CE-18 77

Paso] I. Potencial elcctrico. E == - V<1> Y V2<1> == 0. EI

problema ficticio esta formado por hilos +A Y -A, colo­

Gados en los puntos (0,0) Y (0,-2d), Y se ignoran: M},

M2, Xc\' Xc2, 2d YA. Se definen, ademas:

[ 2 2]112 [( )2 2]1 /2 r1 == x + y y r2 =: X + 2d + Y ..

Paso III. Condiciones de frontera.

En todo punto del cilindro 1: <1> =: <1>\.

c;. En todo punto del cilindro 2: <1> =: <1>2.

~<1>1 - <1>2 =: Vo·

Soluci6n. Las incognitas del problema ficticio cumplen:

2 22qM1 . 2dM2 XcI =: 1 _ M 2 Y X c2 - 1 _ M 2 .

-1 2

a =: 2dM 1 b == 2dM 2

I-M 2Y M2-1" \ 2

al resolver las ecuaciones para A, M}, M2 Yd resultan:

- -- -

CE-18 78

de A 21tE 4t - -­ - ---­-

dz - Yo - In(M2 / M1)'

2 b2 2 (2 2 2) 2 1112_a- +c a-b+cM 1- -1

2ac 2ac1

1122 2 2 2 2 2b _a +c (a _b +c2)2 aM == + -­

b22 2bc 2bc

- d= a(l-Mn 2M 1

dF 'A?Fuerza mutua. 1- == AEA == ­

dz 41tEd

])roblenltl. Hallar 1a capacitancia por unidad de longi­

tud del sistema plano infinito y un cilindro paralel0.

Solucion. EI problema ficticio esta fonnado por los hi­

los de cargas +A, y la soluci6n se facilita al observar

que: M2 == 1, en el plano; al resolver las ecuaciones:

de A 21tE

dz -

Vo -

In M]

CE-19 79

, DIonOE I ( )

E fccto Edison. Es la emisi6n de electrones desde una

superficie conductora, excitada termicamente, que

esta inmersa en una regi6n vacia y cerca de una res is ...,, ( ;tI c

~ ,\

tencia calentadora. ~ ....I I " '

I)iod o de vacio. Tubo cerrado y vacio, de dos electro­

dos. Uno, el catodo, es un material que emite electro­

nes termicamente, se mantiene caliente; el otro, el

<inodo, es frio y su potencial positivo con respecto al

catodo. Los electrodos se conectan a la fuente de ,

energla.

Jl roblcma. Hallar, en un diodo de vacio de placas pa­

ralelas separadas la distancia d, la relaci6n V-I.

Paso I. Coordcnadas. Cartesianas; el catodo se ubica

en x == 0 y el anodo en x == d.

I{egion. Todos los puntos entre los electrodos.

CE-19 ~()

Consideraciones. En la region:

a/Oy == a/az == 0; simetria, placas muy grandes.

a/at == 0; sistema estacionario.

• El area de las placas es A.

La corriente no esta Iimitada por la temperatura y cre­

ce con Vo; se debe a electrones de carga -e y masa Inc.

D == EoE; vacio.

J == pv; corriente convectiva. 'I

F == mea == -eE; se desprecia la fuerza magnetica.'

Ecuaciones. V. E == P I Eo, V x E == 0 y V • J == O.

Paso II. Potencial. E = -VcD Y V2 cD == -p/Eo·

Paso III. Condiciones de frontera.

En: x == 0, para todo x e y; <D == 0,

En: x == 0, para todo x e y; v == 0 Y E == O.

En: x == d, para todo x e y; <D == Vo.

Solucion. Oespues de resolver la ecuaci6n de Poisson:

CE-I() 81

(x) 4n . 4Yo (X) 113

<P = Yo dyE = -Ix 3d d

\ 112 2/3

V 312 == _ 4VoE 0 dJ =-i 4EO_ 2e ( )o Y P 9d 2 X .9d 2 x (

meJ

Resultado conocido como ley de Child-Langmuir.

r

ETODOS A PR , X lV1A OS

Metodos aproximados. Ideados para resolver proble­

,mas donde la solucion exacta no puede hallarse; ob­

tienen, con mediciones 0 aproximaciones sucesivas,

funciones discretas y aproximadas de la posicion.

CE-19 1>2

l\fi~tod()s ('XIH.' riln cnta ll's. COlno los call1pos son intan­

gibles, se pueden determ inar indirectamcnte al 111 <: cJ i·

efectos, como: fuerzas, voltajes 0 corrientes.

1\'ledida de E. La E puede averiguarse a partir de CD,

mediante: lEi ~ I ~<D /~sl ·

:Vledida de It La B puede averiguarse con una pequefta

bobina conectada a un ga-Ivan61netro balistico.

Sistelnas ~Hullogos . Si la medida directa es diffcil, se

puede usar un sistema analogo donde aquella sea facil.

Dos sistelnas analogos tienen igual tipo de ecuaciones

y similares condiciones de frontera; por ello, las mag­

nitudes hOln610gas de uno y otro son proporcionales.

Analogias con corrientes. Se destacan los que usan un

papel resistivo 0 los tanques electrolfticos.

j\nalogia con una I11crnbrana. Una membrana elastica

puede SilTIU lar un Call1pO bidimensional, pues su ecua­

CE-\l) 8.1

cion se reduce, cuando las pendientes son pequefias y

donde z es la altura de la membrana, a:

a2z a2

z _ 0 8x2 + 81- .

i"la peo. Metodo de tanteo grafico para hallar informa­

cion en un campo, de intensidad R, si se cumpie que:

La region del problema es uniforme a 10 largo de un

eje; este se elige como Z. .. I .

