Parte 8. Ecuaciones diferenciales ordinarias...Introducci´on a las ecuaciones diferenciales...

Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor

Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion

Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno

Resumen

Parte 8. Ecuaciones diferenciales ordinarias

Gustavo Montero

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversidad de Las Palmas de Gran Canaria

Curso 2004-2005




Resumen

1 Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias

2 Metodos de Taylor

3 Metodos de Runge-Kutta

4 Metodos de prediccion-correccion

5 Metodos adaptativos de paso variable

6 El problema de contorno

7 Resumen




Resumen

El problema del valor inicial


2 Metodos de Taylor





7 Resumen




Resumen



Planteamiento del problemaSea la ecuacion diferencial

y′ = f (x, y), x ∈ [x0, x0 + a]

con la condicion inicial y(x0) = η.Supondremos que se cumple la condicion de existencia y unicidad de la solucion:

f es continua en [x0, x0 + a]× R

Condicion de Lipschitz en y

f (x, y)− f (x, y∗) ≤ L

y − y∗ ∀x ∈ [x0, x0 + a] , ∀y, y∗ ∈ R, con L ≥ 0

Los metodos mas utilizados son los de discretizacion, en los que se obtiene el valor de la solucion en unos puntosdeterminados, generalmente equidistantes,

xi = x0 + i h, con h =a

n, i = 0, 1, . . . , n




Resumen



Planteamiento del problemaSea la ecuacion diferencial

y′ = f (x, y), x ∈ [x0, x0 + a]

con la condicion inicial y(x0) = η.Supondremos que se cumple la condicion de existencia y unicidad de la solucion:

f es continua en [x0, x0 + a]× R

Condicion de Lipschitz en y

f (x, y)− f (x, y∗) ≤ L

y − y∗ ∀x ∈ [x0, x0 + a] , ∀y, y∗ ∈ R, con L ≥ 0

Los metodos mas utilizados son los de discretizacion, en los que se obtiene el valor de la solucion en unos puntosdeterminados, generalmente equidistantes,

xi = x0 + i h, con h =a

n, i = 0, 1, . . . , n

Clasificacion de los metodosSi yi+k se obtiene en funcion de las k soluciones anteriores (yi , . . . , yi+k−1), el metodo se denomina de k pasos.Dentro de los metodos de 1 paso,

Si yi+1 = Ωi (yi ), i = 0, 1, . . . , n − 1, el metodo es explıcito

Si Ωi (yi+1, yi ) = 0, hay que resolver una ecuacion para cada i = 0, 1, . . . , n − 1 (metodo implıcito)




Resumen

Metodo de EulerMetodo de Taylor de orden n


2 Metodos de Taylor





7 Resumen




Resumen


Metodo de Euler

AlgoritmoUtilizando el desarrollo de Taylor hasta la primera derivada se obtiene,

yi+1 = yi + h y′(xi ), i = 0, 1, . . . , n − 1

y0 = η

sustituyendo la derivada segun la ecuacion diferencial,

yi+1 = yi + h f (xi , yi ), i = 0, 1, . . . , n − 1

y0 = η

Error local de orden O(h2) y global de O(h).




Resumen


Metodo de Euler

Conceptos preliminares

Si g es una funcion continua en el intervalo cerrado y acotado [x0, x0 + a], dado δ > 0 cualquiera, seconoce como modulo de continuidad de la funcion g para δ a la cantidad,

ω(δ, g) = maxg(x)− g(x∗)

, x, x∗ ∈ [x0, x0 + a] ,x − x∗

≤ δ

Para toda funcion g continua en [x0, x0 + a] se verifica,

limδ→0

ω(δ, g) = 0

Si una sucesion an de numeros reales no negativos verifica ∀n ≥ 0, an+1 ≤ (1 + A)an + B, conA ≥ 0, B ≥ 0 constantes independientes de n, se tiene

Si A > 0 ⇒ an ≤ a0en A +en A − 1

AB, ∀n ≥ 0

Si A = 0 ⇒ an ≤ a0 + n B, ∀n ≥ 0

Se define error de truncatura o de discretizacion acumulado del metodo a la diferencia entre la solucionexacta y la aproximada

ei = y(xi )− yi




Resumen


Metodo de Euler

Estudio del errorSi f es continua en [x0, x0 + a]× R y verifica la condicion de Lipschitz, el error de discretizacion ei del metodo deEuler es tal que

si L > 0 |ei | ≤eL i h − 1

Lω(h, y′) i = 0, 1, . . . , n

si L = 0 |ei | ≤ i h ω(h, y′) i = 0, 1, . . . , n

La demostracion se basa en los lemas anteriores.




