Pau Mate Cyl

217
Solución Junio 2014 OPCIÓN A E1.- Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m : + = + = + = + 1 2 2 1 m y mx m my x y mx (2,5 puntos) La condición fundamental para que sea compatible es que el determinante de los coeficientes ampliados sea nulo, una vez establecida esa condición analizaremos si es compatible determinado o indeterminado. Si no se anula el sistema es incompatible ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) {} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ , 1 , 1 1 min det 1 / 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 / 3 / 0 / 1 1 0 1 0 / 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 0 1 1 0 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 / 2 2 2 2 = = = + < = = = = = = = = = + = = + = + = y x Solución y x y x ado er Ind Compatible Sistema incognitas de Número B A rang A rang m Si le Incompatib Sistema B A rang B A rang B A m m m B A Si m m m m m m m m m m m m m m m m B A E2.- Sea π el plano que pasa por los puntos A(1 , -1 , 1) , B(2 , 3 , 2) ,C(3 , 1 , 0) y r la recta dada por 2 3 1 6 2 7 + = + = z y x r . a) Calcular el ángulo que forman la recta r y el plano π . (1 punto) b) Calcular los puntos de r que distan 6 unidades del plano π . (1,5 puntos) a) Para determinar el plano π debemos de halla los vectores AB, AC y AG, siendo G el punto generador del plano, como los tres son coplanarios y este último es combinación lineal de los otros dos, el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuación pedida del plano. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 5 2 2 0 1 2 1 1 2 0 1 6 1 3 1 6 0 1 1 2 1 8 1 2 1 2 1 4 0 1 2 2 1 4 1 1 1 1 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 , , 1 , 2 , 2 1 , 1 , 1 0 , 1 , 3 1 , 4 , 1 1 , 1 , 1 2 , 3 , 2 = + = + + = + + = + + + + + = + + = = = = = = z y x z y x z y x y x z z y x z y x z y x z y x AG AC AB π π 1

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Ejercicios selectividad 2004-2014Matemáticas Castilla y León

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Page 1: Pau Mate Cyl

Solución Junio 2014

OPCIÓN A E1.- Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del

parámetro m :

+=+=+=+

122

1

mymxmmyx

ymx(2,5 puntos)

La condición fundamental para que sea compatible es que el determinante de los coeficientes ampliados sea nulo, una vez establecida esa condición analizaremos si es compatible determinado o indeterminado. Si no se anula el sistema es incompatible

( ) ( ) ( ) ( )

( ) { } ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )λλ ,1,11mindet

1/001

000011

211

221111

1

2/3/0/11010/

1121112

111

21220110

111

1221

111/

2

222

−=⇒⇒−=⇒=+⇒

⇒<==⇒

=

=≠=⇒≠⇒−ℜ∈∀⇒=⇒=−⇒=

−=−+−−=−−−−

⋅=−+−−−=

+=

yxSoluciónyxyxadoerIndCompatibleSistema

incognitasdeNúmeroBArangArang

mSi

leIncompatibSistemaBArangBArangBAmmmBASi

mmmmm

mm

mmmmm

mmmmBA

E2.- Sea π el plano que pasa por los puntos A(1 , -1 , 1) , B(2 , 3 , 2) ,C(3 , 1 , 0) y r la recta dada por

23

16

27 +

=−+

=−

≡zyxr .

a) Calcular el ángulo que forman la recta r y el plano π . (1 punto) b) Calcular los puntos de r que distan 6 unidades del plano π . (1,5 puntos) a) Para determinar el plano π debemos de halla los vectores AB, AC y AG, siendo G el punto generador del plano, como los tres son coplanarios y este último es combinación lineal de los otros dos, el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuación pedida del plano.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 05220121120161316011218121214

0122

141111

1,1,11,1,1,,1,2,21,1,10,1,3

1,4,11,1,12,3,2

=−+−≡⇒=−⋅++−−⋅⇒=−⋅−+⋅+−⋅−⇒=++−⋅−−⋅−−⋅++⋅+−⋅−

⇒=

−+−≡⇒

−+−=−−=−=−−=

=−−=

zyxzyxzyxyxzzyx

zyx

zyxzyxAGACAB

π

π

1

Page 2: Pau Mate Cyl

Solución Junio 2014 Continuación del Ejercicio E2 de la opción A a) Continuación.- Una recta y un plano pueden ser paralelos o pertenecer la recta al plano, en ese caso sus vectores directores son perpendiculares y su producto escalar nulo, y si no es nulo las recta y el plano se cortan en un punto.

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) laresperpendicusonplanoelyrectaLasenarc

vv

vvsenvvsen

puntounenplanoyrectacorSevvvv

r

r

r

rr

⇒==

⇒=⋅

=+−+⋅+−+

=⋅

⋅==

⇒≠=++=−⋅−=⋅⇒

−=−=

º901

199

9

212212

9,

tan094142,1,22,1,22,1,22,1,2

222222

α

απ

π

π

ππ

b) Sean los puntos P y Q

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( )( )

( )

−−⇒

−⋅+−=−−−=−⋅+=

⇒−=⇒−=⇒−=+

−−⇒

⋅+−=−−=⋅+=

⇒=⇒=⇒=+

⇒±=−+−+++

⇒±=+−+

−+−⋅+−−−+⋅⇒

+−=−−=

+=≡

9,3,1323

36327

32791899

1,7,9123

16127

1991899

63

54664146212

52326272

236

27

222

Pzy

xQ

Pzy

xP

zyx

r

λλλ

λλλ

λλλλλλ

λλλ

E3.- Hallar la función polinómica de grado 3 sabiendo que su gráfica pasa por el punto P(1 , 0), que tiene por tangente en el punto de abscisa x = 0 la recta de ecuación y = 2x + 1, y que su integral entre 0 y 1 vale 3. (2,5 puntos)

( ) ( )( )

( )( )

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1221242432121933

1243

31243

112

4331134

30101013

014

322

34312

3030112110122020320'

1100011020

23'

23

223344

1

0

10

210

210

310

423

23

2

23

223

+++−=⇒−=⇒−=+⇒=⇒

=−−=+

−=+=+

⇒=+

⇒=+++⇒=−+−+−⋅+−⋅

=+⋅+⋅+⋅⇒=+++

−=+⇒=++⇒=+⋅+⋅+⋅⇒==⇒=+⋅+⋅⇒==

=⇒=+⋅+⋅+⋅⇒=+⋅=

++=⇒+++=

xxxxfaabba

ba

bababababa

xxxbxadxxbxax

bababafccbafm

ddcbaf

cbxaxxfdcxbxaxxfesfunciónLa

2

Page 3: Pau Mate Cyl

Solución Junio 2014 E4.- Sea la función ( ) 2xexf −= . Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)

( ) ( )

ℜ∈∀⇒>>

ℜ∈∀⇒<−⇒>−⇒>⇒⇒−=

−−

xex

xxexfCrecientexexf

x

xx

00

02020'2'

2

22

∞− 0 ∞ -2 < 0 ( - ) ( - ) x > 0 ( - ) ( + )

2xe− > 0 ( + ) ( + )

Solución ( + ) ( - ) Creciente 0/ <ℜ∈∀ xx Decreciente 0/ >ℜ∈∀ xx

Máximo relativo en ( ) 100 002

===⇒= − eefx De creciente pasa a decreciente

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )( )

−=−>⇒−>⇒>+

=<⇒<⇒−>−⇒>−

ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒<−

⇒>+−−

⇒>−−⇒>⇒⇒−−=⋅−+−=

−−−−

22

2112021

22

211212021

002

021212

02120''21222''

2

2

2222 22

xxx

xxxx

xex

xxe

xexfConcavidadxexexexf

x

x

xxxx

∞− 22

− 22 ∞

2 < 0 ( - ) ( - ) ( - ) 2xe− > 0 ( + ) ( + ) ( + )

x <22

( + )

( + )

( - )

x >22

( - )

( + )

( + )

2 < 0 ( + ) ( - ) ( + )

Concavidad

>∪

−<ℜ∈∀

22

22/ xxx Convexidad

22

22/ >>−ℜ∈∀ xx

Punto de inflexión ee

eefx 1122

22

21

42

22

2

====

−⇒−=

−−

Punto de inflexión ee

eefx 1122

22

21

42

22

2

====

⇒=

3

Page 4: Pau Mate Cyl

Solución Junio 2014 Continuación del Ejercicio E4 de la opción A

( )

( )

( )

( )−∞→⇒=

∞−=

−=

−==

∞→⇒=∞

====

−∞→=⇒=∞

====

∞→=⇒=∞

==

⇒⇒=⇒=

∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→

∞→−∞→−∞→

∞→

xcuandooblicuaasíntotaexisteNoxex

exxfm

xcuandooblicuaasíntotaexisteNoxex

exxfm

oblicuasAsíntotas

xcuandoyhorizontalasíntotaExisteeee

y

xcuandoyhorizontalasíntotaExistee

y

eshorizontalAsíntotas

verticalasíntotaexisteNosoluciónexisteNoee

xf

verticalesAsíntotas

xx

x

xx

xx

x

xx

xxxxxx

xx

xx

011lim

1

limlim

011lim

1

limlim

,0,011lim1lim1lim

,0,011lim

01

2

2

2

2

222

2

2

2

Y

X

4

Page 5: Pau Mate Cyl

Solución Junio 2014

OPCIÓN B

E1.- Sea la matriz .

++++++

=654321

aaaaaaaaa

A

a) Discutir su rango en función de los valores de a. (1,5 puntos) a

b) Para a = 1, resolver la ecuación matricial

=

000

XAt , siendo At la matriz traspuesta de A. (1 punto)

( ) 200022021

44022021

654321

654321

)

=⇒ℜ∈∀⇒

++++++

Arangaaa

aaa

aaaaaaaaa

a

=++=++=++

=

=

0753032

0

000

753642111

)

zyxzyx

zyx

zyx

A

b

t

Es una ecuación homogénea y como su rango es 2, igual que el de A, menor que el número de incógnitas el sistema es Compatible Indeterminado.

−=

⇒⇒=

⇒=+−⇒−=⇒=+⇒

λλ

λ2

02202000

000210111

000

000420111

000

420420111

000

753642111

)

zyx

Soluciónzx

zzxzyzy

b

5

Page 6: Pau Mate Cyl

Solución Junio 2014 E2.- Calcular la recta contenida en el plano 31 =++≡ zyxπ , paralela al plano 02 =≡ xπ , y que pasa

por el punto simétrico de B(-1 , 1 , 1) respecto de 2π . (2,5 puntos) Para calcular el punto B’ simétrico de B respecto a 2π , hallaremos una recta s que contenga a B y sea

perpendicular a 2π (el vector director de este plano), el punto Q intersección de la recta y el plano es el punto medio de B y B’. Además un vector director que tiene que ser perpendicular a los vectores directores de los dos planos, ya que de uno, es paralelo y su vector director perpendicular al del plano y por estar contenida en 1π es perpendicular a su vector director. Por lo tanto el vector director de la recta r es el producto vectorial de los dos vectores directores de los planos.

( ) ( )

( )

( )( )

( )

−=+==

≡⇒−=⇒−==∧=⇒

=⇒=+⇒+

=

=⇒=+⇒+

=

=⇒=+−⇒+−

=

⇒⇒

==+−=

⇒=⇒=+−⇒

==+−=

≡⇒≡

µµ

λλλ

πππ

π

π

11

11,1,0

001111

0,0,11,1,1

1,1,1'

1212

11

1212

11

1012

10

1,1,011

11101

11

10,0,1

21

2

1

2

'''

'''

'''

zy

xrvkj

kjivvv

vv

B

zzz

yyy

xxx

Qzy

xQ

zy

xsv

rr

BBB

BBB

BBB

E3.- Sea la función ( ) xxf 2+= a) Hallar su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0,5 puntos) b) Calcular el punto de la gráfica de más cercano al punto (4 , 0). (2 puntos)

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )=

+−−−+−

=+−

−+−

−−+−

==

+=⇒=⇒=−⇒=⇒+−

−=

+−

−==⇒+−=+−+=−+−=

⇒>ℜ∈∀⇒⇒>⇒>⇒⇒=+=

≥ℜ∈∀=⇒≥

1642164

164

21642

42164''

2222020'164

2'

164242'1641684402

)

0/00'12

12'

0/0)

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2222

xxxxx

xx

xxx

xxx

dxxddd

fxxxdxx

xxd

xxx

dxxdddxxxxxxxxd

b

ntodecrecimiehayNo

xxCrecientexxfCrecientexx

xf

xxfDomxa

6

Page 7: Pau Mate Cyl

Solución Junio 2014 Continuación del Ejercicio E3 de la opción A

( ) ( )

( )22,2

011212

16242122''

16412

16444164''

)

222

22

Punto

Mínimodxxxx

xxxxxd

b

⇒>==+⋅−

=⇒+−

=+−

−+−+−=

E4.- Sea la función ( ) ( )21 x

x

eexf+

= .

a) Calcular un punto de su gráfica tal que la recta tangente en dicho punto sea paralela al eje OX. Escribe la ecuación de la recta tangente. (1 punto) b) Calcular el área limitada por la gráfica de la función, el eje y las rectas x = 0 y x = ln 5. (1,5 puntos)

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) 01404100

41tan.

41

10

0011lnln1010101

10'

11

112

121

1121'

)

20

0

3

33

2

3

22

3

2

4

2

=−⇒=−⇒−⋅=−⇒⇒=+

=

=⇒=⋅⇒=⇒=⇒=−⇒=−⇒=+

−⇒==

⇒+

−=

+

−=

+

−+=

+

−+=

+

+−+=

yyxygEcuace

ef

xxexeeeee

eexfm

eee

eee

eeee

eeee

eeeeeexf

a

xxxx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

xxxxx

( )

( )

( )

( )2

05ln

5ln

0

5ln

02

lnln

112222

2

31

613

61

21

21

61

111

511

11

11

11

1

lnlnlnlnlnlnln

1

111

121

1

0lnln001

0

)

ueee

dxe

eA

KCkCekCeCeC

dtdxete

Ket

ttdtttdtdx

eeA

soluciónSinexee

eyOXconcortedePuntos

b

xx

x

KK

xx

xx

x

x

x

x

=−

=−=

−−=

+−

+−=

+−

+−=

+

−=+

=

=⇒=⇒⋅=⇒=⇒=

=⇒=+

++

−=−=−=+−

=⇒=+

=

⇒=⇒=⇒=+

⇒=⇒

∫∫∫ −+−−

7

Page 8: Pau Mate Cyl

Solución Septiembre 2014

OPCIÓN A

E1.- a) Resolver la siguiente ecuación matricial X A = B - C siendo

=

1325

A ,

=23

12B y

−=

2111

C (1,5 puntos

b) Sean 321, FyFF las filas de una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcular

razonadamente el valor del determinante de la matriz cuyas filas son respectivamente 313 FF − , 2F y 32F (1 punto)

( ) ( ) ( )

( )

30025623

22322323)

241485

5321

4221

5321

2111

2312

5321

5321

11

5321

123510165

1325

)

3231

3233213233213231

1

11

1111

=⋅−⋅=−

⋅−⋅⋅=−=−

−=

−⋅

=

−⋅

−−

=⇒

−=

−⋅

−=

−=⇒

=⇒⋅=⇒⇒≠−=−==

⋅−=⇒⋅−=⇒⋅−=

−−

−−−−

FFFF

FFFFFFFFFFFFFFFFb

X

XA

AadjAAadjA

AAExisteA

ACBXACBXIACBXAAa

ttt

E2.- Sea el punto A(1 , 1 , 3) y la recta de ecuación

==+−

≡2

02zyx

r

a) Calcular el plano perpendicular a la recta r que pase por A. (1 punto) b) Calcular la distancia del punto A a la recta r. (1,5 puntos) a) El planoπ tiene como vector director el de la recta perpendicular al vector AG, siendo G el punto genérico del plano, como ambos vectores son perpendiculares su producto escalar es nulo y la ecuación pedida del plano

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

02011

03,1,10,1,103,1,13,1,1,,

0,1,1

2

22

202

=−+≡⇒=−+−

⇒=−−−⋅⇒=⋅⇒⊥⇒

−−−=−===

==+=

≡⇒+=⇒

==+−

yxyx

zyxAGvAGvzyxzyxAG

vv

zy

xrxy

zyx

r

rrr

π

λλ

π

1

Page 9: Pau Mate Cyl

Solución Septiembre 2014 Continuación del problema E.2 de la opción A b) Hallando el punto de intersección P de la recta r y el planoπ (hallado en el apartado anterior), el módulo del vector AP es la distancia buscada

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) uAPrAd

APzy

xP

zy

xr

3111,

1,1,13,1,12,0,220

02002022

2

2

222 =−+−+==

−−=−=⇒

==+=

⇒=⇒=⇒=−++⇒

==+=

≡ λλλλλλ

E3.- Sea la función f(x) = x2e-x. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)

( ) ( ) ( ) ( )

<⇒−>−⇒>−ℜ∈∀⇒>

>

⇒>−⇒>⇒⇒−=−=

−−−−

22020

0020'22' 2

xxxxe

xxexxfCrecientexexexexxf

x

xxxx

∞− 0 2 ∞ x > 0 ( - ) ( + ) ( + ) e-x> 0 ( + ) ( + ) ( + ) x < 2 ( + ) ( + ) ( - )

Solución ( - ) ( + ) ( - ) Decrecimiento ( ) ( )20/ >∪<ℜ∈∀ xxx Crecimiento 20/ <<ℜ∈∀ xx Mínimo relativo en ( ) 010000 02 =⋅==⇒= −efx de decrecimiento pasa a crecimiento

Máximo relativo en ( ) 222 4222

eefx ==⇒= − de crecimiento pasa a decrecimiento

( ) ( ) ( ) [ ] ( )( )

( ) ( ) ( )( )

−>⇒>+−ℜ∈∀⇒>+>⇒>−−

+−−−⇒>+−⇒>⇒⇒

−=+=

⇒±

=⋅

±=⇒≥=−=⋅⋅−−=∆⇒=+−

+−=−+−−=−−−−=

−−

−−−−−

220220

22022

22220240''

2222

2224

1284088162144024

242222''

2

22

22

xxxexx

xxexxexfConcavidad

xxxxx

xxexxxxeexxexxexf

x

xx

xxxxx

∞− 22− 22 + ∞

22−>x ( - ) ( + ) ( + )

22+>x ( - ) ( - ) ( + )

e-x> 0 ( + ) ( + ) ( + ) Solución ( + ) ( - ) ( + )

Concavidad ( ) ( )2222/ +>∪−<ℜ∈∀ xxx

Convexidad 2222/ +<<−ℜ∈∀ xx Continuación del problema E.3 de la opción A

2

Page 10: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Punto de inflexión en ( ) ( ) ( )22222022 −−−=⇒−= efx

Punto de inflexión en ( ) ( ) ( )22222022 +−+=⇒+= efx

E4.- a) Hallar el punto en el que la recta tangente a la gráfica de la función ( ) 42 +−= xxxf es paralela a la recta de ecuación 75 −= xy (1 punto)

b) Calcular el área delimitada por la parábola de ecuación ( ) 22xxf = y la recta 42 += xy (1’5 puntos)

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) [ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] 2

332221

321

2

1

21

222

1

2

2

2222

2

93

18123183212414

123212412

3124

212242

0044020

0020201

12

31

22

31

129109812141

020220422422)

1043333625125'12')

uA

xxxdxxdxxA

fyy

f

x

xx

xxxxxxxxfuncionesentrecortedePuntob

fxxxxfxxfa

=−+=−−⋅−+⋅+−=

−−⋅−−−⋅+−−=⋅⋅−⋅+⋅⋅=−+=

>⇒

=+⋅==⋅=

⇒<<−

−=−

=

=+

=⇒

⋅±

=⇒≥=+=−⋅⋅−−=∆

⇒=−−⇒=−−⇒=−−⇒+=⇒

=+−=⇒=⇒=⇒=−⇒=⇒−=

−−−

−−

∫∫

Y

X

3

Page 11: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti

OPCIÓN B

E.1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales

−=+−=−

mmyxymx

211

a) Discutir el sistema según los valores de m. (1,5 puntos) b) Hallar los valores de m para los que el sistema tenga alguna solución en la que x = 2. (1 punto)

mmyxymx

211−=+−=−

( ) ( )

{ } ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )1,,11mindet

1/01

0011

11

1111

1

2/121

0011

31

1111

1

min201,1

101101

01101011

1)

22

−=⇒⇒−=⇒=−⇒

⇒<==⇒

−≡

−−

=

⇒=≠=⇒

−−≡

−−−−

−=

⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀

−=⇒=+=⇒=−

⇒=+−⇒=−⇒=⇒−=−

−=

λλyxSoluciónxyyxadoerInCompatibleSistema

incógnitasdeNúmeroBArangArang

mSi

leIncompatibSistemaBArangArang

mSi

adoDeterCompatibleSistemaincógnitasdeNúmeroArangAm

mmmm

mmmASimm

mA

a

( )

( )

( ) ( ) ( )1,212,2,1

min312931430332

21222121212212

12)

22

2

=−=⇒⇒=

⇒−=−=⋅⋅−−=∆⇒=+−

⇒−=−+−⇒−=−+−⇒−=⇒

−=+−=−

yxSoluciónmCuando

adoDeterCompatiblecomosolucionhayNomm

mmmmmmmymmy

yma

4

Page 12: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti

E.2.- a) Dados el punto A(3 , 5 , 1) la recta 122

1+=+=

−≡ zyxr y el plano 0523 =++−≡ zyxπ ,

determinar el punto B de π tal que la recta AB sea paralela a la recta r. (1,5 puntos)

b) Hallar las coordenadas de un vector de módulo 1 que sea perpendicular a los vectores PQ y PR siendo P(1 , 3 , -1) , Q(2 , 0 , 1) y R(-1 , 1 , 0). (1 punto) a) El punto S que se busca es el de intersección de la recta s que contiene el punto A y tiene como vector director el de la recta r , y el plano π

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )0,4,11115123

15505505121069

05152233sec15

231,1,2

Qzy

xQ

ciónInterzy

xsvv rs

−+=−+=−⋅+=

⇒−=⇒−=⇒=+⇒=+++−−+

⇒=++++⋅−+⋅⇒⇒

+=+=+=

≡⇒==

λλλλλλ

λλλλλλ

b

) El vector perpendicular a PQ y PR , es el vector resultante del cálculo del producto vectorial de ambos vectores, después lo normalizaremos dividiendo sus componentes entre el valor de su modulo

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=∧⇒++=∧

==++=∧⇒++=+−+++=∧

⇒−

−=∧⇒

−≡−−=−−−=−=−−=

772,

772,

772

724

724

724

724844444422326

211231

2,1,12,2,21,3,11,1,12,3,11,3,11,0,2

222

PRPQkjiPRPQ

PRPQkjijikkjiPRPQ

kjiPRPQ

PRPQ

5

Page 13: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti E.3.- Se desea construir un depósito de chapa (en forma de prisma recto, abierto y de base cuadrada) con una capacidad de 32.000 litros. ¿Cuáles han de ser las dimensiones del depósito para que se precise la menor cantidad de chapa posible en su construcción? 32.000 (2,5 puntos) Siendo B el lado de la base y H la altura del prisma

( )

( )

( )

===

=⇒⇒>

+⋅==

⇒+

=+−

=−−

==

==⇒==⇒=⇒=−

⇒=−

⇒=⇒−

=−−

=+−

==

⇒+

=+=⋅+=⇒

+=

=⇒=

dmH

dmBMínimo

dHBdA

BB

BBB

BBBBB

dHBdA

BBBB

BBA

BB

BBB

BBBB

dHdBA

BB

BB

BBBA

BHBAB

HdmHB

20160032000

4032000

400

4025600040440''

256000425600026128000226''

4064000640002

128000128000201280002

012800020'128000212800031280003'

1280001280003200044

3200032000

23

3

2

2

3

3

3

33

4

322

2

2

3333

2

3

2

3

2

33

2

32

32

22

2

232

E4.- a) Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle. (1 punto) b) Hallar la primitiva de xx ln2 cuya gráfica pasa por el punto (1 , 2) (1,5 puntos) a) Teorema de Rolle Sea f(x) una función continua en [a , b], derivable en (a , b) y que verifica que f(a) = f(b); entonces existe, al menos, un punto ( )b,ac∈ tal que f’(c) = 0

Demostración gráfica

En el siguiente gráfico se observan las tres condiciones: la función es continua en el intervalo cerrado [a,b], es derivable y los valores que toma la función en los puntos a y b son iguales, es decir, f(a) = f(b). Existe, por lo tanto, al menos un punto c que pertenece al intervalo abierto (a,b) en el cual la derivada de la función es igual a cero. Vale observar que c es distinto de a y de b. No debemos confundir c con f(c), que sí puede ser igual a f(a) y f(b).

Continuación del problema E.4 de la opción B

6

Page 14: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti En la ilustración se ve una función constante, pero el teorema no sólo se cumple en este caso. Se pueden dar tres casos en los que f(c) es distinto de f(a) y f(b), a saber:

Caso 1. El punto máximo es igual a f(a) y f(b) y el punto mínimo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cóncava hacia arriba. El punto mínimo es m = f(c), y la derivada de la función en este punto es 0.

Caso 2. El punto mínimo es igual a f(a) y f(b) y el punto máximo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cóncava hacia abajo (o convexa). El punto máximo es M = f(c), y la derivada de la función en este punto es 0.

Caso 3. Tanto el punto mínimo como el punto máximo son distintos a f(a) y f(b). Esto significa que dentro del intervalo cerrado [a, b] la función alcanza un punto máximo M = f(c2) mayor al valor de la función en los extremos a y b y un punto mínimo m = f(c1) menor a los mismos. Tanto en el punto máximo como en el punto mínimo, la derivada de la función es nula. Es decir, f '(c1) = 0 y f '(c2) = 0.