.En la region: V. R == 0 y V x R == O.

En la region: R == -V<DR Y V2<D R== o. Las llneas de fuerza de R y las equipotenciales de <DR

se cortan en angulo recto y delimitan cuadrados cur­

vilineos cuyo conjunto es una grafica 0 mapa del

campo.

CE-19 X4

Celdas de canlpo y tuhos de flujo. La celda de campo

tiene un cuadri latero como base y su altura, a 10 largo

del eje Z, es h. Un tuba de flujo, de profundidad h, se

extiende a 10 largo del mapa entre dos lineas de fuerza

consecutivas; en aquel, el flujo de R es uniforme.

Condiciones para el dibujo. Son uniforme en el mapa:

~<I>R entre dos equipotenciales consecutivas.

~\}'R entre dos lineas de fuerza consecutivas.

Propiedades del cuadl·ihltero curvilineo. En todos:

Hay cuatro angulos rectos.

• Dos de los lados contiguos son iguales.

hL1<DR--==1 ~\}lR

EI mapa se dibuja por tanteo grafico, mediante apro­

ximaciones sucesivas, hasta que todos los cuadrados

curvilineos satisfacen las propiedades.

( E-1 t) 85

lnforlnaciones de un mapa. Con el mapa de un campo

se hallan valores aproximados de las propiedades de

este, COITIO: intensidad 0 potencial, y de parametros,

como: capacitancia, conductancia 0 permeancia.

Paranletro general. Para una porcion de un mapa de

campo, de profundidad h, y limitada por lineas de

fuerza y equipotenciales, se define: r /

rR = ,lR. dA = N 'I' ~\}'R = N 'I' h.

lR. ds N<!J ~<l>R N<!J

donde NIl' es cl numero de tubos de flujo y Net> el de

celdas de campo en serie, que hay en la porcion, y r

un panimetro del cual, segun el caso, pueden obtener­

se la capacitancia, la conductancia 0 la permeancia.

(~{tlculo de parametros. Con un mapa pueden hallarse,

por unidad de profundidad y segun el caso, la capaci­

tancia, la conductancia 0 la permeancia; as}:

c

CE-19 g6

Q = E iE e dA = ErE =E N 'I'

h M<l> h lEeds h N<!>

GIg iE e dA grE N 'I' . --- -- - -g­

h - hLl<l> - h lEeds - h - N<iJ

P = 'I'm = I-l iH e dA = I-lrH =I-l N 'I' h hLl<l> III h 1H e ds h N <!>

La primera expresion pennite asociar a cada celda del

campo de un capacitor bidimensional, inQependiente­

mente de su [onna 0 tamafio, una capacitancia por

unidad de profundidad identica para todas e igual a c,

y considerar el mapa, en su .conjunto, como una malla

de N'l'N<l> capacitores, conectados en serie 0 en para­

lelo, todos de igual capacitancia unitaria. Para la con­

ductancia y la permeancia caben iguales consideracio­

nes.

CF-20 87 .

J [\ . ' . .

1 'Jetodos l1ulnericos. Alternativa viable, barata y los

unicos capaces de resolver problemas arbitrarios.

S( r i bidi rn cnsional dc l'aylo ... Los primeros tenni­

nos, en el entorno de un punto arbitrario 0, son:

I) ifercncias finitas. En una regi6n del espacio donde

una funci6n, <D,Jes continua, diferenciable y arm6nica"

y en cuyas fronteras la funci6n es conocida, se ubican,

muy pr6ximos entre sl, los puntos 0, 1, 2, 3 y 4.

La ecuaci6n de Laplace en 0, en diferencias finitas es:

CF-20 x~

<1>0 = ~ <1>;[(1 + h; )(1 + h;h;+2 )]-' ~ h 1+ 2 hl+lhl+3

i=l

donde los cDies son los valores de cD en los puntos

mencionados; expresion que se reduce, si 0 equidista

de sus cuatro vecinos inmediatos, a:

1 . cDo == - (cD , +cD 2 +cD 3 +cD 4 )·4

r)rocedilllicnto. Es:

. Se cuadricula la region para definir un nun1ero finito

de intersecciones, N, Ilamadas nodos.

En cada nodo., sea que equidiste 0 no de sus vecinos

inmediatos, se define una ecuacion; salen N.

EI sistema de N ecuaciones 1ineales con N incognitas

se resuelve, con la regIa de Cramer 0 por el iminacion

gaussiana~ directalnente.

CF-20 R9

I\fctouo ite rativo. De punta fija, a Gauss-Seidel, re­

suelve las N ecuaciones por aproximaciones sucesi­

vas.

P roc('dinliento. EI siguiente:

Iniciar, asignando a cada nodo un valor de cD, que

puede ser fruto de una estimaci6n razonable.

Corregir ordenadamente a cD en cada nodo, por fi las y

col Ulnnas, segun los liltilnos valores calcu lados.

Repetir el paso anterior.

Parar, cuando la variaci6n de cD en todos los nodos,

entre dos pasadas consecutivas, sea menor que la de­

finida como aceptable.

~J rto tJ o d e relaj aci6n. eOlno el llletodo iterativo mejo­

ra el valor de cD, en cada pasada y en todos los nodos,

sin ilnportar que tan cerca este dellTIOnto final, se ide6

eI de relajaci6n para concentrarse, en cada calculo, en

los nodos donde el error es Inaxilno y corregirlo.