Resumen


Metodo de Euler

Estudio del errorSi f es continua en [x0, x0 + a]× R y verifica la condicion de Lipschitz, el error de discretizacion ei del metodo deEuler es tal que

si L > 0 |ei | ≤eL i h − 1

Lω(h, y′) i = 0, 1, . . . , n

si L = 0 |ei | ≤ i h ω(h, y′) i = 0, 1, . . . , n

La demostracion se basa en los lemas anteriores.

Estudio de la convergencia

Un metodo se dice que es convergente si se verifica,

limh→0

max

i=0,1,...,n|yi − y(xi )|

= 0

El metodo de Euler tal y como se ha definido en convergente




Resumen


Metodo de Taylor de orden k

Expresion general del metodo de TaylorSea y la solucion de la ecuacion diferencial y′(x) = f (x, y(x)), derivando sucesivamente respecto a x ,

y′ =dy

dx= f = f (0)

y′′ =dy′

dx= fx + fy y′ = fx + fy f = f (1)

y′′′ =dy′′

dx= f (1)

x + f (1)y y′ = f (1)

x + f (1)y f = f (2)

.

.

.

.

.

.

yk =dy (k−1)

dx= f (k−2)

x + f (k−2)y y′ = f (k−2)

x + f (k−2)y f = f (k−1)

Sustituyendo estas expresiones en la formula de Taylor, resulta

yi+1 = yi + hf (0)(xi , yi ) +h2

2!f (1)(xi , yi ) + · · · +

hk

k!f (k−1)(xi , yi ), i = 0, 1, . . . , n − 1

y0 = η

Cumple la condicion de Lipschitz con M =Pk−1

j=0

Mjhj0

(j + 1)!. Error local de orden O(hk+1) y global de O(hk ).




Resumen


Metodo de Taylor de orden k

Metodo de Taylor de orden 2El metodo de Euler coincide con el caso particular mas sencillo del metodo de Taylor (hasta la derivada primera).Si se desarrolla hasta el termino de la segunda derivada, resulta el metodo de Taylor de segundo orden

yi+1 = yi + hf (0)(xi , yi ) +h2

2!f (1)(xi , yi ), i = 0, 1, . . . , n − 1

y0 = η

Error local de orden O(h3) y global de O(h2).




Resumen

Formulacion general de los metodos de Runge-KuttaMetodos de Runge-Kutta de orden 2Metodo de Runge-Kutta de orden 4


2 Metodos de Taylor





7 Resumen




Resumen


Formulacion general de los metodos de Runge-Kutta

Formulas generalesLa formulacion de los metodos de Runge-Kutta para k evaluaciones es,

yi+1 = yi + h Φ(xi , yi , h), i = 0, 1, . . . , n − 1siendo

Φ(x, y, h) =kX

j=1

cj Kj

K1 = f (x, y)

Kj = f (x + h aj , y + h

j−1Xl=1

bjlKl , j = 2, 3, . . . , k

con cj , aj y bjl elegidos adecuadamente. El metodo es consistente, es decir Φ(x, y, 0) = f (x, y), si

Kj = f (x, y),kX

j=1

cj = 1




Resumen


Formulacion general de los metodos de Runge-Kutta

Formulas generalesLa formulacion de los metodos de Runge-Kutta para k evaluaciones es,

yi+1 = yi + h Φ(xi , yi , h), i = 0, 1, . . . , n − 1siendo

Φ(x, y, h) =kX

j=1

cj Kj

K1 = f (x, y)

Kj = f (x + h aj , y + h

j−1Xl=1

bjlKl , j = 2, 3, . . . , k

con cj , aj y bjl elegidos adecuadamente. El metodo es consistente, es decir Φ(x, y, 0) = f (x, y), si

Kj = f (x, y),kX

j=1

cj = 1

Casos particularesSe estudian en general los metodos que surgen de considerar 1, 2 y 4 evaluaciones

Si k = 1 obtenemos el metodo de Euler.