Continuación del problema E.4 de la opción B

7

Page 15: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]191ln91

9191ln

91

9191ln3

91

919

9122

912

3101

312

311ln1

3121

31ln

31

31ln

311

31ln

31ln

31

1ln

31

31ln

31

31ln

311

31ln

31ln

)

33333

3

323332

322

3323332

+−=+−=+−⋅=

=+=⇒=+−⇒=+

−⋅⋅⇒=+

−⇒=

+

−=⋅−=⋅−==

==⇒=

=⇒=

⋅−=⋅−=⋅−==

∫∫∫

∫∫∫

xxxxxxxF

KKKKF

Kxxdxxxxdxx

xxxdxxxxF

xdxxvdvdxx

dxx

duxu

xxxdxxxxdxx

xxxdxxxxF

b

8

Page 16: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

1

OPCIÓN A

E1.- Sea las matrices

=

−−=

=1

2

1

4

1

3

,1

2

CyB

a

A

a) Calcular, cuando sea posible, C . B t , B t . C y B . C (0’75 puntos) b) Hallar a para que el sistema CByAx ⋅=⋅+⋅ 4 de tres ecuaciones y dos incógnitas x e y sea compatible determinado, y resolverlo para ese valor de a (1’75 puntos)

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

==

⋅−=⋅

−−−

==−⋅

=⋅

⇒−=

1313.

51331

1

2

1

413

413

826

413

3113413

1

2

1

413

)

xotropordomultiplicaxesrmultiplicapuedesenoCB

xotropordomultiplicaxesCB

xotropordomultiplicaxesBC

B

a

t

t

t

( ) ( ) ( )

{ } ( ) ( )( ) ( )

( )

−=⇒⇒

−=⇒=

−−⇒−=⇒−=⇒

−−≡

−−≡

−−−

⇒⇒==⇒=⇒−=

⇒=≠=⇒≠⇒−−ℜ∈∀

−=−=⇒−=⇒=+⇒=−++−+−

⇒=−−=⇒=⇒===

⇒≠−=−−=−

=⇒

=−=−=+

=

−−+

⋅=

−−⋅+

5

12,

5

28,

5

1288

5

12

5

12125

0

8

12

00

11

50

12

8

12

50

11

50

4

8

4

41

11

32

min2/0/1

3/20/1

128

2828280282801264416248

0

44

811

432

/0/det2/

053211

32

44

8

432

4

8

4

4

32

1

2

1

4

4

1

3

1

2

)

yxSolución

xxyy

adoDeterCompatibleSistemaBArangArangBAa

leIncompatibSistemaBArangArangBAa

aaaaa

a

BABAincognitasdeNúmeroBArangArang

A

yax

yx

yx

y

y

y

ax

x

x

y

a

x

b

Page 17: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

2

E2.- Sean los puntos A(1 , 2 , -1) , P(0 , 0 , 5) , Q(1 , 0 , 4) y R(0 , 1 , 6) a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A, es paralela al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y tal que la primera componente de su vector es doble que la segunda (1’75 puntos) b) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por P, Q y R (0’75 puntos) a) El vector director de la recta r es perpendicular al vector director del plano π , que contiene a los puntos P, Q y R, siendo este el producto vectorial de los vectores PQ y PR y, por ello, su producto escalar es nulo

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

−−=+=

+=≡⇒−≡−−=−−⋅=⇒−=⇒−=

⇒=+⇒=+−⇒=⋅−⇒=⋅⇒⊥⇒

=−=

⇒−=⇒−+=−=×=⇒

=−=−=−=

λλλ

πππ

ππ

1

2

21

1,1,21,1,21,1,1211

0101201,,21,1,101,,2

1,1,1

1,1,1

110

1011,1,05,0,06,1,0

1,0,15,0,04,0,1

z

y

x

rvaa

aaaaavvvvaav

v

vjik

kji

PRPQvPR

PQ

r

rr

r

b) Conocido el vector director del plano π este es perpendicular al vector PG, siendo G el punto genérico del plano siendo su producto escalar nulo y la ecuación del plano buscado. Después hallaremos la distancia pedida

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )uAd

zyx

zyxPGvPGvzyxzyxPG

v

3

37

3

7

3

7

111

5121,

05

05,,1,1,105,,5,0,0,,

1,1,1

222==

−=

++

−−+−=

=−+−≡

⇒=−⋅−⇒=⋅⇒⊥⇒

−=−=−=

π

π

πππ

Page 18: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

3

E3.- Sea la función ( )

<≤≤+=

xsixc

xsibxxaxf

1ln

10. Hallar a, b y c sabiendo que f(x) es continua en

( )∞,0 , la recta tangente a f(x) en el punto de abcisa 16

1=x es paralela a la recta y = -4x + 3 , y se cumple

( ) 21

=∫ dxxfe

(2’5 puntos)

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

4044442

0

220121lnln2ln2

42

4

24

16

12

416

1'

0limlim1001lnlim

11lim1

1

102'

11

111

1

=⇒=+−⇒−=⇒−=⇒

−=+=−−

=⇒=−⇒=−⇒=⇒=

−=+⇒+⇒−=+⇒−=

=+⇒==⇒=⋅==

+=⋅+==⇒

<

<<+=

+−

+

→→→

bbaaba

ba

ccecxcx

c

baba

ba

f

baxfxffccxf

babaxffdContinuida

xsix

c

xsibx

a

xf

ee

xxx

x

E4.- a) Estudiar el crecimiento de la función ( ) 33 23 −+= xxxf (1 punto)

b) Probar que la ecuación 033 23 =−+ xx tiene exactamente tres raíces reales (1’5 puntos)

( ) ( ) ( )

−>⇒>+>

ℜ∈∀⇒>⇒>⇒⇒+=+=

202

0

03

0'2363'

)

2

xx

x

x

xfoCrecimientxxxxxf

a

∞− - 2 0 ∞ 3 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) x > 0 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + )

Solución ( + ) ( - ) ( + ) Creciente ( ) ( )02/ >∪−<ℜ∈∀ xxx Decreciente 02/ <<−ℜ∈∀ xx b)

Sea la ( ) 33 23 −+= xxxf que es continua y derivable en toda la recta real Existen, por lo calculado en el apartado anterior, dos extremos relativos, uno en x = -2 el otro en x = 0, de la siguiente forma Máximo relativo en x = - 2 ya que de crecimiento pasa a decrecimiento Mínimo relativo en x = 0 ya que de decrecimiento pasa a crecimiento

Page 19: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

4

Continuación del problema E- 4 de la opción A Apoyándonos en el Teorema de Bolzano que dice que si f(x) es continua en el intervalo [a , b] , y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [sign f(a) ≠ sign f(b)] , entonces

existe, al menos, un punto ( )b,ac∈ tal que f(c) = 0 Estudiemos los valores de la función en el entorno de sus extremos relativos, primeramente en el intervalo [-

4 , -1], entonces ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

>=−+−=−−⋅+−=−<−=−+−=−−⋅+−=−01312832321

019348643434423

23

f

f

vemos que [sign f(-4) ≠ sign f(-1)] , entonces existe, al menos, un punto ( )1,4 −−∈c tal que f(c) = 0 y

por ello 033 23 =−+ xx Analicemos si ese punto es único en el intervalo [-4 , -1] , si hubiese otro punto d que cumpliese la ecuación

033 23 =−+ xx entonces tendríamos que f(c) = f(d) = 0 , y según el Teorema de Rolle que dice que si f(x) es una función continua en [a , b], derivable en (a , b) y que verifica que f(a) = f(b) ; entonces existe, al menos, un punto ( )bae ,∈ tal que f’(e) = 0

Como ( ) ( ) ( ) 1010130330'33' 22222 −=⇒=+⇒=+⇒=+⇒=⇒+= xxxxxfxxf No habiendo solución de f’(x) = 0 no existe un punto d en donde f(d) = 0, concluyendo que el punto

( )1,4 −−∈c es único siendo la única raíz en el intervalo señalado. Estudiemos los valores de la función en el entorno de sus extremos relativos, primeramente en el intervalo [-

1 , 0], entonces ( ) ( ) ( )

( )

<−=−+=−⋅+=>=−+−=−−⋅+−=−

0330030300

0131283232123

23

f

f

vemos que [sign f(-1) ≠ sign f(0)] , entonces existe, al menos, un punto ( )0,1−∈c tal que f(d) = 0 y por

ello 033 23 =−+ xx , siendo punto único como se ha demostrado Estudiemos los valores de la función en el entorno de sus extremos relativos, primeramente en el intervalo

[0 , 4] , entonces ( )

( )

<−=−+=−⋅+=>=−+=−⋅+=0330030300

0109348643434423

23

f

f

vemos que [sign f(0) ≠ sign f(4)] , entonces existe, al menos, un punto ( )0,1−∈c tal que f(d) = 0 y por

ello 033 23 =−+ xx , siendo punto único como se ha demostrado. Como para valores de la abcisa menores de -4 la curva es creciente , y por ello no hay puntos de corte con el eje OX, pasando lo mismo para valores mayores que 4, queda demostrado que solo hay tres raíces reales

Page 20: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

5

OPCIÓN B

E1.- Sea la matriz

−−

=a

a

A

10

020

02

a) ¿Para qué valores de a la matriz es inversible? (0’5 puntos) b) Estudiar el rango según los valores de a (0’5 puntos)

c) Hallar a para que cumpla AA ⋅=−

4

11 (1’5 puntos)

a) Una matriz tiene inversa cuando su determinante no es nulo

{ } 1222 00000202

10

020

02−⇒≠⇒−ℜ∈∀⇒=⇒=⇒=−⇒=⇒−=−

−= AExisteAaaaaASia

a

a

A

{ } ( )

( ) 1

010

000

000

010

020

020

0

300

)

=⇒

−−

=⇒=

=⇒≠⇒−ℜ∈∀

ArangAaCuando

ArangAaComo

b

2

2

244

4

1

2424

1

2

1

22

112

244

4

1

44

10

02

10

02

1

4

4

1

1

2

10

02

10

011

20

00

022

2

1

20

00

022

00

122

001

0)

2

222

1

21

=⇒

−==

⇒±=⇒=⇒=

=⇒=⇒=

=⇒−=−

−==

⇒±=⇒=⇒=

=

=

−−

−⋅

−=

−−

−=⇒

−−=⇒⋅=

aSolución

a

aaa

a

a

aaa

aa

a

aaa

a

a

a

a

A

aa

aa

aa

a

aa

aA

aa

a

aa

Aadj

a

a

AAadjA

A

aCuandoc

ttt

Page 21: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

6

E2.- Sean los puntos P(1 , 4 , -1) , Q(0 , 3 , -2) y la recta

=−=

≡4

1

zy

xr

a) Hallar la ecuación del plano que pasa por P, por un punto R de la recta r y es perpendicular a la recta que pasa por Q y R (1’5 puntos) b) Hallar el ángulo que forman la recta r y el plano 03=−−≡ yxπ (1 punto) a) El plano α buscado contiene al vector RP, donde R es el punto genérico de la recta r que es perpendicular al vector QR, y por ello, el producto escalar, de ambos, es nulo. Una vez obtenido el punto R el vector QR hallado, vector director del plano, es perpendicular al vector PG siendo G el punto genérico del plano su producto escalar es nulo y la ecuación buscada

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

radsenarc

vv

vvsen

v

v

b

zxzxzyxQRPGQRPG

QR

zyxzyxPGRR

QRPRQRPR

QR

PRR

z

y

x

rzy

a

r

rr

6º30

2

1

2

1

22

1

011110

0,1,11,1,0

0,1,1

1,1,0

)

001101,0,11,4,10

1,0,12,3,01,3,1

1,4,11,4,1,,1,3,11,14,1

122

04022440242022

0211002,1,11,,00

2,1,12,3,0,4,1

1,,01,4,1,4,1,4,14

1

4

)

222222

2222

πβ

β

α

λλλλλλλλ

λλλλλλλλ

λλλλλλλλλλ

λλ

π

π

π

==

=

⇒=⋅

−=

+−+⋅++

−⋅=

⋅=⇒

−==

=+≡⇒=++−⇒=⋅+−−⇒=⋅⇒⊥

=−−−=+−−=−−=

⇒−⇒−−

⇒−=⋅±−=⇒=⋅⋅−=∆⇒=++⇒=+++++

⇒=+++++⇒=++⋅+⇒=⋅⇒⊥

++=−−+=+=−−+=

+⇒

=+=

=≡⇒+=

Page 22: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

7

E3.- Sea la función ( )2

2

+−=

x

xxf

a) Calcular sus asíntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento (1 punto) b) Dibujar el recinto comprendido entre la recta y = 1, la gráfica de la función f(x), el eje OY y la recta x = 2; calcular el área de dicho recinto (1’5 puntos)

( )

( )

( )( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ℜ∈∀⇒⇒

ℜ∈∀⇒>+ℜ∈∀⇒>

⇒>+

⇒>⇒⇒+

=+

+−+=+

−−+=

−∞→

=−−=

∞−

∞−

∞−

=−

−−=

−−=

∞∞=

−−−=+

==

∞→

=+−=

∞+

∞−

∞=+

−=

+

−=

∞∞=

+−=+

==

−∞→=

=+−−−=

∞+−

∞−−

=+−

−−=

+−

−−=

∞∞=

+−−−=

+−−−=

+−=

∞→=

=+−=

∞+

∞−

=+

−=

+

−=

∞∞=

+−=

−=⇒⇒⇒−=

+−−−=−⇒−=⇒=+

=+−=

∞+

∞−

∞=+

−=

+

−=

∞∞=

+−=+

==

∞→∞→∞→−∞→−∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

∞→∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

xCrecientexx

x

xxfoCrecimient

xx

xx

x

xxxf

xcuandooblicuaasíntotaexisteNo

x

xx

xx

xxx

x

xx

x

xx

x

x

xfm

xcuandooblicuaasíntotaexisteNo

x

xx

xx

xxx

x

xx

x

xx

x

x

xfm

oblicuasAsíntotas

xcuandoyhorizontalasíntotaExistex

x

xx

xxx

x

x

x

x

x

x

xy

xcuandoyhorizontalasíntotaExistex

x

xx

xxx

x

x

xy

eshorizontalAsíntotas

xverticalAsíntotasoluciónSinfxx

x

xx

xx

xxx

x

xx

x

xx

x

x

xfm

a

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxx

xxxxx

02

04

02

40'

2

4

2

22

2

22'

001

002

1

21

21

21

lim2

2

lim2

2lim2

2

limlim

001

002

1

21

21

21

lim2

2

lim2

2lim2

2

limlim

,1,

001

012

1

21

21

21

lim2

2

lim2

2lim

2

2lim

2

2lim

,1,

101

012

1

21

21

21

lim2

2

lim2

2lim

20

4

22

222202

001

002

1

21

21

21

lim2

2

lim2

2lim2

2

limlim

)

2

2222

2

2

22

2

22

2

2

2

22

2

22

2

2

2

22

2

22

2

Page 23: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

8

Continuación del problema E3 de la opción B b)

[ ] ( )

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 242

4

2

2

0

20

2

0

2

0

2

0

2

0

20

2

0

2

0

2

0

2ln42

4ln42ln4ln4ln44022

2402

4

12

42

20222

24102

2

41

2

2

2

21

utt

dt

x

dxxA

x

tx

txdtdxtxxx

x

dxdxdx

xxdx

x

xdxdx

x

xdxA

⋅=⋅=−⋅=⋅=+−−=+

+−−=

−−−

=⇒==⇒=

⇒=⇒=++−

++⋅−−=⋅

+−−=⋅

+−−=⋅

+−+⋅=

∫∫

∫∫∫∫∫∫∫

Y

X

Page 24: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

9

E4.- Determinar, de entre los triángulos isósceles de perímetro 6 metros, el que tiene área máxima (2’5 puntos)

LL

B

( )( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) equiláteroTriángulomB

mL

MáximoA

LL

L

LL

LL

LL

LL

dL

AdA

L

LL

L

dL

AdALL

L

LA

L

L

L

L

L

LLLL

LdL

dAA

LLLL

A

LLH

LLLLLLLLLLH

BHA

LLH

BLH

BLBLH

BHL

LLBBL

=−⋅==

⇒<−=⋅

⋅−=−⋅−⋅

−⋅−=

−−−⋅−=

−−−+−−⋅=

−−

−+−−⋅==

−⋅−

−−−⋅==⇒=⇒=−⇒=

−−

⇒=

⇒−−=

−−=

−−−−⋅=

−−−⋅−

⋅==

⇒−⋅−⋅=−⋅⋅−=

⇒−⋅=−=

⇒−=−=−+−=

+−−=

−−=

=

−−=⇒

−±=⇒−=−=⇒

+=

−=−=⇒+=

2232

2

03311

133

322322

12332''

3232

133

3232

23233

3232

232

33''

32

2322

232

33''20203

2330'

32

233

32

363

32

3233323

322

23'

33232

32332

32396

2

962

2

3624

2

424364

2

6944

2

344

2

2

324

2

4

4

4

42

322626

2

2

2

2

222222

222222222

222

Page 25: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

OPCIÓN A E1.- a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m:

−=+−=+

=+−

mmzymxmyx

mzyx

23

03(2 puntos)

b) Resolverlo para m = 0 (0’5 puntos)

( )

( )

{ } ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )λ,0,0,,0000000

001011000

mindet0)

mindet

2/2

30

131140

000

236

131140280

210

131011113

1

mindet

2/000

001011000

000

001011004

000

030011013

0

min301,0

1010

0100

9829

41

2090413

3011

13)

2

22

=⇒=⇒=+⇒=⇒

⇒=

<==⇒

−−−≡

−−−−

−−

=

<==⇒

=

⇒==⇒≠⇒−∈∀

=⇒=−=

⇒=−−⇒=+−⇒=

⇒+−=+−−=−−

⋅−−=−−

−=

−=

zyxSoluciónyyx

adoerInCompatibleSistemamSib

adoerInCompatibleSistema

incógnitasdeNúmeroBArangArang

mSi

adoerInCompatibleSistema

incógnitasdeNúmeroBArangArang

mSi

adoDeterCompatibleSistemaincógnitasNúmeroArangAm

mmm

mmmmASi

mmmmmmm

m

mmmm

mm

mA

a

1

Page 26: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti E2.- Sean el plano 0=++≡ zyxπ , la recta zyxr ==≡ y el punto A(3 , 2 , 1). a) Hallar la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r. (1 punto) b) Hallar los puntos de r que equidistan de A y de π . (1,5 puntos) a) El vector director de la recta s es AR, siendo R el punto genérico de esta, es perpendicular al vector director del plano π , siendo su producto escalar nulo y con ello se obtiene el vector director pedido, que con el punto A definen la recta

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )11

0231,0,11,0,112,22,32

263063012301,1,11,2,3

01,1,1

1,2,31,2,3,,,,:

−+

=−

=−≡⇒−≡−=−−−=

⇒=⇒=⇒=−⇒=−+−+−⇒=⋅−−−

⇒=⋅⇒⊥⇒

=−−−=−==⇒⇒

===

xxxsv

vvvvv

ARvRzyx

r

s

sss

λλλλλλλλλ

λλλλλλλλλλλλ

πππ

b) El módulo del vector AR, siendo R el punto genérico de la recta r, es igual a la distancia que hay entre el plano π y el punto R, de esa manera calcularemos el punto P que pertenece a r

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

=

=

⇒=−−

=⇒−=−

⇒=+−⇒=+−⇒=+−⇒=+−++−++−

⇒±=−+−+−⇒±=−+−+−

⇒=⇒

=++

++=

−+−+−=⇒−−−=

67,

67,

67

676767

67

6776

076014123141233124496

31233

3123

,

33

111,

1231,2,3

222222

222222

222

222

P

z

y

x

P

AdARAd

ARAR

λλ

λλλλλλλλλλλλ

λλλλλλλλ

πλλλλπ

λλλλλλ

E3.- Sea ( ) ( ) xexxf −+= 1 . Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ℜ∈∀⇒>>

ℜ∈∀⇒<−⇒>⇒⇒−=−−=+−=

−−−−

xex

xxfoCrecimientexexexexf

x

xxxx

00

010'1111'

∞− 0 ∞ -1 < 0 ( - ) ( - ) x > 0 ( - ) ( + )

e-x > 0 ( + ) ( + ) Solución ( +) ( - )

Crecimiento 0/ <ℜ∈∀ xx Decrecimiento 0/ >ℜ∈∀ xx Máximo relativo ( ) ( ) 11.11000 0 ==+=⇒= −efx

2

Page 27: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti Continuación del Problema E.3 de la opción A

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

>⇒>−ℜ∈∀⇒>

⇒>⇒⇒−=−−=−−=−

−−−−

1010

0'1111''xxxe

xfConcavidadxexeexexfx

xxxx

∞− 1 ∞ e-x > 0 ( +) ( + ) x > 1 ( - ) ( + )

Solución ( - ) ( + ) Concavidad 1/ >ℜ∈∀ xx Convexidad 1/ <ℜ∈∀ xx

Punto de inflexión ( ) ( )e

eefx 221111 11 ==+=⇒= −−

E.4.- a) Hallar ( )

11lnlim 2 +

++∞→ x

xxx

b) Calcular ∫ +++ dx

xx

111

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )[ ]

( )( )

41

2211

lim

122111lnlim

12

1111ln

lim

121ln1lim

21

11lnlim

11lnlim

)

''

'2

=⋅++

=

= →=∞∞

=+⋅

+++=

++

+++

++= →=

=∞∞

=+

+++=

⋅+

++= →=

∞∞

=++

+∞→

+∞→+∞→

+∞→+∞→+∞→

xx

xx

xxxxx

xxxxx

x

xx

x

xxx

a

x

HopitalLAplicando

xx

HopitalLAplicando

xx

HopitalLAplicando

x

Continuación del Problema E4 de la opción A

Y

X

3

Page 28: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

( ) KxxI

dttdxtx

tttdttdtdt

ttdt

ttdtt

ttdx

xxI

++++=

=⇒=+

=⋅+=+=+=+

=+

=+++

= ∫∫∫∫ ∫∫

1ln12

21

ln22ln222212211

11

2

2

4

Page 29: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

OPCIÓN B

E.1.- Sea la matriz :

−−=

221120111

M

a) Calcular M-1. (1,5 puntos) b) Calcular la matriz que cumple XM + M = M2 . (1 punto) a) Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea nulo

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

−−=

−−=

⇒−=⇒=+⇒=+⇒=+⇒=+

−−−

−=

−−−−

⋅−

=⇒

−−−−

=⇒

−−=⇒⋅=

⇒≠−=−⋅−=⋅−⋅=−−

⋅=−−

=−−

=

−−

−−

121110110

100010001

221120111

)

321

32

311

31

310

32

232131102

31

232131102

211221

1011

031231112

3133

121

330120111

221120111

1212

1

11

1

X

IMXMIXMIIXMMMMIXMMIXb

M

MMadjMMadjM

M

MExisteM

ttt

5

Page 30: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti E.2.- Sean las rectas 1−=−=≡ zyxr y mzyxs −==−≡ 2 a) Determinar m para que las rectas sean coplanarias. (1,5 puntos) b) Para m = 2, calcular la distancia entre las rectas. (1 punto) a) Para que sean coplanarias o sea para determinar un plano π que las contenga contamos con los dos vectores directores y el vector que une los puntos cualquiera de cada una de las rectas (tomaremos los indicados en las ecuaciones que las definen), que llamaremos R y S. El determinante de la matriz que forman es nulo al estar en el mismo plano y con esa condición calcularemos m. ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

262062002

321

0111020

3200

111111

102

1,0,21,0,0,0,21,1,11,1,1

,0,21,0,0

=⇒=⇒=+−⇒=−

−−⋅

⇒=−−−

⇒=−−

−=−==

−=

mmmm

mm

mmRSv

v

mSR

r

r

b) Dado que no son rectas que se cortan y no tienen puntos comunes, ni sus vectores son proporcionales con lo que no son paralelos ni la recta r es coincidente con s habrá que terminar admitiendo que son rectas que se cruzan en el espacio. Trazaremos un plano α que conteniendo a s sea paralelo a r, plano que queda determinado por los dos vectores directores de la recta y el vector SG, siendo S un punto cualquiera de la recta s (tomaremos el indicado en la ecuación) y G el punto genérico del plano. Estos tres vectores son coplanarios y el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuación buscada. La distancia de uno cualquiera de los puntos R (tomaremos el indicado en la ecuación) al plano α es la distancia buscada. ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

uRdsrd

zxzxzxyxzzyx

zyx

zyxzyxSGv

v

SR

r

r

223

23

101

210,,

040220222202222

0111111

22

2,,22,0,2,,1,1,11,1,1

2,0,21,0,0

222=

−=

−++

−−==

=−−≡⇒=−−−⇒=−+−−⇒=−−−−+−++−−

⇒=−−−

≡⇒

−−=−==

−=

α

α

α

6

Page 31: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti E.3.- a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretación geométrica. (1 punto)

b) Estudiar la continuidad de la función:

<−

<<

0cos100

1

xsixsen

xxsikxsie x

en el intervalo

2,

2ππ

, según los

valores de k (1’5 puntos) a) Teorema del valor medio o de Lagrange Si f(x) es continua en [a , b] y derivable en (a , b), entonces existe, al menos, un punto ( )b,ac∈ tal que: ( ) ( ) ( ) ( )abc'fafbf −=−

Geometricamente, como f’(c) es la pendiente de la recta tangente en el punto c y ( ) ( )

abafbf

−−

es

la pendiente de la cuerda que une los puntos [a , f(a)] y [b , f(b)], el teorema dice que dichas rectas tienen la misma pendiente; luego si una función es continua en [a , b] y tiene tangente en todos los puntos de (a , b), es decir, es derivable en (a , b), entonces existe, al menos, un punto de (a , b) en el cual la recta tangente es paralela a la cuerda limitada por los puntos [a , f(a)] y [b , f(b)]

( )

( )

( ) ( ) ( ) 000limlim

010

0cos0

coslim

00

011

00cos1lim

011lim

)

00

0

'

0

01

0

=⇒====

==== →==−

=−

=

=∞

====

+−

++

→→

→→

∞∞−

kkfxfxf

senxxsen

senxf

eeexf

b

xx

x

HopitalLAplicando

x

x

Para que sea continua k = 0

7

Page 32: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti

E4.- a) Determinar las asíntotas horizontales y verticales de la función ( )2

12 −−

=xx

xf .

