PARTE II:

JUEGOS SECUENCIALES CON INFORMACIÓN PERFECTAJUEGOS SECUENCIALES CON INFORMACIÓN PERFECTA

Tema 5. Juegos secuenciales con información perfecta.Tema 5. Juegos secuenciales con información perfecta. Aplicaciones: Un modelo de inspección secuencial. La asignación de Aplicaciones: Un modelo de inspección secuencial. La asignación de un bien indivisible: juicio del rey Salomón. Duopolio a la Stackelbergun bien indivisible: juicio del rey Salomón. Duopolio a la Stackelberg.

Tema 6. Negociación bilateral.Aplicaciones: Negociación secuencial e ineficiencias. Una negociación con opciones externas. Inversiones específicas y oportunismo post-contractual.

Tema 7. Juegos repetidos: la colusión.Aplicaciones: Juegos repetidos con horizonte finito. Duopolio e incentivos a la colusión.

Tema 5. Juegos secuenciales con información perfecta.5.1 Juegos secuenciales o dinámicos.5.2 La descripción extensiva: el árbol de decisión de un juego.5.3 Estrategias y planes de acción.5.4 Jugadas estratégicas.5.5 El principio de racionalidad secuencial y las amenazas creíbles.5.6 La inducción hacia atrás y el Equilibrio Nash Perfecto.

Aplicaciones: Un modelo de inspección secuencial. La asignación de un bien indivisible: juicio del rey Salomón. Duopolio a la Stackelberg.

Bibliografía básica: Olcina y Calabuig: Cap. 6. Bibliografía complementaria:Gardner: cap. 6.Gibbons: cap. 2.Dixit y Nalebuff: caps. 2, 5, 6.

5.1 Juegos secuenciales o dinámicos.

En muchas situaciones estratégicas los jugadores no toman sus decisiones ignorando completamente las decisiones de sus oponentes.

Una situación de interacción estratégica es un juego secuencial o dinámico si al menos un jugador conoce algo sobre las decisiones de otro jugador en algún momento del juego en el que le corresponda tomar una decisión.

En estos juegos existe una secuencia o turno establecido de movimientos entre los jugadores y las reglas del juego permiten que al menos uno de ellos tenga información (perfecta o imperfecta) sobre las decisiones previas tomadas cuando es su turno de jugar.

Juegos de cartas, ajedrez, “chinos”, etc..

Luego, a diferencia de los juegos simultáneos, deberemos explicitar el orden en que toman sus decisiones los jugadores, así como la información que tiene cada uno de ellos al llegarles su turno.

En estos juegos nos centraremos en situaciones con información completa, : aquellas en las que la estructura del juego, los pagos y la motivación de los jugadores (es decir, que son maximizadores de utilidad) son conocimiento público.

Definición: Un juego secuencial es de información perfecta si todos los jugadores están completamente informados acerca de las decisiones previas de todos sus oponentes en cada punto del juego en que le corresponda adoptar una acción.

Ejemplos: ajedrez y las damas.En microeconomía, un juego de información perfecta bien conocido es el llamado duopolio a la Stackelberg

A la secuencia de acciones adoptadas por los jugadores previa a un momento particular del juego en que algún jugador debe decidir la denominaremos historia del juego.

Un juego de información perfecta es pues aquél en que los jugadores conocen siempre la historia previa completa.

*Ajedrez

* En el llamado duopolio a la Stackelberg: una empresa (líder) elige su nivel de producción, entonces la otra empresa (seguidora) tras observar el nivel de producción elegido por la empresa líder, decide su nivel de producción.

Ejemplo 1: Disuasión de entrada en un mercado

Una empresa entrante E debe decidir si entra en un mercado o permanece fuera (acciones I y F respectivamente). Los beneficios de monopolio en este mercado son 2 millones. Existe una empresa monopolista (M) ya instalada en el mercado, la cual, en caso de entrada debe decidir entre acomodar (acción A ) compartiendo los beneficios de monopolio con la empresa E, o combatir la entrada (L) desatando una guerra de precios que provocaría pérdidas por valor de 1 millón a cada empresa

Ejemplo 2: Construir un jardín.

