Parámetros Redundantes para Rotación y Traslación en Cinemática

MotivaciónParámetros de Euler-Rodrigues y Cuaterniones

Proyección Cinemática de StudyAplicaciones

Parámetros Redundantes para Rotación yTraslación en Cinemática

O. Altuzarra, A. Hernández, E. Amezua, V. Petuya

Universidad del País Vasco - Euskal Herriko UnibertsitateaDepartamento de Ingeniería Mecánica, Bilbao

Oscar Altuzarra et al. CNIM, Castellón, Noviembre 2012



Índice

1 Motivación

2 Parámetros de Euler-Rodrigues y Cuaterniones

3 Proyección Cinemática de Study

4 Aplicaciones

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Motivación

Simplificar la Resolución del Problema de Posición

Un desplazamiento euclídeo D se puede expresarcomo la proyección de puntos del sólido pB en R3

sobre el espacio fijo cartesiano R3 (función de 6variables α).

pF = R · pB + d

En coordenadas proyectivas:[pF

1

]=

[R d0T 1

] [pB

1

]Las ecuaciones de lazo en mecanismos serie resultande matrices de transformación:

TFB = TF

1 T12T2

i . . .TjB

Sistemas de ecuaciones no lineales: f (α) = 0

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Representación Convencional de las Rotaciones:Ángulos de Euler

La forma matemática de la matriz de rotación es laque más afecta a la complejidad del sistema deecuaciones resultante.

El uso de Ángulos de Euler o similares generasistemas de ecuaciones con funciones trascendentes.

La resolución numérica es posible, no así laalgebraica.

Ángulos de Euler

RFB = Rw,ψRu,θRw,ϕ

=

[cϕcψ − cθsϕsψ −sϕcψ − cθcϕsψ sθsψcϕsψ + cθsϕcψ −sϕsψ + cθcϕcψ −sθcψ

sθsϕ sθcϕ cθ

]

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Parámetros de Euler-Rodrigues (1840)

A partir del Teorema de Euler.

Los Parámetros de Euler-Rodrigues (1840) sedefinen como:

- e0 = cos φ2

- e =[

e1 e2 e3]T

= u sin φ2

Siendo u la dirección de una recta en el sólido yφ el ángulo de rotación alrededor de esa línea.

Y deben verificar esta ecuación denormalización:

e20 + e2

1 + e22 + e2

3 = 1

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Matriz de Rotación usando los Parámetros deEuler-Rodrigues

La fórmula de rotación de Rodrigues proporciona la matriz de rotación:

R =(e2

0 − eT e)

I + 2eeT + 2e0E

donde:

E =

[0 −e3 e2

e3 0 −e1

−e2 e1 0

]

Matriz de rotación

R =

[e2

0 + e21 − e2

2 − e23 2(e1e2 − e0e3) 2(e0e2 + e1e3)

2(e1e2 + e0e3) e20 − e2

1 + e22 − e2

3 2(e2e3 − e0e1)

2(−e0e2 + e1e3) 2(e2e3 + e0e1) e20 − e2

1 − e22 + e2

3

]

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Cuaterniones para representar rotaciones (1843)

Hamilton descubrió los cuaterniones al tratar deextender los números complejos a dimensionessuperiores.

Se emplean en control de orientación enrobótica, en astronomía, en aplicacionesinformáticas...

Un cuaternión q es una magnitud formada porun escalar q0 y un vector q:

q =[

q0 q1 q2 q3]

= q0 + q

Si q es un cuaternión unitario, los cuatroescalares qi corresponden a los parámetros deEuler-Rodrigues ei cumpliendo:e2

0 + e21 + e2

2 + e23 = 1

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Rotaciones usando Cuaterniones

La rotación de un vector rP se realiza mediante la multiplicación decuaterniones:

rF = e · rP · e∗

donde:

e =[

e0 e1 e2 e3]

rP =[

0 r1 r2 r3]

e∗ =[

e0 −e1 −e2 −e3]

Requieren menos números y operaciones, menor necesidad dealmacenamiento en memoria, se evita la propagación de erroresnuméricos.

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Cuaterniones Duales (1873)

La extensión de los trabajos de Hamilton larealizó Clifford al proponer los bicuaterniones(1873).

Un tipo de bicuaterniones son los cuaternionesduales t :

t = x + εy

donde x e y son cuaterniones:

x =[

x0 x1 x2 x3]

y =[

y0 y1 y2 y3]

y ε2 = 0 es el número dual.

Los ocho parámetros reales xi e yi permitendefinir movimientos espaciales pero requierendos ecuaciones de normalización.

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Bicuaterniones de Study (1901)

Study propone un espacio 7-dimensional a partirde los cuaterniones duales de Clifford (1891).

Se trata de la proyección κ de un elemento D delgrupo de los desplazamientos Euclídeos SE(3)sobre un espacio proyectivo 7-dimensional P7.

Esta función asocia a cada desplazamientoEuclídeo D un punto x en el espacio proyectivoreal P7.

