutamente independientes entre

ellos, por lo tanto los gaps entre dos vehículos pueden tomar el valor de cero.

• Flujo prioritario apelotonado: se asume que entre dos vehículos sucesivos

existe un gap mínimo. Bajo esta suposición distintas distribuciones de gaps

pueden ser obtenidas.

La función de densidad de probabilidad de la distribución es:

O�N� � � 0 N t ∆1 � � N � Δ��I3��[3x� N j ∆R

Error! No text of specified style in document.----39393939 Con � la proporción de headways de vehículos libres y � un parámetro de escala.

Y�N� � A 0 N t ∆1 � �I3��[3x� N y ∆R Error! No text of specified style in document.----40404040

]�N� � A 1 N t ∆�I3��[3x� N y ∆R

Error! No text of specified style in document.----41414141

Page 10: Parametros intersecciones

_/`8 � Z ]�N�HN\ � Z HN∆\ * Z �I3��[3x�HN∆ � ∆ * �� Error! No text of specified style in document.----42424242

�d/e8 � ��z�∆ Error! No text of specified style in document.----43434343 A partir del resultado anterior, se obtiene que: � � �h�3hx � ����3��x Error! No text of specified style in document.----44444444 Oa�b� � B�c�d/e8 � �B�c��z�∆ � � ��z�∆ b t ∆

��mn��rn���z�∆ b y ∆R

Error! No text of specified style in document.----45454545 ]a�b� � � 1 � �c

�za∆ b t ∆��mn��rn��

�z�∆ b y ∆R Error! No text of specified style in document.----46464646

Los modelos aleatorios, pueden ser derivados como casos especiales del modelo de

apelotonamiento, a través de simples suposiciones acerca del las características del

apelotonamiento en el flujo de llegada.

• Modelo exponencial negativo ∆� 0 f � � 1.0

• Modelo exponencial desfasado � � 1.0

En general, φ depende de la intensidad de tráfico qp. Bajo el supuesto que sostener

un mínimo gap ∆ afecta los vehículos en el flujo prioritario como un sistema de colas

M/D/1, Tanner (1962) especifico la porción de tráfico libre como:

� � 1 � ��Δ Error! No text of specified style in document.----47474747 SIDRA INTERSECTIONS versión 2.0, Akcelik y Chung (1994a) utiliza:

� � I3�∆� Error! No text of specified style in document.----48484848 Jacobs (1980) propone la estimación de φ como:

� � I3��� Error! No text of specified style in document.----49494949

Page 11: Parametros intersecciones

En este caso k, es un parámetro con valor entre 4 y 9. La misma relación fue utilizada

por Sullivan y Troutbeck (1993).

La última versión del software SIDRA INTERSECTIONS versión 2.1, Akcelik

(2006), utiliza:

� � 1�∆�1��1��H�∆� Error! No text of specified style in document.----50505050

Con kd es un parámetro de demora en el apelotonamiento (constante).

Este modelo fue derivada usando un método que integra distribuciones de velocidad-

flujo y headways para tráfico ininterrumpido, por medio del uso de un parámetro común

de demora de tráfico kd.

En la tabla Los valores de kd fueron determinados por Akcelik (2006), los cuales

fueron calculados a partir de datos dados en SR 35 (Troubeck 1989) para flujos

circulantes en rotondas. Las relaciones velocidad-flujo resultantes fueron también

consideradas al momento de elegir los valores apropiados del parámetro.

Número total de pistas

Flujos ininterrumpidos de tráfico Flujos circulantes en rotondas ∆ 3600/∆ b kd ∆ 3600/∆ B kd

1 1.8 2000 0.5 0.20 2.0 1800 2.5 2.2 2 0.9 4000 0.3 0.20 1.0 3600 2.5 2.2

>2 0.6 6000 0.7 0.30 0.8 4500 2.5 2.2

Tabla 1 : Parámetros modelo de headways de Akcelik

1.2.2 Partidas discretas y continuas.

En la selección de la función para el número de partidas que cruzan o ingresan desde

el flujo no prioritario al flujo prioritario, dos modelos con dos diferentes supuestos

existen para la función g(t):

• Partidas discretas

• Partidas continúas

Para partidas discretas, se asume que un gap t con largo tc ≤ t < tc + tf permite la

partida de un vehículo, un gap de lago tc + tf ≤ t < tc + 2tf permite la partida de dos

Page 12: Parametros intersecciones

vehículos, un gap de largo tc + 2tf ≤ t < tc + 3tf permite la partida de tres vehículos y así

sucesivamente. De esta manera la función de partidas discreta g(t) se lee como (cf.

Harders, 1968).

C�N� � � 0 MFDF N t N��LN �[3[�[� � MFDF N y N� R Error! No text of specified style in document.----51515151

Con

tc: gap crítico

tf: tiempo de seguimiento

int(x): la parte entera de x

La función de intensidad de partidas correspondiente se lee como:

C´�N� � � 0 MFDF N t N�1 MFDF N y N� f �EH �[3[�[� � � 0R Error! No text of specified style in document.----52525252

La probabilidad de que ocurran i partidas durante un headway aleatorio, es la

probabilidad que el headway tenga un tamaño apropiado. De esta manera se puede

sostener que:

i(C � �, � i�N� * �� � 1�N� � N � N� * �N�  � Z O�P�HP[�z [�[�z� 3��[� � YVN� * �N�W � YVN� * �� � 1�N�W � ]VN� * �� � 1�N�W � ]VN� * �N�W Error! No text of specified style in document.----53535353 El proceso de partidas no prioritarias puede modelarse de manera continua

asumiendo una recta que represente el proceso escalonado que seda en el caso discreto.

La Figura Error! No text of specified style in document.-3 presenta la representación

del proceso continuo y discreto

Page 13: Parametros intersecciones

Figura Error! No text of specified style in document.-3: Proceso de partidas discreto y continuo

Con, t0 como el headway mínimo aceptable. El proceso de partidas se considera

continuo, por lo tanto, siempre y cuando los lags sean mayores a t0, el flujo no

prioritario de partida será tf-1.

Asumiendo que la partida de vehículos es un proceso continúo y realizado durante un

intervalo de tiempo de largo tf. El tiempo promedio de partida del primer vehículo es

igual a tc. De esta manera Siegloch (1973) propone que:

N0 � NJ � NO2 Error! No text of specified style in document.----54545454

La función g(t) en este caso es (cf. Siegloch, 1973):

C�N� � � 0 MFDF N t N\[3[¡[� MFDF N y N\ R Error! No text of specified style in document.----55555555

y

C´�N� � �0 MFDF N t N\�[� MFDF N y N\ R

Error! No text of specified style in document.----56565656 1.2.3 Capacidad Potencial

Esta sección describe las formulas teóricas básicas usadas para la estimación de la

capacidad potencial.

Número de Partidas

t0 tc tc+ tc tc+ 2tc tc+3tc

4

3

2

1

Page 14: Parametros intersecciones

La capacidad potencial describe la capacidad de un flujo no prioritario bajo

condiciones ideales. Se asume que el movimiento no prioritario no esta sujeto a

impedimentos y que usa una pista exclusiva. Cuando los efectos de impedancia son

considerados (por ejemplo, presencia de colas en movimientos de mayor ranking),

HCM2000 llama a la capacidad estimada como capacidad del movimiento.

La capacidad potencial de un movimiento asume:

• Tráfico cerca de la intersección no bloquea al movimiento en cuestión

• Una pista exclusiva es provista a cada movimiento.

• Intersecciones aguas arriba no afectan el patrón de llegada de los

movimientos prioritarios.

• No existen otros movimientos que afecten al movimiento en cuestión.

En condiciones ideales, la capacidad potencial se puede estimar como la

multiplicación de el número esperado de partidas de vehículos durante un headway

aleatorio E[g], por el número esperado de headways qp.

�M � �M_/C8 Error! No text of specified style in document.----57575757 Si consideramos un proceso de partidas discretas podemos estimar E[g] a partir de la

fórmula � YVN� * �N�W � YVN� * �� � 1�N�W � ]VN� * �� � 1�N�W � ]VN� * �N�W

Error! No text of specified style in document.-53, como:

_/C8 � ∑ �i�C � �� �\ � ∑ �]VN� * �� � 1�N�W � i]VN� * �N�W �\ � ∑ ]VN� * �N�W �\ Error! No text of specified style in document.----58585858 De esta manera, la capacidad potencial se estima como: �M � �M ∑ ]VNJ * �NOW∞��0 Error! No text of specified style in document.----59595959 Si consideramos una distribución exponencial negativa de headways y utilizando la

expresión O�N� � gI3h[ Error! No text of specified style in document.-24

y, obtenemos (fórmula de Harders, 1968; cf. También Daganzo, 1977):

Page 15: Parametros intersecciones

�� � �� ∑ I3hV[�z [�W �\ � ��I3h[� ∑ I3h [� �\ 1 � �� mn£�¤��3mn£�¤� Error! No text of specified style in document.----60606060

Si consideramos una distribución exponencial desfasada de headways y utilizamos

las expresiones O�N� � s 0 N t ∆vI3w�[3x� N y ∆R Error! No text of specified style in

document.-31 y v � h�3hx � ���3��x Error! No text of specified style in

document.-36, obtenemos:

�� � �� ∑ I3wV[�z [�3xW �\ � �� mn¥�¤�n���3mn¥¤� � ��¦§¨ �n©ª�¤�n��«n©ª� �

�3¦§¨ �n©ª¤�«n©ª�� Error! No text of specified style in document.----61616161

De forma similar obtenemos para la siguiente expresión si se considera una

distribución exponencial apelotonada desfasada, en base a las expresiones O�N� �� 0 N t ∆1 � � N � Δ��I3��[3x� N j ∆R Error! No text of specified style in document.-39

y � � �h�3hx � ����3��x Error! No text of specified style in document.-44.

�� � ��¬¦n­�¤�n���3¦n­¤� � ��¦§¨ �n©ª®�¤�n��®n©ª� �

�3¦§¨ �n©ª®¤�®n©ª� � Error! No text of specified style in document.----62626262

Si consideramos partidas continuas, la capacidad potencial se puede estimar como:

�� � �� Z C�N�O�N�HN\ Error! No text of specified style in document.----63636363 Utilizando la, la expresión anterior se puede reformular como utilizando la fórmula

C�N� � � 0 MFDF N t N\[3[¡[� MFDF N y N\ R Error! No text of specified style in

document.-55:

�M � �MNO Z �N � N0�O�N�HN∞N0 � �MNO ¯Z NO�N�HN∞N0 � N0]�N0�° Error! No text of specified style in document.----64646464 1 El resultado es obtenido usando la propiedad de convergencia de una serie geométrica: ∑ F � ��3± �\ , F t 1

Page 16: Parametros intersecciones

De esta manera, podemos obtener la capacidad potencial considerando partidas

continuas y una distribución exponencial negativa de headways (fórmula de Siegloch,

1973).

�M � �MNO ¯g Z NI�gNHN∞N0 � N0I�gN0° 2 � �MNO ¯g ²N0g * 1

g2³ I�gN0 � N0I�gN0° � �MgNO I�gN0 �M � I��MN0

NO Error! No text of specified style in document.----65656565

Si consideramos una distribución exponencial desfasada, obtenemos:

�� � ��N� ´v µ NI3w�[3∆�HN^[¡

� N\I3w�[¡3∆�¶ � ��N� ·v �N\v * 1v¸� I3w�[3∆� � N\I3w�[¡3∆�¹� ��vN� I3w�[¡3∆�

�M � ²1��M∆³NO e

n�M�N0�∆�²«n�M∆³

Error! No text of specified style in document.----66666666 Si consideramos una distribución exponencial apelotonada desfasada, se tiene: �M � ��M�NO I���N0�∆�

�M � ²1��M∆³NO I

���M�N0�∆�²1��M∆³

Error! No text of specified style in document.----67676767 1.2.3.1 Comportamiento Inconsistente y Consistente

Debido a que conductores y vehículos difieren, los gaps y lags mínimos aceptados

por los conductores y los headways entre partidas difieren de vehículo en vehículo. El

comportamiento de los conductores es heterogéneo. Adicionalmente, incluso bajo

condiciones similares, un conductor puede actuar de manera distinta en distintos

momentos. Un conductor puede aceptar un gap menor a un gap rechazado

anteriormente. Este tipo de comportamiento se llama inconsistente. Aparentemente la

inconsistencia esta relacionada con la real inconsistencia en el comportamiento de los

conductores, pero es posible que la mayor parte de las inconsistencias observadas

2 Z I3�»H¼ � ¯²3»� � ��½³ I3�»°±

^± � ²±� * ��½³ I3�±

Page 17: Parametros intersecciones

pueden ser explicada por factores de una situación específica, como por ejemplo, el

tiempo de espera o la variación de la velocidad o el tipo de vehículo prioritario.

En los modelos matemáticos es usualmente asumido un comportamiento consistente

y homogéneo. Un conductor consistente se comporta de la misma manera cada vez que

enfrenta situaciones similares. Un conductor inconsistente determina un nuevo gap

crítico para cada headway prioritario (Ashworth 1969, Plank y Catchpole 1984), o

asigna a cada gap una probabilidad de cruzar (Weiss y Maradudin 1962, Hawkes 1968).

Típicamente el headway aceptable decrece cuando el número de gaps rechazado crece.

Este comportamiento es llamado impaciente. De esta manera, la inconsistencia aumenta

la capacidad.

Si los conductores son homogéneos, no existe diferencia en el comportamiento de

distintos conductores bajos condiciones similares. Conductores inconsistentes

homogéneos eligen de la misma manera el gap crítico para cada headway. En el caso de

conductores heterogéneos consistentes, cada conductor tiene un gap crítico individual

obtenido de una distribución común. Este gap crítico es utilizado para todos los

headways prioritarios. Vehículos con gaps críticos más grandes se encuentran

usualmente al frente de la cola (Catchpole y Plank 1986), lo que produce que una

disminución de la capacidad (Wegmann 1991).

Cuando un flujo no prioritario es inconsistente y heterogéneo cada conductor tienen

un conjunto de gaps críticos para cada lag o headway prioritario individual. Debido a

que la inconsistencia aumenta la capacidad y la heterogeneidad disminuye la capacidad,

el efecto total de asumir consistencia y homogeneidad se ha considerado que produce

distorsiones mínimas comparadas con el caso de heterogeneidad e inconsistencia

(Catchpole y Plank1986, Troutbeck 1988).

Heidemann y Wegmann (1997) formularon un modelo que permite distinguir un

comportamiento consistente e inconsistente respecto a la aceptación de gaps por parte

de los conductores.

Considerando un tráfico apelotonado con un gap mínimo τ y una porción de tráfico

apelotonado igual a 1- φ. Partidas discretas y gaps distribuidos exponencialmente con

porción de tráfico libre igual a φ.

Page 18: Parametros intersecciones

� ��¾�¿ ¿[m�[m � À�z�:Á � Â�[´��À��

�3Â�[��À��� 3 � ��� Â�[��À�� Â�x�3À���3Â�[��À�� Error! No text of specified style in document.----68686868 ��¾�¿ ¿[m�[m � À�zÀ:Á � �V�3Â�[��À��WÂ�[´��À��� � ��� ���3²[��À�³�Â�[��3À�� Â�x�À��

Error! No text of specified style in document.----69696969 Con,

ÃÁ � xÄ� ,

N´� � N� � Δ

Considerando un tráfico apelotonado con un gap mínimo ∆ y una porción de tráfico

apelotonado igual a 1- φ. Partidas continúas y gaps distribuidos exponencialmente con

porción de tráfico libre igual a φ, sin considerar una distribución para tf.

� ��¾�¿ ¿[m�[m � À�zÀ:Á �Â�[´¡�À��[Å� � � V1 � q¨ΔÄW Â�[¡�À�� Â�x�3À��[Å� Error! No text of specified style in document.----70707070 ��¾�¿ ¿[m�[m � À�zÀ:Á � �[Å�Â�[´¡�À��� � V1 � q¨ΔÄWδ �

[Å�Â�[¡�3À�� Â�x�À�� Error! No text of specified style in document.----71717171 Con,

t´0 = t0 - ∆

1.2.3.2 Consideración de distribuciones para tc, tf y ∆

En la sección 1.2.3 se derivaron fórmulas para distintos autores considerando los

parámetros tc, tf y τ como dados. En esta sección nuevas fórmulas que consideran una

distribución para los parámetros son presentadas.

