Parte 2 - Tematica _ Situación Problema
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8/17/2019 Parte 2 - Tematica _ Situación Problema
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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA
Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes
respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer lascaracterísticas del problema que se ha planteado y buscar el método de
solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de orden
superior:
Problema 1
Una masa que pesa lb! estira un resorte " pulgadas al llegar al reposo en
equilibrio y se le aplica una velocidad de √ 2 pies#seg dirigida hacia
aba$o% &espreciando todas las fuerzas de amortiguación o e'ternas que
puedan estar presentes! determine la ecuación de movimiento de la masa
$unto con su amplitud! periodo y frecuencia natural% (uánto tiempo
transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de
equilibrio)
Solución
*nunciado: *l movimiento de un sistema masa+resorte con amortiguación
está regido por la ecuación diferencial%
*l e$ercicio nos pide hallar el tiempo que se demora el resorte en quedar
de nuevo en su posición de equilibrio! luego de que se de$a caer la masa y
se comienza a generar las oscilaciones del resorte%
,ara un caso normal del movimiento de un sistema masa+resorte! se utiliza
la siguiente formula:
d2 x
dt 2 +b
dx
dt +25 x=0
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8/17/2019 Parte 2 - Tematica _ Situación Problema
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,ero como en nuestro caso el sistemas masa+resorte no tiene
amortiguación si no que tenemos un caso de vibración simple%
,ara esto utilizamos la ecuación
d2 x
dt 2 +
dx
dt x=0
Solución general
x ( t )=c1cos(√ k m t )+c2cos(√ k m t ) . c1. c2 ER
,ara encontrar - observamos que la masa de lb! estira el resorte "
pulgadas o . pie% *mpleando la ley de /oo-e%
0a forma más común de representar matemáticamente la 0ey de /oo-e es
mediante la ecuación del muelle o resorte! donde se relaciona la fuerza
F e$ercida por el resorte con la elongación o alargamiento δ
provocado por la fuerza e'terna aplicada al e'tremo del mismo%
F =− Kδ
*ntonces:
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4=mg=k 1
4
0o que implica k =16 lb / pie como g=32 pie /seg2
, se tiene que
m= 4
32=1
8slug
y por lo tanto
√ k
m 1 √16
1
8
1 8√ 2
0uego: x (t )=c1 cos (8√ 2t )+c2cos (8√ 2t )
2mponiendo nuestras condiciones inicial son: x (0 )=3 pulgadas=
1
4 pie
y
x (0 )=√ 2 pie/seg
3enemos que:
1
4= x (0 )=c
1
2
√ 2= x (0 )=8√ 2c2
0o que implica quec1=
1
4 y c
2=
1
8 por consiguiente la ecuación del
movimiento de la masa es:
x(t
)=
1
4
cos
(8√ 2 t
)+
1
8
sen(8√ 2 t
)
,ara e'presar la solución en forma senoidal hacemos
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A=√ c 12+c22=√
5
8tan (∅ )=
c1
c2=2
*ntonces:
x (t )=√ 5
8
sen (8√ 2 t +∅ )
&onde! ∅=arctan (2 )=1.107
,or lo tanto! la amplitud es A=√ 5
8 ! el periodo esT =
π
8√ 2=
π
4 √ 2 y la
frecuencia natural es F =4√ 2
π finalmente el tiempo t que transcurre desde
que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio verifica
8√ 2t +∅=π ! lo que implicat =
π −∅
8√ 2=0,179
&e esta manera obtenemos que el tiempo que tardara el resorte en llegar a
su posición de equilibrio nuevamente será de: t =0179