Dos individuos viven en la misma calle y se les pide contribuir para crear un pequeño jardín en la acera común con una aportación monetaria de 2 unidades. La calidad del jardín depende de cuantos de ellos contribuyan. Si ambos contribuyen generan un jardín que reporta a cada uno una utilidad de 4 unidades monetarias y si sólo un vecino contribuye la utilidad individual sería de 3. Si ninguno contribuye, no hay jardín. Existen pues cuatro posibles resultados que los jugadores ordenan de mejor a peor de la siguiente forma:•- No contribuyo pero el otro jugador sí lo hace (un buen jardín y me ahorro el coste).•- Ambos contribuimos (el mejor jardín aunque incurro en el coste).•- Contribuyo pero el otro jugador no (un buen jardín pero incurro en el coste).•- Ninguno contribuye (no hay jardín aunque me ahorro el coste).•Suponga que se decide secuencialmente. Es decir, el vecino 1 elige si contribuye o no lo hace y entonces, tras observar esta decisión, decide el vecino 2.

5.2 La descripción extensiva de un juego secuencial: el árbol de decisión de un juego.

La descripción (llamada también forma) extensiva de un juego secuencial con información perfecta tiene tres componentes:

La descripción completa de todas las posibles secuencias de acciones que pueden ocurrir desde el principio hasta el final del juego. A estas secuencias se les denomina también historias o sendas del juego.

La especificación de qué jugador tiene el turno de decisión en cada punto del juego.

Las preferencias (o pagos) de los jugadores sobre los resultados finales del juego, asociados a dichas secuencias completas o historias.

En algunos juegos secuenciales con información perfecta describir las secuencias de acciones o historia es una tarea imposible debido a su inmensa complejidad, como por ejemplo, en el ajedrez. Sin embargo, en otras situaciones es muy sencillo: Disuasión de entradaPrimera historia: La empresa entrante decide quedarse fuera (en este caso, el monopolista no tiene que tomar ninguna decisión)Segunda historia: La empresa entrante entra y la empresa “monopolista” lucha la entrada.Tercera historia: La empresa entrante entra y la empresa “monopolista” decide acomodar la entrada.Cada una de estas secuencias da lugar a uno de los tres posibles resultados finales. En la primera, los pagos son (0,2), donde el primer componente se refiere a la entrante y el segundo al monopolista. En la segunda los pagos son (-1,-1) y en la tercera, (1,1).

El árbol de decisión de un juego recoge estos tres componentes.

En concreto, un árbol consta de:nodos de decisión (puntos del juego en que un jugador puede tener que decidir),ramas (acciones de que dispone en cada nodo de decisión) y nodos terminales (resultados finales del juego) a los que asociamos los pagos de los jugadores.

Ahora bien, deben cumplirse dos propiedades para que una colección de nodos y ramas formen un árbol de un juego:

existencia de un único nodo inicial (origen), el inicio del juego. si en cada nodo de decisión cada jugador toma una acción, esto define una senda que lleva desde el origen hasta un único nodo terminal.

En el ejemplo de la entrada existen dos nodos de decisión: • el inicial en que la entrante decide entre las acciones F o I (luego, del que parten dos ramas) y • el nodo en que la monopolista tras la acción I debe decidir entre las acciones A y L (luego, también con dos ramas).

Este árbol tiene tres nodos terminales que son los tres resultados del juego ya mencionados y a los que asociamos los pagos de ambos jugadores. Representaremos gráficamente dicho árbol

E

M02

11

-1-1

F

A L

Ipagos de los jugadores: vector columna donde el primer pago es el del jugador que mueve primero (en el ejemplo, E), el segundo el del que mueve segundo, M

1

2

22

13

31

NC

(NC)

2

(C)

C C NC

00

Ejemplo 2: Construir un jardín.

