Parte I. 2.1 Guías de Ondas Rectangulares. a b x z y xz y z Guías de Ondas Capítulo II.
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Parte I
2.1 Guías de Ondas Rectangulares.
a
b
x
z
y
x z
y
zE
H
Guías de OndasCapítulo
II
CapítuloII
Con el objeto de determinar las configuraciones de campo electromagnético en el interior de una GG.OO. rectangular.
Se debe:
Resolver las ecuaciones de Maxwell, con las condiciones de borde apropiadas.
0 nt HE
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
EjHx
HjEx
EE
22 HH
22
Las ecuaciones de Maxwell que interesan son:
Las ecuaciones de onda:
donde: jjwjw
Constante de propagación
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Para una región conductora, estas ecuaciones llegan a ser, en coordenadas rectangulares:
a) Interior de la GG.OO. (dieléctrico):
yzx Ej
xH
z
H
zxy Ej
y
H
x
H
xyz Ej
z
H
yH
yzx Hj
xE
z
E
zxy Hj
yE
x
E
xyz Hj
z
E
yE
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
EzE
yE
xE
22
2
2
2
2
2
HzH
yH
xH
22
2
2
2
2
2
Mientras tanto las ecuaciones de onda quedan:
Obs: Estas ecuaciones, escritas para cada una de las componentes rectangulares de , deben satisfacer la ecuación general de Helmholtz:
Obs: Estas ecuaciones, escritas para cada una de las componentes rectangulares de , deben satisfacer la ecuación general de Helmholtz:
HyE
22
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
: escalar
esto es:
22
2
2
2
2
2
zyx
donde:
= X(x) Y(y) Z(z)
La solución a esta ecuación puede alcanzarse usando la técnica de separación de variables (S.V):
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Z(z)X(x) Y(y)
222222cyxg kkk
222yxc kkk
donde: : Número de onda
de corte.
Se define la cte. de propagación por la GG.OO., para la onda que se propaga en la dirección z como:
=(Asen kxx+Bcos kxx)(Csen kyy+Dcos kyy)(Esen kzz+Fcos kzz)=(Asen kxx+Bcos kxx)(Csen kyy+Dcos kyy)(Esen kzz+Fcos kzz)
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Además se sabe que: 22
22cg k
22cg k
22cg kj
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
1° No hay Propagación:
022 ck 0g
cc
c fk
22
22yx
c
kkf
Frecuencia de corte
g De acuerdo a la expresión anterior existirán tres casos de interés para .
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
2° Hay Propagación (sin aten., sólo cambio de fase):
022 ck gg j Así,
22cg kj
2
22 1 c
g
kj
2
1
f
fj c
g cff ;
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
3° No hay Propagación (sólo existe atenuación):
022 ck gg
12
f
fcg
La onda será atenuada para f <fc .
No hay Propagación ( )cteg
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Para condición , la ecuación de Helmholtz queda:
= (Asen kxx+Bcos kxx)(Csen kyy+Dcos kyy) e-jgZ
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
a) Modo TEm n
Los subíndices m y n, representan el número de medios ciclos de la magnitud del campo en la dirección x e y, respectivamente.
Estos modos se caracterizan por Ez = 0 ( sólo E transversal), esto implica que existe Hz .
22
es solución para:zz HH 22
2.1.1 Modos de Transmisión.
Por tanto,
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
cuya solución es de la forma:
Donde fue sustituido
a
mxk
b
nky
znnmmZ ey
bn
Dyb
nCxBxAH
cossen
am
cosa
msen z
nnmmZ eyb
nDy
bn
CxBxAH
cossen
am
cosa
msen
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Volviendo a las ecuaciones de Maxwell:
EjHx
HjEx
0zE
gjz
y considerando
Las ecuaciones para cada una de las componentes quedan:
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
XYg HwE YXg HwE
XYgZ EjwHj
y
H
0
y
H
x
H XY
ZXY Hjw
y
E
x
E
yZ
Xg Ejwx
HHj
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Las ecuaciones anteriores se resuelven en función de HZ , quedando:
y
H
k
jwE Z
cX
2
x
H
kH Z
c
gX
2
x
H
k
jwE Z
cY
2
y
H
kjH Z
c
gY
2
0ZE conocidoHZ
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
donde222
gck
Ahora derivando la solución para HZ (respecto de x e y) y reeplazando en las ecuaciones anteriores se obtiene:
Hn = 0 ( normal)
Et = 0 ( tangencial)En la superficie de los conductores.
A estas ecuaciones se les aplica las condiciones de borde:
Un nuevo conjunto de ecuaciones. de campo.
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Obs: suponiendo conductor perfecto.
x
y
i) Et = 0
a) Ex = 0 en y = 0,b by
yHZ
,0
= 0
Cn= 0
Ey Ey
Ex
Ex
a
b
0
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
b) Ey = 0 en x = 0,a ax
xHZ
,0 = 0
Además la derivada normal de Hz debe ser nula en las superficies conductoras:
0
n
HZ
Am=0
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Las Ecuaciones de Campo para todo modo TEmn quedan:
zjXX
geb
yn
a
xmEE
sencos0
zjYY
geb
yn
a
xmEE
cossen0
0ZE
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
donde: m= 0, 1, 2,........n = 0, 1, 2,.......
Obs: m y n no pueden ser cero simultáneamente.
zjXX
geb
yn
a
xmHH
cossen0
zjYY
geb
yn
a
xmHH
sencos0
zjZZ
geb
yn
a
xmHH
coscos0
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Entonces,
; a,b en [m]
22yxc kkk
22
b
n
a
mkc
cc wk
Se definen diversos parámetros de las GG.OO para los modos TEm,n.