Si k = 2 podemos obtener varios metodos: metodo de Euler Mejorado, de Euler Modificado y de Heun.

Si k = 4 obtenemos el metodo de Runge-Kutta de cuarto orden.




Resumen


Metodos de Runge-Kutta de orden 2Metodo de Euler Mejorado del Punto Medio

yi+1 = yi + hf

xi +

h

2, yi +

h

2f (xi , yi )

, i = 0, 1, . . . , n − 1

y0 = η





Resumen



yi+1 = yi + hf

xi +

h

2, yi +

h

2f (xi , yi )

, i = 0, 1, . . . , n − 1

y0 = η


Metodo de Euler Modificado

yi+1 = yi +h

2[f (xi , yi ) + f (xi , yi + hf (xi , yi ))] , i = 0, 1, . . . , n − 1

y0 = η





Resumen



yi+1 = yi + hf

xi +

h

2, yi +

h

2f (xi , yi )

, i = 0, 1, . . . , n − 1

y0 = η


Metodo de Euler Modificado

yi+1 = yi +h

2[f (xi , yi ) + f (xi , yi + hf (xi , yi ))] , i = 0, 1, . . . , n − 1

y0 = η


Metodo de Heun

yi+1 = yi +h

4

f (xi , yi ) + 3f

xi +

2

3h, yi +

2

3hf (xi , yi )

, i = 0, 1, . . . , n − 1

y0 = η





Resumen


Metodo de Runge-Kutta de orden 4

Algoritmo de Runge-Kutta de cuarto onden

yi+1 = yi +h

6(K1 + 2K2 + 2K3 + K4) , i = 0, 1, . . . , n − 1

K1 = f (xi , yi )

K2 = f (xi +h

2, yi +

h

2K1)

K3 = f (xi +h

2, yi +

h

2K2)

K4 = f (xi +h

2, yi +

h

2K3)

y0 = η

Cumple la condicion de Lipschitz con M = L +L2

2h0. Error local de orden O(h5) y global de O(h4).




Resumen

GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector


2 Metodos de Taylor





7 Resumen




Resumen


Generalidades

Metodos multipasoLos metodos de Taylor y de Runge-Kutta, son metodos de un paso, es decir, se basan unicamente en lo que ocurreen el paso anterior.Si incluimos algunas de las aproximaciones previas podemos construir mejores metodos de aproximacion. Losmetodos basados en esta idea se denominan metodos multipaso.Para construir un metodo multipaso, integramos la solucion del problema de valor inicial en [xi , xi+1],

yi+1 = yi +

Z xi+1

xi

f (x, y(x)) dx ≈ yi +

Z xi+1

xi

P(x) dx

siendo P(x) el polinomio interpolador de f (x, y(x)) determinado por los puntos (x0, f (x0, y0)), (x1, f (x1, y1)),. . ., (xi , f (xi , yi ))




Resumen


Generalidades

Metodos multipasoLos metodos de Taylor y de Runge-Kutta, son metodos de un paso, es decir, se basan unicamente en lo que ocurreen el paso anterior.Si incluimos algunas de las aproximaciones previas podemos construir mejores metodos de aproximacion. Losmetodos basados en esta idea se denominan metodos multipaso.Para construir un metodo multipaso, integramos la solucion del problema de valor inicial en [xi , xi+1],

yi+1 = yi +

Z xi+1

xi

f (x, y(x)) dx ≈ yi +

Z xi+1

xi

P(x) dx

siendo P(x) el polinomio interpolador de f (x, y(x)) determinado por los puntos (x0, f (x0, y0)), (x1, f (x1, y1)),. . ., (xi , f (xi , yi ))

Metodos explıcitos e implıcitosExisten dos tipos de metodos multipaso,

Metodos explıcitos: el calculo de yi+1 no supone la evaluacion de f (xi+1, yi+1).