Como supuesto se puede asumir una distribución de densidad de probabilidad f(tc),

f(t f) y f(∆) a partir de una función Erlang (también se pueden ocupar otras funciones,

tales como una distribución Log Normal). Al usar una función Erlang la capacidad

puede expresarse como una función analítica explícita. Una distribución Erlang tiene

una función de densidad:

3 ÂVN´��δ�W � Transformada de Laplace de t´Ç para δ ÂVN´��δ�W � Â�N��δ��Â�Δ��δ��

Page 19: Parametros intersecciones

IDG�N»� � ��ȤÉ3��! �ÊN»�ȤÉ3�I3�[É Error! No text of specified style in document.----72727272

Con,

Ê � Ë[É N»ÄÌ N»Ä : Valor promedio de tx.

Ë[É: Parámetro de la distribución Erlang de tx.

Si analizamos las expresiones

� ��¾�¿ ¿[m�[m � À�z�:Á � Â�[´��À���3Â�[��À��� � ��� Â�[��À�� Â�x�3À���3Â�[��À�� Error! No text of

specified style in document.-68 a ��¾�¿ ¿[m�[m � À�zÀ:Á � �[Å�Â�[´¡�À��� � V1 �q¨ΔÄWδ �[Å�Â�[¡�3À�� Â�x�À�� Error! No text of specified style in

document.-71, considerando una distribución para los parámetros podemos utilizar la

siguiente expresión para la transformada de Laplace para la distribución Erlang.

ÂVN»���W � ��[ÅÉÈ¤É * 1�3È¤É Error! No text of specified style in document.----73737373 Debido a que la transformada de Laplace Â�t�q�� siempre tienen valores mayores

para distribuciones de t(q) que para un valor constante de t(q), es evidente que de

acuerdo a la ecuación � ��¾�¿ ¿[m�[m � À�z�:Á � Â�[´��À���3Â�[��À��� � ��� Â�[��À�� Â�x�3À���3Â�[��À��

Error! No text of specified style in document.-68que en inconsistencia tanto la

distribución de gaps tc o la distribución de tiempos de seguimiento tf o la distribución de

gaps ∆ aumentan la capacidad C. En el caso de la ecuación

��¾�¿ ¿[m�[m � À�zÀ:Á � �V�3Â�[��À��WÂ�[´��À��� � ��� ���3²[��À�³�Â�[��3À�� Â�x�À�� Error! No text of specified style in document.-69 la capacidad crece con la

distribución de tf y decrece con distribuciones de tc y ∆.

Si reemplazamos en las ecuaciones

� ��¾�¿ ¿[m�[m � À�z�:Á � Â�[´��À���3Â�[��À��� � ��� Â�[��À�� Â�x�3À���3Â�[��À�� Error! No text of

Page 20: Parametros intersecciones

specified style in document.-68 y ��¾�¿ ¿[m�[m � À�zÀ:Á � �V�3Â�[��À��WÂ�[´��À��� ���� ���3²[��À�³�Â�[��3À�� Â�x�À�� Error! No text of specified style in

document.-69 la transformación respectiva de la distribución de Erlang, dada por la

ecuación ÂVN»���W � ��[ÅÉÈ¤É * 1�3È¤É Error! No text of specified style in

document.-73 se obtiene expresiones más generalizadas para la capacidad potencial con

partidas discretas y distribución exponencial apelotonada desfasada de headways.

�; ¿, �� � ��� �­ÍÁÎÏÍÎz��nÏÍÎ �­�ÄÏ�z��nÏ��3ЭÍÁÑÏÍÑz�ÒnÏÍÑ

Error! No text of specified style in document.----74747474 �; ¿,�¾�¿ � ��� �n­ÍÁÎÏÍÎ z��ÏÍÎ �­�ÄÏ�z��Ï�

�3ЭÍÁÑÏÍÑz�ÒnÏÍÑ Error! No text of specified style in document.----75757575

Además, si consideramos que tc, tf y ∆ tienen que mantener valores mínimos dados

por Ó[� j ÓÔ, Ó� j 0 y Óx j 0 obtenemos las siguientes expresiones:

�; ¿, �� � ��� Э²ÍÁÎnÕ¤�³ÏÍÎ z�ÒnÏÍÎ ¦n­Õ¤� �­V�ÄnÕ�WÏ� z��nÏ�¦­Õ��3Э²ÍÁÑnÕ�³ÏÍÑ z�ÒnÏÍÑ ¦n­Õ�

Error! No text of specified style in document.----76767676 �; ¿,�¾�¿ � ��� Ðn­²ÍÁÎnÕ¤�³ÏÍÎ z�ÒÏÍÎ ¦n­Õ¤� ²n­�ÖÁnÕÕ�ÏÖ z�³ÏÖ¦­ÕÕ

�3Э²ÍÁÑnÕ�³ÏÍÑ z�ÒnÏÍÑ ¦n­Õ� Error! No text of specified style in document.----77777777

Análogamente, para el caso de partidas continuas obtenemos

��¾�[, �� � V1 � q¨τÁW �[Å� �ÀVØÅ¡3Ô¤¡WÙÍ¡ * 1�3ÙÍ¡ e3ÀÔ¤¡ ²3À�xÄ3Ô��Ù� * 1³3Ù� eÀÔ� Error! No text of specified style in document.----78787878 ��¾�[,�¾�¿ � V1 � q¨τÁW �[Å� �3ÀVØÅ¡3Ô¤¡WÙÍ¡ * 1�ÙÍ¡ e3ÀÔ¤¡ ²À�xÄ3Ô��Ù� * 1³Ù� eÀÔÕ Error! No text of specified style in document.----79797979

Page 21: Parametros intersecciones

1.2.3.3 Sistemas con prioridad limitada y absoluta

El sistema de prioridad limitada permite al flujo prioritario ajustar sus posiciones

relativas hasta cierto nivel, de manera de poder acomodar a vehículos no prioritarios que

ingresan. Por simplicidad, se asume la existencia de dos vías en conflicto, con una pista

cada una.

En este sistema, se asume que los vehículos prioritarios llegan a la intersección con

headways mayores o iguales a ∆. El flujo prioritario y no prioritario requiere de

headways al menos iguales a ∆, y follow-time tf, respectivamente después del ingreso.

El tamaño del tiempo “follow-up”, tf, usualmente no es menor a ∆.

Se asume que todos los conductores no prioritarios son consistentes y homogéneos,

por lo que tienen el mismo gap crítico y tiempo “follow-up” constantes. Para un ingreso

con prioridad limitada, el gap crítico, tc, debe ser mayor que ∆, de lo contrario los

vehículos no prioritarios aceptaran oportunidades de ingreso entre vehículos prioritarios

apelotonados. Similarmente, tc, debe ser menor que la suma entre tf y ∆, pues de lo

contrario el sistema debiera modelarse con prioridad absoluta.

Debido a que los vehículos prioritarios sus velocidades y posiciones relativas en un

ingreso con prioridad limitada, los conductores no prioritarios deberán estimar el tiempo

entre la última partida en el flujo prioritario hasta la próxima llegada. Este tipo es

tratado como “oportunidad de ingreso”. Si la oportunidad de ingreso es menor a tc,

entonces no se podrá realizar el ingreso. Si la oportunidad es menor a ∆, los conductores

deberán reducir su velocidad para ofrecer un headway igual a ∆ después del área de

ingreso.

En un sistema de prioridad limitada, la distribución de headways del flujo prioritario

presentada al flujo no prioritario difiere con la distribución de headways generada aguas

arriba, debido a que algunos vehículos prioritarios experimentan demoras. El tamaño de

una oportunidad de ingreso en el punto de ingreso, podría ser temporalmente menor al

mínimo tamaño ∆, producto de la demora de un vehículo anterior. Esta demora puede

ser determinada a partir de la relación entre el headway prioritario aguas arriba al punto

de ingreso y el gap requerido después del ingreso. La demora varía desde cero a un

máximo igual a tf + ∆ - tc Ningún vehículo prioritario se demorará si tc es igual a tf + ∆.

Page 22: Parametros intersecciones

Para la formulación de la capacidad se considera la distribución de headways

propuesta por Cowan (1975), anteriormente descrita (ver sección XXX) y la

distribución de oportunidades de ingreso, g, propuesta por Troutbeck (1995), para un

sistema de prioridad limitada. La expresión para la función de distribución acumulada

G(t), es:

Ú�N� � 1 � Û�I3��[3∆�, N y ∆ Error! No text of specified style in document.----80808080 Con

Û � ¦­ÍÑ3�¦­ÍÑ3¦n­Ü3Àݦn­ÍÑ Error! No text of specified style in document.----81818181 Þ � N� � N� � Δ Error! No text of specified style in document.----82828282 De esta manera se puede estimar la capacidad como:

� � ��ß�mn��¤�n���3mn�¤� Error! No text of specified style in document.----83838383

1.2.4 Capacidad de un movimiento

A continuación se presentan una descripción detallada de los modelos utilizados en la

literatura para la extensión del problema de aceptación de gaps en intersecciones

prioritarias anteriormente descritos a casos más realistas en que los flujos no prioritarios

deben buscar gaps aceptables desde un conjunto de gaps generados por movimientos de

mayor prioridad en la intersección.

1.2.4.1 Capacidad potencial bajo múltiples flujos

Los modelos de capacidad potencial descritos anteriormente, asumen un único flujo

prioritario en una pista. En la mayoría de los casos los flujos no prioritarios enfrentan

varios flujos prioritarios, de los cuales, algunos comparten pista con otros flujos u

ocupan más de una pista. Esta sección discute el efecto de múltiples flujos prioritarios

independientes.

Considerando una intersección T con una pista exclusiva de viraje a la izquierda

prioritaria. Los movimientos 2 y 5 (prioritarios) pueden considerarse como dos flujos

independientes para el viraje izquierda no prioritario (7). El conjunto de flujos

Page 23: Parametros intersecciones

prioritarios independientes para el movimiento 7 es I7 = {2,5}. El flujo 4 no es

independiente pues debe dar prioridad a los flujos 2 y 3.

Si los flujos prioritarios se describen a través de un proceso de puntos, el flujo

combinado prioritario es una superposición de procesos de componentes. El proceso de

superpuesto no tienen las restricciones de headways mínimos que puedan tener los

procesos de componentes.

Un proceso superpuesto es más parecido a un proceso Poisson que al proceso de

componentes (Cox e Isham 1980). Palm (1943) propuso que la superposición de un gran

número de puntos independientes dispersos conduce a un proceso de Poisson en el

límite. El primer teorema del límite de un proceso de puntos fue desarrollado por

Khintchine (1960). El teorema explica el rol central del proceso de Poisson en la teoría

de tráfico. Si las llegadas de los vehículos se consideran como procesos separados, el

proceso de llegadas de todos los vehículos es la superposición de un gran número de

procesos de componentes, el cual puede ser aproximado por un proceso Poisson. Sin

embargo, largos físicos e intervalos de seguridad de vehículos, así como oportunidades

limitadas para pasar, hacen que los procesos de componentes dependan entre ellos, la

cual es ignorada por la aproximación de Poisson.

Otro importante resultado de la teoria de procesos de puntos es que la superposición

de dos procesos independientes de renovación es un proceso de renovación si y sólo si

las componentes son procesos de Poisson (Cox y Isham 1980). Procesos de

componentes sin memoria producen un proceso superpuesto sin memoria. Si los

procesos de componentes son de renovación, pero su futuro depende de la historia (tal

como la condición de headway mínimo), todos los puntos del proceso superpuesto dejan

de ser puntos renovados.

El número de puntos en un proceso superpuesto durante un intervalo largo de tiempo,

es la suma de puntos de los procesos de componentes durante el mismo intervalo. Por lo

tanto, el flujo superpuesto es la suma de los flujos de componentes.

�à,� � ∑ � áâã Error! No text of specified style in document.----84848484 Donde Ik es el conjunto de flujos prioritarios independientes para el flujo no

prioritario k.

Page 24: Parametros intersecciones

Asumamos una vía prioritaria con múltiples pistas (i є Ik) de flujos independientes, a

los cuales el flujo no prioritario k debe dar prioridad. Cuando un vehículo no prioritario

alcanza la primera posición en la cola en instante τ, el lag es el intervalo con respecto a

la llegada al primer vehículo de cualquiera de los procesos de componentes i є Ik. La

función de supervivencia de la distribución de lags en un proceso de superposición es

(Thompson 1988):

]a,âã�b� � i��âã�Ó� j b  � ∏ i(� �Ó� j b, á âã � ∏ ]a, �b� á âã Error! No text of specified style in document.----85858585 Donde � �Ó� es el lag en el proceso de componentes i partiendo del tiempo τ, y �âã�Ó� es el lag del proceso superpuesto. El cálculo de P{ � �Ó�} puede requerir

información respecto al tiempo de llegada τ en la pista i.

Si τ es el tiempo de la última llegada en el proceso superpuesto, el headway

representativo de todas las pistas es mayor a t si el headway en la pista j (pista de la

última llegada) y los lags en todas las otras pistas son mayores a t (Cox y Smith 1954):

]âã,å�N� � i� å j N  ∏ i(� �Ó� j N, á âã æå � ]å�N� ∏ ]a, �N� á âã æå Error! No text of specified style in document.----86868686

La probabilidad que un punto cualquiera sea de un proceso de componentes j є Ik es

la proporción de puntos del proceso j en el proceso superpuesto (Weiss y Maradudin

1962):

Må � �ç∑ �èè á éã � �ç�ê,ã Error! No text of specified style in document.----87878787 La función de supervivencia de headways en un proceso superpuesto puede ser

representada como:

]âã�N� � ∑ Måi� å j N  ∏ i(� �Ó� j N, á âã æå � ∑ Må]å�N� ∏ ]a, �N� á âã æåå á âãå á âã � ��ê,ã ∑ �å]å�N� ∏ ]a, �N� á âã æåå á âã

Error! No text of specified style in document.----88888888 De esta manera, si consideramos partidas discretas dada por la función C�N� �

� 0 MFDF N t N��LN �[3[�[� � MFDF N y N� R Error! No text of specified style in document.-51

Page 25: Parametros intersecciones

y reemplzando la expresión � ��ê,ã ∑ �å]å�N� ∏ ]a, �N� á âã æåå á âã Error! No

text of specified style in document.-88 en la fórmula para la capacidad potencial dada

por �� � �� ∑ ]VN� * �N�W �\ Error! No text of specified style in

document.-59, obtenemos:

��,� � �à,� ∑ ]âãVN�,� * �N�,�W¿�\ � ∑ ∑ �å]åVN�,� * �N�,�W ∏ ]a, VN�,� * �N�,�W á âã æåå á âã¿�\

Error! No text of specified style in document.----89898989 Se asume que no existe correlación serial entre dos consecutivos headways. De esta

manera la historia de un headway en la pista j anterior al tiempo τ no afecta la

probabilidad P{Tj>t}. Se asume también que la historia de los otros procesos en Ik es

ignorada, lo cual no siempre es un supuesto realista.

En un proceso Poisson los headways siguen una distribución exponencial negativa, y

la propiedad de Markov simplifica considerablemente las ecuaciones. La distribución de

lags en cada pista son idénticas a las de headways y ellas no dependen en la historia.

i(� �Ó� j b, � i(� j b, � I3hèc Error! No text of specified style in document.----90909090 La función de supervivencia de headways en el proceso superpuesto queda:

]âã�b� � ∏ I3hèc á âã � I3c ∑ hèèë éã Error! No text of specified style in document.----91919191 Debido a que g � ∑ g ì âã � �à,�

��,� � �ê,ãmn£ê,ã¤��3mn£ê,ã¤� Error! No text of specified style in document.----92929292

Si los headways siguen una distribución exponencial desfasada la función de

supervivencia y lags de los proceso ]å�N� y ]a, �b� están dados por las expresiones

]�N� � s 1 N t ∆I3w�[3x� N y ∆R Error! No text of specified style in document.-33

y ]a�b� � �1 � wc�zw∆ b t ∆mn��rn��

�zw∆ b y ∆R Error! No text of specified style in

document.-38.

