Parábolas

Son de la forma y=ax2+bx+c

Las parábolas son la representación gráfica de las ecuaciones de segundo grado.

En la imagen tenéis la parábola y=x²

Parábolas

Una parábola puede tener sus ramas hacia arriba. Eso es porque el coeficiente que acompaña a x², que es a, es positivo

y=ax2+bx+c

a>0

Parábolas

Una parábola puede tener también sus ramas hacia abajo. Eso es porque el coeficiente que acompaña a x², que es a, es negativo

y=ax2+bx+c

a

Parábolas - Vértice

Si la parábola tiene sus ramas hacia abajo, entonces tiene un máximo, que es a la vez relativo y absoluto.

y=ax2+bx+c

Si la parábola tiene sus ramas hacia arriba, entonces tiene un mínimo, que es a la vez relativo y absoluto.

Ese punto se llama

VÉRTICE

Las parábolas son siempre CONTINUAS.Su dominio es el conjunto de los números reales ℝ

Parábolas - Vértice y=ax2+bx+cEl vértice es un punto del plano y, por tanto, tiene dos coordenadas.

v x=−b2a

Su coordenada en x se calcula aplicando la fórmula:

La coordenada en y se calcula sustituyendo el valor que se obtiene en la fórmula anterior en la ecuación de la parábola

v y=a· vx2+b·v x+c

Parábolas - Vértice y=ax2+bx+cEjemplo: Vamos a calcular el vértice de la parábola

v x=5

2 ·1=5

2

Su coordenada en x se calcula aplicando la fórmula:

La coordenada en y se calcula sustituyendo el valor que se obtiene en la fórmula anterior en las “x” ecuación de la parábola.

v y=52

2

−5 · 52+6=25

4−25

2+6

y=x2−5 x+6

254

−504

+ 244

=−504

+ 494

=−14

=

=

v x=−b2a

ATENCIÓN: -b significa que al coeficiente b le cambiamos el signo según está en la ecuación de la parábola.

Parábolas - Vértice y=ax2+bx+cLuego las coordenadas del vértice son

(52,−1

4)

Parábolas – Puntos de corteUna parábola puede cortar al eje X en dos, uno, o ningún punto

y=ax2+bx+c

Dos puntos de corte Un punto de corte No corta al eje X

En este caso, la parábola se puede escribir como identidad notable

Parábolas – Puntos de cortePara calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación de segundo grado asociada a la parábola:

y=ax2+bx+c

Parábola: y=x2−5 x+6 Ecuación: x2−5 x+6=0

Recuerda la fórmula para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado:

En nuestro ejemplo, los puntos de corte con el eje X son:

x=5±√(−5)2−4 ·1 ·6

2=5±√25−24

2=5±√1

25±1

2

x=2

x=3

¡¡¡RECUERDA!!!: Los puntos de corte con el eje x tienen la coordenada y=0.

PC1(2,0)

PC2(3,0)

Parábolas – Puntos de corte y=ax2+bx+cParábola: y=x2−5 x+6 Ecuación: x2−5 x+6=0

En nuestro ejemplo, los puntos de corte con eje X son:

x=5±√(−5)2−4 ·1 ·6

2=5±√25−24

2=5±√1

25±1

2

x=2

x=3

PC1(2,0)

PC2(3,0)

Parábolas - RepresentaciónPara representar una parábola, debemos conocer tres puntos. Si conocemos el vértice y los puntos de corte con el eje X ya la podemos trazar

y=ax2+bx+c

Parábolas - RepresentaciónPara representar una parábola, debemos conocer tres puntos. Si conocemos el vértice y los puntos de corte con el eje X ya la podemos trazar

y=ax2+bx+c

Parábolas - RepresentaciónSi no podemos encontrar los puntos de corte con el eje X, o sólo hay uno, tomaremos un valor a izquierda y derecha del vértice. Veamos un ejemplo:

y=ax2+bx+c

y=x2+2 x+2

Calculemos el vértice. Recuerda que siempre existe.

v x=−b2a

v x=−22 ·1

=−1

v y=(−1)2+2 ·(−1)+2=1−2+2=1

Luego el vértice es (-1,1)

Parábolas – Representación

Para calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación de segundo grado asociada a la parábola:

y=ax2+bx+c

Parábola: y=x2+2 x+2 Ecuación: x2+2 x+2=0

Recuerda la fórmula para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado:

Calculemos los puntos de corte con el eje X:

x=−2±√(2)2−4 ·1 ·2

2=−2±√4−8

2=5±√−4

2=∄

¡¡¡No hay puntos de corte!!! La ecuación de segundo grado no tiene solución

Parábolas – Representación

Cuando no hay puntos de corte con el eje X, tomamos un valor a izquierda y derecha de la coordenada en x del vértice:

y=ax2+bx+c

Parábola: y=x2+2 x+2Vértice: (-1,1) Coordenada en x del vértice = -1

Valor a la izquierda x=-3

Valor a la derecha x=1

X Y

-3

1

Calculamos el valor de y para los de x dados sustituyendo en la ecuación de la parábola

12+2 ·1+2=1+2+2=5

(−3)2+2 ·(−3)+2=9−6+2=5NOTA: Si tomamos valores a la misma distancia de la coordenada x del vértice, obtenemos el mismo valor de y. Eso es porque las parábolas son simétricas.

Parábolas – Representación

Con todo lo anterior, ya tenemos 3 puntos para representar la parábola:

y=ax2+bx+c

Parábola: y=x2+2 x+2

X Y-1 1

-3 5

1 4

Diapositiva 1Diapositiva 2Diapositiva 3Diapositiva 4Diapositiva 5Diapositiva 6Diapositiva 7Diapositiva 8Diapositiva 9Diapositiva 10Diapositiva 11Diapositiva 12Diapositiva 13Diapositiva 14Diapositiva 15Diapositiva 16