Metodos implıcitos: el calculo de yi+1 sı supone la evaluacion de f (xi+1, yi+1).




Resumen


Metodos explıcitos de Adams-Bashforth

Metodo de Adams-Bashforth de 2 pasos

yi+1 = yi +h

2

3f (xi , yi )− f (xi−1, yi−1)

, i = 1, 2, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1

Error local de orden O(h3).




Resumen




yi+1 = yi +h

2

3f (xi , yi )− f (xi−1, yi−1)

, i = 1, 2, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1



yi+1 = yi +h

12

23f (xi , yi )− 16f (xi−1, yi−1) + 5f (xi−2, yi−2)

, i = 2, 3, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2





Resumen




yi+1 = yi +h

24


− 9f (xi−3, yi−3)

, i = 1, 2, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2, y3 = η3





Resumen




yi+1 = yi +h

24


− 9f (xi−3, yi−3)

, i = 1, 2, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2, y3 = η3



yi+1 = yi +h

720


− 1274f (xi−3, yi−3) + 251f (xi−4, yi−4)

, i = 1, 2, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2, y3 = η3, y4 = η4





Resumen


Metodos implıcitos de Adams-Moulton

Metodos de Adams-Moulton de 2 pasos

yi+1 = yi +h

12

5f (xi+1, yi+1) + 8f (xi , yi )− f (xi−1, yi−1)

, i = 1, 2, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1





Resumen




yi+1 = yi +h

12


, i = 1, 2, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1



yi+1 = yi +h

24

9f (xi+1, yi+1) + 19f (xi , yi )− 5f (xi−1, yi−1) + f (xi−2, yi−2)

, i = 1, 2, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2





Resumen




yi+1 = yi +h

12


, i = 1, 2, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1



yi+1 = yi +h

24

9f (xi+1, yi+1) + 19f (xi , yi )− 5f (xi−1, yi−1) + f (xi−2, yi−2)

, i = 1, 2, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2



yi+1 = yi +h

720

251f (xi+1, yi+1) + 646f (xi , yi )− 246f (xi−1, yi−1)

+ 106f (xi−2, yi−2)− 19f (xi−3, yi−3)

, i = 1, 2, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1 y2 = η2 y3 = η3





Resumen


Metodos de Milne y Simpson

Metodo de MilneConsiste en una tecnica explıcita obtenida integrando sobre [xi−3, xi+1] el polinomio interpolador de diferenciasregresivas de Newton.

yi+1 = yi−3 +4h

3

2f (xi , yi )− f (xi−1, yi−1) + 2f (xi−2, yi−2)

, i = 1, 2, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2, y3 = η3





Resumen


Metodos de Milne y Simpson

Metodo de MilneConsiste en una tecnica explıcita obtenida integrando sobre [xi−3, xi+1] el polinomio interpolador de diferenciasregresivas de Newton.

yi+1 = yi−3 +4h

3


, i = 1, 2, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2, y3 = η3


Metodos de SimpsonConsiste en una tecnica implıcita obtenida integrando sobre [xi−1, xi+1] mediante el metodo de Simpson.

yi+1 = yi−1 +h

3

f (xi+1, yi+1) + 4f (xi , yi ) + f (xi−1, yi−1)

, i = 1, 2, . . . , n − 1

y0 = η0, y1 = η1





Resumen


Metodo Predictor-Corrector

Metodos de Adams-Bashforth-MoultonConsiste en utilizar un metodo explıcito de Adams-Bashforth para predecir la aproximacion de yi+1 y un metodoimplıcito de Adams-Moulton para corregir dicha aproximacion.Por ejemplo para obtener un metodo Predictor-Corrector de Adams-Bashforth-Moulton de cuarto orden, debemoselegir el Adams-Bashforth de cuatro pasos como predictor y el de Adams-Moulton de tres pasos como corrector.Para obtener los cuatro primeros valores de partida es necesario, ademas, utilizar inicialmente un metodo de unpaso de cuarto orden (por ejemplo el de Runge-Kutta de cuarto orden).