(1 punto)

b) Calcular dxxx∫ −− 2

12 (1’5 puntos)

( ) ( )

( )

( )

−∞→=⇒=∞

=−−

=

∞→=⇒=∞

=−−

=

⇒⇒=−⇒−=

⇒⇒=⇒=

−=−

=

=+

=⇒

⋅±

=⇒≥=+=−⋅⋅−−=∆⇒=−−

−∞→

∞→

xcuandoyhorizontalasíntotaExistexx

y

xcuandoyhorizontalasíntotaExistexx

y

eshorizontalAsíntotas

verticalAsíntotasoluciónSinfx

verticalAsíntotasoluciónSinfx

x

xxxx

a

x

x

,0,012

1lim

,0,012

1lim

0111

0122

12

31

22

31

12910981214102

)

2

2

22

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

KxxI

dudxuxdtdxtx

ut

utut

udu

tdt

xdx

xdxdx

xxI

xxxxAABAx

BBBAx

xBxAxx

xBxAx

Bx

Axxxx

x

xxxx

b

++−

=

=⇒=+=⇒=−

=⋅=⋅−⋅=−=+

−−

=−−

=

+

−+

−=

−−⇒

=⇒=⇒=−++⇒=

−=⇒=−⇒=−−++−⇒−=

⇒=−++⇒+−−++

=+

+−

=+−

=−−

−=−

=

=+

=⇒

⋅±

=⇒≥=+=−⋅⋅−−=∆⇒=−−

∫∫∫∫∫

3

32

2

2

22

12ln

12

lnln31ln

31ln

31

31

31

131

231

21

131

231

21

3113122122

3113121111

12112

211212

12

1

12

31

22

31

12910981214102

)

8

Page 33: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

1

( ) te11tf+

=

OPCIÓN A

E1.- Sea

a) Calcular ( )∫ dttf (1’5 puntos)

b) Sea ( ) ( ) dttfxgx

0∫= . Calcular

( )xxglim

0x→ (1 punto)

( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )21ln

e1eln

111ln

e1eln

e1eln

e1eln

e1elndt

e11xg

)b

drdur1u

Ke1

elne1

1e1lnu

1ulnurlnrlnuln

rdruln

1udu

udu

1uuduI

1u1

u1

1uu1

1A10B10A0u1B11B11A1u

1Bu1uA1uu

Bu1uA1u

BuA

1uu1

1ududt1ue

edudtdudteue1

1uudu

1udu

u1dt

e11I

)a

x

x

x

x

0

0

x

xx

0t

tx

0t

t

t

t

t

tt

tt

t

−+

=+

−+

=

+

−+

=

+

=+

=

=⇒=−

++

=+

−+=

−==+−=+−=

−+−=

−=

−+−=

−=⇒=⋅+−⋅⇒==⇒=⋅+−⋅⇒=

⇒=+−⋅⇒−+−⋅

=−

+=−

−=⇒−=⇒=⇒=⇒=+

−=

−⋅=

+=

∫∫∫∫

∫∫∫

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

21

111

e11

e11lim

1e1

1

lim1

e1ee1e

lim1

e1eee

e1e1

lim

1

e1eee1e2

e1e21

lim00

01ln

022ln

01112ln

0e1

e2ln

xe1

e2lnlim

e1e2ln2ln

e1eln2ln0

e1eln2ln1ln

e1eln2ln1ln

e1elnxg

0x0x

x

0x

2xx

xx

0x

2x

x2x2x

x

x

0x

2x

xxxx

x

x

0x

Hopital'LAplicando0

0

x

x

0x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=+

=+

=+

=+=+

+

=

+

−+⋅

+=

=

+

⋅−+⋅⋅

+= →====+⋅

=+=+

+=+

+=+−

+=+−

+=−−

+=

→→→→

→→

Page 34: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

2

E2.- Dada la función ( )x1

aexfx2

+= , se pide

a) Hallar a para que la pendiente de la recta tangente a la función en x = 0, valga 2 (0’5 puntos) b) Para a = 1, estudiar el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos (1 punto) c) Para a = 1, hallar sus asíntotas (1 punto) a)

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) 2a2111a2

101ea

201

021ea20'fx1

x21eax1

1x22eax1

ex1e2ax'f

2

0

2

02

2

x2

2

x2

2

x2x2

=⇒=⋅

⇒=+

⇒=+

⋅+⇒=⇒

++

=+

−+=

+−+

=⋅

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

ℜ∈∀⇒>+

−>ℜ∈∀⇒−>⇒−>⇒>+

ℜ∈∀⇒>

⇒>++

⇒>⇒⇒++

=⇒+

=

x0x121x/x

21x1x20x21

x0e

0x1

x21e0x'foCrecimientx1

x21ex'fx1

exf

)b

2

x2

2

x2

2

x2x2

∞− 21

− ∞

e2x > 0 ( + ) ( + )

21x −>

( - ) ( + )

(1+x)2 > 0 ( + ) ( + ) Solución ( - ) ( + )

Crecimiento ( )1x1x21/x −>∪

−>>−ℜ∈∀ Decrecimiento

21x/x −<ℜ∈∀

En relativoMínimoe2e2

21

e

211

e21f

21x 1

1212

⇒=⋅==

−+

=

−⇒−= −

−⋅

(De decrecimiento pasa a crecimiento)

( )( )

( )

( ) ⇒+

=

−=⇒=−+

=−⇒−=⇒=+−−⋅

x1exf

1xenverticalAsíntota0

e11

e1f1x0x1

)c

x2

212

Page 35: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

3

Continuación problema E.2 de la opción A

( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )−∞→

=∞

=−

=−

=−+−

=+==

∞→⇒∞===

=∞∞

=+

= →=∞∞

=+

=+

=+==

−∞→=

=∞−

=−

=−

=−+

=+

=

∞→

⇒∞=∞

== →=∞∞

=+

=

∞→

∞→

−⋅

∞→−∞→−∞→

∞→∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

∞→

∞→

−⋅

∞→−∞→

∞→∞→

xcuandooblícuaasíntotaexisteNo

01exx

1limxx

elimxx

elimx

x1e

limxxflimm

xcuandooblícuaasíntotaexisteNoe2lim2e4lim

x21e2lim

xxelim

x1xelim

xx1

e

limxxflimm

oblícuasAsíntotas

xcuando,0y,horizontalasíntotaExiste

01ex1

1limx1

elimx1

elimx1

elimy

xcuandohorizontalasíntotaexisteNo11

e2limx1

elimy

eshorizontalAsíntotasónContinuaci)c

x22x2

x2

x2

x2

x

x2

xx

x2

x

x2

x

x2

x

Hopital'LAplicfando2

x2

x

x2

x

x2

xx

x2x

x2

x

x2

x

x2

x

x2

x

Hopital'LAplicfandox2

x

Page 36: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

4

E3.- Se considera el sistema de ecuaciones

( )( )( ) ( )( ) ( )

+−=+++−=+++−=++

2a1aazyx2a1azayx2a1azyax

3

2

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a (1’5 puntos) b) Resolver el sistema para a = 1 (1 punto) c) Resolver el sistema para a = -2 (1 punto) )

( ) ( )

( )

{ } ( )

( ) ( )

( ) ( )λλλ=⇒

=⇒−=−⇒=++−⇒=⇒=+−⇒=+−⇒

−=

µλµ−λ−=⇒⇒−−=⇒=++⇒

=

⇒=⇒=⇒

−≡

−−

−≡

−−

−≡

−−

−=

⇒=⇒=⇒

=

⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀

−=−−

=

=+−

=⇒

⋅±−

=⇒>=+=−⋅⋅−=∆⇒=−+

=⇒=−

⇒=−+⋅−⇒=+−⇒−

⇒=+−⇒=⇒+−=−−−++==

,,z,y,xSolución

zxz2x20zzx2zy0zy0z3y3000

000330112

2aSi)c

,,z,y,xSoluciónzyx0zyx000

000000111

1aSi)badominerdetInCompatibleSistema

00z0z0

000

000330112

000

330330112

000

422242112

000

211121112

2aSi

adominerdetInCompatibleSistema00z0z0

000

000000111

000

111111111

1aSiadominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang0A1,2a

22

31a

12

31a

1291a0981214102aa

1a01a

0211

02aa1a02a3a211

23011

RuffiniPor02a3a0ASi2a3aaaa11aa111a111a

A

a

22

23

333

Page 37: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

5

E4.- Se consideran las rectas 11z

1y

32xs;

23z

21y

1xr

−+

==−

≡−

=−−

=≡ .

a) Justificar, razonadamente, que ambas rectas se cruzan (1 punto) b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas (1’5 puntos) a) Si los vectores directores de las rectas son iguales o proporcionales pueden ser paralelas o coincidentes, en este ultimo caso, además, tendrán un punto común. Si no se cumple la igualdad o proporcionalidad las rectas pueden cortarse o ser secantes si tienen un punto común. De no cumplirse nada de lo analizado las rectas se cruzan

( )( )

( ) ( )[ ]( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )1,1,0v1435,

1435,

140v

14561110,

14141110,

1428335v

1456

1411

1452,

1414

1411

1452,

1428

14113

145v

145

1412612109

141111

1411

9877779807798

081999047

0911049

04212693082422423

01,1,342,12,2302,2,142,12,23

0vvvv0vvvv

1,1,3v2,2,1v

42,12,23v

123,21,32vsyrenapoyansequerectaslasdedirectorVector

)bcruzanserectaslastotanloPortancorsenorectasLascomúnpuntotienenNo

74

731

731

7103

731

7523

75

7922

792

733

7337

32

7031

12

1231

1223

12321

32

1zy

32xs

23z21y

xr

comúnpuntountienensiVeamos

escoincidentniparalelasnisonNo12

31

1,1,3v2,2,1v

rsrsrs

rs

srssrs

rrsrrs

s

r

rs

rs

s

r

=⇒

=⇒

+−−++−+−

=

+

−+

−+

−−

−−−

−−−=

⇒−=−

=λ⇒=−

−−λ−

−=−=µ⇒=µ−⇒=−µ−⇒

=−µ−λ−=+µ+λ

=−µ−λ−=+µ+λ

=−µ−λ−+µ−λ−−µ−λ=+µ+λ+−µ+λ+−µ−λ

⇒=−⋅+µ+λ+µ−λ−−µ−λ=−⋅+µ+λ+µ−λ−−µ−λ

=⋅⇒⊥=⋅⇒⊥⇒

−=−=

+µ+λ+µ−λ−−µ−λ=

µ−−−λ+µ−λ−µ+−λ=⇒

⇒⇒

−≠⇒+−≠+⇒

−−−≠⋅+⇒=−=λ⇒=+λ⇒=

−⋅−λ

⇒−=µ⇒−=µ⇒

−≡

−⇒

=µ+λ=µ−λ

µ−−=λ+µ=λ−µ+=λ

µ−−=µ=µ+=

λ+=λ−=

λ=≡

⇒−

≠⇒

−=−=

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6

Continuación del problema E4 de la opción A Busquemos el punto R de corte de r con la perpendicular rs

η+

η+

η+

η+

η+−

≡⇒⇒

=−=−=

−⋅+=

=+=+=

−⋅−=

−=

716712

145

rs

716712

0145

rslarperpendicuEcuación

716

753

14103

14523z

712

751

14101

14521y

145x

R

Page 39: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

7

dx3x2x

12∫ ++

OPCIÓN B E1.-

a) Calcular (1’5 puntos)

b) Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la gráfica de la función f(x) = ax3 + 2x2 +3 en los puntos de abcisa x = 1 y x = -1 sean perpendiculares (1 punto)

( ) ( )

dtdxtxtx

Kxtgarcttgarcdtt

dtt

dxx

I

dxx

dxx

dxxx

dxxx

I

complejasSolucionesxxa

22121

21

22

22

11

222

11

21

1211

21

1211

21

211

2121

321

081243142032)

222

2222

22

=⇒=+⇒=+

+

+⋅==

+=

+=

+

+=

++

=++

=+++

=++

=

⇒<−=−=⋅⋅−=∆⇒=++

∫∫∫

∫∫∫∫

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

−=

=⇒±=⇒==⇒=⇒−=−⇒−=−⋅+

−−=+⇒−=⇒

−=−⋅+−⋅=−=+=⋅+⋅==

⇒+=−−

315

315

35

35

915159116914343

431431

4314131'4314131'

43'

)

222

112

1

212

a

aaaaaaa

aa

mm

aafmaafm

xaxxf

b

Page 40: Pau Mate Cyl

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8

E2.- Se considera la función f(x) = ex + ln x, ( )∞∈ ,0x donde ln denota logaritmo neperiano a) Estudia la monotonía y las asíntotas de f(x) (1 punto) b) Demostrar que la ecuación x2ex – 1 = 0 tiene una única solución c en el intervalo [0 , 1] (0’75 puntos) c) Deducir que f presenta un punto de inflexión en c. Esbozar la gráfica de f (0’75 puntos)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )

[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )imparessiempresignodecambiosconedecrecient

ycrecienteseriacontrariocasoen,0cgqueenpuntosolounhaberpuedesolototanloPor

0x/xparacrecienteEsx0e

0x/x0x2x/x2x0x2

0xex20x'rCrecientexex2exx2x'g1exxg0cgquetalb,acpuntoun,menosal,existeentonces,bgsignagsign

ervalointdelextremoslosensignoointdistdevalorestomay,b,aervalointelencontinuaes

xgsiuedicequeBolzanodeTeorema1,0c0cg01e1e.11e11g0111.01e00g

1exxgSiendo)b

xcuandooblícuaasíntotaexisteNo

xeelim1

xeelim

xxe1lim

1xxe1

lim1

ex1

limx

exlnlimxxflimm

oblícuaAsíntota

xcuandofunciónexisteNo

xcuandohorizontalasíntotaexisteNoelimxlnlimexlnlimyhorizontalAsíntota

0xverticalAsíntota

0x/xCrecientexhxgxf

0x/xx0xx01

0x'hCrecientex1x'hxlnxh

x0e0x'gCrecienteex'gexg

)a

x

xxx2x2

12

02

x2

xx

x

xx

x

Hopital'LAplicando

x

x

x

x

x

x

Hopital'LAplicandox

xx

x

xx

x

x

xxx

=

>ℜ∈∀

ℜ∈∀⇒>>ℜ∈∀⇒>

−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+

⇒>+⇒>⇒⇒+=+=⇒−=

=∈≠

⇒∈⇒=⇒

>−=−=−=<−=−=−=

−=

∞→

∞=∞+∞=+=+

= →=∞∞

=

=+

=

+

=+

= →=∞∞

=+

==

−∞→

∞→⇒∞=∞+∞=+=+=

=

>ℜ∈∀⇒⇒+=

>ℜ∈∀⇒

ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒>

⇒>⇒⇒=⇒=

ℜ∈∀⇒>⇒>⇒⇒=⇒=

∞→∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

∞→∞→∞→

q

Page 41: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

9

Continuación Problema E3 de la opción B

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Demostrado0c''f01ex0x''fx

1exx1ex''f

x1ex'f

)c

x22

x2

2xx =⇒=−⇒=⇒

−=−=⇒+=

E3.- Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M2 – 2M = 3I, donde I denota la matriz identidad a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo expresar M -1 en términos de M e I (1’25 puntos)

b) Hallar las matrices M de la forma

abba

que cumplen la ecuación M2 – 2M = 3I

(1’25 puntos)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )I2M

31MI2MM3

M3I2MM3MM2MMIM3M2MMI3M2M

solucionesdoslasendaseesoy0MqueesMexistaqueparacondiciónLa

03222

322M

03222

3222M

1.23422M0342314203M2M

13M2MI3M2MI3M2MI3detMdetMdet

matrizladegradoelnSiendo)a

11

111211212

1

n1n2nn1n2n

n1n2nn1n2n

nn2nnn2n2nnn2

nn2nn222

−=⇒−=

⇒=−⇒=⋅−⇒⋅=⋅−⇒⋅=⋅−

≠+−=++

=

≠++=++

=

⇒⋅+±

=⇒>⋅+=−⋅⋅−−=∆⇒=−⋅−

⇒⋅=⋅−⇒⋅=⋅−⇒⋅=−⇒=−

−−

−−−−−−

−−

−−

( )( )

( )

( ) ( )

( )( )

−=⇒=−=⇒=−

⇒=+−⇒=−⇒=⋅−+⇒=⇒=−

−==

⇒±

=⇒>=−⋅⋅−−=∆⇒=−⋅−⇒=⋅−+⇒=

⇒=−⇒

=

=

−+−−−+

=

−+−−−+

=

++

=

++++

⋅=

⋅−

2b02b2b02b

02b2b04b312b11a01a

1a3a

2162a016314203a2a3a20a0b

01ab23003

3003

a2ba1ab21ab2a2ba

3003

a2bab2ab2b2ab2a2ba

3003

a2b2b2a2

baab2ab2ba

3003

a2b2b2a2

ababbabaabba

1001

3abba

2abba

abba

)b

222

2222

22

22

22

22

22

22

22

22

Page 42: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

10

E4.- Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(2 , 1 , 3) y Q(1 , 3 , 1); los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R(- 4 , 7 , - 6) a) Calcular la ecuación de la recta r (0’5 puntos) b) Calcular la ecuación que contiene al cuadrado (1 punto) c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices (1 punto) a) La recta r es una recta paralela a la recta que une P y Q, por lo tanto tiene el vector director que esta

( ) ( ) ( ) ( )

λ+−=λ−=λ+−=

≡⇒−≡−−=−==26z

27y4x

r1,2,12,2,13,1,21,3,1PQvr

b) El plano π contiene a los puntos P, Q y R, aunque este último no sea, seguramente, vértice del cuadrado. Para hallarlo obtendremos los vectores PQ, PR y el vector PG, siendo G el punto que genera al plano, estos tres vectores son coplanarios (pertenecen al mismo plano), entonces uno es combinación lineal de los otros, por ello el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuación pedida.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 03z2yx203z21y2x2

01y32x43z43z21y42x6

0322221

3z1y2x

3z,1y,2x3,1,2z,y,xPG3,2,29,6,63,1,26,7,4PR

2,2,12,2,13,1,21,3,1PQ

=+−−≡π⇒=−⋅+−+−⋅−⇒=−⋅−−⋅+−⋅+−⋅−−⋅+−⋅−

⇒=−−

−−−≡π⇒

−−−=−=−≡−−=−−−=

−≡−−=−=

c) El vector director del lado desconocido es perpendicular al de la recta y al del plano, se calcula hallando el producto vectorial de ambos. Las rectas s de los dos lados pasaran por P o por Q y tendrá como vector director el hallado.

( )( ) ( )

( ) ( )

−=

−+=

=

−+=

−=

−+=

⇒⇒−=α⇒−=α⇒

−−−

−−−−

=

−+=

−=

−+=

−=

−+=

⇒⇒−=µ⇒−=µ⇒

−−−

−−−−

−=α+λ−=α+λ−=α+λ−

⇒λ+−=α+λ−=α+λ+−=α+

⇒α+=α+=α+=

−=µ+λ−=µ+λ−=µ+λ−

⇒λ+−=µ+λ−=µ+λ+−=µ+

⇒µ+=µ+=µ+=

⇒≡−−−=

−−−=−−−+−−=−

−=×=⇒

−≡−−=−=

ππ

72

7331z

79

7343y

78

7351x

2Vertice7337

036

007051

335

707051

725

322151

712

7333z

75

7341y

71

7352x

1Vertice7337

036

007051

336

707051

936

322151

73244255

26312743

451

31z43y51x

s

93264265

26332741

452

33z41y52x

s

3,4,53,4,5v

k3j4i5j2ik4kj2i4212121kji

vvv2,1,22,1,2v

1,2,1v

2

1

s

rsr

Page 43: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

1

( )

( ) ( )[ ] ( )

−∞→=⇒=∞

== →=∞∞

==

= →=∞∞

=+

=+=+−=+=

∞→⇒∞=∞⋅∞=+=

∞→∞→

∞→

∞→

∞→−∞→

∞→

xcuando,0y,horizontalasíntotaExiste04e4lim

ex4lim

e3x2lime3x2lime3x2lime3x2limy

xcuandohorizontalasíntotaexisteNoe3x2limy

xx

Hopital'LAplicandoxx

Hopital'LAplicandox

2

x

x2

x

x2

x

x2

x

x2

x

OPCIÓN A E1.- Sea la función f(x) = (2x2 + 3) ex

a) Estudiar sus asíntotas, crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión (2 puntos) b) Esbozar su gráfica (0’5 puntos) a) No hay asíntotas verticales Asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )−∞→

⇒=∞

=+

= →=∞∞

=+

=+

=

= →=∞∞

=+

=+

=−+−

=+

=

∞→

⇒∞=∞

=++

= →=∞∞

=+

==

∞→∞→∞→

∞→

∞→

∞→−∞→

∞→∞→∞→

xcuandooblicuaasíntotaexisteNo

04x2e

4limx1e

x4limxeex4lim

xe3x2lim

xe3x2lim

xe3x2lim

xe3x2limy

xcuandooblicuaasíntotaexisteNo11

e3x2ex4limx

e3x2limxxflimy

xx

Hopital'LAplicandoxxxxx

Hopital'LAplicandox

2

x

x2

x

x2

x

x2

x

2x

x

Hopital'LAplicandox2

xx

Crecimiento y decrecimiento ( ) ( ) ( )

( )

relativosmínimosnimáximoshayNo

ntodecrecimiedeervalosinthayNo

xoCrecimientx03x4x2

x0e0x'foCrecimient

soluciónSin082416324403x4x2e3x4x2e3x2xe4x'f

2

x

22

x2x2x

ℜ∈∀⇒⇒

ℜ∈∀⇒>++ℜ∈∀⇒>

⇒>⇒

⇒<−=−=⋅⋅−=∆⇒=++

++=++=

Page 44: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

2

Continuación del Problema E1 de la opción A Concavidad y Convexidad

( ) ( ) ( ) ( )

( )

ℜ∈∀⇒>

−−>⇒>++

+−>⇒>−+

⇒>

++⋅

−+⇒>⇒

−−=−−

=

+−=+−

=⇒

⋅±−

=⇒>=−=⋅⋅−=∆⇒=++

++⋅

−+=++=++++=

x0e222x0

222x

222x0

222x

0e222x

222x0x''fConcavidad

222

4228x

222

4228x

2288x085664724807x8x2

e222x

222xe7x8x2e3x4x2e4x4x''f

x

x

22

xx22x

∞− 222 −−

222 +− ∞

ex > 0 ( + ) ( + ) ( + )

0222 >+−

( - ) ( - ) ( + )

0222 >−−

( - ) ( + ) ( + )

Solución ( + ) ( - ) ( + )

Concavidad

+−>∪

−−<ℜ∈∀

222x

222x/x

Convexidad 222x

222/x +−<<−−ℜ∈∀

Puntos de inflexión

+−=

−−=⇒

222x

222x

b)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

-10 -9,5 -9 -8,5 -8 -7,5 -7 -6,5 -6 -5,5 -5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1

Y

X

Page 45: Pau Mate Cyl

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3

E2.- a) Calcular ( )∫ +

dxxsen3

x2sen2 (1’25 puntos)

b) Calcular ( ) ( )

( )xsenx1xln1xlnlim

0x

−++→

(1’25 puntos)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) dudtt2ut3dtdxxcostxsen

Kxsen3lnt3lnulnu

dudtt3

t2dxxsen3

xcosxsen2)a

2

2222

=⇒=+=⇒=

++=+===+

=+ ∫∫∫

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 1

22

0sen00cos201

1011

xsenxxcos2x1

1x11

limxsenxxcosxcos

x11

x11

lim

00

10011

0cos00sen01

101

1

xcosxxsenx1

1x1

1

lim

xcosxxsenx1

1x1

1

lim00

0sen001ln01ln

xsenxx1lnx1lnlim

2222

0x

22

0x

Hopital'LAplicando

0x

0x

Hopital'LAplicando

0x

−=−

=−

−−

+−

=−

−−

+−

=−+−−−

−+−

=

= →==⋅+

−=

+−

−+=

+−

−+=

=+

−−

++= →==

−++=

−++

→→

→→

E3.- Se considera el sistema

+=−+=++=−+

1azyx0azyx2

2zayxdonde a es un parámetro real. Se pide:

a) Discutir el sistema en función del valor de a (1’75 puntos) b) Hallar la solución del sistema para a = 1, si procede (0’75 puntos)

( )

{ } ( )

leIncompatibSistema

soluciónSin03z3z0

34

2

000050121

154

2

0150050121

34

2

030050121

102

111212121

2aSiadominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang0A1,2a

22

31x

12

31x

1291x

0981214102aa0ASi2aaa2a12a1111

a121a1

A 2222

⇒=⇒=⇒

−−≡

−−≡

−−

−−≡

−−−−−

−=

⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀

−=−−

=

=+−

=⇒

⋅±−

=

>=+=−⋅⋅−=∆⇒=−+⇒=⇒−+=+−+−+−=−

−=

Continua del problema E2 de la opción A

Page 46: Pau Mate Cyl

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4

{ } ( )

( ) ( )