El punto en P7 se establece con el vectorhomogéneo x = [x0 : x1 : x2 : x3 : y0 : y1 : y2 : y3]

En terminología moderna:x = [x0 : x1 : x2 : x3 : y0 : y1 : y2 : y3]

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Ecuaciones de normalización

Los escalares reales [x0 : . . . : y3] que definen los puntos en P7 debencumplir la denominada Cuádrica de Study S2

6 :

x0y0 + x1y1 + x2y2 + x3y3 = 0

Y que los xi no sean simultáneamente nulos. Por lo tanto se debeincluir una ecuación de normalización que se aplica a los parámetrosde rotación:

x0 = 1

x20 + x2

1 + x22 + x2

3 = 1

A esos ocho parámetros [x0 : x1 : x2 : x3 : y0 : y1 : y2 : y3] se lesdenomina parámetros de Study

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Matriz de Transformación

Matriz de Transformación con los parámetros de Study

TFB =

1∆

x20 + x2

1 − x22 − x2

3 2(x1x2 − x0x3) 2(x1x3 + x0x2) p2(x1x2 + x0x3) x2

0 − x21 + x2

2 − x23 2(x2x3 − x0x1) q

2(x1x3 − x0x2) 2(x2x3 + x0x1) x20 − x2

1 − x22 + x2

3 r0 0 0 ∆

donde

p = 2(−x0y1 + x1y0 − x2y3 + x3y2)

q = 2(−x0y2 + x1y3 + x2y0 − x3y1)

r = 2(−x0y3 − x1y2 + x2y1 + x3y0)

y

∆ = x20 + x2

1 + x22 + x2

3

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Cinemática Plana

En el caso de movimiento plano, la función κ proyecta losdesplazamientos Euclídeos Planos D ∈ SE2 sobre el espacioproyectivo P3.

Los parámetros x1 y x2 son nulos por ser las rotaciones en el eje Z(u = [0, 0, 1]).

Los parámetros y0 e y3 son nulos por ser las traslaciones en XY (r = 0).

Así resulta que:

κ : SE2 7→ P3

D 7→ κ (D) = [x0 : x3 : y1 : y2]

La cuádrica de Study se verifica porque x1 = x2 = y0 = y3 = 0:

x0y0 + x1y1 + x2y2 + x3y3 = 0

Para que los xi no sean simultáneamente nulos se debe incluir laecuación de normalización: x0 = 1 o x2

0 + x23 = 1 u otra.

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Desplazamientos en el Plano en CoordenadasHomogéneas

[XYC

]=

[cosφ − sinφ asinφ cosφ b

0 0 1

][xy1

]

Matriz de Transformación con Parámetros de Study[XYC

]=

1x2

0 + x23

[x2

0 − x23 −2x0x3 2(−x0y1 + x3y2)

2x0x3 x20 − x2

3 2(−x0y2 − x3y1)

0 0 x20 + x2

3

][xy1

]

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Relaciones entre Parámetros de Study y Cartesianos

Con la ecuación de normalización x20 + x2

3 = 1:

x0 = cosφ

2

x3 = sinφ

2

y1 = −a

2cos

φ

2−

b

2sin

φ

2

y2 =a

2sin

φ

2−

b

2cos

φ

2

Con la ecuación de normalización x0 = 1:

x0 = 1

x3 = tanφ

2

y1 = −a

2−

b

2tan

φ

2

y2 =a

2tan

φ

2−

b

2

tanφ

2=

x3

x0

a =2 (−x0y1 + x3y2)

x20

+ x23

b =2 (−x0y2 − x3y1)

x20

+ x23

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Cuadrilátero Articulado. Ecuaciones de RestricciónEcuación de normalización: x0 = 1

(XB1

)2+(

YB1

)2− (r1)2 = 0[

XB1YB11

]=

1x2

0 + x23

[x2

0 − x23 −2x0x3 2(−x0y1 + x3y2)

2x0x3 x20 − x2

3 2(−x0y2 − x3y1)

0 0 x20 + x2

3

][h01

]

Ecuación de Restricción para la barra r1

[4(

y21 + y2

2

)+ 4h (y1 + x3y2) +

(h2 − r2

1

) (1 + x2

3

)]= 0

Ecuación de Restricción para la barra r2

[4(

y21 + y2

2

)+ 4H (−y1 + x3y2) +

(H2 − r2

2

) (1 + x2

3

)]= 0

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Cuadrilátero Articulado. Espacio Imagen

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Cuadrilátero Articulado. Problema de Posición

Ecuación de Entrada en la barra r1

YB1

XB1

=h(2x3) + 2(−y2 − x3y1)

h(1 − x23 ) + 2(−y1 + x3y2)

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3RPR. Ecuaciones

Ecuación de Restricción para la entrada r1

[4(

y21 + y2

2

)+ 4h (y1 + x3y2) +

(h2 − r2

1

) (1 + x2

3

)]= 0


[4(

y21 + y2

2

)+ 4H (−y1 + x3y2) +

(H2 − r2

2

) (1 + x2

3

)]= 0


4(

y21 + y2

2

)+ 4h (x3y1 − y2) + 4H (−y1 + x3y2) −

−4L (−y2 − x3y1) − 4Hhx3 − 2Lh(

1 − x23

)+

+(

H2 + L2 + h2 − r23

) (1 + x2

3

)= 0

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3RPR. Ecuaciones de Restricción

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3RPR. Superficie Singularidad DKP

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Conclusiones

1 El empleo de los parámetros de Study tieneuna alta potencialidad en el campo de laCinemática Computacional.

2 Es factible generar sistemáticamenteecuaciones de restricción expresadas enforma polinómica.

3 Estos sistemas de ecuaciones polinómicosson susceptibles de ser resueltosnuméricamente de forma muy eficiente.

4 También es factible la aplicación de métodosde resolución de todas las soluciones deforma sistemática.

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