y(0)i+1 = yi +

h

24

55f (xi , yi )− 59f (xi−1, yi−1) + 37f (xi−2, yi−2)− 9f (xi−3, yi−3)

y

(1)i+1 = yi +

h

24

h9f (xi+1, y

(0)i+1) + 19f (xi , yi )− 5f (xi−1, yi−1) + f (xi−2, yi−2)

i




Resumen


Metodo Predictor-Corrector

Metodos de Adams-Bashforth-MoultonConsiste en utilizar un metodo explıcito de Adams-Bashforth para predecir la aproximacion de yi+1 y un metodoimplıcito de Adams-Moulton para corregir dicha aproximacion.Por ejemplo para obtener un metodo Predictor-Corrector de Adams-Bashforth-Moulton de cuarto orden, debemoselegir el Adams-Bashforth de cuatro pasos como predictor y el de Adams-Moulton de tres pasos como corrector.Para obtener los cuatro primeros valores de partida es necesario, ademas, utilizar inicialmente un metodo de unpaso de cuarto orden (por ejemplo el de Runge-Kutta de cuarto orden).

y(0)i+1 = yi +

h

24

55f (xi , yi )− 59f (xi−1, yi−1) + 37f (xi−2, yi−2)− 9f (xi−3, yi−3)

y

(1)i+1 = yi +

h

24

h9f (xi+1, y

(0)i+1) + 19f (xi , yi )− 5f (xi−1, yi−1) + f (xi−2, yi−2)

i

Metodo de Milne-SimpsonConsiste en utilizar el metodo explıcito de Milne para predecir la aproximacion de yi+1 y el metodo implıcito deSimpson para corregir dicha aproximacion. De igual forma que los metodos anteriores se necesita un metodo de unpaso para obtener las aproximaciones iniciales.

y(0)i+1 = yi−3 +

4h

3


y

(1)i+1 = yi−1 +

h

3

hf (xi+1, y

(0)i+1) + 4f (xi , yi ) + f (xi−1, yi−1)

i




Resumen

IntroduccionMetodo de Runge-Kutta-FehlbergMetodo Predictor-Corrector de Adams con paso variable


2 Metodos de Taylor





7 Resumen




Resumen


Introduccion

DefinicionUn metodo adaptativo es aquel que adapta el numero y posicion de los nodos que utilizan en la aproximacion paramantener el error local dentro de unos lımites definidos a priori.




Resumen


Introduccion

DefinicionUn metodo adaptativo es aquel que adapta el numero y posicion de los nodos que utilizan en la aproximacion paramantener el error local dentro de unos lımites definidos a priori.

Control del error mediante el tamano del pasoSupongamos que aplicamos dos metodos de ordenes n y n + 1 para resolver el problema de valor inicial,

yi+1 = yi + hΦ(xi , yi , h) con un error local |y(xi )− yi | < Khn

eyi+1 = eyi + heΦ(xi ,eyi , h) con un error local |y(xi )− eyi | < eKhn+1

Entonces si ei representa el error local de un metodo, se tiene ei+1 = (eyi+1 − yi+1) + eei+1

Como ei+1 es de orden O(hn+1) y eei+1 es de orden O(hn+2), es evidente que |eyi+1 − yi+1| = Mhn+1,

de donde M =|eyi+1 − yi+1|

hn+1

Si ahora usamos un tamano de paso qh se debe satisfacer |y(xi + qh)− yi+1| < M(qh)n =qn|eyi+1 − yi+1|

h< ε

Luego

q <

"εh

|eyi+1 − yi+1|

#1/n




Resumen


Metodo de Runge-Kutta-Fehlberg

Algoritmo de Runge-Kutta-FehlbergUtiliza un metodo de Runge-Kutta de onden 5,

eyi+1 = yi +16

135K1 +

6656

12825K3 +

28561

56430K4 +

9

50K5 +

2

55K6

para estimar, utilizando la cota anterior, el error local de un metodo de Runge-Kutta de orden 4,