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
22
2
1
b
n
a
mfc
22
2
1
b
n
a
mfc
Constante de propagación (o cte. de fase):
2
1
f
fw c
g 2
1
f
fw c
g
Frecuencia de corte:
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Velocidad de fase en la guía, en dirección del eje z es:
2
1
ff
vwV
c
pd
gpg 2
1
ff
vwV
c
pd
gpg
1pdv
donde
Velocidad de fase en un dieléctrico abierto
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Impedancia de onda característica
20
1 ff
w
H
E
H
EZ
cgx
y
y
xg
20
1 ff
w
H
E
H
EZ
cgx
y
y
xg
donde
0
00
Impedancia intrínseca del medio abierto.
Obs.:Sólo en caso en que el dieléctrico sea vacío
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Longitud de onda en la guía
20
1 ffc
g
20
1 ffc
g
donde
f
v pd0 Longitud de onda en el medio abierto
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Estos modos se caracterizan por tener Hz = 0 (H es transversal ) debe existir Ez para Tx. de energía en la guía.
zz EE 22
cuya solución es de la forma:
b) Modo TMm n
zjnnmmz
geyb
nDy
b
nCxBxAE
cossen
a
mcos
a
msen
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
A la cual se le aplican las condiciones de borde, de manera similar al modo TE
0tEEn x = (0,a)0zE
0zE En y = (0,b)
Bm = 0
Dn = 0
zjozz
geb
yn
a
xmEE
sensen
donde: m= 1, 2, 3,........ n = 1, 2, 3,.......
Obs: m,n 0 para que exista campo propagándose en el interior de la guía.
Obs: m,n 0 para que exista campo propagándose en el interior de la guía.
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Evaluando las ecuaciones de Maxwell para:
EjHx
0zH
xygz HjEj
y
E
yz
xg Hjx
EEj
0
y
E
x
Exy
xyg EH
yxg EH
zxy
Ejy
H
x
H
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Las ecuaciones anteriores se resuelven en función de EZ
y
E
k
jwH Z
cX
2
x
E
k
jE Z
c
gX
2
x
E
k
jwH Z
cY
2
y
E
k
jE Z
c
gY
2
0ZHconocidoEZ
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
donde222
cg k
Ahora, derivando la solución para EZ , (respecto de x e y) y reemplazando en las ecuaciones anteriores, se obtienen las ecuaciones de campo para los modos TMm n.
zjXX
geb
yn
a
xmEE
sencos0
zjYY
geb
yn
a
xmEE
cossen0
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
zjZZ
geb
yn
a
xmEE
sensen0
zjXX
geb
yn
a
xmHH
cossen0
zjYY
geb
yn
a
xmHH
sencos0
0ZH
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
A continuación, se pueden obtener las ecuaciones para los parámetros característicos de los modos TMmn:
22
2
1
b
n
a
mfc
Frecuencia de corte:
2
1
f
fw c
g
Constante de propagación (o cte. de fase):
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
2
1
f
f
vV
c
pdpg
Velocidad de fase en dirección del eje z :
Impedancia de onda característica
2
0 1
f
f
wZ cg
g
Guías de Ondas Rectangulares
Obs.: 0 sólo en caso en que el dieléctrico sea vacío
CapítuloII
2
0
1
ffc
g
Longitud de onda en la guía
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Frecuencias de corte de modos (TE/TM)mn: (fc)mn/fc ; a>b
Guías de Ondas Rectangulares
Obs: modo dominante: TE10 modo con la fc más baja, para a>b.
TE10
1
1,5
2
3
1 1 1,414 2 2 2,236
1
1
1 3
2
1,5 1,803
2,236
3,162
2
2 3
4 2,828
2,500
f01/f10
a/b
2 6 3,606
TE01
ModoTE11
TM11TE20 TE02
TE21
TM21
CapítuloII
2.1.2 Tx. de Potencia en GG.OO. rectangulares.
Asumiendo que la GG.OO. está bien terminada (no existe reflexión de potencia).
Para el caso de un dieléctrico sin perdidas, el flujo de potencia está dado por:
A
g
Agtr dAH
ZdAE
ZP
22
22
1
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
222
yx EEE 222
yx HHH
Así para los modos TEm,n y TMm,n se tiene:
donde
x
y
y
xg H
E
H
EZ
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
TMm,n
dxdyEE
ffP
b a
yx
c
tr
0 0
22
20 12
1
TEm,n
dxdyEE
ffP
b a
yxc
tr
0 0
22
0
2
2
1
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
2.1.3 Pérdida de Potencia en GG.OO. Rectángulares.
a) En el dieléctrico:
Obs: Para un dieléctrico de bajas pérdidas ( ) Obs: Para un dieléctrico de bajas pérdidas ( ) 1
022
d
La constante de atenuación de una OEM plana que se propaga en el dieléctrico (abierto) viene dada por:
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
La atenuación debido al dieléctrico de baja pérdida para una GG.OO rectangular será:
20
12 ffc
gd
2
0
12 ffc
gd
TEm,n
TMm,n
20 12
ffcgd
20 12
ffcgd
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
donde:
b) En las paredes de la GG.OO.:
dAHZ
dsHR
Ag
s Ts
g 2
2
2
222
YX HHH 222
TYTXT HHH
2m
fRs
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloII
Puesto que la frecuencia de corte (fc) es una función de los modos (m,n) y de las dimensiones de la guía;
Las dimensiones físicas determinarán la propagación de los
modos.
Guías de Ondas Rectangulares
CapítuloIIGuías de Ondas Rectangulares
2.1.4 Configuración de campos EM y métodos de excitación en GG.OO. Rectángulares.
CapítuloIIGuías de Ondas Rectangulares
CapítuloIIGuías de Ondas Rectangulares