Page 26: Parametros intersecciones

De esta manera la capacidad potencial bajo esta distribución es:

��,� � ∑ ∑ �å]åVN�,� * �N�,�W ∏ ]a, VN�,� * �N�,�W á âã æåå á âã¿�\ � ∑ ∑ �åI3wèV[�,ãz¿[�,ã3xíW ∏ mn�貤�,ãqî¤�,ãn�í³

�zwèxí á âã æåå á âã¿�\ � ∑ mn ∑ �貤�,ãqî¤�,ãn�í³è á éã∏ ��zwèxí�è á éã ∑ �å�1 * v Δï�å á âã¿�\ � mn ∑ �貤�,ãn�í³è á éã∏ ��zwèxí�è á éã V∑ I3¿[�,ã ∑ wèè á éã¿�\ W ∑ �å�1 * v Δï�å á âã � mn ∑ �貤�,ãn�í³è á éã ∑ �ç��zwèxí�ç á éã²�3mn¤�,ã ∑ �èè á éã ³ ∏ ��zwèxí�è á éã

Error! No text of specified style in document.----93939393

Debido a que, �å � wè��zwèxí� se obtiene:

��,� � mn ∑ �貤�,ãn�í³è á éã ∑ wèç á éã²�3mn¤�,ã ∑ �èè á éã ³ ∏ ��zwèxí�è á éã� mn ∑ �貤�,ãn�í³è á éã w²�3mn¤�,ã�³ ∏ ��zwèxí�è á éã Error!

No text of specified style in document.----94949494 Debido a que,

]a,âã�b� � ∏ ]a, �b� á âã � ∏ mn�èVrn�íW�zwèxí á âã � mn ∑ �èVrn�íWè á éã∏ ��zwèxí�è á éã Error! No text of specified style in document.----95959595

La expresión de Cp,k se simplifica a:

��,� � wBð,éãV[�,ãW²�3mn¤�,ã�³

Error! No text of specified style in document.----96969696 Si consideramos una distribución exponencial apelotonada desfasada se obtiene:

��,� � ∑ ∑ �å]åVN�,� * �N�,�W ∏ ]a, VN�,� * �N�,�W á âã æåå á âã¿�\ � ∑ ∑ �å�åI3�èV[�,ãz¿[�,ã3xíW ∏ �èmn�貤�,ãqî¤�,ãn�í³

�èz�èxí á âã æåå á âã¿�\ � ∑ mn ∑ �貤�,ãqî¤�,ãn�í³è á éã

∏ ��z�è�íñè �è á éã∑ �å�� * v Δï�å á âã¿�\

Page 27: Parametros intersecciones

� mn ∑ �貤�,ãn�í³è á éã∏ ��z�è�íñè �è á éã V∑ I3¿[�,ã ∑ �èè á éã¿�\ W ∑ �åå á âã

� mn ∑ �貤�,ãn�í³è á éã ∑ �çç á éã²�3mn¤�,ã ∑ �èè á éã ³ ∏ �è��èz�èxí� á âã Error! No text of specified style in document.----97979797

Como,

]a,âã�b� � ∏ ]a, �b� á âã � ∏ �èmnñèVrn�íW�èz�èxí á âã � I3 ∑ �è�c3xí�è á éã ∏ �è��èzwèxí� á âã Error! No text of specified style in document.----98989898

Por lo tanto,

��,� � aBð,éãV[�,ãW²�3mn�¤�,ã³

Error! No text of specified style in document.----99999999 1.2.4.1.1 Flujo conflictivo

Bajo el supuesto de independencia entre los flujos prioritarios, el flujo conflictivo de

un movimiento corresponde a la suma de los flujos de los movimientos de mayor

ranking asociados al movimiento estudiado. Es decir es la suma de los flujos de los

movimientos pertenecientes al conjunto Ik.

�à,� � ò � áâã

Sin embargo, la presencia de pistas exclusivas de giro puede aislar el efecto de

determinados flujos. Por ejemplo, giros a la derecha desde la pista no prioritaria

(movimientos XXX) si cuentan con pista exclusiva de viraje no son considerados como

flujos conflictivos para el cálculo de la capacidad del movimiento de giro a la izquierda

no prioritarios respectivos.

Estudios incorporados a HCM2000 (Transportation Research Board 2000) sugieren

una ponderación relativa de la influencia de algunos flujos debido un mayor o menor

percepción de conflicto por parte de los conductores que observan estos movimientos. A

continuación se presentan las expresiones propuestas para el cálculo del flujo

conflictivo total:

Page 28: Parametros intersecciones

Este modelo asume las siguientes consideraciones de modo de calcular el flujo total

en conflicto con cada movimiento:

�à,� � �ó * �ô/±8 * ��ô Error! No text of specified style in document.----100100100100 �à,õ � �¸ * �ö/±8 * ��ó Error! No text of specified style in document.----101101101101 �à,÷ � �½/p8

ø * �ù/�8¸ * ��õ * ��ó Error! No text of specified style in document.----102102102102

�à,�¸ � �ú/p8ø * �û/�8

¸ * ��ö * ��ô Error! No text of specified style in document.----103103103103 �à,ü � 2�� * �¸ * �ù/�8

¸ * ��ó * 2�õ * �ó * �ô/±8 * ��ô Error! No text of specified style in document.----104104104104 �à,�� � 2�õ * �ó * �û/�8

¸ * ��ô * 2�� * �¸ * �ö/±8 * ��ó Error! No text of specified style in document.----105105105105 �à,ý � 2�� * �¸ * �ù/�8

¸ * ��ó * 2�õ * �úø * �û/þ8¸ * �«½/�,�8

¸ * �««¸ * ��ö Error! No text of specified style in document.----106106106106 �à,�\ � 2�õ * �ó * �û/�8

¸ * ��ô * 2�� * �½ø * �ù/þ8¸ * ��/�,�8

¸ * ��¸ * ��õ Error! No text of specified style in document.----107107107107 ��,� � 0 � á (1,3,5,6, Error! No text of specified style in document.----108108108108 [a]: Si el giro a la derecha prioritario es separado por una isla triangular y tiene que

cumplir con un ceda el paso o disco pare, q6 y q3 no deben ser considerados.

[b]: Si hay más de una pista prioritaria, los flujos en la pista derecha se asumen ser

q2/N o q5/N, con N igual al número de pistas directas.

[c]: Si existe una pista exclusiva de viraje a la derecha prioritario, q3 o q6 no deben

considerarse.

[d]: Se debe omitir los flujos q3 sujeto al movimiento 10 y q6 sujeto al movimiento 7

si la vía prioritaria tienen más de una pista.

Page 29: Parametros intersecciones

[e]: Si el giro a la derecha no prioritario está separado por una isla triangular y tiene

que cumplir con un ceda el paso o disco pare q9 y q12 no se deben considerar.

[f]: Se debe omitir q9 y q12 si se tienen múltiples pistas, o usar la mitad de sus valores

si la vía no prioritaria tiene pista exclusiva de viraje.

1.2.4.2 Impedancia Vehicular

Hasta el momento, sólo se ha considerado la modelación de la capacidad suponiendo

independencia en los procesos de descarga entre movimientos de distinto ranking. Sin

embargo, en la realidad la existencia de prioridad relativa entre movimientos hace que la

capacidad de un movimiento de menor ranking depende de la presencia de o no de un

vehículo de mayor prioridad esperando por poder servido.

Si se mantenemos el supuesto de una pista exclusiva para cada movimiento, es claro

que debido a la prioridad absoluta de los movimientos de ranking 1, los movimientos de

ranking dos no deben esperar por la disipación de una supuesta cola en los movimientos

de ranking 1, pues estos, bajo los supuesto mencionados anteriormente, no pueden

congestionarse. De esta manera, se puede sostener que:

Movimientos de Ranking 1: No tienen impedancia debido a la prioridad que tienen.

Movimientos de Ranking 2: Dado que los movimientos de Ranking 1 no se

congestionan, no es necesario ajustar la capacidad potencial para determinar la

capacidad del movimiento.

Sin embargo, para los movimientos de ranking 3 y 4, si es necesario ajustar la

capacidad potencial, debido a que estos movimientos no pueden ser servidos, cuando un

movimiento de mayor ranking espera en cola para poder cruzar.

A continuación se presenta los modelos utilizados para ajustar la capacidad potencial

para los movimientos de ranking 3 y 4.

1.2.4.2.1 Capacidad de movimiento de Rank 3

Para poder estimar el ajuste de las capacidades potenciales, es necesario definir el

modelo de generación de cola asociado al movimiento.

Page 30: Parametros intersecciones

Para describir el modelo de generación de colas, supongamos una intersección T. En

ésta, el movimiento 7 sólo puede entrar a la intersección si el gap es mayor al gap crítico

en el flujo combinado prioritario (2 y 4) y ningún vehículo del flujo 4 esta esperando

por entrar.

El tiempo disponible para los vehículos de ranking 3 consiste de dos periodos: i)

Vehículos de ranking 2 en cola o en descarga de la cola, y ii) períodos de aceptación de

gap. Durante los periodos de aceptación de gaps, todos los vehículos prioritarios

(ranking 1 y 2) pueden proceder sin demoras y los flujos pueden considerarse

independientes. Cuando la proporción de tiempo, número de headways prioritarios, y la

distribución de headways del proceso superpuesto son conocidos, la capacidad del flujo

de ranking 3 puede ser calculada. Para hacer esto, el modelo de colas debe ser descrito

en detalle.

La Figura Error! No text of specified style in document.-4 muestra una descripción

del modelo de cola del flujo i de ranking 2 bloqueando la entrada del flujo k de ranking

3. Mientras el vehículo 1 entra a la cola del flujo i, vehículos de ranking 1 están

bloqueando la entrada. Cuando el antibloqueo parte, el vehículo 1 entra al servicio, y el

período ocupado del servicio comienza. Durante el tiempo de servicio tf,i ningún otro

vehículo del flujo i puede entrar al servicio. El vehículo 2 tiene que esperar hasta que el

servicio del vehículo 1 se complete. Cuando el vehículo 1 parte, el vehículo 2 pare su

servicio.

Figura Error! No text of specified style in document.-4: Modelo de colas con tiempo de servicio interrumpidos por bloqueos

Tiempo para partir, servicio k

Tiempo para entra, servicio k

Tiempo para partir, servicio i

Tiempo para entrar, servicio i

Tiempo para entrar a cola i

Bloque

Bloqueo de flujo k

Período Ocupado

tc,k tc,k

tf,i tf,i

tf,i

tf,k

1

1

1 2

2

2 3

3

3

Page 31: Parametros intersecciones

El período ocupado termina cuando el vehículo 2 parte. El largo del período ocupado

es 2tf,i. Un vehículo 3 aislado llega a un sistema vacio. Cuando entra a la cola, el

servicio inicia inmediatamente. Este vehículo bloquea al flujo j por el tiempo de

duración del gap crítico, tc,k.

El bloqueo del flujo no prioritario k termina cuando el servidor del flujo i queda

ocioso. Después de esto el servicio del flujo k comienza. Los bloqueos y antibloqueos

en la Figura Error! No text of specified style in document.-4 son descritos en

términos de los tiempos de partidas de los flujos prioritarios. De esta manera, los

tiempos de llegadas prioritarias deben ser interpretados como tiempos de partida.

Cuando el flujo de ranking 1 decrece, el flujo de ranking 2 se acerca a un sistema de

colas M/D/1, y los flujos de partida se acercan al modelo de Tanner.

Si tf,i es interpretado como el tiempo de viaje desde la línea de parada al punto de

conflicto. El servicio se inicia cuando un vehículo cruza la línea de parada y su término,

cuando el vehículo pasa el punto de conflicto. En este caso el factor de ocupación del

servidor es la suma de los factores de ocupación de todos los flujos componentes.

Cuando un gap aceptable sigue a un vehículo i, un vehículo del flujo k tiene que

esperar tf,i segundos antes de entrar a la intersección. La posibilidad de servicios

superpuestos no puede ser excluida.

En el modelo básico de colas de la Figura Error! No text of specified style in

document.-4, cada flujo tiene un servidor separado con un tiempo de servicio igual al

tiempo de seguimiento. El servicio es interrumpido por bloqueos generados por

vehículos prioritarios. Haight (1963) describió este modelo sosteniendo que en una

intersección prioritaria un vehículo que llega a la intersección sin cola, no

necesariamente recibe el servicio inmediatamente.

Si las interrupciones en la operación del servidor del flujo i se consideran en el

tiempo del servicio, el tiempo promedio del servicio para vehículos en cola en el inverso

de la capacidad (Sq,i=Ci-1). Tal como se muestra en la Figura Error! No text of

specified style in document.-5, en este modelo el vehículo 1 entra al servicio

inmediatamente, y el tiempo de servicio incluye el tiempo ocupado esperando por el

término del bloqueo (We,i). El servicio se inicia cuando un vehículo entra a la línea de

para y termina tf,i segundos después de que el vehículo cruza la línea de parada. Tanto

Page 32: Parametros intersecciones

vehículos de ranking 2 y 3 no pueden cruzar la línea de parada antes de que el tiempo

de seguimiento se cumpla.

Figura Error! No text of specified style in document.-5: Modelo de colas con tiempo de servicio extendido por bloqueos

El vehículo 1 parte del servicio tf,i segundos después del término del bloqueo, y el

siguiente vehículo entra al servidor. Las llegadas prioritarias frecuentemente extienden

el tiempo de servicio de un vehículo no prioritario más allá del tiempo de seguimiento.

La flecha punteada muestra el tiempo virtual de partida, por ejemplo, el tiempo de

partida asumiendo que el vehículo 1 llega durante un período de antibloqueo.

En ambos modelos los tiempos del servicio de partida del flujo i son iguales. En

ambos modelos el período ocupado termina cuando el servidor i queda ocioso. Durante

un período ocupado la entrada de vehículos del flujo i pueden estar bloqueadas por

vehículo de ranking 1. El tiempo de partida del período ocupado, sin embargo, difiere

en ambos modelos. El modelo de la Figura Error! No text of specified style in

document.-5 incluye en el período ocupado el tiempo de espera por un antibloqueo

experimentado por el primer vehículo, mientras que este tiempo es excluido en el

modelo de la Figura Error! No text of specified style in document.-4. Debido a que

vehículos esperando de ranking 2, impiden la entrada de vehículos de ranking 3, este

período de tiempo no esta disponible para aceptación de gaps. De esta manera, la

capacidad de un flujo de ranking 3 debiera ser estimada usando el modelo de la Figura

Error! No text of specified style in document.-5. En este modelo el tiempo de servicio

es la suma de dos componentes: Tiempo de espera en la línea de parada y el tiempo de

seguimiento.

Período Ocupado

Tiempo para partir, servicio i

Tiempo para entrar, servicio i

Tiempo para entrar a cola i

tc,k

tf,i

tf,i

tf,i

tf,i

We,i

1

1 1

2

2

2 3

3

3 Bloque

Bloqueo de flujo k

Page 33: Parametros intersecciones

Descarga de cola de flujo con ranking 2

Se asume un proceso de llegadas Poisson para todos los flujos. Los vehículos no

prioritarios aceptan lags y headways no menores al gap crítico (tc,i). El tiempo mínimo

entre partidas no prioritarias es igual a tf,i.

El factor de utilización del servidor en un flujo de ranking 2 es:

� � ��Ä � �è<�,è �

Error! No text of specified style in document.----109109109109 Donde ρ i´ es la razón D/C, y la capacidad potencial Cp,i es calculada por las ecuación

XX. El factor de utilización ρi es la fracción de tiempo en que el servidor i esta ocupado.

El tiempo promedio de servicio Si es aproximadamente igual al inverso de la capacidad.

Con propósito de simplificar el análisis se asume que el factor de utilización (ρi) y la

razón D/C (ρ i´) son iguales.

La fracción de llegadas aleatorias de vehículos (Poisson) en el flujo i que tienen que

esperar por el servicio es igual a la fracción de vehículos que llegan cuando el servidor

esta ocupado, el cual es el factor de utilización ρi. Estas descargas de vehículos desde la

cola y los headways no pueden ser utilizados por vehículos no prioritarios. Otros (1- ρi)

vehículos entran a la intersección si cola, aún cuando tengan que esperar por un

antibloqueo en la línea de parada.