( ) ( )λλ+λ−=⇒⇒−=⇒=−++⇒+=⇒−=+−⇒=

⇒<==⇒

−−

−≡

=

⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀

,32,2z,y,xSoluciónz2x2zz32xz32y2z3yadominerdetInCompatibleSistema1aSi

)b

adominerdetInCompatible.SistincognitasdeNúmero2ArangArang02

2

000310111

202

111112111

1aSiadominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang0A1,2a

E4.- Dado el punto A(2 , 1 , 1) y las rectas

=+=+

≡−=+

=≡2zx0yx

sy1z2

2yxr se pide: a) Hallar la

ecuación de la recta que pasa por A y corta a las rectas r y s (1’75 puntos) b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A a) Calcularemos el vector genérico de la recta t como diferencia entre los puntos generales de las rectas r y s, partiendo de la posible ecuación continua de la recta buscada que pasa por A y por uno de los puntos genéricos de la rectas (tomaremos el de la recta s) y de hay estableceremos ecuaciones para el calculo de los parámetros que definen la recta pedida

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )⇒

−λ−λ

=µ⇒−λ=µ−λ⇒=+λ−µ−λµ⇒=µ−λµ++µ−λ−µ−λµ+λ

−λ−λ

=µ⇒−λ=−λµ⇒=+λ−µ−λµ⇒=µ−λµ++µ−λ−µ+λ−λµ

µ+µ−λµ−−µ+λ=µ−µ−λµ+λ⇒µ−−µ+λ=µ+µ−λµ+−λµ−−µ+λ=µ+−λ−λµ⇒µ−−µ+λ=−µµ−λ

µ+µ−λµ−−µ+λ=µ−µ−λµ+λ⇒µ−−µ+λ=µ+µ−λµ+−λµ−−µ+λ=µ+−λ−λµ⇒µ−−µ+λ=−µµ−λ

−µ+λµ+

=µ−λµ−

⇒−µ+λ

−µ=

µ−λµ−

⇒−µ+λ

−µ=

−µ+λµ+

=µ−λµ−

⇒−µ+λµ−−

=−µ+λµ−−

=µ−λµ−

−µ+λ−µ+λµ−λ=µ+−λ+µ+λ+−µ−λ=⇒

µ−=µ−=µ=

≡⇒−=−=

λ+=λ+−=

λ=≡

5343435304353022424

22232322023220222

224242221u222u211

224242221u222u211

2212

112

11

2212

121

2212

1,22,21,22,v

2zyx

rx2z

xy

1z22y

xr

22

22

22

22

t

Page 47: Pau Mate Cyl

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5

Continuación del Problema E4 de la opción A

( )

( )( ) ( )

( )

β−=β+=β+=

α+=α+=

=≡

−≡

−−=

−+−+⋅−=

=−+−+⋅−=⇒−µ+λ−µ+λµ−λ=

=−

−=

−⋅

−⋅=µ⇒=

−=λ

==−⋅−⋅

=µ⇒=+

⇒⋅

±=λ⇒≥=−=⋅⋅−−=∆

⇒=+λ−λ⇒+λ−λ−λ=+λ−λ−λ⇒−λ−λ

=−λ−λ

1z71y52x

t

31z41y

2xt

1,7,5121,

127,

1251

43

31,2

43

312,

43

31v

3,4,0122,2222,22v1,22,v

43

341

2312

2313

31

657

224

2222232

657

3225702524492347

027388661061595343

2223

1

1

t

t

t

2

222

Page 48: Pau Mate Cyl

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6

8x4x6xy 23 ++−=

OPCIÓN B E1.- a) Determinar en que puntos de la gráfica de la función la recta tangente a la misma es paralela a la recta y = 4x + 7 (1 punto) b) Hallar el área de la región comprendida entre las rectas x = 1 y x = 4 y que está limitada por dichas rectas, la gráfica de la función ( ) 4xxf 2 −= y el eje OX (1’5 puntos)

( )

=⇒=−=

⇒=−⇒=−⇒=+−⇒=⇒+−=4x04x

0x04xx30x12x344x12x34m4x12x3'y

)a

222

( ) ( )

−>⇒>+>⇒>−

⇒>+−⇒>−2x02x

2x02x02x2x04x

)b

2

x > -2 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + )

Solución ( + ) ( - ) ( + )

( )

( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) 23333

42

42

321

21

32

1

4

2

22

2

2

2

u3

3743

4983

5643724424

3112412

31A

x4x31x4x

31dx4xdx4xA

2xsi4x2x2si4x

2xsi4xxf

=−=−++−=−⋅−−⋅+−⋅+−⋅−=

=⋅−⋅+⋅+⋅−=−++−=

>−<<−+−

−<−=

∫ ∫

E2.- a) Determinar los extremos absolutos de la función ( ) 4x4xxf 2 +−= en el intervalo [1 , 4] (1’25 puntos) b) Aplicando la definición, estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por

( ) ( )

≤<−

≤≤−=

2x1si1xxln

1x0sixxxf 2

2

en el punto x = 1, donde ln denota el logaritmo neperiano (1’25 puntos)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )

=⇒==⇒=

=+⋅−==+⋅−=

⇒=⇒=

=+⋅−=

⇒⇒=⇒=⇒=−⇒=⇒−=

02f2xenabsolutoMínimo44f4xenabsolutoMáximo

444444f141411f

02f2xenrelativoMínimo

042422frelativoMínimo2x''f2x04x20x'f4x2x'f

)a

2

2

2

Page 49: Pau Mate Cyl

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7

Continuación del Problema E2 de la opción B ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0limlim1

01

021

1ln2ln2lim1

1ln2lim

00

111lnlim

011lim1

11

11

'2

1

2

1

===

=⋅

===⋅

= →==−

=

=−==

+−

+++

→→

→→→

xfxffx

xxx

xf

xff

xx

xx

HopitalLAplicando

x

x

Es continua en x = 1

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1'lim1'lim

122

0321010202

11131131111131ln121ln2'lim

1313113ln2ln2lim

1313113

1ln2ln2lim

00

1111311ln1212

113ln22lim

121

ln2lnln222lim

121

1ln2lnln212

lim'lim

00

1111ln1111ln2'lim

1121'lim

211

ln1ln21

ln11ln2

1021

'

11

22

1

2

1

2

1

'22

1

2

12

2

11

'2

2

1

1

2

2

2

2

=≠−=

==⋅+⋅+⋅

⋅−−=

−⋅+−⋅⋅+−−⋅⋅⋅−−

=

=−+−+−−

−−=

−+−+−−

⋅+−

=

= →==−−⋅⋅

⋅−−⋅=

−−−−

=

−+−

−−⋅+−=

−+−

⋅+−⋅+−⋅

=

= →==−⋅

⋅−−⋅⋅=

−=⋅−=

<<−

−−⋅⋅=

−−⋅⋅

<<−

=

+−

+

++

+

+++

+

→→

→→

→→→

xfxf

xf

xxxxxxxxx

xxxxxxx

xxx

xxxxxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxxxxxf

xf

xf

xsixx

xxxxx

xxx

x

xsix

xf

xx

x

xx

HopitalLAplicando

x

xxx

HopitalLAplicando

x

x

No es derivable en x = 1

Page 50: Pau Mate Cyl

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8

E3.- a) Determinar en función del parámetro a, el rango de la matriz

−−

=aa31011a1

A

(1’5 puntos) b) Sea C una matriz 2 x 2 de columnas C1 y C2 y de determinante 5, y sea B una matriz 2 x 2 de determinante 2. Si D es la matriz de columnas 4C2 y C1 - C2, calcular el determinante de BD-1 (1 punto)

( )

{ } ( )

( ) 2Arang300000101

003101101

0aSi3Arang0A3,0a

3a0a

0a3a0aa30ASiaa3aaaa3aa31011a1

A 222

=⇒

−≡

−−

=

=⇒≠⇒−ℜ∈∀

−==

⇒=+−⇒=−−⇒=⇒−−=−+−−=−−

=

( ) 2Arang000030131

060030131

333101131

3aSi

=⇒

−−≡

−−≡

−−−−−

−=

( ) ( ) ( )

101

2012DBDB

2054CC41CC44CC4CC4DCCC4D)b

11

21122212212

−=

−⋅=⋅=⋅

−=⋅−=⋅⋅−=⋅=−=⇒−=

−−

Page 51: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

9

E4.- Sea s la recta de ecuaciones paramétricas

=−−=

+=

1zt1yt23x

a) Halla la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1 , 0 , 5) y corta perpendicularmente a la recta r (1’5 puntos) b) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y a s (1 punto) a) El vector que une P con un punto general Sg de la recta s es perpendicular al vector director de esta y, por ello, su producto escalar nulo. Una vez hallado S la recta r queda determinada por el punto P y el vector PS

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

λ+===

≡⇒≡−=−==

=−−−=−⋅+=

⇒−=⇒=+⇒=+++⇒=−⋅−−−+

⇒=⋅⇒⊥⇒

−=

−−−+=−−−+=

5z0y1x

r1,0,04,0,05,0,11,0,1PSv

1z11y123x

1t0t550t1t4400,1,24,t1,t22

0vPSvPS0,1,2v

4,t1,t225,0,11,t1,t23PS

r

sgsgs

g

b) El plano buscado esta determinado por los dos vectores directores de r y s y por el vector PG siendo G el punto genérico del plano π buscado y P el punto dado que es el punto de corte de las rectas. Estos tres vectores son coplanarios (pertenecen al mismo plano) y el vector PG es combinación lineal de los otros dos, por eso el determinante de la matriz formada por ellos es nulo y la ecuación pedida del plano

( )( )

( ) ( ) ( )( )

01y2x

01xy20012100

5zy1x

5z,y,1x5,0,1z,y,xPG0,1,2v

1,0,0v

s

r

=−+≡π

⇒=−+⇒=−

−−≡π⇒

−−=−=−=

=

Page 52: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

1

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

=⇒=−⇒=

=+−⇒=⇒

−=⇒−=⇒−=−⇒

=−⋅==+−=

⇒−=

21x01x200g

01xx00fOXconfuncioneslasdecortedePuntos

1x2xg1x2y1x21y21131'f11111f

1x3x'f

3

2

32

OPCIÓN A E1.- Calcular el área de la región finita y limitada por la gráfica de la función f(x) = x3 – x +1, el eje de ordenadas y la recta tangente a la grafica de f en x = 1 (2’5 puntos)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) 32244

10

410

210

41

0

31

0

3

1

0

1

0

31

21

1

21

321

0

21

0

3

1

21

1

21

321

0

21

0

3

u43

48612

23

4101201

2301

41A

x2x213x

41dx2x3xdxdx1x21xxA

dx1x2dx1xxdx1x2dx1xxdx1x2dx1xxA

dx1x2dx1xxdx1x2dx1xxA

=+−

=+−=−⋅+−⋅−−⋅=

⋅+⋅⋅−⋅=+−=−−+−=

−−+−=−−+−+−−+−=

−−+−+−++−=

∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫

Y

X

Page 53: Pau Mate Cyl

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2

E2.- a) Estudiar si la función [ ] ℜ→2,0:f dada por

( )

≤<−+−

≤≤=

2x1si1x27x

23

1x0sixxf 2 ,verifica la hipótesis del teorema de Rolle. Enunciar

dicho teorema (1’5 puntos)

b) Calcular ( )

( )xsenxxex2coslim

x

0x ⋅−−

→(1 punto)

a) Teorema de Rolle

Si:

• es una función continua definida en un intervalo cerrado • es derivable sobre el intervalo abierto •

Entonces: existe al menos un número perteneciente al intervalo tal que

Veamos si es continua y derivable

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

[ ]

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) RolledeteoremaelCumple2,0

67

67c

27c30

27c3c'f

soluciónSin01

021c'f

2f0f017612

272

232f

000f

2,0enderivableEs

21x'flimx'flim

21

276

2713x'flim

21

121x'flim

2x1si27x3

1x0six2

1

x'f

2,0encontinuaEs

1xflimxflim1f1

22

22731

27

2311

271

23xflim

11xflim1f

2

1x1x

1x

1x

1x1x2

1x

1x

⇒∈⇒

=⇒=⇒=+−=

⇒==

⇒=⇒

=−+−=−⋅+⋅−=

==

⇒==⇒

=+−

=+⋅−=

==⇒

≤<+−

≤≤=

⇒===⇒

==−+−

=−+−=−⋅+⋅−=

===

+−

+

+−

+

→→

→→

Page 54: Pau Mate Cyl

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3

Continuación del problema E2 de la opción A

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) −∞=

−=

⋅+−−⋅−

=⋅+

−−⋅−=

=+

−−−= →==

⋅−−

=⋅

−−⋅=

⋅−−

→→

02

1001102

0cos00sen1e02sen2

xcosxxsen1ex2sen2lim

00

00011

0sen00e02cos

xsenxxex2coslim

)b

0

x

0x

Hopital'LUtilizando0x

0x

E3.- a) Calcular el rango de la matriz

=

16151413121110987654321

A (1’5 puntos)

b) Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3 x 3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinante de 5B y el de B2 (1 punto)

( )

164BB

5004125B5B5)b

2Arang

00000000128404321

3624120241680128404321

16151413121110987654321

)a

222

3

===

=⋅==

=⇒

E4.- a) Determinar la posición relativa de la recta y el plano 0yx =−≡π . (1’5 puntos) b) Hallar el plano perpendicular a π que contiene a r (1 punto) a) El plano y la recta o son paralelas, ó la recta pertenece al plano, ó tienen un punto común que es el llamado de corte

paralelasSoncomunespuntoshayNoadominerdetInCompatibleSistema

0101planoyrectaciónsecInter2z

1yx

rx2z1xy

⇒⇒

=−⇒=λ−−λ⇒⇒

λ=λ+=

λ=≡⇒

=+=

Otra forma de ver si son paralelas o la recta esta contenida en el plano es ver si el producto escalar de los vectores directores es nulo ya son perpendiculares.

( )( )

( ) ( ) 0110,1,12,1,1vv0,1,1v

2,1,1vr

r =−=−⋅=⋅⇒

−==

π

π

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4

Continuación del problema E4 de la opción A b) El plano es generado por el vector director del plano y el de la recta y el formado por un punto R de la recta (se toma el determinado en la ecuación de la recta) y el punto genérico del plano que se busca, los tres vectores son coplanarios y por lo tanto el determinante de la matriz formada por ellos nulo y la ecuación buscada del plano

( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) 01zyx02z2y2x20x2zz1y2

0011211z1yx

z,1y,x0,1,0z,y,xRG0,1,1v

2,1,1v

0,1,0RPunto

r

=−−+≡θ⇒=−−+⇒=+−−−

⇒=−

−≡θ⇒

−=−=−=

=

π

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5

( )1x

3x3xxf2

−+−

=

OPCIÓN B

E1.- Sea

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas (2 puntos) b) Esbozar su gráfica (0’5 puntos)

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

ℜ∈∀⇒>−>⇒>−

>⇒>

−−

⇒>⇒

−−

=−−

=−

−+−+−−=

−+−−−−

=

x01x2x02x

0x0

1xx2x0x'foCrecimient

1xx2x

1xx2x

1x3x3x3x3x2x2

1x3x3x1x3x2x'f

)a

22

22

2

2

22

2

2

x > 0 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + )

( x – 1 )2> 0 ( + ) ( + ) ( + ) Solución ( + ) ( - ) ( + )

Crecimiento ( ) ( )2x0x/x >∪<ℜ∈∀ Decrecimiento 2x0/x <<ℜ∈∀

( )

( )

⇒⇒=−

+⋅−=⇒=

⇒⇒−=−

+⋅−=⇒=

⇒ocrecimientantodecrecimieDerelativoMínimo6

1232322f2x

ntodecrecimieaocrecimientDerelativoMáximo310

30300f0xExtremos 2

2

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ⇒

>⇒>−⇒>−ℜ∈∀⇒>

⇒>−

⇒>⇒

−=

−+−+−

=−

−−−−⋅=

−−−−−−

=

1x01x01xx02

01x

20x''fConcavidad

1x2x''f

1xx4x22x4x2

1xx2x21x1x2

1xx2x1x21x2x2x''f

)a

33

3

3

22

3

2

4

22

Concavidad 1x/x >ℜ∈∀ Convexidad 1x/x <ℜ∈∀

Punto de Inflexión ( ) ⇒⇒−

=−

−⋅−=⇒= soluciónhayNo

05

1131310f1x

2

No hay P.I.

( ) 1xenverticalAsíntota01

1131311f1x01x

2

=⇒=−

+⋅−=⇒=⇒=−

Asíntotas Verticales

Page 57: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

6

Continuación del problema E1 de la opción B Horizontales

−∞→

∞==

∞−

∞−

∞+

∞+

=−−

++=

−−

++=

∞∞

=−−++

=−

+−=

∞→

∞==−+−

=

∞−

∞+

∞−

=−

+−=

+−=

∞∞

=−

+−=

∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→

xcuandohorizontalasíntotaexisteNo

01

11

331

x1

x1

x3

x31

lim

x1

xx

x3

xx3

xx

lim1x

3x3xlim1x

3x3xlimy

xcuandohorizontalasíntotaexisteNo

01

00001

11

331

x1

x1

x3

x31

lim

x1

xx

x3

xx3

xx

lim1x

3x3xlimy

2

2

x

22

222

2

x

2

x

2

x

2

2

x

22

222

2

x

2

x

Oblicuas

( )

( )[ ]

( )

( )[ ]

−∞→−=⇒−=−−

+=

−−

+=

∞∞

=−−+

=−+−

=−

+−+−=

⋅−

−+−

=−=

=+

++=

+

++=

∞∞

=+++

=−+−

==

∞→−=⇒−=−

+−=

+−=

∞∞

=−+−

=−

+−+−=

⋅−

−+−

=−=

=−

+−=

+−=

∞∞

=−+−

=−+−

==

∞→∞→

∞→−∞→−∞→−∞→−∞→

∞→∞→∞→−∞→−∞→

∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

xcuando2xyoblicuaasíntotaExiste2

x11

x32

lim

x1

xx

x3

xx2

limn

1x3x2lim

1x3x2lim

1xxx3x3xlimx1

1x3x3xlimmxxflimn

1

x11

x3

x31

lim

xx

xx

x3

xx3

xx

limxx

3x3xlimx

1x3x3x

limxxflimm

xcuando2xyoblicuaasíntotaExiste2

x11

x32

limn

x1

xx

x3

xx2

lim1x

3x2lim1x

xx3x3xlimx11x

3x3xlimmxxflimn

1

x11

x3

x31

lim

xx

xx

x3

xx3

xx

limxx

3x3xlimx

1x3x3x

limxxflimm

xx

xx

22

x

2

xx

2

x

22

2

222

2

x2

2

x

2

xx

x

xx

22

x

2

xx

2

x

22

2

222

2

x2

2

x

2

xx

Page 58: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

7

Continuación del problema E1 de la opción B b)

-10

-5

0

5

10

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

E2.- a) Hallar los parámetros reales a y b para los que la función

( )( )

≤+

>−

=0xsibx

0xsix

axxsenxf

2

2 es continúa en ℜ (1’5 puntos)

b) Calcular ( ) dx

xxln

2∫ (1 punto)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

>−

=

=⇒====⇒

=+==

=

=−=−=−

= →==−

=

= →−

=−

=−

= →==⋅−

=

−+

+

−−

−−

→→→

→→

=⇒=−

→→

0xsix

0xsix

xxsenxf

0b0xflimbxflim0fbb0xflim0f

0xflim

020´

20sen´

2xsenlim

00

x21xcoslim

0a1

0.2a0cos

x2axcoslim

00

00a0senxflim

)a

2

2

0x0x2

0x

0x

0x

Hopital'LUtilizando

0x

1a0a1

0x

Hopital'LUtilizando20x

Y

X

Page 59: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

8

Continuación del problema E2 de la opción B

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

−=−

===⇒=

=⇒=

++−=−⋅−=+⋅−=⋅−−⋅−=

∫ ∫

∫∫∫

−−

x1

1xdxx

xdxvdv

xdx

xdxduuxln

K1xlnx1

x1xln

x1

xdxxln

x1

xdx

x1xln

x1dx

xxln

)b

12

22

22

E3.- Discutir y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores

del parámetro m:

+=++=−−=++

1mzmyx30zyx1zyx

(2’5 puntos)

( ) { } ( )

adominerdetInCompatibleSistema01

1

000220

111

11

1

220220

111

201

113111

111

1mSi

adominDeterCompatibleincógnitasdeNúmero3Arang0A1xtodaPara

1m2m202m20ASi2m21m3m311m3111

111A

−−−≡

−−

−−−−≡

−−

=

⇒==⇒≠⇒−ℜ∈∀

⇒=⇒=⇒=−⇒=⇒−=−+++−−=−−=

E4.- a) Hallar la recta r que pasa por el punto A(1 , - 1 , 0) , esta contenida en el plano

0yx =+≡π y corta a la recta zyxs ==≡ (1’5 puntos) b) Hallar la distancia del punto B(2 , - 2 , 2) a la recta s (1 punto) a) El segundo punto P de la recta r buscada es el de intersección de la recta s y el plano π

( ) ( ) ( )

=α+−=α−=

≡⇒−=−−=⇒

===

⇒=λ⇒=λ+λ⇒

λ=λ=λ=

≡0z

1y1x

r0,1,10,1,10,0,0AP0z0y0x

P00zyx

s

Page 60: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

9

Continuación del problema E2 de la opción B Calcularemos un plano θ perpendicular a la recta s, plano que tiene como vector director el de la recta que es perpendicular al vector BG formado por el punto dado y el punto generador del plano buscado y por ello el producto escalar, de ambos, es nulo. Hallado el plano calcularemos el punto de corte S de la recta s con él, el módulo del vector BS es la distancia pedida

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) u3

64396

9166416

34

38

34BSS,Bds,Bd

34,

38,

342

32,2

32,2

322,2,2

32,

32,

32BS

32z32y32x

S3202302

02zyxzyx

sysdeciónsecInter

02zyx02z2y2x

01,1,12z,2y,2x0BGvBGv2z,2y,2x2,2,2z,y,xBG

1,1,1vv

222

s

==++

=

−+

+

−===

−=

−+−=−−

=

=

=

=

⇒=λ⇒=−λ⇒=−λ+λ+λ⇒

=−++

λ=λ=λ=

≡⇒θ

⇒=−++≡θ⇒=−+++−

⇒=⋅−+−≡θ⇒=⋅⇒⊥⇒

−+−=−−===

θθθ

Page 61: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

OPCIÓN A E1.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1 , 2) y determina en el primer cuadrante con los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área (2’5 puntos).

(1 , 2)

(0 , y)

(x , 0)

OY

OXx

y

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

3

3

33

22

3

2

2

2

4

22

2

22

2

2

2

2

2

22

2

22

21

2

1

u44221A

04yx2rx24y

x24y0x24y21220m4,0y0,2,2,1porpasarectaLa

414

1222y

2x

Mínimo0212

1222''A

Máximo021

210

20''A

1x2

1xx4x22x2x2x2

1xx2x21x2x2

dxAd''A

1xx2x1x21x2x2

dxAd''A

0x2x02x

0x2x0x2x

01x

x2x0'A1x

x2x1x

xx2x21x

x1xx2dxdA'A

1xx

1xx2x

21A

yx21A

1xx2

x1x2

x12x22

x122y

x12y2mm

x12

1x2

1x20m

y212y

102ym

=⋅=

⇒=−+≡⇒−=

⇒−=−⇒−⋅−=−⇒−=−−

=⇒

==−⋅

=

=⇒

⇒>==−

=

⇒<−=−

=−

=

⇒−

=−

+−+−−=

−−−−−

==

−−−−−−

==⇒

==⇒=−

⇒=−⇒=−

⇒=−−

⇒=⇒−−

=−

−−=

−−−

==⇒−

=−

⋅=

⋅=

−=

−−

=−−−

=−

−=⇒−

=−⇒=⇒

−=

−−

=−−

=

−=−−

=−−

=

1

Page 62: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti E2.- a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función ( ) 1xxf −= en el intervalo [ ]2,2− .Calcular la función derivada de f(x) en ese intervalo (1’25 puntos) b) Calcular el área del recinto delimitado, en el primer cuadrante, por la gráfica de la función y = ln x y las rectas y = 0 , y = 1 y x = 0 (1’25 puntos)

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

1xenderivableesNo

1xflim1x'flim1x'flim1x'flim

2x1si11x2si1

x'f

1xencontinuaEs0xflimxflim1f011xflim1f011xflim

1xendcontinuidalaEstudiemos2x1si1x

1x2si1xxf1x01x

)a

1x1x1x

1x

1x1x1x

1x

=

⇒−=≠=⇒

=

−=⇒

<≤<≤−−

=

⇒=⇒===⇒

=−==

=−−=

⇒=⇒

<≤−<≤−−−

=⇒>⇒>−

−++

−++

→→→

→→→

→ b)

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 1 2 3 4

( )

] ( )] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( ) 2

e1

e0

e

1

e

0

1

0

u1e1010eeA

10111ee11ln11elne0e1xlnxxdxxlndx1A

xdxvdvdxx

dxduuxln

K1xlnxxxlnxdxxlnxx

dxxxlnxdxxln

eex1xln1yCon1ex0xln0xCon

funcionesentrecortedePuntos

−=−⋅−⋅−=

=−⋅−−⋅−=−⋅−−⋅−−=−⋅−=−⋅=

==⇒=

=⇒=

+−⋅=−⋅=−⋅=⋅−⋅=

==⇒=⇒===⇒=⇒=

∫∫

∫∫∫

2

Page 63: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

E3.- a) Averiguar para que valores de m la matriz

−−−

−=

2011

101

mmA no tiene inversa

(0’5 puntos) b) Calcular la matriz inversa de A cuando m = 0 (1 punto) c) Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada A vale -1 y que el determinante de la matriz 2. A vale -16 . ¿Cuál es el orden de la matriz? (1 punto)

( )

( )

{ }

( )

( ) 442216216121622)

210021112101

100122102

21

100122102

201010011

22001

)12

01,2

22

31

12

31

29109812141

020202220

11101

)

4

1

21

1

1

2

2222

=⇒=⇒=⇒=⇒−=−⇒−==

−−

−−

=

−−−−−

⋅=

−−−−−

=⇒

−−=⇒=−+−=⇒⋅=

=−=

⇒≠⇒−−ℜ∈

−=−−

=

=+−

=⇒

±−=⇒≥=+=−⋅⋅−=∆

=−+⇒=−+−⇒=⇒+−−=−−=−−−

−=

AdeOrdennAAc

A

AadjAAAadjA

A

bmomcuandoAexisteNo

AExisteAmtodoPara

m

mm

mmmmASimmmmm

mA

a

nnnn

ttt

3

Page 64: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

E4.- Sean la recta

=+=+

≡0zmy

1yxr y el plano ( ) 11 +=+++≡ mmzymxπ . Estudiar la posición relativa

de la recta y el plano según los valores de m (2’5 puntos) Solo pueden ser coincidentes, paralelos o cortarse, si son coincidentes o paralelos los vectores directores de la recta y del plano son perpendiculares y su producto escalar nulo, en todo los demás casos el plano y la recta se cortan.