1

2

22

13

31

NC

(NC)

2

C

C C NC

00

Ejemplo 2: Jardín.Ahora los nodos de decisión son tres.El jugador 1 tiene un único nodo de decisión que es el inicial, del que parten sus dos acciones, C o NC.

Pero el jugador 2 tiene dos nodos de decisión, pues puede tener que decidir en dos contingencias distintas: tras observar que el jugador 1 Contribuye o tras observar que éste No Contribuye. En cada uno de ellos habrá dos ramas, correspondientes a sus dos acciones, decidir C o NC.

5.3 Las estrategias y planes de acción de un jugador.

El ejemplo del jardín ilustra un hecho clave en los juegos secuenciales.

Si nos centramos en el jugador 2 podemos comprobar que su decisión no puede ser decir C o NC.

Su decisión debe ser un plan que especifique qué decidir si observara que el jugador 1 contribuye (C ) y qué decidir si, en cambio, observara que No Contribuye(NC).

Sus acciones son distintas de sus estrategias y estas últimas son las realmente importantes, es decir, aquello sobre lo que los jugadores maximizadores de utilidad deben decidir.

Las acciones son obviamente dos: Contribuir (C) o No contribuir (NC).

La estrategia de un jugador es un plan completo de acción que especifica qué hacer ante todas y cada una de las situaciones en que pueda ser llamado a decidir.

Una estrategia es un plan completo contingente a la información de que se dispone en cada momento.

El jugador 2, aún teniendo dos acciones, dispone de cuatro posibles estrategias (puras):

“si 1 NC, Contribuye y si 1 C, Contribuye.”“si 1 NC, Contribuye y si 1 C, No Contribuye.” “si 1 NC, No Contribuye y si 1 C, Contribuye.”“si 1 NC, No Contribuye y si 1 C, No Contribuye.”

Por simplificar la notación en lo que sigue denotaremos estas cuatro estrategias de la forma siguiente:

{(C,C), (C,NC), (NC,C), (NC,NC)},

donde el primer elemento en cada par es que se planea realizar si el jugador 1 No contribuye y el segundo si contribuye.

Reparto de 4 objetos indivisibles? forma general de una estrategias?número de estrategias?

Una forma intuitiva de pensar en una estrategia es imaginarla como un conjunto de instrucciones completas que se le dejan a un delegado para que juegue en tu ausencia y en tu nombre, pero sin ninguna libertad estratégica, es decir, haciendo exactamente lo que dictan las instrucciones.

Formalmente una estrategia en un juego con información perfecta no es más que una función que especifica una acción, y sólo una, para todos y cada uno de los nodos de decisión de un jugador.

1

2

22

13

31

NC

(NC)

2

(C)

C C NC

00

El jugador 1 sólo mueve en un nodo de decisión (el origen del juego), por lo que en este caso estrategias y acciones coinciden.

Es decir, sus estrategias son acciones no contingentes al ser el primero en mover y no volver a hacerlo en todo el juego.

E

M02

11

-1-1

F

A L

I

En general, siempre que un jugador sólo posea un nodo de decisión, sus acciones y estrategias coincidirán, este es el caso para ambos jugadores en el ejemplo 1

5.4 Jugadas estratégicas.Buscamos EN, es decir, en combinaciones de estrategias tales que la estrategia de todo jugador es mejor respuesta a las de sus oponentesEn el juego de disuasión de entrada, tal y como ya se ha indicado, acciones y estrategias coinciden para ambos jugadores. La entrante tiene dos estrategias: F e I y la monopolista M también dos: A y L. Las funciones de mejor respuesta de ambos jugadores son: fE(L) = F fE(A) = I para la entrante E;

fM(F)= {L, A} fM(I) = A para el monopolista

Nótese que tanto L como A son mejor respuesta a la acción F de la entrante por la sencilla razón de que en ese caso el monopolista no debe tomar ninguna decisión.

Es fácil comprobar que existen dos EN en estrategias puras:

(F,L) y (I,A) con pagos respectivamente de (0,2) y (1,1).

(F,A) es un equilibrio?(I, L) es un equilibrio?