yi+1 = yi +25

216K1 +

1408

2565K3 +

2197

4104K4 −

1

5K5

siendo

K1 = hf (xi , yi ), K2 = hf

xi +

h

4, yi +

1

4K1

,

K3 = hf

xi +

3h

8, yi +

3

32K1 +

9

32K2

,

K4 = hf

xi +

12h

13, yi +

1932

2197K1 +

7200

2197K2 +

7296

2197K3

,

K5 = hf

xi + h, yi +

439

216K1 − 8K2 +

3680

513K3 +

845

4104K4

,

K6 = hf

xi +

h

2, yi −

8

27K1 + 2K2 +

3544

2565K3 +

1859

4104K4 −

11

40K5




Resumen


Metodo de Runge-Kutta-Fehlberg

Tamano de pasoEl tamano de paso teorico tiende a ser muy conservador. El mas utilizado es

q =

"εh

2|eyi+1 − yi+1|

#1/4

Si q < 1, se rechaza la eleccion inicial para el paso i-esimo y se repiten los calculos usando qh.

Si q ≥ 1, se acepta el valor calculado en el paso i-esimo con pas h y se cambia el tamano de paso a qhpara el paso (i + 1)-esimo.




Resumen


Metodo Predictor-Corrector de Adams con paso variable

AlgoritmoConsiste en utilizar el metodo explıcito de Adams-Bahforth de Cuatro Pasos como predictor y el implıcito deAdams-Moulton de Tres Pasos como corrector




Resumen


Metodo Predictor-Corrector de Adams con paso variable

AlgoritmoConsiste en utilizar el metodo explıcito de Adams-Bahforth de Cuatro Pasos como predictor y el implıcito deAdams-Moulton de Tres Pasos como corrector

Control del error mediante el tamano de pasoEl resultado teorico resulta

q <

24 270

19

εh

|yi+1 − y(0)i+1|

351/4

,

aunque en la practica se suele utilizar un valor mas conservador debidos a las aproximaciones realizadas en elproceso de obtencion de la cota de q,

q = 1.5

24 εh

|yi+1 − y(0)i+1|

351/4




Resumen

GeneralidadesMetodo de diferencias finitas


2 Metodos de Taylor





7 Resumen




Resumen


Generalidades

Planteamiento del problemaConsideremos el siguiente problema lineal,

y′′(x) = p(x) y′(x) + q(x) y(x) + r(x) x ∈ [a, b]

con las condiciones de contorno y(a) = α, y(b) = β (condiciones tipo Dirichlet)o bien y(a) = α, y′(b) = β (condiciones tipo mixtas)




Resumen


Generalidades




Resolucion por diferencias finitas

Se trata de sustituir y′′, y′ por valores aproximados utilizando los esquemas estudiados para derivacion numerica,conduciendo finalmente a un sistema de ecuaciones donde las incognitas son los valores de y en los puntos delintervalo [a, b] donde se ha planteado los esquemas de derivacion.




Resumen


Generalidades




Resolucion por diferencias finitas

Se trata de sustituir y′′, y′ por valores aproximados utilizando los esquemas estudiados para derivacion numerica,conduciendo finalmente a un sistema de ecuaciones donde las incognitas son los valores de y en los puntos delintervalo [a, b] donde se ha planteado los esquemas de derivacion.

Existencia y unicidad de solucionSupongamos que en el problema de contorno anterior con condiciones Dirichlet se verifica,

p(x) y′(x) + q(x) y(x) + r(x), p(x) y q(x) son continuas en R.

p(x) esta acotada.

q(x) es positiva ∀x ∈ [a, b].

entonces la solucion existe y es unica.




Resumen


Metodo de diferencias finitas

Problema generalConsideremos el problema general,

A(x) y′′(x) + B(x) y′(x) + C(x) y(x) = D(x) x ∈ [a, b]

con condiciones de contorno de expresadas de forma general,

a1 y(a) + a2 y′(a) = r

b1 y(b) + b2 y′(b) = s

siendo A(x), B(x), C(x) y D(x), funciones continuas en [a, b], A(x) 6= 0 en [a, b] y a1, a2, b1, b2 ∈ R, donde a1y b1 no se anulan simultaneamente.




