Parcial2 Isi 2010
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UNIVERSIDAD TECNOL ´ OGICA NACIONAL F acult ad Regional Rosario Dep artamento de Matem´ atica ´ Algebra y Geometr ´ ıa Anal ´ ıtica - I. S. I. Segunda Ev aluaci ´ on P arcial - Vierne s 24 de septie mbre de 2010 - T1 Apellido y Nombre: Legajo: 1. Consi dere el siste ma lineal A # » x = # » b , donde A es una matriz cuadrada de orden 3. Deter- mine la veracidad de las siguientes afirmaciones, justificando la respuesta. a ) Si det A = 0, entonces el sistema tiene soluci´ on ´ unica cualquiera sea el vector # » b . b) Si # » x = # » 0 entonces # » b = # » 0 . c ) Si # » b = # » 0 y A es inversible, entonces # » x = # » 0. d ) Si det A = 0, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. 2. Considere el sistema de ecuaciones lineal es x + 3y + z = α, −x + y + αz = −1, 2x + αy − z = α + 1, en las variables x, y, z. Determine los valores de α de manera que a ) el siste ma admita solu ci´ on ´ unica. b) el sistema admit a infinitas soluci ones. c ) el sistema no admita solucion es. 3. a ) Resue lv a si es posible, la siguiente ecuaci´ on matrici al: AXA t = 2B, donde A = 0 1 −1 1 1 2 0 1 1 y B = Adj (A) . b) Calcu le, de ser posi ble, det A −1 , det(2A), det A t , donde A es la matriz del apartado anterior. 4. Demuestre que si A es una matriz cuadrada no nula de orden n y A 2 = A, entonces det A = 0 o det A = 1. 5. Si det a b c d e f g h i = 7, determine a ) det a b c −d −e −f a + g b + h c + i b ) det d e f a b c 3g 3h 3i c ) det g h i a b c d e f
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFacultad Regional RosarioDepartamento de Matematica
Algebra y Geometra Analtica - I. S. I.
Segunda Evaluacion Parcial - Viernes 24 de septiembre de 2010 - T1
Apellido y Nombre: Legajo:
1. Considere el sistema lineal A #x =#
b , donde A es una matriz cuadrada de orden 3. Deter-mine la veracidad de las siguientes afirmaciones, justificando la respuesta.
a) Si detA 6= 0, entonces el sistema tiene solucion unica cualquiera sea el vector #b .b) Si #x =
#0 entonces
#
b =#0 .
c) Si#
b =#0 y A es inversible, entonces #x =
#0 .
d) Si detA = 0, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
2. Considere el sistema de ecuaciones linealesx+ 3y + z = ,
x+ y + z = 1,2x+ y z = + 1,
en las variables x, y, z. Determine los valores de de manera que
a) el sistema admita solucion unica.
b) el sistema admita infinitas soluciones.
c) el sistema no admita soluciones.
3. a) Resuelva si es posible, la siguiente ecuacion matricial: AXAt = 2B, donde
A =
0 1 11 1 20 1 1
y B = Adj (A) .b) Calcule, de ser posible, detA1, det (2A), det
(At), donde A es la matriz del apartado
anterior.
4. Demuestre que si A es una matriz cuadrada no nula de orden n y A2 = A, entoncesdetA = 0 o detA = 1.
5. Si det
a b cd e fg h i
= 7, determine
a) det
a b cd e fa+ g b+ h c+ i
b) det d e fa b c
3g 3h 3i
c) detg h ia b cd e f