El número de headways de descargas en a cola en una hora es qiρi. Debido a que el

headway promedio de descarga desde la cola es Cp,i-1, la fracción de tiempo requerido

para la descarga de la cola es ρiqiCp,i-1

= ρi2. Durante la cola el flujo de partidas del flujo

i es Cp,i=qiρi-1. El flujo puede ser expresado como la suma de flujos durante la descarga

de la cola y de períodos de descargas libres:

� � �è�è * V1 � W� � Error! No text of specified style in document.----110110110110

Donde qi* es el flujo promedio durante el período de partidas libres. Los vehículos

que parten durante este período no tienen que esperar por el servicio, sin embargo el

tiempo de servicio puede extenderse por vehículos de mayor prioridad. De esta manera,

podemos expresar qi* como:

Page 34: Parametros intersecciones

� � � �è�z�è Error! No text of specified style in document.----111111111111

El headway promedio durante partidas libres del flujo i se expresa como:

N��Ä � ��è� � � �

�è * �<�.è�

Error! No text of specified style in document.----112112112112 Lo cual es la suma de el headway promedio de llegada y el tiempo promedio de

servicio. Si los flujo de ranking 1 se acercan a cero, Cp,i-1 se acerca a tf,i y el headway

promedio durante partidas libres en el flujo i se acerca a qi-1 +tf,i.

De esta manera durante un período τ de análisis, el flujo i puede ser dividido en dos

períodos distintivos: descarga de cola y partidas libres. Durante un período de descarga

de cola de tamaño ρi2 τ el flujo de partidas es Cp,i. El período de descargas libres dura

(1- ρi2)τ y tiene un flujo de qi(1+ ρi)

-1.

Tal como se presentó anteriormente la capacidades el producto del número esperado

de partidas durante un headway aleatoriamente seleccionado, con el número esperado de

headways esperados. El número de headways esperador para aceptación de gaps es (1-

ρi)qi. Debido a que los headways no pueden ser menores al tiempo de seguimiento, la

distribución de headways debe ser modificada a f(t|T≥tf,i).

A partir del resultado anterior, respecto a los flujos de descarga de la cola del

movimiento de ranking 2, se puede proponer un modelo básico de capacidad para el

movimiento de ranking 3 sin considerar conflicto con movimientos de ranking 1.

Considerando una función continua de partidas, se puede estimar esta capacidad

como:

�à,� � �1 � �� Z C�N�O VN|` y N�, WHN\ � ��3�è��èBèV[�,èW Z C�N�O �N�HN\ � ��3�è��èBèV[�,èW ��,� Error! No text of specified style in document.----113113113113 De similar podemos obtener la capacidad considerando una función de partidas

discreta:

Page 35: Parametros intersecciones

�à,� � �1 � �� ∑ ] VN�,� * QN�,�|` y N�, W\ � ��3�è��èBèV[�,èW ∑ ] VN�,� * QN�,�W\ � ��3�è��èBèV[�,èW ��,� Error! No text of specified style in document.----114114114114 Para poder estimar la capacidad considerando la influencia de movimientos de

ranking 1 se debe poder estimar el tiempo disponible para un proceso de aceptación de

gaps.

Harder (1968) propuso, que cuando ningún vehículo de ranking 2 esta en cola, la

capacidad del movimiento de ranking 3 puede ser estimada suponiendo flujos

prioritarios independientes. Cuando hay cola en el flujo de ranking 2, ningún vehículo

de ranking 3 puede entrar a la intersección. Por lo tanto la capacidad de movimiento

para el flujo j se puede expresar como:

�à,� � M¾, ��,� Error! No text of specified style in document.----115115115115 Donde p0,i es la probabilidad de una cola vacía en el flujo i, y Cp,k la capacidad

prioritaria del flujo k, asumiendo flujos prioritarios independientes.

Harders (1968) observó que el flujo i de ranking 2 puede ser expresado como la suma

de vehículos demorados y no demorados. Durante una porción de tiempo 1-p0,i los

vehículos se descargan desde la cola a un flujo igual a Cp,i. Cuando no hay cola, un

vehículo puede entrar a la intersección sin experimentar demora, si hay un antibloqueo

en el flujo j de ranking 1 y el headway en el flujo i de ranking 2 es mayor al tiempo de

seguimiento. Asumiendo llegadas poisson, Harders (1968) expresó el flujo qi como:

� � V1 � M\, W��, * M\, � Error! No text of specified style in document.----116116116116 Donde es la probabilidad de un antibloqueo en el flujo j de ranking 1 y un headway

mayor al tiempo de seguimiento en el flujo i de ranking 2:

� i�� y N�,  i� y N�,   � I3[�,è�çI3[�,è�è � I3V[�,è�çz[�,è�èW Error! No text of specified style in document.----117117117117 Dado esto la probabilidad de una cola vacía en el flujo i es:

Page 36: Parametros intersecciones

M\, � <�,è3�è<�,è3�è Error! No text of specified style in document.----118118118118

Harders (1968) llamo a p0,i como factor de impedancia. En HCM2000

(Transportation Resarch Board 1985) el factor de impedancia p0,i es la probabilidad que

en un instante aleatorio el sistema en el flujo i este vacío.

M\, � 1 � � 1 � �è<�,è � 1 �

Error! No text of specified style in document.----119119119119 Este método entrega buenos resultados, sin embargo tienen tres problemas:

1. El factor de impedancia p0 es interpretado como la fracción de tiempo

disponible para aceptación de gaps, cuando debiera ser interpretado como la

fracción de headways disponibles para aceptación de gaps.

2. El factor de utilización sobrestima el efecto de impedancia del flujo de

ranking 2.

3. La distribución de headwas del flujo de ranking 2 durante un período de

aceptación de gaps debiera modificarse para excluir headways más chicos que

el tiempo de seguimiento, y para ajustar el flujo durante condiciones de

partidas libres.

Cuando un vehículo prioritario parte su servicio en los modelos de las Figuras Figura

Error! No text of specified style in document.-4 y Figura Error! No text of specified

style in document.-5, el siguiente vehículo en el mismo flujo o en uno de menor

prioridad puede entrar al servicio. El gap crítico de un vehículo de ranking 3 es

evaluado hacia atrás desde este instante de tiempo.

El gap crítico de un flujo no prioritario incluye el tiempo de seguimiento de los

vehículos prioritarios. Por lo tanto, el efecto del bloqueo del vehículo 1 en la Figura

Error! No text of specified style in document.-5 no se inicia cuando el vehículo entra

al servicio, sino desde el tiempo de partida virtual, es decir el tiempo de partida si no

estuviera bloqueado por el vehículo de ranking 1. También, es obvio que el bloqueo de

un vehículo aislado 3 es tc,k, no tc,k+tf,i. El tiempo de seguimiento de un vehículo

aislado debe ser incluido como tiempo disponible para la aceptación de gaps del

vehículo de ranking 3. El período de bloqueo de una partida libre es igual al gap crítico,

Page 37: Parametros intersecciones

y es considerada en el proceso de aceptación de gaps. Es evidente que si se considera

una situación sin flujo de ranking 1 y sin cola en el flujo de ranking 2 el factor de

impedancia debe ser igual a la unidad. Consecuentemente, el período de bloqueo de

vehículos de ranking 2 es el período ocupado menos el tiempo de seguimiento.

Si un periodo ocupado en el flujo i termina en el tiempo τ, el siguiente tiempo de

ocio es el lag γi(τ) restante en tiempo τ. Para llegadas aleatorias el período de ocio

promedio es igual al lag promedio, el cual es igual al headway promedio qi-1. Si el

tamaño promedio de un período ocupado es E[Tpo,i] y el tamaño promedio del período

de ocio es E[Tpi,i] = qi-1, entonces para un proceso de cola con llegadas Poisson se tiene:

�è�3�è � d�e��,è

d�e�è,è � � _/ �¾, 8 Error! No text of specified style in document.----120120120120

Por lo tanto el tamaño esperado del periodo ocupado es:

_/ �¾, 8 � �è�è��3�è� Error! No text of specified style in document.----121121121121

El ciclo promedio ocupado es la suma esperada de los períodos de ocio y ocupado.

_� �¾, � _� �¾, * _� � , � �è�è��3�è� * ��è � ��è��3�è� Error! No text of specified style in document.----122122122122

La proporción llegadas aleatorias que tienen que esperar por el servicio es la

proporción de vehículos que llegan durante el período ocupado:

Mm, � �èd/e��,è8�èd�e��,è �

Error! No text of specified style in document.----123123123123 Esta proporción no incluye a los vehículo que su servicio se inicio el período

ocupado.

La proporción de tiempo disponible en un flujo de ranking 1 para aceptación de gap

es:

O±, � 1 � d/e��,è83[�.èd/e��,è8

� 1 � * [�.èd/e��,è8

Page 38: Parametros intersecciones

� 1 � * [�.èd/e��,è8 � V1 * � N�. W�1 � � � V1 * � N�. W �1 � �è<�,è�

Error! No text of specified style in document.----124124124124 Esta es la proporción durante la cual los vehículos i en cola no bloquean la entrada de

vehículos de ranking 3. Mientras la capacidad se acerca a tf,i-1, el factor de impedancia

se acerca a la probabilidad 1-ρi2 de ausencia de cola en un sistema de cola M/G/1. Si el

flujo i esta congestionado (ρi>1), el servidor no tiene periodos de ocio y el factor de

ajuste es cero. De manera de garantizar valores positivos de fa,i, se tiene exigir

positividad en la expresión anterior. Debido a que los headway de descarga de vehículos

que entran a la intersección no pueden ser menores a tf,i, un movimiento de giro puede

estar en cola, incluso si no tiene conflicto con vehículos de mayor prioridad.

Ya que fa,i es el tiempo disponible para aceptación de gaps, el número de headways

disponibles para aceptación de gaps de un flujo de ranking 1 es fa,iqj. Tal como se

mencionó anteriormente, el número de headways disponibles de un flujo de ranking 2 es

(1-ρi)qi. Los ajustes son diferentes, debido a que los headways de ranking 2 durante un

período de acepetación de gaps deben ser mayores a tf,i, incluyendo al del primero.

La discusión anterior ha demostrado que la fracción de headways de un flujo i de

ranking 2 para la aceptación de gaps de un flujo de ranking 3 es 1-ρi. Estos pueden ser

headways de partidas reales o virtuales de flujo i. La fracción de tiempo fa,i disponible

esta dada por la ecuación XX, la cual también entrega a fracción de headways

disponibles del flujo j de ranking 1. El número total de headways por unidad de tiempo

es:

�à� � �1 � �� * O±, �å � �1 � ��� * V1 * � N�, W�å Error! No text of specified style in document.----125125125125 De manera de poder derivar una expresión para la capacidad del movimiento, es

necesario obtener la distribución durante los períodos de aceptación de gaps.

El flujo de tráfico es descrito como un proceso de puntos, donde la ubicación de un

punto en un eje temporal describe el tiempo de partida de vehículos desde un proceso de

servicio. Un vehículo de ranking 3 observa dos procesos de puntos: Proceso I para

Page 39: Parametros intersecciones

partidas de ranking 1 y un proceso II para paridas de ranking 2. Se asume que todas las

llegadas pueden ser descritas por un proceso Poisson. El proceso I es independiente de

otros flujos, por lo que sus headways siguen una distribución exponencial negativa con

un parámetro local λI. Los headeways disponibles para aceptación de gaps del proceso II

siguen una distribución exponencial desfasada con parámetro de escala λII, el cual es

igual al parámetro de escala de una distribución exponencial negativa de headways. El

parámetro local (headway mínimo) es igual al tiempo de seguimiento tp = tf,II.

Debido a que el tiempo partida de vehículos demorados ha sido reemplazado por

partidas tiempos de partidas virtuales, el flujo virtual durante un período de aceptación

de gaps es:

�±,ââ � g±,ââ � héé�zhéé[�,½

Error! No text of specified style in document.----121212126666 El cual es el flujo de un proceso de headways exponencialmente desfasados.

Ya que todos los tiempos de servicios de flujos con ranking 2 que exceden tf,2 han

sido incluidos, estos dos procesos pueden considerarse independientes. El proceso

observado por un vehículo con ranking 3 es la superposición de los procesos 1 y 2. La

función de supervivencia de headways en el proceso de superposición con dos procesos

de componentes es:

]�N� � â]â�N�]a,ââ�N� * ââ]ââ]a,â�N� Error! No text of specified style in document.----127127127127 Las proporciones de puntos de ambos procesos de componentes son

â � héhézh�,éé � hé��zhéé[��héV�zhéé[�Wzhéé Error! No text of specified style in document.----128128128128

â � h�,ééhézh�,éé � héé

héV�zhéé[�Wzhéé Error! No text of specified style in document.----129129129129 Donde, λa,II = λII(1+ λIItp)

-1. El mismo resultado puede ser obtenido si se calcula ρI y

ρII a partir de λa,I = fa,I λI = (1- λIItp)(1-pII)λI y λa,II= (1-ρII)λII. La función de

supervivencia puede expresarse como:

]�N� � � �é�zhéé[� * ââ� I3�hézhéé�[zhéé[�

Page 40: Parametros intersecciones

� � hézhééhéV�zhéé[�Wzhéé� I3�hézhéé�[zhéé[� Error! No text of specified style in document.----130130130130

A partir de la expresión anterior, es posible determinar la capacidad de movimiento

de flujo de ranking 3 con un flujo de ranking 2 conflictivo, de la siguiente manera:

�à,� � �à ∑ ]VN�,� * �N�,�W �\ � Vg±,â*g±,ââW ∑ � hézhééhéV�zhéé[�Wzhéé� I3�hézhéé�V[�,ãz [�,ãWzhéé[� �\ � �hézhéé�²V�zhéé[�WV��3�éé�Whéz��3�éé�héé³héV�zhéé[�Wzhéé ∑ I3�hézhéé�V[�,ãz [�,ãWzhéé[� �\ � �gâ*gââ��1 � ââ�I3�hézhéé�[�,ãzhéé[� ∑ I3 �hézhéé�[�,ã �\ � �gâ*gââ��1 � ââ�I3�hézhéé�[�,ãzhéé[� ��3mnVoéqoééW¤�,ã � ��3�éé�mnoéé¤� �gâ*gââ� mnVoéqoééW¤�,ã

�3mnVoéqoééW¤�,ã � ��3�éé�mnoéé¤� �gâ*gââ� mnVoéqoééW¤�,ã

�3mnVoéqoééW¤�,ã � ��3�éé�mnoéé¤� ��,� � Oââ��,� Error! No text of specified style in document.----131131131131 Para extender el cálculo anterior a un sistema con dos flujos conflictivos de ranking

2, se debe estudiar la relación entre ambos flujos de ranking 2 y la manera en que

ajustan la capacidad potencial.

Considerando una intersección con cuatro ramas, los movimientos 8 y 11 tienen

ranking 3. Ellos tienen que dar paso a los movimientos 1 y 4 de ranking 2. El flujo 1

tiene que dar paso a los flujos de ranking 1 5 y 6, y el flujo 4 a 5 y 6. Los flujos

prioritarios del movimiento 8 son I8 = {1,2,4,5,6}y los de 11 son I11={1,2,3,4,5}.

Los factores de impedancia de los movimientos 1 y 4 se calculan a partir de la

expresión anteriormente descrita:

Page 41: Parametros intersecciones

O� � ��3 £«��,«�mn£«¤�,« Oõ � ��3 £���,��

mn£�¤�,� Error! No text of specified style in document.----132132132132

Ambos son las proporcione disponibles de capacidad debido a la generación de colas

en movimientos de mayor prioridad. Debido a que el proceso de generación de colas de

1 y 4 son independientes, se puede asumir que el factor combinado de impedancia es el

producto:

O��õ � O�Oõ Error! No text of specified style in document.----133133133133 Para demostrar esto consideremos que el sistema no cuenta con los otros flujos de

ranking 2 son ignorados, las proporciones de tiempo disponible para aceptación de gap

en los flujo 1 y 4 son:

O±,� � V1 * ��N�,�W �1 � �«<�,«�

O±,õ � V1 * �õN�,õW �1 � ��<�,��

Error! No text of specified style in document.----134134134134 Estos factores son las probabilidades que en un tiempo aleatorio un gap no sea

restringido por un vehículo en cola en el flujo respectivo. Debido a los procesos de

generación de cola son independientes, la probabilidad que en un instante aleatorio un

gap aceptable no sea restringido es el producto de los factores respectivos:

O±,��õ � O±,�O±,õ Error! No text of specified style in document.----135135135135 De manera similar, se puede sostener que el número observado de vehículos de

ranking 1 durante los períodos de aceptación de gaps son.