( )( )

( ) ( ) ( )

{ }

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

paralelossonplanoelyrectaLa

comunespuntoshayNo

yxzyx

RPuntoz

yx

r

mCuando

paralelossonplanoelyrectaLa

comunespuntoshayNo

zyxzyx

RPuntoz

yx

r

mCuando

planoelencontenidaestaroparalelossonplanoelyrrectalamparaomParamtodaparapuntounencorseplanoelyrrectaLa

mm

mmmmmmmmm

vvvvmmvmv

mzy

xrmyzyx

zmyyx

r rrr

⇒⇒≠−+⇒

=+⇒+=⋅+++

−⇒

==−=−=

=

⇒⇒≠−⋅+⇒

=++⇒+=⋅+++

−⇒

=−−=−=−=

=

==−ℜ∈

==

⇒=−⇒=+−⇒=−++−⇒=+⋅−−

⇒=⋅⇒⊥⇒

+=−−=

−==−=

≡⇒−=⇒−=⇒

=+=+

111

1:10010:

0,1,100

11

0

2121

22:11111:

0,1,11

11

1

101,0tan

10

0100110,1,1,1,1

0,1,1

,1,11

10

1

22

ππλ

λ

ππλλ

λ

ππ

λλλ

πππ

4

Page 65: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

OPCIÓN B

E1.- Dada la función xxlny = , determinar su dominio de definición, sus asíntotas, extremos relativos y

puntos de inflexión (2’5 puntos)

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

⇒===

⇒≠=

⋅−=

⋅−=

⋅−=

⋅+−−=

⋅+−−=

⋅+−−⋅=⇒=⇒=⇒=⋅⇒=⋅+−⇒=

⇒<−=

⋅+−=

⋅+−=

⇒⋅+−

=−−−

=−−−

=−−−

=

⇒==⇒==⇒=⇒=−⇒=⇒−

=−

=

∞→

⇒=∞

=== →=∞∞

===

−∞→∞→=

⇒=∞

=== →=∞∞

==

−∞==⇒=⇒⇒−∞=

∞−=

∞==

>ℜ∈=⇒

>ℜ∈⇒=

⇒=

∞→∞→∞→∞→

∞→∞→∞→

→ +

23

23

23

23

23

23

23

62

1223

4

23

23

23

446

22

6

23

23

333

3344

2

122

2xx

Hopital'LAplicando2xx

xx

Hopital'LAplicando

x

0x

e2

3,eenlexióninfPuntoe2

3

e

23

e

elnef0e2

e

23611

e''f

e

eln611e''fx

xln611x

xln2332x

xln23x3x2x''f

x

xln23x3xx2

x''fex23xln3xln20xln230x''f

e1,eenrelativoMáximo0

e1

e123

eeln23e''f

xxln23

xxln121

xxln1x2x

x

xln1x2xx1

x''f

e1

eelnefeex1xln0xln10x'f

xxln1

x

xlnxx1

x'f

xcuandooblicuaasíntotaexisteNo

01x21lim

x2x1

limx

xlnlimxxxln

limm

oblicuasAsíntotaslímitehaynototanloporxcuandofunciónexisteNo

xcuando0yhorizontalasíntotaExiste

01x1lim

1x1

limxxlnlimy

eshorizontalAsíntotas

00ln

xxlnlim0xverticalAsíntota100

0ln0f

0x/xfDom0x/xxln

0xxxlnxf

5

Page 66: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti E2.- Halla el valor de m para que el área limitada, en el primer cuadrante, por la función 3x4y = y la recta y = mx sea de 9 unidades cuadradas (2’5 puntos)

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

( ) ( )( )

[ ] [ ]

⇒−==

⇒±=⇒=⇒−

=

⇒−=−⋅=

⋅=⋅⋅−⋅⋅=

⇒−=⇒

⇒−=⇒−=⇒=+

=⇒=⇒=−

=

⇒=+−⇒=−⇒=⇒

∫ ∫

soluciónesNo12m12m

144mm14416

mm29

16m

8m

16m

4m

2m0

2m0

2m

2mx

414x

21mA

dxx4dxmxA

soluciónesNo2mxmx20mx2

2mxmx20mx2

0x

0xmx2mx20xmx4mxx4funcionesentrecortedePunto

222

2224

4

2

2

2m

042

m

02

2m

0

2m

0

3

23

E3.- Discutir según los valores de m y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones:

=+=+=+

2yxmmyx2ymx

(2’5 puntos)

( ) ( )2,0y,xSolución

0x22x2yadominDeterCompatibleSistema22

1011

0mCuando

leIncompatibSistema0mCuando0m0mSim

m222

001m0

11

m222mm22

2

001m0

11

2mm22

2

1m01m0

11

2mm22

2

1m0m10

11

m22

m11m11

=⇒

=⇒=+⇒=⇒⇒

=

⇒≠⇒=⇒=−⇒

−−+−

−+−−+−≡

−−

−+−≡

−−

−−≡

E4.- a) Calcular un vector unitario y ortogonal a los vectores ( ) ( )1,0,1wy0,2,1v −== (1 punto)

6

Page 67: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti

b) Calcular el plano que contiene a las rectas 2z0

3y1

xsy1zx01y

r −=+

=−

=+=+

(1’5 puntos) a) Es un vector perpendicular a los dos, para hallarlo calcularemos el producto vectorial de los vectores dados

( )

( )

−=⇒⇒=+−+=

⇒−=⇒−+=−

=×=

32,

31,

32uunitarioVector9212u

2,1,2ujk2i2101021kji

wvu

222

b) Veremos, primeramente si las rectas son paralelas o se cortan en un punto, de cruzarse o de ser rectas coincidentes no existiría plano determinado por ellas. De ser paralelas sus vectores directores son iguales o proporcionales y veremos si no tienen un punto común porque, entonces, son rectas coincidentes. Si no son paralelas analizaremos si tienen un punto común y en ese caso se cortaran en él, de no tenerlo serán rectas que se cruzan

( )

( )

escoincidentsonnorectasLasleIncompatibSistema2

posibleIm311

comúnpuntountienensiVeamos

paralelasoescoincidentrectasSonvv

1,0,1v2z

3yx

s

1,0,1vz

1y1x

rz1x

1yr

sr

s

r

⇒⇒

α+=λ⇒−=−

α−=λ+

⇒=⇒

−=⇒

α+=−=α−=

−=⇒

λ=−=λ−=

≡⇒−=−=

Sabiendo que son paralelas hallaremos el plano por medio del haz de planos que pasando por una de las rectas (tomamos r) pasen por un punto cualquiera S de la recta s (elegimos el determinado en la ecuación de la recta)

( )( )

( ) ( )

01z2yx201y2z2x2

01y211zx

21a0a21013a120SporpaseQue

01ya1zxrporpasaqueplanosdehazdelEcuación2,3,0S

1zx01y

r

=−++≡π⇒=++−+

⇒=+⋅+−+⇒=⇒=−⇒=+−⋅+−+⇒

⇒=+⋅+−+⇒⇒

=+=+

7

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IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

1

31

OPCIÓN A Ejercicio 1. [2’5 puntos] La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo

para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (Recuerda que el volumen del cono es V = πr2h).

( ) ( )[ ]

[ ] ( )

( ) ( )

=⋅=⋅=⇒⋅=−=−=

=

⇒<π−=π−=⇒π−=−π=⇒==

==⇒=−⇒=⇒−π=−+−π=

−+−π==⇒−π=⇒

−=⇒=+

π=

cm630270023

81002r3

810023

81008100h8100r

cm330h

Máximo03603302330''Vh2h631''Vcm3302700h

27003

8100h0h381000'Vh3810031h8100h2

31'V

h8100hh231

dhdV'Vhh8100

31V

h8100r90rh

hr31V

22

22222

22

22222

2

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2

E2.- Dada la función 1x1x)x(f

−+

= , se pide

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y las asíntotas (1’5 puntos)

b) Calcular el área de la región limitado por la gráfica de la función ( )xxf)x(g = , el eje OX y las rectas x =

2 , x = 4 (1 punto)

( ) ( ) { }

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

ℜ∈⇒>−ℜ∈⇒<−

⇒>−−

⇒>⇒⇒−−

=−

−−−=

−+−−

=

−ℜ∈∀=⇒=−+

=⇒=⇒=−

x01xx02

01x20)x('foCrecimient

1x2

1x1x1x

1x1x1x)x('f

1xfDom02

11111f1x01x

)a

2

2222

∞− 1 ∞ - 2 < 0 ( - ) ( - )

(x - 1)2 > 0 ( + ) ( + ) Solución ( - ) f’(x) < 0 ( - ) f’(x) < 0

Decrecimiento ( ) ( )1x1x/x >∪<ℜ∈∀

( )( ) ( ) ( )

( )

>ℜ∈⇒>⇒>−⇒>−ℜ∈⇒<−

⇒>−−

⇒>⇒⇒−−

=−

−⋅−−=

1x/x1x01x01xx04

01x40)x(''fConcavidad

1x4

1x1x22)x(''f

3

334

∞− 1 ∞

- 4 < 0 ( - ) ( - ) x > 1 ( - ) ( + )

Solución ( + ) f’’(x) > 0 ( - ) f’’(x) < 0 Concavidad 1x/x <ℜ∈∀ Convexidad 1x/x >ℜ∈∀

( )

( )

∞==

−∞==⇒

+→

−→

+

02xflim

02xflim

1x

1x

Asíntotas Verticales

x = 1

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3

Continuación del Problema E2 de la opción A Horizontales

( )

( )

−∞→=⇒

=−−+−

=

∞−−

∞+−

=−−

+−=

−−

+−=

∞∞

=−−+−

=−+

==

∞→=⇒

=−+

=

∞−

∞+

=−

+=

+=

∞∞

=−+

==

∞→∞→∞→−∞→−∞→

∞→∞→∞→∞→

xcuando1yhorizontalAsíntota

10101

11

11

x11

x11

lim

x1

xx

x1

xx

lim1x1xlim

1x1xlimxflimy

xcuando1yhorizontalAsíntota

10101

11

11

x11

x11

lim

x1

xx

x1

xx

lim1x1xlimxflimy

xxxxx

xxxx

Oblicuas o inclinadas

( )

( )

−∞→

=++

=

∞+

∞+

∞−

=+

+−=

+

+−=

∞∞

=++−

=−+

==

∞→

=−+

=

∞−

∞+

∞=−

+=

+=

∞∞

=−+

=−+

==

∞→∞→∞→−∞→−∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

xcuandooblicuaAsíntotaexisteNo

00100

11

11

x11

x1

x1

lim

xx

xx

x1

xx

limxx1xlim

x1x1x

limxxflimm

xcuandooblicuaAsíntotaexisteNo

00100

11

11

x11

x1

x1

lim

xx

xx

x1

xx

limxx

1xlimx

1x1x

limxxflimm

2

x

22

2

22

x2xxx

2

x

22

2

22

x2xxx

( ) ( ) [ ]

[ ]( ) [ ]

[ ] [ ] ( ) ( )

( ) ( )

29ln2ln9lnA

2A11A1BA1B1B

x1xBBxAx

xB

1xA

x1x1x

3t4x1t2x

dtdxt1x

2ln1ln3ln22ln4lnxln2xlndtt12dx

x1dx

1x2dx

xx1xA

4,20xverticalAsíntota01

00100f0xOYCon

4,21x01x0yOXConejeslosconcortedePuntos

4,2enpositivaZona32

64

33133f

xx1x

x1x1x

xxf

)b

31

42

3

1

4

2

4

2

4

22

2

22

=−=

=⇒=−⇒=+−=⇒=−

⇒−

−+=+

−=

−+

=⇒==⇒=

⇒=⇒=−

−−⋅=−−=−=−

+−

=−+

=

∉=⇒⇒=−+

=⇒=⇒

∉−=⇒=+⇒=⇒⇒

⇒==−+

=⇒−+

=−+

=

∫∫∫∫

Page 71: Pau Mate Cyl

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4

E3.- Dadas las matrices

=

−−

−=

−=

010321

Dy642

531C,

m10010001

B :

a) Para que valores de m existe B-1. Para m = 1, calcular B-1 (1’5 puntos) b) Para m = 1 hallar la matriz X tal que X.B + C = D (1 punto) a) Existe B-1 si el det(B) es distinto de cero

{ } ( )

( )

( ) ( ) ( )

−=

−=

−−

−−

=

−=⇒−=⇒−=

=

⋅=⇒

=⇒

−=⇒

−=⇒=

=

⋅=⇒−ℜ∈∀⇒∃⇒=⇒=⇒=−

=

−−−

−−

632230

110010001

632250

110010001

642531

010321

)

110010001

110010001

11

110010001

100110

001

110010001

1

1

100010

010001

111

1

1

11

X

BCDXBCDXBBCDXBb

B

BBadjBBB

mPara

BadjB

BmBmBmm

B

tt

t

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5

E4.- Se considera las rectas dadas por las ecuaciones: az

21y

32xs,

2zyx21zyx

r =+

=−

=−+=+−

≡ con

ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π . a) Halla el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares (1’5 puntos) b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada es z = 0 (1 punto) a) La condición es que los vectores directores de r y s son perpendiculares y por ello su producto escalar nulo.

( )

( )

( ) ( ) 2a0a20a.12.13.00a,2,31,1,0

0vvvv

a,2,3vaz

21y32x

s

1,1,0vzy

1xr

zy1zy11x3x3

r

srsr

s

r

−=⇒=+⇒=++⇒=⋅

⇒=⋅⇒⊥⇒

=⇒

µ=µ+−=µ+=

=⇒

λ=λ=

=≡⇒

=⇒=+−=⇒=

b) El vector director de t es el mismo que el de r, y el punto P lo hallaremos una vez hallado µ

( )

( )

α

α=+−=

=≡⇒

−⇒

=−=+−=

=⋅+=⇒=µ⇒

µ−=µ+−=µ+=

==

z1y2x

t0,1,2P

0z10.21y

2032xP0

2021y

32xs

1,1,0vv tr

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6

( ) ( )

>+

≤++=

0xsix

1xln0xsicbxx

xf2

OPCIÓN B

E1.- Calcular b y c sabiendo que la función es derivable en el punto x = 0

(2’5 puntos) La función, primero, debe de ser continua y después la función derivada continua

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( )

>+

≤+−=

⇒−=⇒−====

−=⋅+++

+−

=+++

+−

=

==

= →==++⋅⋅

+−=

+++−

=++−+−

=

==

++

++

++−= →==

+⋅+⋅+−

=

=+⋅==

>+

++−=

+−+

≤+

=

=⇒====

=+

=+

=+= →==+

=

=+⋅+==

+−

++

+++

++

+−

+++

→→

→→

→→→

→→

→→

→→→

0xsix

1xln

0xsi12xx

xf

21b

21x'flimbx'flim0'f

21

02010210

1

x2x1x21x

1

limx'flim

bx'flim0'f

00

0100210ln

x1xx21xlnlim

x1xx211xln1limx'flim

bx'flim0'fx1xx2

1x1x1xln1

lim00

10010ln100x´flim

bb02x'flim0'f

0xsi1xx

1xln1xxx

1xln1x

x0xsibx2

x'f

1c1xflimcxflim0f

110

11x

1lim1

1x1

lim00

010lnxflim

cc0b0xflim0f

2

0x0x

0x0x

0x

Hopital'LAplicando220x20x0x

0x

20x

Hopital'LAplicando20x

0x

22

0x0x

0x0x

Hopital'LAplicando

0x

2

0x

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7

E2.- Calcular la siguiente integral dx2x3x2

1

2∫−

+− (2’5 puntos)

( )

( ) ( )

>ℜ∈∀⇒>⇒>−>ℜ∈∀⇒>⇒>−

⇒>−⋅−

=−

=

=+

=⇒

±=⇒>=−=⋅⋅−−=∆⇒=+−

1x/x1x01x2x/x2x02x

01x2x

12

13x

22

13x

213x0189214302x3x 22

∞− 1 2 ∞ x > 1 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + ) x > 1 ( + ) f(x) > 0 ( - ) f(x) < 0 ( + ) f(x) > 0

( )

( ) ( ) [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )

629dx2x3x

6102712

35

2922

29

374

32123

237

31220

232

31dx2x3x

122122312

3111211

2311

31dx2x3x

x2x213x

31x2x

213x

31dx2x3x

x2x213x

31dx2x3xdx2x3xdx2x3x

2xsi2x3x2x1si2x3x

1xsi2x3x2x3xxf

2

1

2

2

1

2

223322332

1

2

21

21

221

311

11

211

32

1

2

11

11

211

32

1

21

1

22

1

2

2

2

2

2

=+−

−+=−+=−+−+=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=+−

−⋅−−⋅+−⋅−−−⋅+−−⋅−−−⋅=+−

⋅−⋅⋅+⋅−⋅+⋅⋅−⋅=+−

⋅+⋅⋅−⋅=−+−++−=+−

>+−≤≤−+−

<+−=+−=

∫∫∫

−−−−

−−−−−

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8

E3.- Discutir según los valores del parámetro a, y resolver cuando sea posible: ( )( )

=+−+=−+

=+

aazy1ax0z1ay

1zx (2’5

puntos)

( )

( )

{ } ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

leIncompatibSistema101

000110101

101

110110101

201

211110101

2aSi,0,1Soluciónz1x

1zx0yadominerdetInCompatibleSistema001

000010101

101

101010101

1aSi2a

12a1a

1a2a1a

a1a1010101

z

2a1a

2a1a1a

2a1aa11a

2a1a1aa1a

2a1aaa1

1a00111

y

2a1a

2a1a1a

2a1a1aaa

2a1aa1aa

1a10101

x

SoluciónadominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang2,1a

1a2a

213a189214302a3a02a3a

0ASi2a3a1a1a2a1a1aa1a1

1a10101

A

2

22

222

222

=λλ−⇒−=

⇒=+⇒=⇒⇒

=−

−=−⋅−−

−=

−⋅−−

−=

−−

=−⋅−−

−−=

−⋅−−−⋅−

=−⋅−−−⋅−−

=−⋅−−

=

−−

=−⋅−−

−−=

−⋅−−−−−

=−⋅−−

−−

=

⇒==⇒−ℜ∈∀

==

⇒±

=⇒=−=⋅⋅−−=∆⇒=+−⇒=−+−

⇒=⇒−+−=−+−+−=−−−=−

−=

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9

E4.- Dadas la rectas

=−=−

≡−

==−

≡4zy20yx2

ty2

1zy3

1xs , se pide halla la perpendicular a s y a t

y la distancia entre ambas rectas (2’5 puntos) Cualquier recta r que se apoya en s y en t, tiene como vector director la diferencia entre los puntos generales de las dos rectas, como esta tiene que ser perpendicular a los dos el producto escalar de este vector con el de cada uno de las rectas es nulo. Así se hallaran los parámetros µλ y que nos dará la ecuación de la recta r pedida, posteriormente al hallazgo previo del punto S de corte de la recta s con la recta r, después hallaremos el punto T, punto de corte con la recta t y la distancia pedida es la que hay entre estos puntos

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u5140012011T,Sdt,sd

0,2,1T144z

12y1x

T

1z220y101x

r1,0,1S021z

0y031x

S

1,2,014025,120,1031v11313

013130012502732731690273273294

02121130131314

0168204231084102393

0425,2,314,2,10425,2,312,1,3

0vvvv0vvvv425,2,314421,2,31v

4,2,1v44z

2yx

t4x4z4zx4

x2yt

2,1,3v21z

y31x

s

222

r

trtr

srsrr

t

s

=++=−+−+−==

⋅+−=⋅=

=

α+=α−=α−=

=α⋅+=≡⇒

⋅+==

⋅+=

−=⋅−⋅+⋅−−⋅+=⇒=µ⇒−=µ−

⇒=+µ−⇒=λ⇒=λ⇒

=−µ+λ−=+µ−λ

=+µ−λ=+µ−λ

=µ−λ++µ−λ+µ−λ+=µ−λ++µ−λ+µ−λ+

=µ−λ+µ−λµ−λ+⋅=µ−λ+µ−λµ−λ+⋅

=⋅⇒⊥=⋅⇒⊥⇒µ−λ+µ−λµ−λ+=µ−+λ+µ−λµ−λ+=

=⇒

µ+−=µ=µ=

≡⇒

−=⇒=−=

=⇒

λ+=λ=λ+=

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1

( ) ( ) x1xgyxlnxf −==

OPCIÓN A E1.-a) Dadas las funciones , hallar el recinto plano limitado por las rectas x = 1, x = 2 y las gráficas de f(x) y g(x) (2 puntos) b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él (0’5 puntos) ( ) ( ) x1xgxlnxf −=⇒=

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3

( )

( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

2

22

21

221

2

1

21

2

1

2

1

2

1

u212ln2A

2322ln2

2311022ln212

211211ln112ln2A

x21x1xlnxdxx1dxxlndxx1dxxlnA

xdxvdvdxx

dxduuxln

1xlnxxxlnxdxxlnxx

dxxxlnxdxxln

−=

+−=+−−−−=−⋅+−−−⋅−−⋅=

⋅+−−⋅=−−=−+=

==⇒=

=⇒=

−⋅=−⋅=−⋅=⋅−⋅=

∫ ∫∫ ∫

∫∫∫

Y

X

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2

Continuación del problema E1 de la opción A

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1xenderivableesNo

3xflim1xflim1f1x'flim1'f3x'flim

1xsi11xsi3

x'f

1xenContinuaEs

8xflimxflim1f851.3xflim1f851.3xflim

1xsi7x1xsi5x3

xf

)b

1x1x1x

1x

1x1x1x

1x

=

=≠==

⇒==

=⇒

≤<

=

=

===

⇒=+==

=+=⇒

≤+<+

=

−++

−++

→→→

→→→

E2.- a) Si el termino independiente de un polinomio p(x) es – 5 y el valor que toma p(x) para x = 3 es 7, ¿se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0 , 3]. Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen (1’5 puntos)

b) Calcular dxxsen1

xcos2∫ +

(1 punto)

a) Si, se puede asegurar, como también se puede asegurar que habrá un cero en ese intervalo

Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos, entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.

De este teorema se deriva el teorema del valor intermedio que determina que si f una función continua en un intervalo [a,b] y supongamos que f(a) < f(b). Entonces para cada u tal que f(a) < u < f(b), existe un c dentro de (a,b) tal que f(c) = u. La misma conclusión se obtiene para el caso que f(b) < f(a). En nuestro caso p(0) = -5 < p(3) = 7, entonces como p(0) < 2 < p(3), existe un valor c dentro de (0 , 3) tal que p(c) = 2

Teoremas que lo confirman

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3

Continuación del Problema E2 de la opción A

( )

dtdxxcostxsen

Kxsentgarcttgarcdxt1

dtdxxsen1

xcos)b 22

=⇒=

+==+

=+ ∫∫

E3.- a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3 x 3 que verifica B2 = 16.I, siendo I la matriz unidad. Calcular el determinante de B (1’5 puntos)

b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación

=⋅

200100

X2010

(1 punto)

−==

⇒±=⇒=⋅=⋅==64B

64B256B16116I16BB

)a

33322

b) X es una matriz de tamaño 2 x 3

=⇒

===ℜ∈ℜ∈ℜ∈

=

=

100cba

X

1f0e0d

cba

200100

f2e2d2fed

200100

fedcba

2010

E4.- Se considera la recta

=−=+−

≡4zay

0azyxr con ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π .

a) Halla todos los valores de a para los que r es paralela a π (1 punto) b) Para a = 2 hallar la distancia de r a π (1 punto) c) Para a = 1 hallar la distancia de r a π (0’5 puntos) a) Para que r sea paralela al plano π se tiene que cumplir que los vectores directores de la recta y el plano sean perpendiculares y, por lo tanto, su producto escalar es nulo.

( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

−=−

=

=+

=⇒

±=⇒>=+=−⋅⋅−−=∆⇒=−−

⇒=++−⇒=⋅−⇒=⋅⇒⊥⇒

≡−≡

+−=λ=

λ−+=≡⇒+−=⇒−+=⇒=+−⇒

=−=+−

ππ

π

12

31a

22

31a

291a0981214102aa

0a1a101,1,1a,1,a10vvvv1,1,1v

a,1,a1v

ay4zy

a1a4xray4zya1a4xa4yayx

a4azya0azyx

r

22

22rr

2r

2

222

Page 80: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

4

Continuación del Problema E2 de la opción A b) Al ser paralela se calculará la distancia de unos de sus puntos R, al plano dado π

( )( ) ( ) ( ) ( )

u3

323

2111

2408,Rd,rd4,0,8R

y24zy

2124xr

222

2

==++

−−++=π=π⇒−⇒

+−=λ=

λ−+⋅=≡

c) La recta es secante, ya que no puedes ser paralela por lo tanto la distancia de la recta al plano es cero.