Resumen



Problema generalConsideremos el problema general,

A(x) y′′(x) + B(x) y′(x) + C(x) y(x) = D(x) x ∈ [a, b]

con condiciones de contorno de expresadas de forma general,

a1 y(a) + a2 y′(a) = r

b1 y(b) + b2 y′(b) = s

siendo A(x), B(x), C(x) y D(x), funciones continuas en [a, b], A(x) 6= 0 en [a, b] y a1, a2, b1, b2 ∈ R, donde a1y b1 no se anulan simultaneamente.

Discretizacion de la ecuacion de segundo ordenUtilizaremos esquemas de orden 2 para aproximar la primera y segunda derivada en puntos xi del interior de [a, b],

y′(xi ) =yi+1 − yi−1

2h+ O(h2)

y′′(xi ) =yi+1 − 2yi + yi−1

h2+ O(h2)

Luego, denotando Ai = A(xi ), Bi = B(xi ), Ci = C(xi ) y Di = D(xi ), la ecuacion diferencial en xi resulta,

Aiyi+1 − 2yi + yi−1

h2+ Bi

yi+1 − yi−1

2h+ Ci yi = Di i = 1, 2, . . . , n − 1




Resumen



Discretizacion de las condiciones de contornoLos esquemas de orden 2 para la derivada primera en los extremos son,

y′(a) =−y(a + 2h) + 4y(a + h)− 3y(a)

2h+ O(h2)

y′(b) =y(b − 2h)− 4y(b − h) + 3y(b)

2h+ O(h2)

Luego las condiciones de contorno resultan,

a1 y0 + a2−y2 + 4y1 − 3y0

2h= r

b1 yn + b2yn−2 − 4yn−1 + 3yn

2h= s




Resumen



Construccion del sistema de ecuacionesLos esquemas anteriores aplicados a todos los puntos del soporte producen un sistema de n + 1 ecuaciones linealescon matriz de la forma,

0BBBBBBBBBBBBBBB@

a1 −3a2

2h

4a2

2h−

a2

2h0 · · · 0

A1

h2−

B1

2h−

2A1

h2+ C1

A1

h2+

B1

2h0 · · · 0

0A2

h2−

B2

2h−

2A2

h2+ C2

A2

h2+

B2

2h· · · 0

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

0 · · · 0An−1

h2−

Bn−1

2h−

2An−1

h2+ Cn−1

An−1

h2+

Bn−1

2h

0 · · · 0b2

2h−

4b2

2hb1 +

3b2

2h

1CCCCCCCCCCCCCCCA

y vector segundo miembror, D1, . . . , Dn−1, s

, para obtener las incognitas

y0, y1, . . . , yn−1, yn




Resumen


2 Metodos de Taylor





7 Resumen




Resumen

Resumen

Entre los metodos de un paso para la resolucion de ecuaciones diferenciales ordinarias, los de Taylor y losde Runge-Kutta son los mas utilizados. El metodo mas sencillo es el de Euler, aunque tambien es quemayores errores produce. En cambio, el metodo de Runge-Kutta de cuarto orden proporciona solucionescon una precision mas aceptable y ha sido y es ampliamente utilizado en diferentes campos cientıficos.

Los metodos multipasos implıcitos tienen en general mayor precision que los explıcitos, aunque suaplicacion tiene mayor complicacion ya que en cada paso se tiene que resolver una ecuacion generalmenteno lineal. Mas eficiente es utilizar un metodo implıcito para corregir la solucion obtenida previamente poruno explıcito (metodo predictor-corrector). Los mas utilizados son los metodos deAdams-Bashforth-Moulton y el de Milne-Simpson

Si se utiliza un tamano de paso variable, se puede mejorar la eficiencia de los metodos. En este sentido, losmetodos adaptativos de paso variable ajustan el tamano de paso para que el error cometido se mantengasiempre por debajo de una cierta tolerancia fijada a priori. Los mas populares son el deRunge-Kutta-Fehlberg y el Predictor-Corrector de Adams con paso variable.

Uno de los metodos mas utilizados para resolver problemas de contorno es el de diferencias finitas. Dichadiscretizacion conduce a un sistema de ecuaciones lineales, que, una vez resuelto, nos proporciona de formadiscreta la funcion que es la solucion del problema de contorno de segundo orden.

Parte 8. Ecuaciones diferenciales ordinarias...Introducci´on a las ecuaciones diferenciales...

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