�±,¸ � O±,��õ�¸ �±,ö � O±,� � õ�ö �±,ó � O±,� � õ�ó �±,ô � O±,��õ�ô Error! No text of specified style in document.----136136136136 De los headways libres en el flujo 1 (4), sólo lo headways de vehículos que llegan

durante períodos sin cola del flujo 4 (1) pueden ser considerados aceptable. Por lo tanto,

Page 42: Parametros intersecciones

�±,� � O±,õ�1 � ���� �±,õ � O±,��1 � õ��õ Error! No text of specified style in document.----137137137137 Los flujos 2, 3, 5 y 6 se asume que llegan en un proceso Poisson. Durante el período

de aceptación de gaps, los flujos 1 y4 se asumen con una distribución exponencial

desfasada con parámetros de escala λ1 y λ4, y parámetros locales tf,1 y tf,4.

Durante el tiempo disponible para aceptación de gap los flujos de ranking 2 no están

bloqueados por vehículos de ranking 1, por lo que los flujos 1, 2, 4 y 5 se pueden

considerar independientes.

La capacidad de los movimientos 8 y 11 se puede expresar como:

�à,ü � O��õ �êmn£ê¤�,��3mn£ê¤�,� Error! No text of specified style in document.----138138138138

Con qm=q1+q2+q4+q5+q6

�à,�� � O��õ �êmn£ê¤�,««�3mn£ê¤�,«« Error! No text of specified style in document.----139139139139

Con qm=q1+q2+q3+q4+q5

1.2.4.2.1 Capacidad de movimiento de Rank 4

Los movimiento 7 y 10 con ranking 4 en una intersección con cuatro vías, deben dar

prioridad a flujos de tres rankings mayores. Un vehículo con ranking 4 puede entrar a la

intersección cuando hay un gap aceptable en los flujos prioritarios y no se tienen colas

en los movimientos de ranking 2 y 3. Sin embargo, estas colas no son independientes.

La cola del flujo con ranking 3 pude descargarse en la medida que hayan gaps mayores

a al gap crítico en los flujos de ranking 1 y 2, y que no se tenga cola en el flujo de

ranking 2.

Para el flujo 7 (10) el flujo conflictivo de ranking 3 es el flujo directo opuesto 11 (8).

Los flujos conflictivos de ranking 2 son los giros a la izquierda prioritarios 1, 4 y el

flujo opuesto de giro a la derecha no prioritario 12 (9). Este último flujo no tiene efecto

sobre la cola de ranking 3 en el flujo 11 (8). Si el flujo prioritario tienen pistas separadas

para los flujos entrantes 7 (10) y 12 (9), estos flujos no tienen conflicto.

Page 43: Parametros intersecciones

Debido a la mutua dependencia de las colas, las colas de ranking 2 y 3 ocurren

generalmente de manera más simultánea que el caso en que se consideren

independientes. Ignorar esta dependencia generara estimaciones muy bajas de esta

dependencia. Brilon & Grobmann (1991) desarrollaron una probabilidad correctiva en

base a simulaciones de la siguiente manera:

M�, � 0,65M\,��õ� � �¡,«���è�¡,«���èzö * 0,6�M\,��õ�

Error! No text of specified style in document.----140140140140 Donde pz,i es la probabilidad de que no hayan colas en los movimientos 1,4 y en el

flujo no prioritario directo i, y M\,��õ� � M\,�M\,õM\, . Esta ecuación fue introducida a

HCM2000 (Transportation Research Board 2000). A partir de esta expresión se puede

sostener que la capacidad de los movimientos de ranking 4 es:

�à,ü � M�,��M\,�¸�à,ü �à,�\ � M�,üM\,÷�à,�\ Error! No text of specified style in document.----141141141141 HBS2001 (FGSV 2001) propone el uso de la siguiente expresión para pz,i:

M�, � ��z«n�¡,«�¡,��¡,«�¡,� z«n�¡,è�¡,è

Error! No text of specified style in document.----142142142142

Esta expresión proviene de la suposición de una cola representativa de las colas de

todos los movimientos conflictivos y asumiendo un sistema M/M/1 (Brilom, Wu &

Bondzio 1997).

Esta última expresión puede representarse como:

M�, � �¡,«���è�¡,«��z�¡,è3�¡,«���è Error! No text of specified style in document.----143143143143

Lutinnen (2004) propone un modelo para estimar la capacidad de los movimientos

con ranking 4 explicitando los ajustes por factor de ocupación y la distribución

modificada de headways en los movimientos prioritarios.

Primero es necesario definir el factor de ocupación de un sistema de servicios con

dos flujos (i y j). Las tasas promedios de llegada son λi y λj, y los tiempos de servicio

promedio son Si, Sj. El factor de utilización es el producto de la tasa promedio de

Page 44: Parametros intersecciones

llegada con el tiempo de servicio promedio. La tasa promedio de llegadas es λi + λj, el

tiempo de servicio promedio es:

� � hè�Åèzhç�Åçhèzhç

Error! No text of specified style in document.----144144144144 De esta manera el factor de ocupación del sistema es:

,å � Vg * gåW� � g � Å * gå� Åå � * å Error! No text of specified style in document.----145145145145

El cual es la suma de los factores de ocupación de los flujos componentes.

El factor de impedancia pz,i es derivada siguiente el modelo de colas de la Figura

Error! No text of specified style in document.-4, en el cual los vehículos de ranking 3

son interrumpidos cuando los vehículos de ranking 2 son servidos. Debido a que un solo

servidor puede ser utilizado a la vez, los factores de ocupación se suman.

Asumamos que el flujo i tiene ranking 2 y el flujo j ranking 3. Las tasas de llegadas

son qi = λi, y qj = λj. El flujo i tiene un tiempo de seguimiento tf,i y tiempo promedio de

servicio Si = 1/Cm,i. El factor de utilización es ρi = λi/Cm,i. Así mismo, el flujo j tiene

tasa de llegada qj= λj, tiempo de seguimiento tf,j y capacidad de movimiento Cm,j. El

factor de ocupación ρj es diferente al cuociente D/C ρj´ = qj/Cm,j, ya que el flujo j puede

ser servido durante la fracción de tiempo 1- ρi. Por lo tanto, el tiempo promedio de

servicio es Sj = (1- ρi)/Cm,j y el factor de ocupación ρj = λjSj = (1- ρi) ρj´. Esto da una

interpretación interesante del cuociente D/C del movimiento de ranking 3:

´å � �ç�3�è Error! No text of specified style in document.----146146146146

El cuociente ρi´ entrega la probabilidad que en instante aleatorio un vehículo del flujo

j sea servido, bajo la condición que no hayan vehículos de ranking 2 en el sistema.

De esta manera el factor de ocupación del sistema es:

,å � * å � * �1 � �´å � * ´å � ´å Error! No text of specified style in document.----147147147147

Page 45: Parametros intersecciones

La cual es la probabilidad que haya un vehículo en el sistema. De esta manera la

probabilidad de un sistema vacio es:

1 � ,å � 1 � * �1 � �´å � �1 � �V1 � ´åW Error! No text of specified style in document.----148148148148

Los procesos de generación de colas no son independientes, pero el efecto del flujo i

en el proceso de cola del flujo j es llevado por el cuociente D/C ρj´. Para una

intersección de cuatro vías esto indica que:

M�, � M\,��õM\, � M\,�M\,õM\, Error! No text of specified style in document.----149149149149 Este modelo entrega mayores capacidades y menores factores de ocupación que el

modelo de HCM2000, dado los ajustes a las distribuciones de headways.

Las capacidades de los flujos de ranking 2, 3 y 4 se realiza en orden jerárquico. La

capacidad de un flujo de mayor prioridad es usada como input en la estimación de la

capacidad de un flujo de menor prioridad. Estas capacidades contienen toda la

información necesaria acerca de la jerarquía de los flujos. Cuando las capacidades de los

flujos prioritarias son conocidas, sus prioridades relativas pueden ser ignoradas en la

estimación de la capacidad del flujo no prioritario. Si qi es el flujo de un movimiento,

que esta contenido en un conjunto Ik de flujos prioritarios (ranking 2 y 3) de un flujo no

prioritario k, la capacidad del movimiento k se puede estimar como:

�à,� � ∑ �¡,èèëéãmn ∑ £è¤�,èèëéã ��,� Error! No text of specified style in document.----150150150150 Donde Cp,k es la capacidad potencial del movimiento k, asumiendo que todos los

flujos prioritarios son independientes. Con p0,i=1- ρi´, y ρi´ es el radio D/C del

movimiento i. Esta ecuación puede ser utilizada para determinar la capacidad tanto del

movimiento de ranking 3, como la de un de ranking 4.

1.3 Demora

1.3.1 Tiempo de Servicio

En un sistema de cola el tiempo de servicio es el tiempo que un consumidor

permanece en la caja. En una intersección prioritaria el tiempo de servicio de un

Page 46: Parametros intersecciones

vehículo empieza cuando llega a la línea de parada/ceda el paso. El tiempo de entrada es

el tiempo virtual de entrada, por ejemplo el primer instante de tiempo que el vehículo

podría cruzar la línea de parada en un período de antibloqueo. El tiempo de servicio

termina cuando el tiempo de seguimiento ha pasado desde que el vehículo cruza la línea

de parada. De esta manera, el tiempo de servicio es la suma del tiempo de espera en la

línea de parada durante un bloqueo y el tiempo seguimiento.

Lo vehículo pueden entrar al servicio tanto desde una cola como sin permanecer en

una cola. Vehículos en cola entran al servicio inmediatamente cuando el servicio del

vehículo de al frente ha completado su servicio. Es evidente que el lag remanente no es

más grande que tc-tf. Un vehículo aislado arriba a un sistema vacio en un instante

cualquiera, pero después que tiempo de seguimiento ha pasado desde el vehículo

anterior cruza la línea de parada. El proceso de llegadas de un vehículo que encuentra el

sistema vacio no es independiente del proceso de llegadas de las pistas prioritarias

(Daganzo 1977). Debido a que el estado esperado del flujo prioritario en el inicio de

tiempo de servicio es diferente para vehículos en cola que el de vehículos aislados, estos

tienen distintas distribuciones de tiempos de servicio. La distribución del tiempo de

servicio de todos los vehículos no prioritarios es una mezcla de las distribuciones de

vehículos en cola y aislados.

Las propiedades básicas de ambos tiempos de servicios es discutida a continuación.

En orden de poder describir la dinámica que esta por detrás del proceso de servicio, las

ecuaciones para los tiempos promedio de servicio son derivadas. Así mismo, para

mantener un nivel simple en las matemáticas utilizadas, el segundo momento de las

distribuciones de tiempos de servicios son presentados con referencias bibliográficas

únicamente.

1.3.2 Tiempo de servicio promedio para vehículos en cola

En condicione de saturación, los vehículos no prioritarios entran al servicio

inmediatamente después del vehículo predecesor ha terminado su servicio. Esto es

demostrado por el vehículo 2 en la Figura Error! No text of specified style in

document.-5. El vehículo entra a la línea de parada exactamente tf segundos después

que el vehículo predecesor ha cruzado la línea de parada. El lag restante no es menor a

tc - tf. Si el lag es mayor o igual a tc, el vehículo puede cruzar la línea de parada

inmediatamente. La probabilidad de no tener que esperar en la línea de parada es:

Page 47: Parametros intersecciones

M�,\ � i�� y N�|� y N� � N�  � Bð�[��Bð�[�3[�� Error! No text of specified style in document.----151151151151 Cuando los flujos prioritarios se distribuyen exponencialmente la probabilidad es:

M�,\ � I3h[� Error! No text of specified style in document.----152152152152

Para vehículos descargándose desde la línea de parada inmediatamente después de la

partida de su predecesor, el tiempo de servicio es igual al tiempo de seguimiento.

El intervalo de tiempo desde el inicio de un antibloqueo, hasta el inicio del siguiente

antibloqueo se llama ciclo (c). El tiempo de servicio promedio de un vehículo en cola es

el tiempo promedio de ciclo dividido por el número promedio de descargas durante el

ciclo.

�� � d/�8d/4�8 Error! No text of specified style in document.----153153153153

El ciclo promedio es la suma de un headway T ≥ tc y la suma de headways

consecutivos que son menores al gap crítico. Si el headway prioritario se distribuye

exponencialmente, un headway T ≥ tc sigue una distribución exponencial desfasada con

un promedio de:

_/`|N y N�8 � �h * N�

Error! No text of specified style in document.----154154154154 De manera de poder estimar la suma esperada de gaps en un bloqueo, se necesita

derivar la suma esperada de un número aleatorio de variables aleatorias i.i.d. Sea X un

headway menor al gap crítico. La suma Yn=X1+X2+…+XN de N headways consecutivos

menores al gap crítico tiene como esperanza:

_/)ø8 � _�∑ ' ø �� � _�_/∑ ' |� � L� �� 8 Error! No text of specified style in document.----155155155155 Donde Xi es una variable aleatoria, y la esperanza interior se ha condicionado en el

evento N = n. Debido a que N y Xi son independientes, la esperanza condicional es:

_/∑ ' |� � L� �� 8 � _/∑ ' � �� 8 � L_/' 8 � L_/'8 Error! No text of specified style in document.----156156156156

Page 48: Parametros intersecciones

Este es el valore esperado de la suma, asumiendo un número n de headways

consecutivos menores al gap críticos conocido. Sin embarga, como N es una variable

aleatoria, la esperanza de YN es:

_/)ø8 � _��_/'8 � _/'8_/�8 Error! No text of specified style in document.----157157157157 Por lo tanto, el valor esperado dela suma es el número esperado de headways

menores que el gap crítico multiplicado por su tamaño esperado.

Un headway es menor que el gap crítico con la probabilidad

M� � i(` t N�, � Y�N�� Error! No text of specified style in document.----158158158158 Y la probabilidad que de n headways consecutivos menores al gap crítico sigue una

distribución geométrica:

M� � M��V1 � M�W Error! No text of specified style in document.----159159159159

El número esperado de headways consecutivos Ti < tc se obtienen de la siguiente

manera:

_/�8 � V1 � M�W ∑ �M� �� � V1 � M�WM� ∑ �M� 3� �� � V1 � M�WM� �

V�3��W½ � ���3�� � ��[��B�[�� � Ih[� � 1

Error! No text of specified style in document.----160160160160 El tamaño esperado del los headways menores al gap crítico es:

_/'8 � _/`|` t N�8 � Z NO�N|N t N��[�\ HN � ���[�� Z NO�N�HN[�\ � ��3mno¤� ¯I3h[ ²�N � �h³°\

[� � �h � [�mno¤�3� Error! No text of specified style in document.----161161161161 De esta manera el tamaño esperado del ciclo es:

_/J8 � _/`|` y N�8 * _/�8 _/`|` t N�8 � �hmno¤�

Error! No text of specified style in document.----162162162162 El número de partidas durante un headway T ≥ tc sigue una distribución geométrica:

Page 49: Parametros intersecciones

i(�� � H|` y N�, � M�,\; V1 � M�,\W Error! No text of specified style in document.----163163163163 De esta manera la esperanza se obtiene como:

_/��8 � ��3�£,¡ Error! No text of specified style in document.----164164164164 Para headways exponenciales M�,\ � I3h[�, por lo tanto, _/��8 � V1 � I3h[�W3�

El tiempo promedio de servicio de vehículos descargándose desde una cola (llegando

cuando el servidor esta ocupado) es por lo tanto:

� Å� � d/�8d/4�8 � �3mno¤�hmno¤� Error! No text of specified style in document.----161616165555 Este es el valor inverso de la capacidad dada por la ecuación

�� � �� ∑ I3hV[�z [�W �\ � ��I3h[� ∑ I3h [� �\ � �� mn£�¤��3mn£�¤� Error! No

text of specified style in document.-60, como se esperaba. Por lo tanto, este método

puede ser utilizado como una manera alternativa para la estimación de la capacidad.