Page 81: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

5

( ) ( )

( )

( )

===

=⇒⇒>

+=

+=

+−=

−−⋅==

⇒==⇒=⇒=−⇒=−

⇒=⇒

−=

−=

−==⇒

+=

⋅+=

+=+⋅⇒+⋅+⋅=⋅⋅++⋅=

=⇒⋅=

cm5'736270

6270H

cm6btecosMínimo0

64326256''P

b432b25

b432b2b325

b216bb2bb325

dbPd''P

.cm6216b216b0216b0b

216b0'Pb

216b25'P

b1080b55

b1080b55

dbdP'P

b1080b52́5

b270b4b52́5P

bH4b52́5bH20b5'12bH20b5b5'7b5'15bH4b5Pb270HHb270

23

3

3

3

3

33

4

322

2

2

3332

3

2

3

2

3

22

22

222222

22

OPCIÓN B E1.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 €/ m2 y para la base un material un 50 % más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo (2’5 puntos) Llamando b a la longitud de la base cuadrada y H a la altura

E2.- Hallar el valor de a para que se verifique que ( )xsenxxlim

1x2ax2lim 2

32

0x

5x

x

−=

−+

+

+∞→

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]1a01a0

21aee1e

0cos22

02cos2062

x2cos2x62lim

xsenxcos2x62lim

xsenxsenxcos2x62lim

eee

1a1x2

11lim

00

xcosxsen2x3x2lim

00

xsenxxlim

1a1x2

11lim1x21a

1x21x2lim

1x21a1x2lim1

1x2ax2lim

021a

21a

0x220x20x

21a

1x25a5x1alim

1x25a5xaxlim

1x21a5xlim

1a1x2

x

Hopital'LAplicando2

0x

Hopital'LAplicando2

32

0x

5x

x

5x

x

5x

x

5x

x

xx

x

−=⇒=+⇒=+

⇒=⇒=

⋅=

⋅⋅⋅−

=⋅−

=−⋅−

=−⋅+⋅

===

+−

+

= →==⋅⋅

−= →==

+−

+=

−+

+−−

=

−++−

==

−+

++

→→→

+−

+++−

+++

−+

⋅+

+−

+∞→

→→

+

+∞→

+

+∞→

+

+∞→

∞+

+∞→

+∞→+∞→

+∞→

Page 82: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

6

E3.- Consideramos el sistema de ecuaciones lineales:

=++=+−+=+−

az3yx1zayx

a1azyx2,

a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a (2 puntos) b) Resolver el sistema para a = 1 (0’5 puntos)

( )

{ } ( )

( )

( ) ( )0,0,1Solución04

igualescolumnasDos04

211111212

x

04

igualescolumnasDos04

311111122

y144

4321116

4311111112

x

adominDeterCompatibleSistema041.51A1aSi)b

leIncompatibSistema

84

6

000390

512

124

6

390390

512

44

6

130390

512

1026

6222102512

516

311151512

5aSi

leIncompatibSistema4

11

000210012

111

630210012

021

622202012

011

311101012

0aSi

adominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang5,0a

5a0a

05aa0a5a0ASia5a32aa1a63111a1a12

A

2

222

⇒=−

=−

−−

=

=−

=−

==−−

=−

+−++−−=

−−

=

⇒≠−=−=⇒=

−−−

−≡

−−−

−≡

−−−

−≡

−−

−−

=

−≡

−≡

−≡

=

⇒==⇒−ℜ∈∀

==

⇒=−⇒=−⇒=⇒−=+−++−−=−−

=

Page 83: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

7

E4.- Dados el punto P(1 , 1 , -1), la recta 3z4

6yxr −=+

=≡ y el plano

012z6x6 =−+≡π , se pide: a) Halla el punto simétrico de P respecto del plano π (1’5 puntos)

b) Hallar los puntos Q de r que distan 2

1unidades de longitud de π (1 punto)

a) Hallaremos un recta s que pase por P y es perpendicular al plano π , para generarla utilizaremos como vector director el del plano dado. Una vez hallada la recta, calcularemos el punto de corte S, de esta, con el plano que es el punto medio entre P y su simétrico P’

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )1,1,3'P

1z1z02

1z0

1y1y22

1y1

3x1x42

1x2

0,1,2S11x

1y11x

101212012161.016

1x1y

1xs1,0,16,0,6vv

'P'P'P

'P'P'P

'P'P'P

s

=⇒−=⇒−

=

=⇒+=⇒+

=

=⇒+=⇒+

=

⇒⇒

+−==+=

≡=λ⇒=−λ⋅⇒=−λ+−⋅++λ+⋅

λ+−==

λ+=≡⇒≡==π

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

−−⇒

−+=−⋅+−=

−=⇒−=µ⇒−=µ⇒+µ=−

−⇒

+=⋅+−=

=⇒=µ⇒=µ⇒+µ=

−µ++µ=−⇒++

−µ+⋅+µ=−

−µ++µ=⇒++

−µ+⋅+µ=

⇒±=π⇒

µ+=µ+−=

µ=≡

2,10,1S13z

146y1x

T112126126

0,6,0S03z

046y0x

S00126126

1261866606

123662

1

12618636606

123662

1

21r,d

3z46y

xr

)b

222

222

Page 84: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 (Específico) Juan Carlos Alonso Gianonatti

1

( ) ( )x

2

e3xxf +

=

OPCIÓN A

E1.- Dada la función , se pide determinar:

a) El dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas (1 punto) b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos (1 punto) c) La gráfica de f (0’5 puntos)

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

∞→

=∞

=+

=++

= →=

=∞∞

=++⋅

= →=∞∞

=+

=

+

==

−∞→

∞=∞⋅====

= →=∞∞

=−−

= →=∞∞

=+−

=++

=

∞→=

=∞

== →=∞∞

=+⋅

= →=∞∞

=+

=

−⇒−=⇒=+⇒=+⇒+

=⇒=⇒

⇒==+

=⇒=⇒⇒

ℜ∈∀=⇒ℜ∈∀⇒≠

∞→∞→

∞→∞→∞→∞→

∞→∞→−∞→

−∞→−∞→−∞→

∞→∞→∞→

xcuandooblicuaAsíntotaexisteNo

02xee2

2limxeee

2lim

xee3x2lim

xe3xlim

xe

3x

limxxflimm

oblicuasAsíntotas

xcuandohorizontalAsíntotaexisteNo

2e2lim

e12lim

e2lim

e6x2lim

e9x6xlim

e9x6xlimy

xcuando0yhorizontalAsíntota

02e2lim

e3x2lim

e3xlimy

eshorizontalAsíntotas

verticalesasíntotashayNo

0,33x03x03xe

3x00yOXCon

9,0919

e300f0xOYCon

cortedePuntos

xfDomx0e)a

xxxxxxx

Hopital'LUtilizando

xxx

Hopital'LUtilizandox

2

x

x

2

xx

x

x

x

xxx

Hopital'LUtilizandoxx

Hopital'LUtilizandox

2

xx

2

x

xx

Hopital'LUtilizandoxx

Hopital'LUtilizandox

2

x

2x

2

0

2

x

Page 85: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 (Específico) Juan Carlos Alonso Gianonatti

2

Continuación del Problema E1 de la Opción A

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

ℜ∈∀⇒>−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+

ℜ∈∀⇒<−

⇒>++

−⇒>⇒

++−=

−−+=

+−+=

+−+=

−∞→

∞=−+⋅

=

= →=∞∞

=−−

=−−

=−−

=−−−

=

= →=∞∞

=−

+−=

++=

+

==

∞→

∞→−∞→−−∞→−−∞→

−∞→−∞→−∞→−∞→

x0e1x/x1x01x3x/x3x03x

x01

0e

1x3x0x'fCreciente

e1x3x

e1x3xe

e3x23xe

e3xee3x2x'f

)b

xcuandooblicuaAsíntotaexisteNo1

e6x2e2lim

1xe6x2lim

e1x6x2lim

exe6x2lim

xee6x2lim

xe9x6xlim

xe9x6xlim

xe

3x

limxxflimm

ónContinuacioblicuasAsíntotasónContinuaci)a

x

x

xx2

x

x2

x

x2

2xx

xx

x

Hopital'LUtilizandox

xxxxxxxxx

Hopital'LUtilizandox

2

xx

2

x

x

2

xx

∞− - 3 -1 ∞ -1 < 0 ( - ) ( - ) ( - ) x < - 3 ( - ) ( + ) ( + ) x < - 1 ( - ) ( - ) ( + ) ex ( + ) > 0 ( + ) ( + )

Solución ( - ) f’(x)<0 ( + ) f’(x)>0 ( - ) f’(x)<0 Crecimiento 1x3/x −<<−ℜ∈∀ Decrecimiento ( ) ( )1x3x/x −>∪−<ℜ∈∀

Mínimo relativo en x = -3 ( ) ( ) 0e0

e333f 33

2

==+−

=−⇒ −− De decrecimiento pasa a

crecimiento

Máximo relativo en x = -1 ( ) ( ) e4e2

e311f 1

2

1

2

==+−

=−⇒ −− De crecimiento pasa a

decrecimiento

Page 86: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 (Específico) Juan Carlos Alonso Gianonatti

3

Continuación del Problema E1 de la Opción A

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

E2.- Calcular ( ) ( )( )∫ +

++e

1

23

xln1xxlnxln1

(2’5 puntos)

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( ) [ ] [ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 2ln231ln2ln1

2101ln11ln0101

21

t1lntt21

t1dtdt1tdx

xln1xxlnxln1

12t21t2

2ttt

1t1t3t

01lnt1x1elntex

dtx

dxtxln

t1dtdt1tdt

t1tt31dx

xln1xxlnxln31dx

xln1xxlnxln1

22

10

10

10

21

0

1

0

e

1

23

2

2

1

0

1

0

1

0

2e

1

2e

1

23

−=+−+=+−+−−+−⋅=

=+−+⋅=+

−+=+++

−−−+

+−−

+++

==⇒===⇒=

⇒=⇒=

+−+=

+++

=+++

=+++

∫∫∫

∫∫∫∫∫

X

Y

Page 87: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 (Específico) Juan Carlos Alonso Gianonatti

4

E3.- Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto A(1 , 0 , - 1), es perpendicular

al plano 01z2yx =++−≡π y es paralelo a la recta

=−=

≡0y2x

0zr (2’5 puntos)

Los vectores directores de la recta r, del plano π y el formado por el punto A y el punto genérico G, son coplanarios y por lo tanto el determinante de la matriz que forman los tres es de valor nulo.

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 05z3y4x201z3y41x20y41z1z21x2

0211012

1zy1x

1z,y,1x1,0,1z,y,xAG2,1,1v

0,1,2v

0zy

2xry2x

0y2x0z

r

r

=−−−≡π⇒=+⋅−−−⋅⇒=−+−+⋅−−⋅

⇒=−

+−≡π⇒

+−=−−=−=

=

=λ=λ=

≡⇒=⇒

=−=

π

E4.- a) Sea A una matriz cuadrada tal que A2 – 3A = - 2I (siendo I la matriz identidad). Probar que A admite inversa y utilizar la igualdad dada para expresar A-1

=

21m102m21

B

en función de A (1’5 puntos)

b) Sea la matriz de coeficientes de un sistema lineal. Hallar razonadamente

los valores de m para los que el sistema es compatible determinado (1 punto)

( ) ( ) ( )

( )

adominDeterCompatibleSistema0A49mtodoPara

49m09m40ASi9m481m2m2

21m102m21

A

0AadominDeterCompatibleSistemaelserPara)b

AdefunciónenvalorelcalculadohaseyayAExisteI3A21A

A2I3AA23AIIA23AAAI23AA)a

11

1111

⇒≠⇒

−ℜ∈

⇒=⇒=−⇒=⇒−=−−+==

⇒≠⇒

⇒−⋅=

⇒−=−⇒−=−⋅⇒−=−⋅⇒−=−⋅

−−

−−−−

Page 88: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 (Específico) Juan Carlos Alonso Gianonatti

5

OPCIÓN B

E1.-De ℜ→ℜ:f se sabe que f’’(x) = x2

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )1217

3x10x

3x

12xxf

1217

1210124124

3101

31

1212C2C

31101

31

12121f

C3

x10x3x

12xx

310x

212x

31x

31

41dx

310x2x

3xxf

310x2x

3xx'f

3103

31K0K121

3101'f

Kx2x3xx2x

212x

31dx2x2xx'f

234

234

234

23423

23

23

23

232

+−++=

⇒=+−−−

=+−−−=⇒=+⋅

−++⇒=

⇒+−++=−⋅⋅+⋅+⋅⋅=

−++=

⇒−++=⇒−=−−=⇒=+⋅++⇒=

⇒+++=+⋅⋅+⋅=++=

+ 2x + 2 y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1 , 2). Hallar la expresión de f (2’5 puntos)

E2.- a) Sean ( ) ( )

>≤

=−

=0xsix0xsix3

xgy2

xxxf 2 , hallar g[f(x)] (1 punto)

b) Calcular ( ) dxe3x2x+

∫ + (1´5 puntos)

( )( )

( )

( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dtdxt2x

eedtedxevdvdxedudxu3x

Ke2xe13xee3xdxee3xdxe3x

)b

0xsi00xsix3

xfg

0xsi00xsix

xf0xsi

2xx

0xsi2

xx

xf

)a

2xtt2x2x

2x2x2x2x2x2x2x

=⇒=+

====⇒==⇒=+

+⋅+=⋅−+=−⋅+=−⋅+=+

>≤

=

≤≤

=⇒

≤−

≤−−

=

+++

+++++++

∫∫

∫∫

Page 89: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 (Específico) Juan Carlos Alonso Gianonatti

6

E3.- a) Determinar las coordenadas del punto simétrico de A(- 2 , 1 , 6) respecto de la recta

21z

23y

11xr +

=−

=+

≡ (2 puntos)

b) Hallar la distancia de A a r. (0’5 puntos) Hallamos un plano π que contenga al punto A y que es perpendicular a la recta r. El punto Q de intersección del plano con la recta r es el punto medio entre A y su punto simétrico A’ La ecuación del plano π es el producto escalar del vector director de la recta que es perpendicular al vector formado por A y el punto generador G del plano siendo dicho producto nulo

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )4,9,2'A

462y2y61

9110y2y15

2x2

x20

1121z5123y

011xQ10990122122321

planoelconrrectaladecortedePunto012z2y2x012z22y22x06z,1y,2x2,2,1

0AGvAGv6z,1y,2x6,1,2z,y,xAG

2,2,1v

21z23y

1xr

'A'A

'A'A

'A'A

rrr

−⇒

−=−=⇒+

=

=−=⇒+

=

=⇒+−

=

=⋅+−==⋅+==+−=

⇒=λ⇒=−λ⇒=−λ+−⋅+λ+⋅+λ+−

π⇒=−++≡π⇒=−+−++⇒=−−+⋅

⇒=⋅⇒⊥⇒

−−+=−−==

λ+−=λ+=λ+−=

Page 90: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 (Específico) Juan Carlos Alonso Gianonatti

7

E4.- Sean las matrices

=

=

012

By010100203

A .

a) Calcular A-1

( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

−−

=

−−−−

=

−⋅

−⋅

=

−−

−⋅

−⋅

⋅−

⋅=

−=

⇒−=⇒−=⇒−=⇒−=

=

−−

−⋅

−=

−−

−=⇒

=⇒⋅=⇒⇒−==

−−−

−−

124

100

120210405

X

300

31

020200406

100010001

012

030300

021

31

010100203

2100010001

X

BAA2IXBAA2IIXBAA2IXAABA2IAXAB2BAX

)b

010100

032

31

030300

021

31A

030300

021Aadj

012100003

AAadjA1AAExiste3

010100203

A

)a

1

111

1

ttt11

(1 punto) b) Resolver la ecuación AX + 2AB = B (1´5 puntos)

Page 91: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 (Específico) Juan Carlos Alonso Gianonatti

8

E4.-a) Si se sabe que el determinante

333

222

111

cbacbacba

vale 5, calcular razonadamente

222

323232

111

321

321

321

cbaccbbaa

cbay

c3c2cb3b2ba3a2a

+++ (1’5 puntos)

b) Si A es una matriz cuadrada de tamaño 2 x 2 para la cual se cumple que A-1 = At (At

( ) ( )

3aigualserpuedenoAdeanteminerdetEl

1A1A

1A1AAIAAAAAAAAA

)b

551cbacbacba

10cbacbacba

cbacbacba

cbaccbbaa

cba

3056cbacbacba

6cccbbbaaa

32c3ccb3bba3aa

2c3c2cb3b2ba3a2a

cccbbbaaa

queSabiendo

)a

2211t1

333

222

111

222

333

111

222

222

111

222

323232

111

333

222

111

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

−==

⇒±=⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒=⇒==

−=⋅−=⋅−+=+=+++

=⋅=⋅=⋅⋅=⋅=

=

−−−

= tras- puesta de la matriz A), ¿puede ser el determinante de A igual a 3? (1 punto)

Page 92: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 (Específico) Juan Carlos Alonso Gianonatti

9

( )

==

−=⋅−=+=+=+++

=⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⋅=

=

− t1

333

222

111

222

333

111

222

333

111

222

222

111

222

323232

111

333

222

111

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

333

222

111

321

321

321

AA

)b

5cbacbacba

1cbacbacba

0cbacbacba

cbacbacba

cbaccbbaa

cba

3056cbacbacba

6cccbbbaaa

6cccbbbaaa

32c3ccb3bba3aa

2c3c2cb3b2ba3a2a

cbacbacba

cccbbbaaa

queSabiendo

)a

Page 93: Pau Mate Cyl

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10

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IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

1

OPCIÓN A E1.- Se divide un alambre de 100 m. de longitud en dos segmentos de longitud x y 100 – x. Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas. ¿Para que valores de x dicha suma es mínima? (2’5 puntos)

( )( ) ( ) ( )

( )

−=

+−=

−⋅−=−

−⋅=

−⋅=

⋅−−⋅

=+

=

⇒⇒>+

=⇒+

=⇒=+

⇒=++−⇒=⇒++−

=++−

=

++−=+

+−=+

=

=⋅⋅=⋅⋅=⇒

===−=

=

72003400

73400900700

7349100100X100

7349100

63349900

31681349900

349900X

Mínimo072

349''A349

900X900X349

0X34X99000'A72

X34X9900144

X38X181800'A

144X34X9X180090000

36X3

16XX20010000

36X3

4x100A

36X3

6X3

3X

21

6X3A

21A

6X3

2A3

4A3

4AAH

3XA

total

totaltotal

222222

total

2

triángulo222

Page 95: Pau Mate Cyl

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2

E2.- Determinar la función f tal que ( )xx

1xxx'f 2

4

+++

= y con f(1) = 2 (2’5 puntos)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) 2ln613

x1xlnxx

21x

31xf

2ln21

312K2K2ln

21

312K

111ln11

211

311f

Kx

1xlnxx21x

31xln1xlnxx

21x

31xf

1A111B1A1x1B110B0A0x

11xBAxx1x

1xBAxxB

1xA

x1x1

xln1xlnxx21x

31xf

dxx1dx

1x1xx

21x

31dx

x1x1xx

21x

31xf

1xx

1xx

xx1xx

1xxxx

xx1xx

dxx1x

1xx21x

31dx

xx1dx1xxdx

xx1xxxf

23

23

2323

23

2323

2

2

23

3

234

24

232

22

4

−++

++−=

−+−=⇒=++−⇒=++

++⋅−⋅=

⇒++

++−=−+++−=

−=⇒=+−+−⋅⇒−==⇒=++⋅⇒=

⇒=++⇒+

++=+

+=

+

−+++−=

=−+

++−=+

++−=

−−

++

+

++−

+−−−

+++

+++−=

+++−=

+++

=

∫∫∫

∫∫ ∫∫

Page 96: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

3

E3.- a) Determinar las ecuaciones de los planos paralelos al plano 7z4y3x12 =−+≡π que distan seis unidades del mismo. (1’5 puntos) b) Probar que el punto P(1 , 1 , 2) pertenece a π , y calcular la recta perpendicular a π que pasa por P (1 punto) a) Por un punto cualquiera del plano dado se calcula una recta r perpendicular a él y a partir de ella se buscan los puntos de esa recta que están a la distancia pedida y por ellos pasaremos los planos pedidos

( )( )

( ) ( ) ( )( )

)aapartadoelenhalladarrectalaesrectalayapertecePquecomprobadohemosYa)b

071z4y3x1213923D0D

13504

1353

135912SporGenerado

085z4y3x1213

1105D0D1324

13313

138512QporGenerado

0Dz4y3x12formaladesongeneradosplanosLos

1350

13642z

135

13631y

1359

136121x

S

132

13642z

1331

13631y

1385

136121x

Q

Puntos

1366

131696

169169

1366136

131696

169169

64312

742431312112

42z31y

121xr

4,3,12vv2,1,1P

Tomando7831272413112

2

1

222

r

π

=+−+≡π⇒=⇒=+⋅−

−⋅+

−⋅⇒

=−−+≡π⇒−=⇒=+⋅−⋅+⋅⇒

=+−+⇒

=

−⋅−=

−=

−⋅+=

−=

−⋅+=

=⋅−=

=⋅+=

=⋅+=

−=λ⇒−=λ⇒−=λ

=λ⇒=λ⇒=λ⇒=λ

⇒±=−++

−λ−−λ++λ+

λ−=λ+=λ+=

≡⇒

−==⇒=−+⇒=⋅−⋅+⋅

π

Page 97: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

4

E4.- Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema

=−+=++=−+

≡03221

zyxzyxzyax

r

(2’5 puntos)

( )

( ) ( )

aa

aa

a

a

z

aa

aa

a

a

yaaaa

x

esadefunciónensoluciónlaadoDeterCompatibleesSistemaelCuando

leIncompatibSistemaBArangArang

aSi

adoDeterCompSistincognitasdeNúmeroArangAatodoPara

aaaASiaaaa

A

5163

516232

5103122111

5124

511212

51101

12111

159

519

512362

51130

122111

:,,min

3/2

315

000210551

515

420210551

53

5

420630551

025

131121551

021

131121

1151

51

min..3051

5115015015132312

13112111

−−

=−

−−+=

−=

−−

=−

+++−=

=−

=−−

=−

+−−−=

=

⇒=≠=

−−−

−−−−

−−

−−

−≡

−≡

=

⇒==⇒≠⇒

−ℜ∈

=⇒=⇒=+−⇒=⇒+−=+−+−+−=−

−=

Page 98: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

5

( ) 2x4xxf −=

OPCIÓN B

E1.- Sea la función a) Determinar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos (2 puntos) b) Esbozar su gráfica (0’5 puntos)

( ) ( )

≤ℜ∈∀⇒≤⇒−≥−⇒≥−−≥ℜ∈∀⇒−≥⇒≥+

⇒≥−⋅+⇒≥−2x/x2x2x0x2

2x/x2x0x20x2x20x4

)a

2

∞− - 2 2 ∞− 2x −≥ ( - ) ( + ) ( + )

2x ≤ ( + ) ( + ) ( - ) Solución ( - ) ( + ) ( - )

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

≤≤−ℜ∈∀⇒>−<ℜ∈∀⇒>⇒>−−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+

ℜ∈∀⇒>

⇒>−

+−⇒>⇒

⇒−

+−=

−=

−=

−−=⋅

−+−=

≤≤−ℜ∈∀=⇒

2x2/x0x42x/xx20x2

2x/x2x0x2x02

0x4

x2x220x'foCrecimient

x4x2x22

x4x22

x4x24

x4xx4x

x42x2x4x'f

2x2/xfDomdefinicióndeiominDo

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

-2 2− 2 2

2 > 0 ( + ) ( + ) ( + )

0x4 2 >− ( + ) ( + ) ( + )

2x −> ( - ) ( + ) ( + )

2x < ( + ) ( + ) ( - )

Solución ( - ) f’(x)<0 ( + ) f’(x)>0 ( - ) f’(x)<0 Crecimiento 2x2/x >>−ℜ∈∀ Decrecimiento ( ) ( )2x22x2/x <<∪−>>−ℜ∈∀

Máximo en ( ) ( ) ( ) 2222422f2x2

−=⋅−=−−−=−⇒−= de crecimiento pasa a decrecimiento

Mínimo en ( ) ( ) ( ) 2222422f2x2

=⋅=−=⇒= de decrecimiento pasa a crecimiento

Page 99: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

6

Continuación del problema E1 de la opción B b)

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

E2.- Determinar el área limitada por la parábola de ecuación y2 = x y la recta de ecuación y = x – 2 (2’5 puntos)

( ) ( )

2x02xOXejeelconrectacortedePunto1

235

295x

42

352

95x

295x

9414504x5xx4x4x2xx2xxxy

2xxxy 2222

=⇒=−⇒⇒

=−

=−

=

=+

=+

=⇒

±=

⇒=⋅⋅−−=∆⇒=+−⇒=+−⇒−=⇒

−=−⇒−=−=⇒=

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5

( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

2

2223

23

2223

23

42

42

2

4

0

23

21

221

1

0

23

2

1

4

2

4

0

1

0

4

2

4

0

2

1

1

0

u29

627

63294

316

23

3246

3442

232

32A

242242104

3212

2112201

32A

x2x21x

32x

21x2x

32A

dx2xdxxdxx2dxxdx2xdxxdx2xdxxA

==+−

=+−=+−⋅

+−+=

−⋅+−⋅−

−⋅+−⋅−−⋅+

−⋅=

=⋅+⋅−

⋅+⋅−⋅+

⋅=

−−+−+=−−+−+−= ∫ ∫∫∫∫∫∫∫

Y

X

Page 100: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

7

E3.- Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2 , - 1 , 1) y corta perpendicularmente a la

recta z2

1y2

2xr =−

=−

≡ (2’5 puntos)

Hallamos un plano π que contenga al punto P y que es perpendicular a la recta r. El punto Q de intersección del plano con la recta r formará con el punto P el vector dirección de la recta s buscada. La ecuación del plano π es el producto escalar del vector director de la recta que es perpendicular al vector formado por P y el punto generador del plano siendo dicho producto nulo

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

λ−=µ+−=µ−=

−−≡

−−=−−

−=⇒

−=

=

−⋅+=

=

−⋅+=

⇒−=λ

−=λ⇒−=λ⇒=+λ⇒=−λ+λ++λ+

⇒=−λ+λ+⋅+λ+⋅⇒π⇒

λ=λ+=λ+=

=−++≡π⇒=−++⋅+−⋅⇒=−+−⋅≡π

⇒=⋅⇒⊥⇒

−+−=−−===

πππ

21z21y

2xs

2,2,134,

34,

321,1,2

31,

31,

34PQ

31z

31

3121y

34

3122x

Q51

3139039034244

03212222rconplanodelcortedePuntoz

21y22x

r

03zy2x201z1y22x201z,1y,2x1,2,2

0PGvPGv1z,1y,2x1,1,2z,y,xPG

1,2,2vv r

Page 101: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti

8

E4.-a) Si se sabe que el determinante

333

222

111

cbacbacba

vale 5, calcular razonadamente

222

323232

111

321

321

321

cbaccbbaa

cbay

c3c2cb3b2ba3a2a

+++ (1’5 puntos)

b) Si A es una matriz cuadrada de tamaño 2 x 2 para la cual se cumple que A-1 = At (At = tras- puesta de la matriz A), ¿puede ser el determinante de A igual a 3? (1 punto)

( ) ( )

3aigualserpuedenoAdeanteminerdetEl

1A1A

1A1AAIAAAAAAAAA

)b

551cbacbacba

10cbacbacba

cbacbacba

cbaccbbaa

cba

3056cbacbacba

6cccbbbaaa

32c3ccb3bba3aa

2c3c2cb3b2ba3a2a

cccbbbaaa

queSabiendo

)a

2211t1

333

222

111

222

333

111

222

222

111

222

323232

111

333

222

111

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

−==

⇒±=⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒=⇒==

−=⋅−=⋅−+=+=+++

=⋅=⋅=⋅⋅=⋅=

=

−−−

Page 102: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

1

=−=−

≡02y1z2x

s

PRUEBA A

PROBLEMAS PR-1.- Sea r las recta que pasa por los puntos A(1 , 1 , 1) y B(3 , 1 , 2) y sea s la recta de ecuaciones

. Se pide:

a) Estudiar su posición relativa (1’5 puntos) b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección.(0’5 puntos) c) Calcular, si existe, un plano que las contenga. (1 punto) a) Analizaremos si las rectas son paralelas estudiando si sus vectores directores son proporcionales, si ese es el caso se estudiará si hay algún punto común que de ser así las rectas son coincidentes. Si no hay proporcionalidad se analizara si tienen un punto común, de tenerlo serán rectas que se cortan o son secantes en dicho punto, de no suceder esto son rectas que se cruzan.