El EN (F,L) representa un tipo de fenómeno o posibilidad que no podía surgir en los juegos simultáneos pero que van a ocupar nuestra atención en los juegos secuenciales.

Se trata de una jugada estratégica: una amenaza.

Se trata de una jugada estratégica: una amenaza.

Las jugadas estratégicas en general son jugadas diseñadas para alterar las creencias y acciones de tus rivales en una dirección favorable al jugador que las realiza.

Su rasgo distintivo es que los jugadores siempre limitan voluntariamente su libertad de acción.

Esta falta de libertad puede tener un valor estratégico, alterando la conducta de tu oponente en una dirección favorable al jugador, siempre que aquél la conozca.

Las dos jugadas estratégicas por excelencia son:

a) Cuando se mueve primero: las jugadas incondicionales o compromisos previos irrevocables a una determinada acción, que conocidas por el que mueve segundo llevan a tu mejor pago cuando este aplica su mejor respuesta.

Este tipo de jugadas estratégicas, muy importantes en economía y en las relaciones sociales en general

b) Cuando se mueve segundo: amenazas (o promesas según el caso).

Es decir, comprometerse a una regla de respuesta a las acciones del jugador que mueve primero que fuercen a éste a una conducta tal que el jugador que amenaza obtiene su mejor pago.

El EN (F,L) representa claramente una amenaza del monopolista a la entrante:

“ “si entras (acción I) , lucharé la entrada (acción L)”.si entras (acción I) , lucharé la entrada (acción L)”.

Si la entrante se cree esta amenaza, su mejor respuesta es quedarse fuera (acción F) y dado que no entra, el monopolista no tiene que llevar a cabo su amenaza, no suponiéndole pues ningún coste el formularla.

Además, de esta forma el monopolista obtiene su mejor pago en el juego: 2.

Sin embargo, la cuestión clave en las jugadas estratégicas, como las amenazas, es que para que estas sean efectivas deben ser creíbles. Y sólo serán creíbles si el jugador que la formula tiene los incentivos adecuados a llevarla a cabo en caso necesario.

Sin embargo, la amenaza del monopolista no es creíble en absoluto pues presupone que, ante el hecho consumado de que el entrante entre, el monopolista actuaría irracionalmente eligiendo la acción L que le ofrece unos pagos de -1 frente a la acción A que le ofrece unos beneficios de 1.

Luego, el EN (F,I) no es razonable pues implica una fuerte dosis de irracionalidad por parte de la entrante, ya que cree una amenaza claramente no creíble.

Con otras palabras, la empresa entrante anticipa una respuesta o conducta futura irracional (si entra) del monopolista, pues la acción L está dominada por la acción A.

Los EN, libres de amenazas no creíbles, cumplen

el principio de racionalidad secuencial:

los jugadores anticipan o preveen en todo punto del juego conducta racional futura (maximizadora de pagos) de sus oponentes.

Los equilibrios Nash que adicionalmente satisfacen el principio de racionalidad secuencial los denominaremos equilibrios Nash perfectos (EP, en adelante).

Cualquier predicción que tengamos para un juego secuencial entre jugadores inteligentes deberá cumplir como mínimo la condición de constituir un EP del juego

En los juegos secuenciales finitos con información perfecta (aquellos con horizonte finito y un número de acciones finito) existe un método para computar los EP:

el algoritmo denominado inducción hacia atrás.

La idea es “resolver el juego desde el final”.

Se empieza resolviendo las elecciones óptimas en los últimos nodos de decisión, es decir, aquellos previos a los nodos terminales,

se eliminan el resto de ramas de estos nodos y entonces se “sube” en el árbol a los penúltimos nodos de decisión donde se repite la operación, y

así sucesivamente hasta alcanzar el nodo inicial

Es fácil comprobar que existen dos EN en estrategias puras:

(F,L) y (I,A) con pagos respectivamente de (0,2) y (1,1).

E

M02

11

-1-1

F

A L

I

Existen dos EN en estrategias puras:

(F,L) y (I, A)

pero solo (I,A) es un EP

E

M02

11

F I