Kremser (1962), derivo el segundo momento del tiempo de servicio como:

_��� � ¸mo¤�h½ �VIh[� � gN�WV1 � I3h[�W � gN�I3h[� Error! No text of specified style in document.----166166166166 El tiempo promedio de espera en la línea de parada para vehículos en cola es:

@Ä� � � Å� � N� � �3mno¤�hmno¤� � N� Error! No text of specified style in document.----167167167167 1.3.3 Tiempo promedio de servicio de vehículos aislados

Un vehículo aislado no prioritario (vehículos 1 y 3 en la Figura Error! No text of

specified style in document.-5) arriban, cuando el servidor esta ocioso, y entran al

servicio inmediatamente. El vehículo puede llegar tf segundos después de que haya

pasado el vehículo predecesor de la cola. Ningún vehículo prioritario puede llegar hasta

que tc - tf han pasado desde que el servidor quedó ocioso. Sin embargo, es posible que

un vehículo prioritario arribe después de que el vehículo no prioritario aislado llega a la

línea de parada.

Page 50: Parametros intersecciones

Si un vehículo en cuestión es bloqueado por un vehículo prioritario, como el vehículo

1 en la Figura Error! No text of specified style in document.-5, este tiene que esperar

hasta el siguiente antibloqueo. Una vez que el antibloqueo ha comenzado, el vehículo

cruza la línea de parada inmediatamente. Sin embargo, el servidor esta ocupado hasta

que el tiempo de seguimiento ha pasado. Por lo tanto, el tiempo de servicio Se, de un

vehículo que llega a un sistema vacio es la suma del tiempo de espera en la línea de

parada We y el tiempo de seguimiento tf.

Si un vehículo ingresa durante un antibloqueo, este puede partir inmediatamente.

Asumiremos que cuando un vehículo no prioritario sin cola llega, el flujo prioritario

esta en un estado estable. La probabilidad de no tener que espera es igual a la

probabilidad de un lag mayor o igual al gap crítico:

Mm,\ � i(� y N�, � ]a�N�� Error! No text of specified style in document.----168168168168 El vehículo tienen que parar y esperar si el lag disponible es menor que el gap crítico.

La probabilidad de tener que esperar es:

Mm,â � i(� t N�, � Ya�N�� Error! No text of specified style in document.----169169169169 Si los headways son independientes y distribuidos idénticamente, la probabilidad que

el siguiente headway no se acepte es:

M� � i(` t N�, � Y�N�� Error! No text of specified style in document.----170170170170 Y la probabilidad que un conductor tenga que esperar por un lag y n-1ags (n

vehículos) es:

M� � Mm,�M��3�V1 � M�W Error! No text of specified style in document.----171171171171

SI el flujo prioritario sigue una distribución exponencial negativa de headways, las

distribuciones de gaps y lags son iguales

Ya�N�� � Y�N�� � 1 � I3h[� Error! No text of specified style in document.----172172172172 Y p = pe,I = pg, por lo tanto M� � M��1 � M�. Esta es una distribución geométrica con

la siguiente expresión para su esperanza:

Page 51: Parametros intersecciones

_/�8 � ��[��B�[�� � Ih[� � 1 Error! No text of specified style in document.----173173173173 Siguiendo la ecuación � ��3mno¤� ¯I3h[ ²�N � �h³°\

[� � �h � [�mno¤�3� Error!

No text of specified style in document.-161, el tiempo de espera promedio durante un

bloqueo, para vehículos aislados puede ser expresado como el producto de las

esperanzas

@Äm � _/�8_/`|` t N�8 � mno¤�3�h � N� Error! No text of specified style in document.----174174174174 El primer término de la ecuación es el tiempo de servicio para un vehículo en cola

con un tiempo de seguimiento igual al gap crítico. We es la cota mínima para la demora

promedio de un flujo (Transportatio Resarch Board 1997). Cuando el flujo proritario (λ)

se acerca a cero, el primer término de la ecuación se aproxima a tc, y We a cero.

Debido a que el tiempo de seguimiento es ignorado, el tiempo de servicio promedio

se acerca a cero y la capacidad tiende a infinito para flujo prioritarios bajos. Tanner

(1051) y McNeil & Weiss (1974) derivaron la expresión para la varianza del tiempo de

servicio como:

Ûm � m½o¤�3¸h[�mo¤�3�h½ Error! No text of specified style in document.----175175175175 Cuando un vehículo ha encontrado un lag o gap aceptable entra a la intersección. Si

hay otro vehículo atrás, este puede entrar a la intersección después que el tiempo de

seguimiento ha pasado. Hasta ese tiempo, el servidor esta ocupado. De esta manera, el

tiempo promedio de servicio de un vehículo aislado es:

� Åm � @Äm * N� � mno¤�3�h � VN� � N�W Error! No text of specified style in document.----176176176176 Para flujos bajos prioritarios el tiempo promedio de servicio de vehículos aislados se

acerca al tiempo de seguimiento. Cuando el flujo prioritario crece, el tiempo de servicio

crece un poco más rápido para este tipo de vehículos que para vehículos en cola.

El segundo momento del tiempo de servicio ha sido derivado por Kremser (1962)

como:

Page 52: Parametros intersecciones

_��� � 2 ²mno¤�3�h � N�³ ²mo¤�

h * N� � N�³ * N�¸ � N� Error! No text of specified style in document.----177177177177 Hasta el momento se ha supuesto que en la llegada de un vehículo aislado los flujos

prioritarios se encuentran en estado estacionario. Kremser (1964) y Daganzo (1977) han

demostrado que este supuesto es incorrecto. Un vehículo aislado puede arribar sólo

cuando el servidor esta ocioso. Esto ocurre cuando se tiene un lag � y N� � N�. Debido a

lo anterior, el proceso de llegadas de vehículos aislados y el de vehículos prioritarios no

son independientes.

Si se asume que el último vehículo no prioritario (i) parte de la cola en el tiempo 0,

por lo que el período ocupado termina en el tiempo tf. Se tiene, por lo tanto que en el

tiempo τ una llegada de vehículo aislado no puede ocurrir antes de tf, y el tiempo de la

llegada τk del siguiente vehículo prioritario k no puede ocurrir antes de tc. Por lo tanto,

el lag que enfrenta un vehículo aislado es:

��Ó� � AN� � Ó * ' �� N� � Ó t N�' �� N� � Ó R Error! No text of specified style in document.----178178178178 Donde X sigue una distribución exponencial negativa con parámetro λk. Si tf = tc, un

vehículo aislado no puede entrar antes que el gap crítico no ha pasado desde la partida

anterior, y el lag es distribuido exponencial.

Si el tiempo de llegada del vehículo no prioritario es τ ≥ tc, el lag se distribuye

exponencialmente, como:

O��b� � g�I3hãc Error! No text of specified style in document.----179179179179 Si la llegada no prioritaria ocurre antes de que el gap crítico del vehículo anterior

haya pasado, los lags siguen una distribución exponencial desfasada con parámetro local

tc-τ.

O �b, Ó� � g�I3hã�czÔ3[�� Error! No text of specified style in document.----180180180180 Un lag dado ν puede realizarse con distintos tiempos de llegada. Si el lag ν ≥ tc - tf, el

vehículo no prioritario puede haber llegado en cualquier instante del intervalo tf ≤ τ ≤ tc.

Page 53: Parametros intersecciones

Si embargo, un lag ν < tc - tf es posible si τ > tc- ν. La función de densidad de la

distribución de lag es obtenida como:

Oa�b� � �i(Ó j N�,O��b� * Z O�Ó�O �b, Ó�HÓ[�[�3c �� b t N� � N�i(Ó j N�,O��b� * Z O�Ó�O �b, Ó�HÓ[�[� �� b y N� � N�R

Error! No text of specified style in document.----181181181181 Donde f(τ) es la función de densidad de los tiempos de llegadas de vehículos no

prioritarios.

Figura Error! No text of specified style in document.-6: Lag de vehículo aislado que llega antes del gap crítico

Cuando el proceso de llegadas no prioritarias e Poisson con tasa λi, la función de

densidad de probabilidad del tiempo de llegada de vehículos no prioritarios (dado que es

mayor al tiempo de seguimiento) es:

O�Ó� � g I3hèVÔ3[�W Error! No text of specified style in document.----182182182182 La probabilidad de una llegada de un vehículo aislado después que ha pasado el gap

crítico desde la última partida es:

i(Ó j N�, � Z O�Ó�HÓ[� � I3hèV[�3[�W Error! No text of specified style in document.----183183183183

γ(τ) τ- tf

0 Tiempo tf tc τk

X tc - τ

Page 54: Parametros intersecciones

Por lo tanto la expresión

Oa�b� � �i(Ó j N�,O��b� * Z O�Ó�O �b, Ó�HÓ[�[�3c �� b t N� � N�i(Ó j N�,O��b� * Z O�Ó�O �b, Ó�HÓ[�[� �� b y N� � N�R Error!

No text of specified style in document.-181 se puede representar como:

Oa�b� � �I3hèV[�3[�Wg�I3hãc * Z g I3hèVÔ3[�Wg�I3hã�czÔ3[��HÓ[�[�3c �� b t N� � N�I3hèV[�3[�Wg�I3hãc * Z g I3hèVÔ3[�Wg�I3hã�czÔ3[��HÓ[�[� �� b y N� � N�R

Error! No text of specified style in document.----184184184184 Lo que queda como:

Oa�b� � � hãmno貤�n¤�³hèzhã Vg�I3hãc * g I3hècW �� b t N� � N�

hãmnoãrhèzhã ²g�I3hãV[�3[�W * g I3hèV[�3[�W³ �� b y N� � N�

R Error! No text of specified style in document.----185185185185

Cuando tc = tf, la ecuación anterior se reduce a la función de densidad de lags con

distribución exponencial negativa. Esto indica que el supuesto de estado estacionario en

un tiempo τ es correcto sólo cuando el gap crítico es igual al tiempo de seguimiento.

Dada la nueva expresión para los lags, la probabilidad de no esperar es:

Mm,\ � i(� j N�, � Z Oa�Ó�HÓ[� � hãmnoã¤�hèzhã ²g�I3hãV[�3[�W * g I3hèV[�3[�W³ Error! No text of specified style in document.----186186186186 Daganzo (1977) ha sostenido que esta probabilidad es siempre mayor que la

probabilidad basada en lags distribuidos exponencialmente.

La probabilidad de rechazar un lag es:

Mm,â � 1 � Mm,\ � 1 � hãmnoã¤�hèzhã ²g�I3hãV[�3[�W * g I3hèV[�3[�W³ Error! No text of specified style in document.----187187187187 El tiempo promedio de servicio de un vehículo aislado fue derivado por Daganzo

(1977) como:

� Åm � Mm,â��´a�0� � VIhã[� * 1W´e�0� * N� Error! No text of specified style in document.----188188188188

Page 55: Parametros intersecciones

Con, ´ay ´e son las transformadas de Laplace de rechazar lags y gaps,

respectivamente. Las primeras derivadas de estas transformaciones evaluadas en cero

(Daganzo 1977) son:

´a�0� � hãmno貤�n¤�³hèzhã ´²N� � N� * �

hè³ I3hèV[�3[�W � �hè * I3hã[� ²N� � �

hã³ � �hã *

hèmnVoèqoãW²¤�n¤�³hã½ ²I3hã[��g�N� * 1� � I3hãV[�3[�W�g�VN� � N�W * 1 ³¹

Error! No text of specified style in document.----189189189189 ´e�0� � [�mno�

�3mnoã¤� � �hã

Error! No text of specified style in document.----190190190190 De acuerdo con Daganzo (1977) el error de magnitud cuando se asume una

distribución exponencial de lags, en vez de una función correcta de densidad no es

significativo para la gran mayoría de valores razonables de parámetros.

1.3.4 Demora en condiciones de estado estacionario

1.3.4.1 Proceso estocástico de formación de colas

Bajo la condición de estado estacionario se entiende que el proceso de llegadas y de

servicio permanece constante, la tasa de llegadas no supera a la capacidad y las colas

alcanzan un estado de equilibrio.

El estado del proceso en un tiempo tau se puede describir por el número N(tau) de

vehículos en el sistema. Cuando un vehículo no prioritario llega, el estado del proceso

aumenta en una unidad. Cuando un vehículo parte de la intersección (tf segundos

después de cruzar la línea de parada), el estado del sistema decrece en una unidad. Se

asume que sólo un vehículo puede llegar o partir simultáneamente.

Cooper (1981) presenta un importante teorema, que se puede aplicar al proceso de

formación de colas en discusión:

En un sistema de cola, para el cual la realización del estado es una función paso a

paso con saltos de una unidad (positivos o negativos), la distribución del estado de

equilibrio justo antes de una llegada es la misma justo después de una partida.

Adicionalmente, cuando los inputs son Poisson, esta distribución es la misma que la de

un observador exterior.

Page 56: Parametros intersecciones

De esta manera, si las llegadas no prioritarias se asumen Poisson, sólo es necesario

describir el proceso de la cola en los instantes de partida desde el servicio.

Se define δn el tiempo de partida del servicio del vehículo n. El intervalo de tiempo

entre dos partidas consecutivas es Tn = δn- δn-1. Si el número de vehículos en el sistema

después de la partida n es Nn, el número de vehículos en el sistema inmediatamente

después de la siguiente partida es (Neuts 1989):

��z� � ��� � 1�z * ����, ��z�� � ��� � 1�z * ��z� Error! No text of specified style in document.----191191191191 Donde An+1 es el número de llegadas entre las partidas n y n+1. El número de

vehículos en el sistema después de la siguiente partida depende sólo del número de

vehículos en el sistema después de la parida en cuestión y el número de llagadas entre

la en cuestión y la siguiente partida. Este tipo de proceso se llama “embedded markov

chain”. En un punto de transición (tiempos de partida desde el servicio) el proceso se

comporta como una cadena discreta de markov con una matriz de probabilidad de

transición de un paso.

i � �����M\\M�\00

M\�M��M¸�0 M\¸M�¸M¸¸Mö¸

!!!!"#$$$%

Error! No text of specified style in document.----192192192192 Donde pij es la probabilidad que entre dos partidas el número de vehículos en el

sistema cambie de i a j. Debido a que P es una matriz estocástica, sus filas suman uno.

La matriz de transición puede derivarse a partir de la ecuación XXX. Un vehículo n

llega a servicio inmediatamente cuando el vehículo n-1 parte del servicio. El intervalo

de transición entre las partidas n-1 y n es el tiempo de servicio del vehículo n. La

probabilidad pij de transición entre el estado i a j є {i-1,i,i+1,…} es la probabilidad de αj

- 1+1 llegadas durante el tiempo de servicio. Debido a que el proceso es Poisson, no es

necesario saber el tiempo ya pasado de un intervalo en la llegada de un vehículo no

prioritario en el momento en que se completa el servicio.

Si i = 0, un vehículo n llega a la línea de parada (servicio) algún instante después de

la partida del vehículo n-1 anterior. El intervalo de transición entre las partidas n-1 y n

es el tiempo ocioso del sistema más el tiempo de servicio del vehículo n. Sin embargo,

Page 57: Parametros intersecciones

el vehículo n+1 no puede llegar antes del vehículo n. La probabilidad p0j es la

probabilidad βj de j llegadas durante el tiempo de servicio del vehículo n que ha llegado

durante un periodo ocioso. De esta manera, la matriz de transición de probabilidades

puede expresarse como:

i � �����Þ\Ë\00

Þ�Ë�Ë\0 ޸˸Ë�Ë\

!!!!"#$$$%

Error! No text of specified style in document.----193193193193 Las probabilidades de transición son independientes de n y depende de i y j sólo a

través de su diferencia. Las filas suman uno.