( ) ( ) ( )

( )

( )

ciónsecerintdepuntohayNo)b

paralelassonrectasLascomunespuntoshayNo21Como

121

21211,0,2vv

1,0,2vz

2y21x

2yz21x

s

1z1y21x

r1,0,21,1,12,1,3vAB

sr

s

r

⇒⇒≠

λ=µ+≠

λ+=µ+⇒==⇒

=⇒

λ==

λ+=⇒

=+=

µ+==

µ+=≡⇒=−==

c) Se hallara el haz de planos que se generan por la recta s, de todos ellos hallaremos el que pasa por el punto A que es el mismo que el que contiene al punto B (calcularemos para los dos y demostraremos su igualdad)

( )

( )( )

( )( ) 03z2y2x02y21z2x

20201222132,1,3BporPasando

03z2y2x02y21z2x20201212111,1,1AporPasando

012z2yx02y1z2xplanosdeHaz02y

01z2xs

=+−−≡π⇒=−⋅−−−⇒−=α⇒=α−−⇒=−α−⋅−⋅α+⇒

=+−−≡π⇒=−⋅−−−⇒−=α⇒=α−−⇒=−α−⋅−⋅α+⇒

=−α−−α+⇒=−⋅α+−−⇒

=−=−−

Page 103: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

2

PR-2.- Sea la función 2xx)x(f 2 −−= a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica (1’5 puntos) b) Demostrar que no es derivable en x = 2 (0’5 puntos) c) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje OX y las rectas x = - 2 y x = 0 (1 punto)

( ) ( )

( ) ( )

>ℜ∈∀⇒>⇒>−−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+

⇒>−⋅+

−==

⇒±

=⇒>=+=−⋅⋅−−=∆⇒=−−⇒>−−

2x/x2x02x1x/x1x01x

02x1x

1x2x

291x0981214102xx02xx

)a

222

∞− -1 2 ∞

x > -1 ( - ) ( + ) ( + ) x > -1 ( - ) ( - ) ( + )

Solución ( + ) f(x) > 0 ( - ) f(x) < 0 ( + ) f(x) > 0

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

≤≤−ℜ∈∀⇒>∪−<ℜ∈∀⇒

⇒>⇒⇒

>≤≤−−

−<=

<<∪−<ℜ∈∀⇒<⇒

>∪

<<−ℜ∈∀⇒>⇒

>ℜ∈∀⇒>⇒∞∉>⇒>⇒>−

<<−ℜ∈∀⇒>⇒<⇒<⇒−>−⇒>+−

−<ℜ∈∀⇒<⇒>⇒>⇒>−

⇒>

>−≤≤−+−

−<−=⇒

>−−≤≤−++−=−−−

−<−−=

2x1/xConvexidad2x1x/xConcavidad

0)x(''fConcav2xsi2

2x1si21xsi2

)x(''f

2x211x/x0)x('fntoDecrecimie

2x21x1/x0)x('foCrecimient

2x/x0)x('f,221x1x201x2

21x1/x0)x('f

21x1x21x201x2

1x/x0)x('f21x1x201x2

0)x('f

2xsi1x22x1si1x2

1xsi1x2)x('f

2xsi2xx2x1si2xx2xx

1xsi2xx)x(f

2

22

2

Page 104: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

3

Continuación del Problema PR-2 a) Continuación Grafica de la función

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

( )( )

( ) ( ) derivableesNo3122x'flim3122x'flim

3122x'flim3122x'flim

2xsi1x22x1si1x2

1xsi1x2)x('f

)b

2x2x

2x

2x

⇒=−⋅=≠−=+⋅−=

=−⋅=

−=+⋅−=⇒

>−≤≤−+−

−<−=

+−

+

→→

( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )

2

223320

20

220

32

0

2

u3

103864

24

38A

022022102

31x2x

21x

31dx2xxA

)c

=−=++−=

−⋅+−⋅+−⋅−=⋅+⋅+⋅−=++−= ∫

Y

X

Page 105: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

4

CUESTIONES

C-1.- Sea A una matriz cuadrada tal que det(A) = -1 y det[(-2).A] = 32. Calcular el tamaño de la matriz A (1 punto) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5ordendematrizunaEs5n22322321232A2 5nnnn =⇒−=−⇒−=−⇒=−⋅−⇒=⋅−

C-2.- Calcular la matriz X que verifica AX = BBt donde

=

=213010

By23

12A , siendo Bt la

matriz traspuesta de B. (1 punto)

( )

−=

−−⋅

−=

−⋅

−−⋅

−==⇒

−=

−⋅

=

−−−

=⇒

−−=

=⇒=⇒∃⇒≠−=−−=−

=

=⇒=

−−

−−−

731

75

712

71

315121

71X

14111

2312

71BBAX

14111

2011

30

213010

BB

2312

71A

2312

Aadj

2132

AAadjA1AA0734

2312

AComo

BBAXBBAAXA

t1

t

1t

tt11

t1t11

Page 106: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

5

C-3.- Hallar la distancia desde el punto A(1 , 3 , -2) a la recta

λ−=λ+−=λ+=

≡21z

1y32x

s (1 punto)

Se hará pasar un plano π por A y que es perpendicular a la recta s, que tiene como vector director el de la recta que es perpendicular al vector formado por el punto generador G y A. Se calcula el punto de corte P de la recta s y el plano π y la distancia entre A y P es la pedida

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) u2103

253

2454

2374

4744

449

4252

27

25d

02213

271dd0,

21,

27P

02121z

21

211y

27

2132x

P

1470714010421960102121323

planoelyrectaladecortedePunto010z2yx302z23y1x302z,3y,1x2,1,3

0GAvGAv2z,3y,1x2,3,1z,y,xGA

2,1,3v

222

sA

222

sAPA

sss

===+=+=++=−+

+

=

−−+

++

−==⇒

−⇒

=⋅−=

−=+−=

=⋅+=

=λ⇒=−λ⇒=−λ+−λ+−λ+⇒=−λ−⋅−λ+−+λ+⋅

π⇒=−−+≡π⇒=+⋅−−+−⋅⇒=+−−⋅−

⇒=⋅⇒⊥⇒

+−−=−−=−=

C-4.- Calcular ∫ −dx

x11

2 (1 punto)

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) Kx1lnx1x1ln21x1ln

21x1ln

21I

dudxux1

dtdxtx1

uln21tln

21

udu

21

tdt

21

x1dx

21

x1dx

21dx

x1x11I

21A1A2111B11A1x

21B1B2111B11A1x

1x1Bx1Ax1x1

x1Bx1Ax1

Bx1

Ax1x1

1x1

1

2

2

+−=+⋅−=+⋅+−⋅=

==+

−==−

⋅+⋅=+=+

+−

=+⋅−

=

=⇒=⇒=−++⇒=

=⇒=⇒=−−+−⇒−=

⇒=−++⇒+⋅−−++

=+

+−

=+⋅−

=−

∫∫∫∫∫

Page 107: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

6

=−λ=+λ

=−

3z2xzy

5yx

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales .Se pide:

a) Discutirlo en función del parámetro ℜ∈λ (2 puntos) b) Resolverlo cuando sea compatible (1 punto) a)

( )

( )

( )

123

123

1253

12301

0511

z

1212

1222

12352

12231

10051

y

12143

12312

122310

12203

1015

x

)b

leIncompatibSistema

3z031

5

000210011

21

5

210210011

31

5

201210011

321

5

201

1210

01121Si

adominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang21

21120120ASi12

20110011

A

+λλ

=−λ−λ−

=−λ−

λ−λ−λ=

−λ−

λλ−

=

+λ−λ⋅

=−λ−+λ−

=−λ−−+λ−

=−λ−

−λ

=

+λ−λ⋅

=−λ−−λ−

=−λ−

λ−−λ−=

−λ−

−λλ−

=

⇒−=⇒

−−−

−≡

−−

−−−

−−−

−=λ

⇒==⇒

−−ℜ∈λ∀

−=λ⇒=λ−⇒=−λ−⇒=⇒−λ−=−

λ−

=

Page 108: Pau Mate Cyl

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7

PR-2.- Un campo de atletismo de 400 m de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible (3 puntos)

=−=ππ

−=

π=

⇒⇒<π−=

π=⇒=⋅π⇒=⋅π−⇒=⇒⋅π−=⋅

π⋅−==

⇒⋅π−⋅=

=

π

−=⇒

=

π−=⇒π−=⇒π+=

m1002

2002002

200

200l

m200D

Máximo0''S

200D200D0D2000'SD200D2

2200dDdS'S

2DD200S

D2D200S

lDS2D200lD400l2Dl2400

2

Page 109: Pau Mate Cyl

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8

CUESTIONES

C-1.- Calcular la distancia entre las rectas: 4

3z3

2y2xsy4zx71yx3

r −=

−=−≡

−=−−=−

≡ (1 punto)

Se estudiará la posición relativa de las dos rectas, primeramente si sus vectores directores son paralelos y no tienen un punto común serán paralelas, de tenerlo las rectas serán coincidentes. De no ser paralelos estudiaremos si tienen un punto común y si lo hay serán rectas que se cortan, de no ser así se cruzarán.

( )( )

cruzanserectasLas

35

1531471477

1472

leIncompatib50133633

1332

43743231

2

43z32y

2xs

74z31y

xr

escoincidentniparalelassonNo47

33

11

4,3,1v7,3,1v4z7z1x3y

s

r

−=λ−=µ

⇒−=µ⇒−=µ−λ−=µ+λ−

⇒−=µ−λ

=µ−λ

⇒≠⇒=µ−λ=µ−λ

⇒=µ−λ

=µ−λ

µ+=λ+µ+=λ+

µ+=λ⇒

µ+=µ+=µ+=

λ+=λ+=

λ=≡

⇒≠=

⇒=

=⇒+=⇒+=

Hallaremos un plano π que conteniendo a la recta s sea paralela a la recta r. Para ello utilizaremos, en la generación del plano, los vectores directores de las dos rectas y el vector generador formado por un punto A de la recta s y el punto generador G. La distancia entre un punto, cualquiera, B de la recta r al plano π es la distancia pedida.

( )( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u210

10105

105

13

410.3dd

04yx3012y3x906y318x902y32x902y42x213z33z32y72x12

0431731

3z2y2xPlano

3z,2y,2x3,2,2z,y,xGA

3,2,2A4,3,1v4,1,0B

7,3,1vr

22Brs

S

r

==−

=+

−−==

⇒=−−≡π⇒=−−⇒=−++−⇒=−⋅+−⋅−⇒=−⋅−−⋅−−⋅−−⋅+−⋅+−⋅

⇒=−−−

≡π⇒π

⇒−−−=−=⇒

=

=≡

π

Page 110: Pau Mate Cyl

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9

C-2.- Resolver la ecuación 01xxx

x1xxxx1x

=+

++

. (1 punto)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

31x1x301x31x3x3x3x21x3x3x

1xx3x21x1xx1xx1xxxx1x1xxx

x1xxxx1x

23323

233222333

−=⇒−=⇒=+⇒+=−−++++=

=+−++=+−+−+−+++=+

++

C-3.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ( )x

xlnxf = en su dominio de

definición (1 punto) ( )

( ) ( )

>ℜ∈∀⇒<<ℜ∈∀⇒

ℜ∈∀⇒><⇒<⇒<⇒−>−⇒>−

⇒⇒>−

⇒>⇒⇒−

=−⋅

=

>ℜ∈∀=

ex/xntoDecrecimieex0/xoCrecimient

x0xexex1xln1xln0xln1

0x

xln10x'foCrecimientx

xln1x

xlnxx1

x'f

0x/xfDom

2

1

222

C-4.- Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de la función

42 axy +−= y el eje OX es de 3

256unidades de superficie (1 punto)

( ) ( ) ( )( )

( ) [ ] [ ] ( ) ( )

264a64aa2128a32

3128aa

31

3128

0aa0a31

3128xax

31

3128

6256dxax2

3256

0aa00fxfaxaxxfOYarespectosimétricaEs

axax0ax0C0yOXconcortedePuntosSiendo

666666

2436a0

4a0

3a

0

42

442

4242

24242

222

==⇒=⇒⋅=⇒⋅=⇒+⋅−=

−⋅+−⋅−=⇒⋅+⋅−==⇒+−⋅=

>=+−==+−=+−−=−⇒

±=⇒=⇒=+−⇒=⇒=⇒

Page 111: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

1

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Sea la función ( )1x

xxf 2

3

+=

a) Hallar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica (2 puntos)

b) Calcular el valor de . (1 punto) ( ) dxxf1

0∫

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

ℜ∈∀⇒>+−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+<ℜ∈∀⇒<⇒>−

>ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒>

⇒>+

+−⇒>⇒

+

+−=

+

−=

+

−=

+

−−+++=

+

+⋅−++=

+

+⋅⋅+−++=

ℜ∈∀⇒⇒⎪⎩

⎪⎨

ℜ∈∀⇒>+ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒>+

⇒>+

+⇒>

⇒+

+=

+

+=

+

−+=

+

⋅−+=

ℜ∈∀=⇒⇒−±=⇒−=⇒=+

x01x3x/x3x0x33x/x3x0x3

0x/x0xx02

01x

x3x3x20x''fConcavidad

1xx3x3x2

1xx3x2

1xx2x6

1xx12x4x6x4x6x4x''f

1xx3xx41xx6x4

1xx3xx21x21xx6x4x''f

relativosimosminnimáximoshayNo

xCrecientex01x

x0xx03x

01xx3x0x'f

1xx3x

1xx3x

1xx2x3x3

1xxx21xx3x'f

xfDomsoluciónhayNo1x1x01x

)a

32

32

3232

2

32

3

32

35335

32

2423

42

242223

22

2

2

22

22

22

22

22

24

22

424

22

322

22

-3 0 3 ∞ ∞−2 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) x > 0 ( - ) ( - ) ( + ) ( + )

x > - 3 ( - ) ( + ) ( + ) ( + ) x < 3 ( + ) ( + ) ( + ) ( - )

(x2+1)3 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Solución ( + ) ( - ) ( + ) ( - )

Concavidad ( ) ( )3x03x/x <<∪−<ℜ∈∀

Convexidad ( ) ( )3x0x3/x >∪<<−ℜ∈∀

Page 112: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

2

Continuación del Problema PR-1 Puntos de Inflexión

En ( ) ( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⇒−=

+−

=+−

−=−⇒−=

1027,3

1027

1927

1333f3x 2

3

En ( ) ( )0,0010

010

00f0x 2

3

⇒=+

=+

=⇒=

En ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=

+=

+=⇒=

1027,3

1027

1927

1333f3x 2

3

Asíntotas No las hay verticales Horizontales

( )

( )

−∞→

⇒−=+

−=+

−=

+

−=

∞∞−

=+

−=

+==

∞→⇒=+

=+

=+

=∞∞

=+

==

∞→∞→∞→−∞→−∞→

∞→∞→∞→∞→

xcuandoexisteNo

01

001

x1

x1

1lim

x1

xx

xx

lim1x

xlim1x

xlimxflimy

xcuandoexisteNo01

001

x1

x1

1lim

x1

xx

xx

lim1x

xlimxflimy

3

x

33

2

3

3

x2

3

x2

3

xx

3

x

33

2

3

3

x2

3

xx

Oblicuas o inclinadas

( )

( )[ ]

∞→=

=+

=

∞+

∞−

=+

−=

+

−=

=+

−=

∞∞

=+

−=

+−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

+=−=

==+

=+

=+

=∞∞

=+

=+==

∞→∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

xcuandoxyoblicuaasíntotaExiste

001

011

1

x11

x1

lim

x1

xx

xx

lim

x1

xx

xx

lim1x

xlim1x

xxxlimx11x

xlimmxxflimn

111

011

x11

1lim

xx

xx

xx

limxx

xlimx

1xx

limxxflimm

22

x

22

2

2

x

22

2

2

x2x2

33

x2

3

xx

2

x

33

3

3

3

x3

3

x

2

3

xx

Continuación del Problema PR-1 Oblicuas o inclinadas (Continuación)

Page 113: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

3

( )

( )[ ]

−∞→=

=+

=

∞+

∞=+

=+

=∞∞

=+

=+

−=

+−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

+=−=

=−−

=−−

−=

−−

−=

−−

−=

∞∞

=−−

−=+==

∞→∞→

∞→−∞→−∞→−∞→−∞→

∞→∞→∞→−∞→−∞→

xcuandoxyoblicuaasíntotaExiste

001

011

1

x11

x1

lim

x1

xx

xx

lim

1xxlim

1xxlim

1xxxxlimx1

1xxlimmxxflimn

111

011

x11

1lim

xx

xx

xx

limxx

xlimx

1xx

limxxflimm

22

x

22

2

2

x

2x2x2

33

x2

3

xx

2

x

33

3

3

3

x3

3

x

2

3

xx

Gráfica de la función

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

X

[ ] ( ) [ ] ( )

( )2ln121dx

x1xx

xxx

211t1x101t0x

2dtxdxdtxdx2tx1x1x

1ln2ln21

21tln

2101

21dt

t1

21x

21dx

x1xdxxdx

x1x

b

1

02

3

3

2

2223

21

221

0

10

21

02

1

0

1

02

3

−=+

−−⎩⎨⎧

=+=⇒==+=⇒=

⇒=⇒=⇒=++

−⋅−=⋅−−⋅=⋅−⋅=+

−=+

∫∫∫∫

Page 114: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

4

PR-2.- Se considera la recta z2

2y3

1xr =−

=−

≡ y el punto P(1 , 8 , 2)

a) Hállese el punto A de r tal que el vector AP es perpendicular a r (1 punto) b) Determínese el plano que es paralelo a r, pasa por B(5 , 1 , 0) y por el simétrico de P respecto de r (2 puntos)

π

a) El producto escalar de AP y el vector director de la recta r es nulo debido a la perpendicularidad.

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1,4,4A1z

122y131x

A1141401414021249

0216223302,62,31,2,30PAvPAv

2,822,1312,8,1,22,31PA1,2,3v

z22y31x

r

rr

r

⇒⎪⎩

⎪⎨

=⋅+=⋅+=

⇒=λ⇒=λ⇒=−λ⇒=−λ+−λ+λ

⇒=−λ⋅+−λ+λ⋅⇒=−λ−λλ⋅⇒=⋅⇒⊥⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−λ−λ+−λ+=−λλ+λ+==⇒

⎪⎩

⎪⎨

λ=λ+=λ+=

b) El plano está generado por el vector director de la recta r, el vector formado por los puntos P’, simétrico de P, y B, y por el vector generador formado por el punto genérico G y el punto B. Para hallar el punto P’ calcularemos el plano μ que contenga a P y que es perpendicular a la recta r, plano que tiene como vector director el de la recta y que es perpendicular, por lo tanto su producto escalar es nulo, a la recta formada por un punto genérico del plano G’ y el punto P, hallando el punto C, de corte del plano

π

μ con la recta r, que es el simétrico entre P y P’.

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 07z7y2x0z71y25x05xz4z31y2

0012123z1y5x

z,1y,5x0,1,5z,y,xBG0,1,20,0,70,1,5B'P

1,2,3v

planodelGeneración

0,0,7'P

21.2z2z21

84.2y2y8

4

14.2x2x14

1,4,4AC1z

122y131x

C

11616016160216293021222313rrectalayplanoelentreCcortedePunto

021zy2x302z8y21x302z,8y,1x1,2,3

0P'GvP'Gv2z,8y,1x2,8,1z,y,xP'G

1,2,3vv

planodelGeneración

r

'P'P

'P'P

'P'P

r

=−−+≡π⇒=+−⋅−+−⇒=−−⋅++−⋅−

⇒=−

−−≡π⇒

⎪⎩

⎪⎨

−−=−=−=−=

=

π

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

−=⇒+

=

−=⇒+

=

−=⇒+

=

⇒=⇒⎪⎩

⎪⎨

=⋅+=⋅+=

=λ⇒=λ⇒=−λ⇒=−λ+λ++λ+⇒=−λ+λ++λ+μ

=−++≡μ⇒=−+−+−⇒=−−−⋅

⇒=⊥⇒⊥⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−−−=−=

==

μ

μμμ

Page 115: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

5

CUESTIONES

C-1.- Calcular el límite ( )

1e2lnlim x

xsen

0x −→ (1 punto)

( ) ( ) ( ) ( )

2ln1

12lne

0cos2lne

xcos2lnlim

e

xcos2ln22

1

lim00

01ln

112ln

1e2ln

1e2lnlim

0x0x

x

xsenxsen

0x

Hopital'LAplicando0

0

0sen

x

xsen

0x

=⋅

=⋅

=⋅

=

=⋅⋅⋅

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−

=−

=−

→→

C-2.- Hallar los puntos en donde la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x3 es paralela a la recta de ecuación y = 3x +2 (1 punto)

( ) ( ) ( )( ) ( ) (⎩

⎨⎧

−−⇒−=−⇒−=⇒=⇒=

⇒±=⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧

==

1,111f1x1,111f1x

1x1x3x33m

x3x'f3

322

2

)

C-3.- Determinar el ángulo que forman la recta z3

1y2xr =

+=≡ y el plano 4zyx =−+≡π (1 punto)

( )( )

( ) ( )( )

''46'6º3821

42.2senarc21

42.242

42.4sen

424

3141.11.31.2

111132

1,1,11,3,2

vv

vvsen

1,1,1v1,3,2v

222222r

rr

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=α⇒==α

=⋅

−+=

−++⋅++

−⋅=

⋅=α⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

π

π

π

C-4.- Resolver la ecuación 00x21

x1xx2x21x

=−

−−−−−

(1 punto)

( )

( )( )

1xsoluciónSin0206.1.4201x2x6

1x01x0126

1261146

1

01x2x61x01xx4x6

x2x2x2x8x1x1x2x2x8x10x21

x1xx2x21x

22

223

3223223

=⇒⎩⎨⎧

⇒<−=−=Δ⇒=++=⇒=−

−−−

⇒=++−⇒=−−−

⇒−−−+−−=−−⋅+−+−−=−

−−−−−

Page 116: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

6

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- a) Discutir, según el valor del parámetro real a, el siguiente sistema de ecuaciones

(2’5 puntos)

⎪⎩

⎪⎨

=+=+−=++

5z2x3azayx4zyx2

b) Interpretar la discusión realizada en a) en términos de la posición relativa de los planos dados por cada una de las tres ecuaciones del sistema (0’5 puntos)

{ } ( )

( )adominerdetInCompatibleSistema

32,,23Solucióny23x3y2x6y4x24y32yx2

y32z2zy302

4

000130112

22

4

130130112

1024

406222112

514

203111112

1aSi

adominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang0A1a

1a01a0ASi1a2a33a42031a1112

A

)a

⇒λ+−λλ−⇒−=⇒=+⇒=+⇒=+−+

+−=⇒−=+−⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

−−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

=

⇒==⇒≠⇒−ℜ∈∀

=⇒=+−⇒=⇒+−=−++−=−=

b) Cuando el valor de a no es 1 los plano se cortan, los tres en un punto determinado solución del sistema. Cuando a es 1 los tres se cortan en una recta que es la que crea el haz de planos al que pertenecen los tres

Page 117: Pau Mate Cyl

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7

PR-2.- Sea la función ( ) ( ) ( )xcosxsenxf += en el intervalo [ ]π2,0 a) Hallas los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos puntos. Esbozar su gráfica (2 puntos)

b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas de ecuaciones x = 0, 4

x π= e y = 2. (1

punto)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( )