Sean fq(u) y fe(u) las funciones de densidad de probabilidad de las distribuciones de

tiempos de servicio para vehículos que llegan a una cola o a un sistema vacio,

respectivamente. Debido a que las llegadas no prioritarias son Poisson, las

probabilidades de transición son:

Ë� � Z �h&�ã�! I3h&O��P�HP\

Þ� � Z �h&�ã�! I3h&Om�P�HP\ Error! No text of specified style in document.----194194194194

Estas son probabilidades de k llegadas durante un período de servicio. El proceso es

equivalente a un sistema de colas M/G2/1. Si fq(u)=fe(u), la matriz de probabilidades

describe un proceso M/G/1.

1.3.4.2 Modelo M/G/1

Si se asume que las llegadas de vehículos a la intersección en una pista siguen un

proceso Poisson, y los vehículos son servidos por un único servidor con un patrón i.i.d,

el sistema puede ser descrito por un proceso M/G/1. Debido al supuesto i.i.d. para los

tiempos de servicio, αi = βi. Por lo tanto las probabilidades de transición son:

Ë� � Z �h&�ã�! I3h&O¿�P�HP\ Error! No text of specified style in document.----195195195195

Y la matriz de transición de probabilidades es:

Page 58: Parametros intersecciones

i � �����Ë\Ë\00

Ë�Ë�Ë\0 ˸˸Ë�Ë\

!!!!"#$$$%

Error! No text of specified style in document.----196196196196 Se asume que

'å � lim�(^ i(�� � Q, Q á (0,1,2 … , Error! No text of specified style in document.----197197197197 Son las probabilidades estacionarias (de equilibrio) que en el largo plazo el sistema

encuentra en el estado j. Estas probabilidades pueden expresarse como:

'å � '\M\å * ∑ ' M ååz� �� � '\Ëå * ∑ ' Ëå3 z�åz� �� Error! No text of specified style in document.----198198198198 El proceso puede alcanzar el estado j, si el primero alcanza algún otro estado i desde

el cual se mueve al estado j. Se cumple que la suma de estas probabilidades es uno.

El tiempo promedio de espera puede ser derivado a partir de las probabilidades

estacionarias que tienen una función generadora de probabilidades igual a:

Ú*�X� � ∑ 'åXåå�\ � ��3��Â+�h3h���3Â+�h3h�� �1 � � Error! No text of specified style in document.----199199199199 Donde LS(·) es la transformada de Laplace de la distribución de tiempos de servicios,

directamente desde la ecuación ��z� � ��� � 1�z * ����, ��z�� � ��� � 1�z * ��z�

Error! No text of specified style in document.-191 utilizando valores

promedios (Cooper 1981). El tiempo promedio de espera en cola es dado por la formula

Pollaczek-Khintchine.

@Ä,,- � ��Ÿ��3�� ²1 * ß+½�Ž³ � ��ÅV�z<+½W¸��3�� Error! No text of specified style in document.----200200200200

Donde � Å es el promedio y Û� la varianza de los tiempos de servicios, � g� Å es el

factor de utilización del servidor, y �� � Û� � Ÿ⁄ es el coeficiente de variación de los

tiempos de servicio. Si se asume que � Å es igual al inverso de la capacidad, el factor de

utilización es igual al cociente D/C. Debido a que bajo condiciones de bajo D/C este

supuesto subestima , también se subestiman las demoras. El tiempo de espera

promedio incluyendo el tiempo de servicio es:

Page 59: Parametros intersecciones

@Ä,,� � @Ä,,- * � Å � � Å ²1 * �V�z<+½W¸��3�� ³ � � Å ²1 * ����3��³ Error! No text of specified style in document.----201201201201 Con � � �1 * �� �/2 es la constante de aleatoriedad (Transportation Resarch

Board1997). Esta indica cuan rápido la demora promedio crece con el radio D/C.

Debido a que Û� � _/�¸8 � � Ÿ, se cumple que:

� � d��½ ¸�Ž Error! No text of specified style in document.----202202202202 Dado esto podemos reescribir el tiempo de espera como

@Ä,,- � hd��½ ¸��3�� Error! No text of specified style in document.----203203203203

@Ä,,� � � Ÿ * hd��½ ¸��3�� Error! No text of specified style in document.----204204204204

Utilizando la formula de Little (1961) 0Á � g@Ä se obtiene el número promedio de

vehículos en un sistema de colas. La distribución del largo de cola ha sido estudiada por

Heidemann (1991) y Wu (1994). La fórmula de Little (1961) puede ser utilizada para

estimar la demora en caso que se conozca el largo de la cola. Sin embargo, Daganzo

(1977) advierte acerca de algunos problemas con esta técnica.

En orden de poder aplicar la ecuación @Ä,,� � @Ä,,- * � Å � � Å ²1 * �V�z<+½W¸��3�� ³ �� Å ²1 * ����3��³ Error! No text of specified style in document.-201, el promedio

y la varianza de los tiempos de servicios deben estimarse. Usualmente se sugiere el uso

del inverso de la capacidad como el promedio del tiempo de servicio, aunque subestima

en cierto grado los tiempos de servicios y demoras.

La varianza depende de la distribución de los tiempos de servicio. Si todos los

tiempos de servicios se asumen constantes, Û� � 0, k = 0,5, y la espera promedio en

cola es:

@Ä4,- � �½¸h��3�� Error! No text of specified style in document.----205205205205

Page 60: Parametros intersecciones

Entonces el sistema de cola es llamado M/D/1, en que D indica tiempos de servicios

determinísticos. El supuesto que todos los vehículos esperan un igual tiempo en la cola

es, por supuesto, irreal. El modelo M/D/1 ha encontrado mejores aplicaciones en el caso

de intersecciones semaforizadas.

Si tanto la distribución el tiempo entre llegadas como la de tiempo de servicio se

asumen como exponencial negativas, el proceso de la cola es M/M/1. En este caso como

la desviación estándar es igual al promedio, se tiene que �� � 1 y k=1. Los tiempos de

espera son obtenidos con la formula de Pollaczek-Khintchine como:

@Ä1,� � �Å��3�� Error! No text of specified style in document.----206206206206 De acuerdo con Kimber & Hollis (1979) y Fisk &Tan (1989) el modelo M/M/1

producirá una buena aproximación al modelo M/G/1, obteniéndose similares tiempos de

servicio.

La variación en los tiempos de servicios dobla el tiempo de espera del modelo

determinístico. Si � Å se considera como el inverso de la capacidad se obtiene:

@Ä1,� � ��<3�� Error! No text of specified style in document.----207207207207 Esta relación permite identificar la relevancia de una buena estimación de la

capacidad en la estimación de la demora. Para altos niveles de saturación, pequeños

cambios en la estimación de la capacidad, resultaran en errores significativos en la

estimación de la demora.

Debido que los tiempos de servicios no pueden ser menores al tiempo de

seguimiento, un modelo posible para la distribución de tiempos de servicios es la

distribución exponencial desfasada, la cual tiene un promedio dado por, � Å � N� * v3�, y

una desviación estándar de Û� � v3�. El coeficiente de variación es �� � 1 � N� � Å⁄ .

Esto indica que el modelo exponencial desfasado de tiempos de servicio entrega

menores demora que el modelo M/M/1. La ditribución exponencial desfasada con

parámetro local igual al tiempo de seguimiento, es equivalente a asumir una distribución

exponencial negativa al tiempo de espera en la línea de parada.

Page 61: Parametros intersecciones

La constante de aleatoriedad en este caso es,

� � 1 * [��Å ²[�¸�Å � 1³ Error! No text of specified style in document.----208208208208 El tiempo promedio de espera en el sistema es:

@Ä1´,� � �Åz�[��¤�½+Ä3��

��3�� � @Ä1,� * �[���3�� ²[�¸�Å � 1³ Error! No text of specified style in document.----209209209209 Debido a que N� 2� Å⁄ t 1, se cumple que @Ä1´,� t @Ä1,�

El modelo M/G/1 presentado ignora que los vehículo que arriban a un sistema vacio

tienen una un tiempo de servicio promedio (Se) distinto a vehículos en cola (Sq).

Adicionalmente, la varianza de los tiempos de servicio se basa en un supuesto arbitrario,

y no en una teoría sólida.

En un proceso M/G/1 la proporción de tiempo en que el servidor esta ocupado es

igual la factor de utilización. La distribución de tiempos es una mezcla de los dos

servicios. La proporción ρ es para la distribución fq de vehículos en cola, 1- ρ para la

distribución fe de vehículos aislados:

O���� � O���� * �1 � �Om��� Error! No text of specified style in document.----210210210210 El tiempo promedio de servicio puede estimarse como:

� Å � � Å� * �1 � �� Åm Error! No text of specified style in document.----211211211211 Los cocientes para cada tipo de vehículo son:

� � g� Å� m � g� Åm Error! No text of specified style in document.----212212212212 El radio D/C y el tiempo promedio de servicio, se pueden obtener en términos de los

flujos de cada componente.

� g� Å � ���z��3�£ Error! No text of specified style in document.----212121213333

Page 62: Parametros intersecciones

�Å � �Å��z��3�£

Error! No text of specified style in document.----214214214214 La probabilidad que en una llegada aleatoria se tenga un sistema vacio es (Yeo

1962):

M\ � 1 � � �3�£�z��3�£

Error! No text of specified style in document.----215215215215 El segundo momento de la distribución mezclada de tiempos de servicio es:

_/�¸8 � _��� * �1 � �_/�m 8 � ��d��£½ zV�3�£Wd���½ �z��3�£ Error! No text of specified style in document.----216216216216

El tiempo promedio en la cola se obtiene a partir de la ecuación @Ä,,- � hd��½ ¸��3��

Error! No text of specified style in document.-203 como

@Ä,,- � hd��½ ¸��3�� � h¸��3�� Vm_��� * V1 � �W_/�m 8W Error! No text of specified style in document.----217217217217

El tiempo promedio de espera del sistema se obtiene sumando el tiempo de servicio:

@Ä,,� � @Ä,,- * � Å � �Å��z��3�£ * h

¸��3�� Vm_��� * V1 � �W_/�m 8W Error! No text of specified style in document.----218218218218 1.3.4.3 Modelo M/G2/1

Es posible aplicar el modelo M/G/1 con una distribución de tiempos de servicio que

tome en cuenta la dependencia entre las llegadas prioritarias y las llegadas de vehículos

aislados. Sin embargo, el modelo M/G/1 supone que tiempos de servicios consecutivos

son independientes, por ejemplo que una secuencia de tiempos de servicios para

vehículos en cola y aislaos siguen una distribución geométrica. La distribución de

tiempos de servicios tras las probabilidades de transición αi y βi son iguales. Al asignar

tiempos de servicio a clientes en el modelo M/G/1, no se hace distinción entre vehículos

en cola y aislados.

Yeo (1962) presenta un modelo modificado, M/G2/1, el cual asigna tiempos de

servicio Sq a clientes en cola y Se a clientes aislados. La matriz de transición de

Page 63: Parametros intersecciones

probabilidades de un paso esta dada por la ecuación i � �����Þ\Ë\00

Þ�Ë�Ë\0 ޸˸Ë�Ë\

!!!!"#$$$%

Error! No text of specified style in document.-193 y las probabilidades de

transición siguen la ecuación Þ� � Z �h&�ã�! I3h&Om�P�HP\ Error! No text of

specified style in document.-194. EL tiempo promedio de espera en cola es (Yeo

1962):

@Ä,¸,- � �hV��d��£½ zV�3�£Wd���½ W¸��3��V�z��3�£W � Error! No text of specified style in document.----219219219219 Esta ecuación difiere de la ecuación CCC en el factor V1 * m � �W3�

. Cuando los

tiempos de servicio promedio para vehículos en cola y aislado son iguales, se cumple

que m � �, y el modelo M/G2/1 se reduce a un modelo M/G/1.

El tiempo de espera promedio del sistema es:

@Ä,¸,� � � Å * @Ä,¸,- � �Å�z o½�«n2�V��d��£½ zV�3�£Wd���½ W

V�z��3�£W Error! No text of specified style in document.----220220220220 Yeo & Weesakul (1964) han usado un modelo M/G2/1 para el análisis de demoras en

intersecciones prioritarias.

En un sistema de colas M/G/1 la distribución del largo de colas en el tiempo de

cumplimiento del tiempo de servicio es equivalente a la distribución del tamaño de la

cola en cualquier momento. Heidemann (1991) ha mostrado que un sistema M/G2/1

también cumple esta propiedad. Así mismo, demostró que la fórmula de Little se puede

aplicar a un sistema M/G2/1.

1.3.5 Demora en condiciones transitorias

Los modelos discutidos arriba asumen condiciones estado estacionario. Se asume que

todas las condiciones permanecen similares, sólo con variaciones aleatorias, durante el

período de análisis, y que condiciones tempranas (como el período peak) no tienen

efecto en el período de análisis. Sin embargo, las condiciones durante el período de

análisis son usualmente transitorias, debido:

Page 64: Parametros intersecciones

• Flujo, y otras condiciones, cambiando en el tiempo.

• El sistema no puede alcanzar equilibrio debido a que los flujos exceden la

capacidad, y/o

• Condiciones predecesoras puede mantener sus efectos en la performance del

sistema.

Durante un periodo transitorio las medidas de performance del sistema dependen del

tiempo.

Los parámetros, tales como los flujos, de los modelos son usualmente entregados en

términos de promedios durante el período de análisis. Debido a que la demora no es una

función lineal con los flujos, sino que incrementa rápidamente ante flujos altos. El uso

de parámetros promedios en condiciones de transición genera resultados viciados. El

análisis debiera ser realizado para varios períodos cortos, describiendo los flujos con

una función escalonada, y con una correcta consideración de las colas iniciales.

Cuando las condiciones son estables, pero han cambiado recientemente, toma un

tiempo antes que el efecto de las condiciones iniciales se vuelvan negligentes.

Condiciones de estado estacionario sólo se logran después de la fase transitoria. Por

ejemplo, después del período peak, cuando los flujos han disminuido, toma tiempo

antes de que las colas alcancen equilibrio. Además, durante el período peak toma

tiempo que las colas lleguen a un estado de equilibrio.

Morse (1958) ha estimado el “tiempo de relajación” de un sistema de cola con un

canal exponencial y capacidad de almacenamiento infinita como V√� � ��W3¸. Cuando

los flujos se acercan a la capacidad, el tiempo de relajación se acerca a infinito. Si los

flujos superan la capacidad, las colas se incrementan constantemente, y por consiguiente

no se alcanza un equilibrio.

Aparentemente sistemas sobresaturados se encuentran en un estado transitorio. Para

grados de saturación menores a la unidad el tiempo de relajación es probable que se

extienda sobre el período de análisis. Por lo tanto, un análisis transitorio es necesario

cuando se tengan condiciones cambiantes durante el período de análisis y/o si el radio

D/C es cercano o mayor a uno.

Page 65: Parametros intersecciones

1.3.5.1 Condiciones de sobresaturación

Si la tasa de llegadas excede a la capacidad, la intersección estará sobresaturada. El

número esperado de arribos durante un período es A(τ) = q τ. La tasa promedio de

partidas es igual a la capacidad C, por lo tanto D(τ) = C(τ) = C τ, asumiendo una

capacidad constante durante el período de sobresaturación.

Si el tamaño de la cola al inicio del período es L(0), la cola al final del período es

L(τ) = L(0) + A(τ) - D(τ). Debido a que en condiciones de sobresaturación A(τ) > D(τ),

el sistema no está en equilibrio, y el largo de la cola crece constantemente.

El área entre las curvas de A(τ) y D(τ) es la demora desbordada. Este modelo ignora

los tiempos de servicios y las componentes estocásticas de la demora. Cuando las colas

son largas, la magnitud de las discontinuidades es pequeña en relación al valor

promedio.

Para estimar la demora desbordada sólo es necesario saber la cola inicial, la tasa de

llegadas q, la capacidad C, y el largo del período de observación.

La cola desbordad es:

0\�τ� � L�0� * A�τ� � C�τ� Error! No text of specified style in document.----221221221221 Asumiendo que las condiciones de desborde continúan sobre todo el intervalo de

tiempo:

6P á �0, τ8: L�0� * A�u� * C�u� j 0 Error! No text of specified style in document.----222222222222 Si el período de desborde empieza al principio del período de análisis y no se tiene

cola inicial, entonces 0\�τ� � A�τ� � C�τ�. Para una tasa constante de llegadas y

capacidad la cola desbordada es 0\�τ� � τ�q � C� � Cτ�1 � ρ�. Si la cola desbordada

en el tiempo τ�es L\�τ��, la cola desbordada en el período τ¸ j τ�es:

0\�τ¸� � L�τ�� * A�τ¸� � A�τ�� � C�τ¸� * C�τ�� � L�τ�� * C�1 � ρ��τ¸ � τ�� Error! No text of specified style in document.----223223223223 La demora desbordada acumulada durante el intervalo [0,τ] es el área entre las

curvadas acumuladas de llegadas y capacidad:

Page 66: Parametros intersecciones

@\�τ� � Z 0\�u�du �8½

¸�q � C� �

8

\

98½

¸�1 � ρ�

Error! No text of specified style in document.----224224224224

Esta demora incluye la demora acumulada hasta τ, esta es la demora 0PQ de C(τ)

vehículos y la demora PQR de A(τ)- C(τ). Si se considera una cola inicial L(0), la

demora acumulada es:

@\�τ� � L�0�τ *98½

¸�1 � ρ�

Error! No text of specified style in document.----225225225225

Figura Error! No text of specified style in document.-7: Demora desbordada basada en “queue sampling”

La demora incluye la demora sufrida por vehículos en la cola inicial desbordada, y

excluye las demoras incurridas después de τ (kimber & Hollis 1979). La cola inicial

captura toda la información relevante acerca de la historia del sistema (Heidemann

2002). Por lo tanto, las demoras acumuladas basadas en las colas son aditivas: τ1 < τ2 <

τ3: W0(τ1, τ3) = W0(τ1, τ2) + W0(τ2, τ3). Debido a que las demoras están basadas en

mediciones de largos de colas, este método es llamado “queue-sampling method”.

Demoras estimadas en base a la medición de demoras individuales para cada conductor

es llamado “path-trace method” (Rouphail & Akcelik 1992).

La demora desbordada por vehículo estimada con el primer método se obtiene al

dividir la demora desbordada acumulada pro el número de partidas Cτ:

Q

t

N° vehículos

Tiempo

P

R A(t)

C(t)

0

Llegadas

Capacidad

Page 67: Parametros intersecciones

@Ä\�τ� � :¡�8�<8� ;�\�

9* 8¸ �1 � ρ� Error! No text of specified style in document.----226226226226

El método sobrestima la demora desbordad promedio, debido a que incluye la

demora POQR. El tiempo de espera promedio determinístico en el sistema bajo

condiciones de sobresaturación se obtiene como la suma del tiempo promedio de

servicio y la demora promedio desbordada (Troutbeck 2000).

@Ä4,��τ� � �9 * @Ä\�τ� � �9 * ;�\�9 * 8 �1 � ρ� Error! No text of specified style in document.----227227227227 1.3.5.2 Demora en Periodo Peak

En condicione de sobresaturación las colas crecen constantemente, y el sistema no

alcanza el equilibrio. En el extremo, después de un tiempo infinito, se tendrá una cola de

largo infinito. El análisis de condiciones de equilibrio es aparentemente irrealizable,

cuando el sistema esta sobresaturado. Sobresaturaciones severas tienen un efecto en la

demanda de tráfico, debido a la reasignación de parte del tráfico con el propósito de

evadir la sobresaturación. Debido a esto, la sobresaturación es un fenómeno que dura

por un tiempo limitado (Neuburger 1972, Yagar 1977).

La discusión de arriba provee de herramientas para el análisis de la sobresaturación

durante períodos peak. En orden de poder estimar la demora durante el periodo peak es

necesario conocer el máximo flujo y la forma de la demanda. May & Keller (1967)

sugieren una forma triangular o de trapezoide para los patrones de demanda. Kimber &

Hollis (1978) definen un patrón de baja-definición (rectangular) y uno de alta-

definición.

Se asume un patrón rectangular de demanda con un peak qp > C que dura por τp,

después del cual el flujo decrece a q < C. El tiempo (0, τp] es el período peak. No se

tiene cola inicial, L(0)=0, en el sistema. Durante el período peak la cola desbordada

crece a una tasa de C(ρp-1) y alcanza su máximo L0(τp) = Cτp(ρb-1), en que ρp = qp/C > 1

es el radio D/C durante el período peak. Después de τp el largo de cola decae a C(ρ-1),

donde ρ < 1 es el radio D/C después del período peak. De esta manera, la cola

desbordada es:

Page 68: Parametros intersecciones

0\�Ó� � U Cτ�ρ¨ � 1� �� 0 t Ó � Ó�0\VÓ�W � �VÓ � Ó�W�1 � ρ� �� Ó� t Ó � Ó\ R

Error! No text of specified style in document.----228228228228 En que Ó\ es el tiempo en que términa el periodo de flujo desbordado, es decir

cuando la cola desbordada se acaba:

0\�Ó\� � 0\VÓ�W � �VÓ\ � Ó�W�1 � ρ� � 0 Error! No text of specified style in document.----229229229229 EL largo del período de flujo desbordado esta determinado por el largo del período

peak y el radio D/C durante y después del período peak (Kimber & Hollis 1978):

Ó\ � Ó� * <�Ô��<��3=� � �=ª3=�Ô���3=� Error! No text of specified style in document.----230230230230 Este resultado puede ser obtenido de manera más directa al relacionar el número de

vehículos desbordados con la capacidad durante el intervalo de tiempo (0,τ0] (Rouphail

& Akcelik 1992):

�Ó\ � ��Ó� * ��Ó\ � Ó�� Error! No text of specified style in document.----231231231231

Figura Error! No text of specified style in document.-8: Demora desbordada causada

por patrón triangular del flujo peak

La demora desbordada acumulada es el área del triangulo de la Figura Error! No

text of specified style in document.-8 (Kimber & Hollis 1978):

@\�τ\� � Z 0\�P�HP8¡\ � 98ª½ �=ª3���=ª3=�¸��3=� Error! No text of specified style in document.----232232232232

Llegadas

Capacidad

τp

N° vehículos

Tiempo 0 τ0

Page 69: Parametros intersecciones

Dado que el decrecimiento y crecimiento es de manera lineal durante el intervalo

(0,τ0], es la mitad del máximo largo de cola, la demora se puede expresar como:

@\�τ\� � 8¡ 0\VÓ�W Error! No text of specified style in document.----233233233233 Debido a que la demora incluye el area total del triangulo, los resultados de los

métodos “path-trace” y “queue-sampling” concuerdan, y la irregularidad en la demora

desbordada promedio desaparece.

La demora desbordada promedio pro vehículo es obtenida al dividir la demora

desbordada acumulada con el número de vehículos que experimentan esta demora

(Cτ\):

@Ä\ � :¡�8¡�98¡ � ;¡V8ªW¸9

� 8ª Vρ¨ � 1W Error! No text of specified style in document.----234234234234 El mismo resultado puede ser obtenido por la fórmula de Little, en el que se sostiene

que la cola promedio es igual al producto del tiempo de espera promedio y la tasa de

llegadas. Debido a que durante el intervalo (0,τ0] el largo de cola promedio es

0Á\VÓ�W 2⁄ , t la tasa de llegada es la capacidad, se obtiene:

@\ � ;¡V8ªW¸9

� 8ª¸ Vρ¨ � 1W Error! No text of specified style in document.----235235235235

Esta ecuación es igual a la demora promedio utilizando el método “queue-sampling”

durante el intervalo (0,τp].

La demora desbordada promedio no depende del radio D/C después del peak. Debido

a que la cola promedio desbordada L\Vτ¨W 2⁄ no cambia con ρ, la demora por vehículo

no se incrementa cuando ρ incrementa. Sin embargo el tiempo de demoras promedias

altas se incrementa.

La ecuación CCC entrega la demora desbordada promedio por vehículo durante el

período desbordado (0,τ0]. Kimber & Hollis (1978) han atribuido el exceso de demora a

los vehículo A(τp) = Cρpτp del período peak:

@Ä\ � 8ª�=ª3���=ª3=�¸=ª��3=� Error! No text of specified style in document.----236236236236

Page 70: Parametros intersecciones

Se debe ser cauto, si la demora promedio es usada para estimar la demora desbordada

acumulada.

Usando el método “queue-sampling” la demora acumulada a lo largo de periodos

consecutivos puede ser sumada. Los cálculos debieran considerar las colas iniciales en

el inicio del período de análisis.

1.3.6 Método de transformación coordinada

Usualmente la sobresaturación es un fenómeno de un período peak que dura por un

tiempo limitado de tiempo. Dado lo anterior, las colas no crecen a infinito. Un análisis

del tipo estado estacionario deja de ser representativo para altos grados de saturación.

Para radios D/C considerablemente mayores a la unidad las colas son largas y el

efecto de variaciones aleatorias puede ser ignorado (Yagar 1977). La demora

desbordada promedio se aproxima a la demora desbordada determinísticaW0. Por otro

lado, para radios D/C considerablemente bajos la probabilidad de desborde producido

por variaciones aleatorias es muy pequeña, y los resultados del método de estado

estacionario parecen plausibles. Cuando el radio D/C es cercano a uno la demora

promedio es superior a la demora del modelo de analogía a fluidos pero menor a la del

modelo de estado estacionario (Hurdle 1984).

La naturaleza estocástica del período peak ha sido estudiada analíticamente por Smit

(1971), Newell (1971) y otros. La aproximación de fluidos sugiere cierta analogía a la

teoría de flujos. Haight (1963) utilizó la matriz de transición (cadena de Markov) para

las probabilidades de largos de cola. Sin embargo, el procedimiento más utilizado esta

vasado en la combinación del modelo de estados estacionario y el de sobresaturación

determinística.

La curva de la demora promedio del modelo de estado estacionario se acerca

asintóticamente a la recta ρ = 1. Si se asume que la curva de la demora promedio

dependiente del tiempo debiera acercarse a la curva de la demora desbordada

deterministica, la nueva demora puede obtenerse por medio de una transformación

coordinada sugerida por Kimber et al. (1977) y Catling (1977). Originalmente el

método que aplicado en el programa Transyt (Robertson 1969) por P.D. Whiting.

Page 71: Parametros intersecciones

La diferencia horizontal entre la curva de tiempo de espera tiempo dependiente y la

curva de tiempo de espera determinística es ρD – ρ (Figura Error! No text of specified

style in document.-9). Si la curva tiempo dependiente se acerca asintóticamente a la

curva determinística de la misma manera en que la curva de estado estacionario se

acerca asintóticamente a ρ = 1, entonces la siguiente relación se cumple (Kimber &

Hollis1979):

1 � � � 4 � Error! No text of specified style in document.----237237237237 Donde � y 4 son los grados de saturación dados por el mismo tiempo de espera

promedio de las curvas de los modelos de estado estacionario y determinístico

respectivamente, como también para la curva transformada @Äe para el radio D/C ρ.

Figura Error! No text of specified style in document.-9: Transformación coordinada para el tiempo de espera

El tiempo de espera determinístico promedio del sistema es (Kimber & Hollis 1979):

@Ä4,� � �9 * ;�\�9 * 8 �ρ> � 1� Error! No text of specified style in document.----238238238238 Debido a que esta espera es igual a la espera transformada @Äe,� para el radio D/C ρ,

se obtiene:

ρ> � ¸8 ²@Äe,� � �z;�\�9 ³ * 1 Error! No text of specified style in document.----239239239239

ρn ρ ρD Radio D/C

Espera promedio

Estado Estacionario

Tiempo-Dependiente

Determinístico

1

Page 72: Parametros intersecciones

De esta manera, la ecuación 1 � � � 4 � Error! No text of specified

style in document.-237 puede expresarse como:

8²@Äe,� � �z;�\�9 ³ * � � � 0 Error! No text of specified style in document.----240240240240

El radio D/C equivalente � para el modelo de estado estacionario puede ser

obtenido desde la ecuación del tiempo de espera del estado estacionario. Esta ecuación

debiera describir el tiempo de espera del sistema, incluyendo el tiempo de servicio.

Si el tiempo de espera en estado estacionario es estimado usando un modelo

M/G/1, � puede expresarse como:

� � :Ä ?,+3�<:Ä ?,+3�z� Error! No text of specified style in document.----241241241241 El tiempo de espera dependiente del tiempo en el sistema puede ser resulto a partir de

la siguiente ecuación cuadrática:

¸98 @Äe,�¸ � � ² � 1 * ¸/;�\�z¸3@8<8 ³ @Äe,� * �1 � �� ² * ¸/;�\�z�8<8 ³ � 1 � 0 Error! No text of specified style in document.----242242242242 La solución de esta ecuación es:

@Äe,� � F� * �F� * F¸ Error! No text of specified style in document.----243243243243 En que,

F� � 8õ �ρ � 1� * ;�\�z¸3@¸9 Error! No text of specified style in document.----244244244244 F¸ � 89 ¯1 � �1 � k� ²ρ * ¸/;�\�z�8<8 ³° Error! No text of specified style in document.----245245245245 La solución negativa de la ecuación no tiene significado físico (Kimber & Hollis

1977)

En un sistema M/M/1 sin cola inicial k = 1, L(0), y

� � 1 � �<:Ä ?,+ Error! No text of specified style in document.----246246246246

Page 73: Parametros intersecciones

El tiempo de espera promedio tiempo dependiente del sistema es (Kimber et al.

1977, Troutbeck 2000)

@Äe,� � 8õ �ρ � 1� * �9 * B²8õ �ρ � 1� * �9³¸ * 89 Error! No text of specified style in document.----247247247247

La cual puede ser obtenida directamente por:

@Äe,� � F� * �F� * F¸ Error! No text of specified style in document.----248248248248 En que,

F� � 8õ �ρ � 1� * �9 Error! No text of specified style in document.----249249249249 F¸ � 89 Error! No text of specified style in document.----250250250250 Debido a que ρ - 1 = C-1(q - C), el tiempo de espera promedio puede ser expresado en

términos de la capacidad t la capacidad de reserva.

Si el supuesto 1 � � � 4 � Error! No text of specified style in

document.-237 de diferencias equivalentes entre radios D/C, se reemplaza por el

supuesto de proporciones equivalentes (Heidemann 2002),

� � ��C Error! No text of specified style in document.----251251251251 Se obtiene para un sistema M/M/1 sin cola inicial:

@Äe,� � �< * Ôõ Ðρ � 1 * B�ρ � 1�¸ * ü=98Ò Error! No text of specified style in document.----252252252252

Esta ecuación fue sugerida por Akcelik & Troutbeck (1991), y ha sido adoptada por

HCM2000 (Transportation Research Board 2000) con pequeñas modificaciones.

Le método alemán (FGSV 2001) remarca que el método de transformación

coordinada no es un resultado de un análisis detallado del comportamiento de colas. La

única justificación para el método es que provee una transición suave desde el análisis

del estado estacionario al de tiempo dependiente de una manera en la que se satisface

Page 74: Parametros intersecciones

las ideas intuitivas del fenómeno. Además, el método no considera el largo del proceso

de descarga en el período peak.

Heidemann (2002) ha derivado formulas exactas para la media y varianza de los

largos de cola y tiempos de espera de un sistema M/G/1 bajo condiciones transitorias.

La media y varianza fueron obtenidos a través de métodos numéricos. Se mostró que

estas dependían de la forma de la distribución de tiempos de servicio. Sin embargo, la

aproximación de la transformación coordinada presentado por Kimber & Hollis (1979)

y Akcelik & Troutbeck (1979) obtuvieron resultados bastante similares los resultados

exactos. El método de Kimber & Hollis (1979) tuvo una performance levemente mejor

que el método de Akcelik & Troutbeck (1991).

La ecuación @Äe,� � �< * Ô

õ Ðρ � 1 * B�ρ � 1�¸ * ü=98Ò Error! No text of

specified style in document.-252 entrega el tiempo de espera promedio dependiente del

tiempo en el sistema. Por lo tanto la demora promedio dependiente del tiempo se puede

expresar como:

@Äe � @Äe,� � N� * @´ÁÁÁÁ± Error! No text of specified style in document.----253253253253 En que @´ÁÁÁÁ± es la demora promedio por aceleración.