( ) .decrecima.crecDe222

22

45cos

45senx'f

45xenrelativoMínimo

ntodecrecimiea.crecDe222

22

4cos

4senx'f

4xenrelativoMáximo

45x

4/xntoDecrecimie

2x45

4x0/xoCrecimient

1xtgxcosxsen

xcosxcos

xsenxcos0xsenxcos0x'foCrecimientxsenxcosx'f)a

⇒=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=⇒π

=

⇒=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π=⇒

π=

π<<

πℜ∈∀⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π<<π∪⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

<<ℜ∈∀⇒

⇒<⇒>

⇒>⇒>−⇒>⇒⇒−=

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,

Y

8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 6,2X 4

Continuación del Problema PR-2

Page 118: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

8

( ) [ ] [ ] [ ]

2

40

40

4

0

40

4

0

u12

A

221

22

20

221

22

20sen

4sen0cos

4cos0

42A

xsenxcosx2dxxcosxsendx2A

)b

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

=

−−+π

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

π=⎥

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−⎥

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

⋅=

−+⋅=+−=ππ

ππ

π

∫∫

Page 119: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

9

CUESTIONES

C-1.- Sea un número real, y las rectas de ecuaciones 0≠αα

==≡zy

2xr y Hallar el

valor de para el que r y s son paralelas, hallar el plano que las contiene (1 punto)

⎪⎩

⎪⎨

λ−=λ=λ+=

≡23z

2y41x

s

α Para que sean rectas paralelas los vectores directores de las dos recta son iguales o proporcionales

( )( )

( ) 12222122

221

42

2,2,4v,1,2v

r

r −=α⇒−=α⇒−=α⇒⋅−=α⇒−α

==⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=α=

Al ser paralelas calcularemos el haz de planos que pasa por una de ellas, por ejemplo el generado por r, siendo el plano buscado el que contiene al punto B de la recta s π

( )( )

( ) ( )

( ) 0z3y8x70z3y6y14x70zy273y2x

733707303441032.2221

3,2,1B

0zy2y2xplanosdeHaz0zy2y2z0y2xy2x

r

=+−≡π⇒=++−⇒=+⋅+−

⇒=α⇒=α⇒=α+−⇒=+⋅α+−⇒=+⋅α+⋅−

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=+⋅α+−⇒⇒⎩⎨⎧

=+⇒−==−⇒=

Page 120: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

10

C-2.- Estudiar, en función del parámetro λ , el rango de la matriz . (1 punto) ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

λ−−λ−

λ−=

21111112

A

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )

( )

{ } ( )

( )

( )

( ) 2Arang041331

113Si

2Arang021111

111Si

2Arang010112

0Si

3Arang0A3,1,0

12

24

32

24

2440412163.1.44

03403404410

0210ASi

21222112211

11112

A

2

2222

222

=⇒≠−=−−=−

−⇒=λ

=⇒≠−=−−=−

⇒=λ

=⇒≠−=⇒=λ

=⇒≠⇒−ℜ∈λ∀

⎪⎩

⎪⎨

=−

=+

=λ⇒

±=λ⇒>=−=−−=Δ

⎩⎨⎧

=+λ−λ⇒=−λ+λ−⇒=λ−λ+−=λ

⇒=λ−−⋅λ⇒=

λ−−⋅λ=λ+λ−⋅λ−=λ−−λ−+λ+−+λ−⋅λ−=λ−−

λ−λ−

=

Page 121: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti

11

C-3.- Probar que la ecuación tiene alguna solución (1 punto) 02ex x2009 =+−

( )( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

<+−−=+−−=−

>=+−−=+−−=−⇒+−=

02e122e22f

0880'632120552e112e11f

2exxf2

200922009

12009

x2009

No hay puntos de discontinuidad en el intervalo (-2 , -1) Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx , en el que la

función tiene el mismo signo que , es decir ( 0xf ) ( )[ ] ( )[ ] ( )δδ +−∈∀= 0xxfsign 00 ,, xxxfsign

Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores positivos

y negativos 0x

( ) 0880'632120551f >=− ( ) 02f <− en todo entorno de entonces 0x ( ) 00 =xf Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto ( )bac ,∈ tal que f (c) = 0 Como , entonces existe, al menos, un punto ( ) ( )[ 2fsign31fsign −≠− ] )( 1,2c −−∈ tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)

C-4.- Calcular ( )∫ + xx1

dx (1 punto)

( ) ( )txtdt2dxtx

Kxtgarc.2ttgarc.2t1

dt2tt1

tdt2xx1

dx

2

22

=⇒=⇒=

+==+

=⋅+

=+ ∫∫∫

Page 122: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el plano 42 =++≡ azayxπ y la recta ⎩⎨⎧

=−+=++

≡3222

zyxzyx

r

a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos b) Para , calcular la recta que pasa por P(1 , 0 , -1), es paralela al plano 2=a π y se apoya en la recta r. a) Los vectores del plano y de la recta, al ser paralelos estos, son perpendiculares por elllo su producto escalar es nulo

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

⎪⎩

⎪⎨

+−==−=

−=⇒−=−−=⇒−=⋅+

⇒=⇒⎩⎨⎧

−=+=−−

⇒=+⇒+=−⇒+=−

⇒−

=+

⇒−

=⇒=−⇒−=−−⇒−=−−

⇒+

=⇒=+⇒=+−⇒=+−⇒−=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−=−−=−

=+−=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎪⎩

⎪⎨

=+−+=−=+

=++⇒=⋅⇒=⇒⊥

⇒⎪⎩

⎪⎨

+−==+=

+=≡

⎩⎨⎧

==

=⇒=⇒=++−⇒=⋅−⇒=⇒⊥

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

−=⇒⎪⎩

⎪⎨

=+=−=

≡⇒−=⇒=+++⇒+=⇒=−

μμμ

μμμμμμ

μμμμμμμλ

μλμλμλ

λμλμλμ

μμμ

μ

λλλ

ππ

π

ππ

π

13101

1,3,101064432

3552842

5522105155235

32

55

3223133113

55550550151

113

0542

131

51104204,2,11,,0.

10

1

1,,4,2,1

)

155023502,,11,3,50.2,,1

1,3,53151

5122131313

zy

xs

vcc

ddc

dcdccdcd

dcdddd

cccc

dcdc

dc

dcdcvvvv

zddy

cxs

dcvv

b

aaaaaavvvvaav

vz

yx

rzxzzxzyzy

s

ss

s

rr

r

1

Page 123: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2.- Sea 2

ln)(x

xxf = con ( )∞+∈ ,0x . Se pide:

a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica b) Calcular . ∫ dxxf )(

( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

>ℜ∈∀⇒>⇒>

<⇒<⇒<⇒<⇒−>−⇒>−⇒>⇒

⇒−

=−

=−

=−⋅

=

0/0021ln1ln21ln20ln210)('

ln21ln21ln2ln21

)('

)

3

21

3444

2

xxxx

exexxxxxxfoCrecimient

xx

xxx

xxxx

x

xxxxxf

a

0 e ∞

0>x ( + ) ( + ) ex < ( + ) ( - )

Resultado ( + ) f’(x) > 0

( - ) f’(x) < 0

Crecimiento exx <<ℜ∈∀ 0/ Decrecimiento exx >ℜ∈∀ /

Hay un máximo en ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=

⋅===⇒=

ee

ee

e

ee

e

eefex21,

21ln

21

lnln 21

2

( de crecimiento pasa a decrecimiento)

( )

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⇒==⇒=⇒=

ℜ∈∃/⇒⇒=⇒

−∞→→⇒∞→

=∞

===⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞

==

−∞=−

==

∞→∞→∞→

+

+

→ +

0,110ln00

0ln0

0

012

1lim2

1

limlnlim

000lnlim

0

2

2'

2

20

exxy

xxcortedePunto

xcuandoexisteNoyxCuando

xxx

xxy

eshorizontalAsíntotas

kverticalesAsíntotas

xx

HopitalLAplicando

x

x

2

Page 124: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

-10

-9,5

-9

-8,5

-8

-7,5

-7

-6,5

-6

-5,5

-5

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

0 1 2 3 4 5 6 7

Y X

⎪⎩

⎪⎨

−=−==⇒=

=⇒=

+−⋅−=+⋅−=+⋅−=⋅−−⋅−==

−−

∫∫∫∫∫

xxdxxvdv

xdx

dux

dxux

Kx

xx

dxxxxx

dxxxx

dxx

xx

dxx

xdxxf

b

1

ln

1ln1ln1ln11ln1ln)(

)

122

222

3

Page 125: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

CUESTIONES

C-1.- Calcular 23

2

0

)2(limxxxsen

x ++→

428

20.81.8

200.80cos.8

20.6)0.2(.8)0.2(cos.8

26)2(.8)2(cos.8lim

262).2(.42).2(cos.4lim

00

001.0.4

0.20.3)0.2(cos).0.2(.4

23)2(cos).2(.4lim

232).2(cos).2(.2lim

00

00)0.2()2(lim

2222222

0

22

0

'2

2020

'23

2

23

2

0

==−

=+−

=+−

=+−

=

=+−

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==+

=+

=

=+

=+

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==+

=+

→→→

sensenx

xsenxx

xsenxsenxx

xxsenxx

xxsensenxxxsen

x

x

HopitalLAplicando

xx

HopitalLAplicando

x

C-2.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función n el punto x = 0 sea perpendicular a la recta y + x = 3

axxxf += 3)( e

( ) ( ) 110.30'3'

1

11

1113

22 =⇒=+⇒=⇒

⎩⎨⎧

+==

⇒=−

−=−=⇒−=⇒+−=

aafmaxxf

mm

mmxy

larperpendicularperpendicu

larperpendicu

C-3.- Sean las matrices . Calcula la matriz A sabiendo que

A2 = B y A3 = C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

58813

2335

CyB

( ) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⇒⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⋅=⇒∃⇒≠=−==

==

−−

−−

−−

CAAA

BABCAAA

C

BadjBBadjB

BBB

BCAAA

ttt

58813

1112

2335

2335

1112

1112

1112

5332

58813

..

5332

5332

11

5332

2335101910

2335

..

23

2

123

1

11

123

C-4.- Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(1 , 1 , 2), B(1 , 1 , 4) y C(3 , 3 , 6), hallar el área del mismo

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) 222 2432161644

44422200

4,2,22,1,16,3,32,0,02,1,14,1,1

uA

ijkji

ACABABABACABA

==+=−+=

−==×⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=−==−=⇒×=

4

Page 126: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema donde a es un parámetro real ⎪⎩

⎪⎨

=+=+

−=+−

222

1

azxazy

zyx

a) Discutir el sistema en función del valor de a b) Resolver el sistema para a = 0 c) Resolver el sistema para a = 1

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) adoerInCompatibleSistemaincognitasNúmeroArangBArangaSi

leIncompatibSistemaArangBArangaSi

BArangaSi

BArangaSi

aaaaa

BASiaaaaaa

aBCCBA

BArangaSi

BArangaSia

aaBASiaaaaaa

aBCCBA

BArangaSi

BArangaSia

aaBASiaaa

aBCCBA

FrobeniusRoucheAplicando

ArangAA

mindet2/123/1

2/021111

1

3/1

1220440120242

0/2424220

211111

/

2/011011

1

3/11

22044

0120/1241221

210111

/

2/011011

1

3/11

22

0440120/1201

210111

/

2011011

0112201110111

22

222

232

222

231

22

221

⇒<==⇒=⇒=≠=⇒≠

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒≠−=−

⇒=

=⇒≠

⇒==⇒=−=Δ⇒=+−⇒=−+−

⇒=⇒−+−=−+−−=−−

==

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒≠=⇒=

=⇒≠⇒==⇒=−=Δ

⇒=+−⇒=⇒+−=−++=−

==

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒≠=−

⇒=

=⇒≠⇒==

⇒=−=Δ⇒=+−⇒=⇒+−=−−

==

=⇒≠=−

=⇒=−−=−

=

5

Page 127: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación de PR-1

( )

( ) ℜ∈∀−−⇒−=⇒=+⇒−=−+

⇒−=+−−⇒−=⇒=+⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ −−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ −−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ −−

=

⇒⇒=

λλλλ ,,2,212112122

1222021

000110111

221

110110111

121

201110111

1)

0)

Soluciónzxzxzx

zzxzyzy

aSic

solucióntieneNoleIncompatibSistemaaSib

6

Page 128: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2.- Dada( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−

>=02

0)(2

2

xsixx

xsix

xsenxf ,se pide:.

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x)

b) Calcular ( )∫π

π

22 dxxfx

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )=

−−=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==

⎪⎩

⎪⎨

−=−==

=−

=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−

>−

=

⇒===

⇒⎪⎩

⎪⎨

=−==

===⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯===

++

+

−+

−+

→→

→→

→→

xxxxsenxxxxf

xff

senxf

xsix

xsix

xsenxxxf

continuaEsxfxff

xff

xxsenxf

a

x

HopitalLAplicando

x

x

x

xx

x

x

HopitalLAplicando

x

2cos24cos4lim

00'lim

220.2'lim0'00

000cos0.2'lim

022

0cos2'

0limlim0

00.20lim0

01.0.21

cos2lim00

00lim

)

2232

0

´

0

0

2

222

02

222

00

2

0

2

0

´2

0

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ] ( )

( ) ( )( ) 122111

21

222

2

cos2cos21cos

21

21

2

)

1lim2'lim'10.0.21020cos

2coslim2

2cos2lim2

4cos2lim

222

2

222

2222

2

00

22

22

0

22

0

232

0

−=⋅−=−−⋅−=

⎩⎨⎧

=⇒==⇒=

⇒=⇒=⇒=

−⋅−=⋅−=⋅===

⇒=≠−==⇒=−=−=

=−=−

=−

=

∫∫∫∫

+−

+++

→→

→→→

dxx

xsenx

txtxdtxdxdtxdxtx

tdttsendttsendxxsenxdxx

xsenx

b

derivableesNoxfxfxfxsen

xxsenxx

xxsenxxx

xsenxxx

xx

xxx

π

π

ππ

π

π

π

π

π

π

π

π

ππππ

ππ

7

Page 129: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

CUESTIONES

C-1.- Calcular las asíntotas de la función ( )14

12)( 2

2

+−

=xxxf

( ) ( )( )

oblícuasasíntotasexistenNox

xxx

xx

xx

xxx

xx

xxxx

xx

xx

xxfm

x

xxx

xx

xx

xxx

xx

xxxx

xx

xx

xxfm

oblícuasAsíntotas

yxCuando

x

xx

xxx

xxx

xx

xxx

xxxxfy

yxCuandox

xx

xxx

xxx

xx

xxxxfy

eshorizontalAsíntotas

verticalesasíntotasexistenNo

xxxxx

verticalesAsíntotas

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

040

14

144

lim4

144lim

4144lim14

144

lim)(lim

040

14

144

lim4

144lim

4144lim14

144

lim)(lim

1104

00414

1144

14

1144lim

14

144lim

14144lim

14144lim)(lim

1

04004

14

1144

14

1144lim

14

144lim

14144lim)(lim

41

4114014

2

32

33

3

333

2

3

22

2

2

32

33

3

333

2

3

22

2

2

2

22

2

222

2

2

2

2

2

2

2

22

2

222

2

2

2

222

==+

++=

+

++=

∞∞

=+

++=+

++

==

==+

+−=

+

+−=

∞∞

=+

+−=+

+−

==

=⇒−∞→⇒=+++

=

∞+

∞+

∞+

=

=+

++=

+

++=

∞∞

=+++

=+−

+−−−==

=⇒∞→

++−

=

∞+

∞+

∞−

=+

+−=

+

+−=

∞∞

=++−

==

ℜ∉∀⇒−±=⇒−=⇒−=⇒=+

∞→∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

∞→∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→∞→

8

Page 130: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

9

C-2.- Calcular el rango de la matriz

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

−−−−−−−

1423604233115131

( ) 2

2000000021105131

2110211021105131

14770422084405131

1423604233115131

=⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎛−−−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

−−

−−−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

−−

−−−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

−−−−−−−

= ArangA

C-3.- Demostrar que la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (1 , 2)

053 =−+ xx

No hay puntos de discontinuidad en el intervalo (1 , 2) ( )( )⎩

⎨⎧

=−=−+=−=−=−+=

551052223525111

3

3

ff

Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,

en el que la función tiene el mismo signo que ( )0xf( )

, es decir

( )[ ] ( )[ ] δδ +−∈∀ 00 , xxxf= ,signxfsign 0x

Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores negativos

y positivos en todo entorno de entonces 0x

0x( ) 31 −=f ( ) 52 =f ( ) 00 =xf Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 ( bac ,∈ )

]Como ( ) ( )[ 0231 =≠−= fsignfsign , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)

( )2,1∈c

C-4.- Dada la recta , calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto (1 , -1)

22 =+≡ yxr

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⇒=⇒+=⇒−=−⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧

−=−=+

⇒⎩⎨⎧

−=−=+

⇒+=−⇒+⋅=−⇒=−

−=−=⇒−=⇒+−=

58,

51

58

51623

51232

51

5115

32424

3222

1221211

21

211222

P

yyyyxxyx

yxyxyx

xyxym

mmxy larperpendicu

Page 131: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Sea a un parámetro real. Se considera el sistema ( )⎪⎩

⎪⎨

−=−−=++−

+=++

azyaxzyxa

azayx

1121

2

a) Discutir el sistema en función del valor de a b) Resolver el sistema para a = 0 c) Resolver el sistema para a = 1

( ) ( )

( )

{ } ( )

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇒=+−=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−++⇒=⇒=−

⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+⇒−=⇒−=⇒

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

=

−−−⇒+−=⇒=+⇒−−=⇒−=+⇒=

⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

=

⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−

−=+

⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀

⇒⎩⎨⎧

−==

⇒=+⇒=+⇒=

⇒+=−++−+−+−=−++−−−+−=−−

−=

21,2,

23

23

21233

212211

1212

2112

113

200210111

313

220210111

013

111210111

1)

,1,222110

)

mindet.01

2

000110101

11

2

110110101

112

110211101

0

71

1

000030111

91

1

060030111

31

1

020030111

211

111212111

1

min.300,11

00100

21211212111

21111

2

2222

Soluciónxxyy

yzz

aConcSolución

zxzxzyzyaCuandob

adoerInCompSistema

aCuando

leIncompatibSistema

aCuandoy

adoDeterCompSistemaincognitasdeNúmeroArangAaaa

aaaaASi

aaaaaaaaaaaaa

aa

A

λλλ

1

Page 132: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2.- Hallar entre los puntos de la parábola de ecuación , los que se 12 −= xy

encuentran a distancia mínima del punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

21,2A

( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )0,1

0

45

32

45

45

415

42116

47964

2

41741

41741

451167

21''

417141

417

21451116

21''

4174

4174

2451165

2''

4174

241232

4174

4174

124

17432''

4174

4174

124

17

2

4174

1

41742

444

1743

2''

0111010'4

174

12

41742

44'

417

4144

212

211

212

1,

4

23

44

236

4

336

44

2342

4

4

23

4

3

4

342

333

4

3

4

3

2422

22

222

2

2

⇒>⋅=⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+−

⋅=+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+−⋅=−

+−⋅+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+−+−⋅⋅=−⇒

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

+++⋅=

+⎜⎝⎛ ++

++++⋅=

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

⋅=

++

++

+++

⋅=++

+++

++++

⋅=

⇒=⇒−=−=⇒−=⇒=+⇒=

⇒++

+⋅=

++

+=

⇒+−+++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

−=⇒

Solución

Mínimod

dxxxx

xxxd

xxx

xxx

xxxx

xxxxd

xx

xx

xx

xx

xxx

xxxx

d

yxxxdSi

xx

x

xx

xd

xxxxxxd

xdyxd

xyyxpuntoelSea

2

42116

141

15

44

17

2451

43

11

4

2

4

6

4

62

42

2

4

2

⋅=+

−⋅+

+−

+⎟⎠⎞

+

+

=−−

++=

++

x

xx

xx

xx

x

2

Page 133: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

CUESTIONES

C-1.- Sea A una matriz 3x3 de columnas C1 , C2 y C3 (en ese orden). Sea B la matriz de columnas C1+ C2, 2C1 + 3C3 y C2 (en ese orden). Calcular el determinante de B en función del de A

( ) AACCC

CCCCCCCCCCCCCCCC

CCCCCCCCCCCCCB

⋅−=−=−⋅+⋅=

=⋅+⋅=+=++=

=+++=++=

3.301302

3232032

323232

321

2312112312112311

2312231123121

C-2.- Estudia la continuidad en R de la función ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−

00

0cos1

xsi

xsix

x

( )

continuaEs

senxsenx

xfx

HopitalLAplicando

x⇒===⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==

−⇒=

−=

−=

→→00

1lim

00cos1lim

00

011

00cos10

0

'

0

C-3.- Sean las matrices . Calcula la matriz A sabiendo que

A2 = B y A3 = C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

58813

2335

CyB

( ) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⇒⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⋅=⇒∃⇒≠=−==

==

−−

−−

−−

CAAA

BABCAAA

C

BadjBBadjB

BBB

BCAAA

ttt

58813

1112

2335

2335

1112

1112

1112

5332

58813

..

5332

5332

11

5332

2335101910

2335

..

23

2

123

1

11

123

C-4.- Calcular ( )∫ −1xxdx

( )( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

dtdxtx

Kx

xxxtxtdtx

xdx

xdx

xxdx

BBAxABAx

BxxAxx

BxxAx

BxA

xx

=⇒=−

+−

=−+−=+−=+−=−

+−=−

⎩⎨⎧

=⇒=+−⇒=−=⇒=+−⇒=

⇒=+−⇒−+−

=−

+=−

∫∫∫∫1

1ln1lnlnlnlnln11

111.111110.100

111

111

1

3

Page 134: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se consideran las rectas r y s de ecuaciones respectivas ⎩⎨⎧

==

≡⎩⎨⎧

==

≡20

,01

zx

szy

r

a) Estudiar la posición relativa de r y s b) Determinar la recta que corta perpendicularmente a r y s c) Hallar la distancia entre r y s

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) uddAzyx

B

czyx

rs

Azyx

Av

vvvvvvvv

v

b

cruzansequerectasSoncorsenoantessonNo

paralelasniescoincidentsonNo

vzyx

s

vzyx

r

a

ABrs

rs

srssrs

rrsrrsrs

s

r

242011002,1,0210

)

10

0,1,0010

1,0,02,0,0

10100,1,02,1,0.000,0,12,1,0.

2,1,

)

tansec20

10

10

01

0,1,02

0

0,0,101

)

222 ==−+−+−==⇒⇒⎪⎩

⎪⎨

===

⎪⎩

⎪⎨

===

⇒⇒⎪⎩

⎪⎨

===

⇒≡−=

⇒⎩⎨⎧

=⇒=−⇒=⋅−−⇒=⇒⊥=⇒=⋅−−⇒=⇒⊥

⇒−−=

⇒⇒⎪⎩

⎪⎨

≠==

⇒⇒≠⇒

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⇒

===

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⇒

===

α

μμμλλμλ

μλ

μλ

μ

λ

4

Page 135: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2 Sea ( ) ( )∞∈+−= ,0ln2)( xconxxxf . a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas de f

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈ 1,1

2ec tal que f(c) = 0 b) Probar que existe un punto

⎩⎨⎧

><⇒−>−⇒>−

⇒>−

⇒>⇒⇒+−

=+−=0

1101010)('111)('

xxxx

xxxfoCrecimient

xx

xxf

0 1 ∞

x < 1 ( + ) ( - ) x > 0 ( + ) ( + )

Zonas ( + ) f’(x) > 0 ( - ) f’(x) < 0 Crecimiento Decrecimiento 10/ <<ℜ∈∀ xx 1/ >ℜ∈∀ xx En x = 1 ( ) ( )1,110121ln12)1( ⇒=+−=+−=f Un máximo relativo ( de crecimiento pasa a decrecimiento)

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

∞∈∀⇒>∞∈∀⇒<−

⇒>−⇒>⇒⇒−=−−−

=,00,001

010)(''11)('' 2222 xxx

xxfConcavidad

xxxxxf

0 ∞

-1 < 0 ( - ) x2 > 0 ( + ) Zonas ( - ) f’’(x) < 0

Convexidad 0/ >ℜ∈∀ xx Asíntotas Verticales

( )[ ] ( )

( )[ ] −

→→

+

→→

=⇒+−=

=⇒−∞=+−=+−=

=⇒

−−

++

0ln2lim)(lim

00ln02ln2lim)(lim0)0(

00

00

xparafuncióndelímiteexisteNoxxxf

xenverticalAsíntotaxxxfxparafunciónexisteNof

xx

xx

Horizontales

( )[ ] ( )

−∞→⇒=∞→

−∞=⇒>ℜ∈∀⇒>⇒∞−∞=+−==

−∞→

∞→∞→∞→

xparafuncióndelímiteexisteNoxfyxparafuncióndeiteexisteNo

xfxxxxxxxfy

x

xxx

)(limlim

)(lim0/lnln2lim)(lim

5

Page 136: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Oblícuas

( )[ ] ( )

[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=+−=

−=−−=−+−=−+−=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−∞→⇒=

∞→

∞=+=++−=−=

−=⇒−=+−=+−=+−=

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞

+−=+−=+−

==

−∞→

∞→∞→∞→

∞→∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

1011ln12)1(

12121.212ln212ln121ln121

)

)(lim

ln2limln2lim)(lim

11011lim11

1

lim1

10lnlimlim2limln2lim)(lim

22222

2222

'

feee

ee

eeeee

f

b

xcuandofuncióndelímiteexisteNoxxfm

xcuandooblicuauinclinadaasíntotaexisteNo

xxxxmxxfn

mx

x

xx

xx

xxxx

xxfm

x

xxx

xx

HopitalLUtilizando

xxxxx

Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,

en el que la función tiene el mismo signo que ( )0xf( )

, es decir

( )[ ] ( )[ ] δδ +−∈∀ 00 , xxxf= ,signxfsign 0x

Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores negativos 0x

22

11ee

f −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ y positivos en todo entorno de entonces ( ) 11 =f 0x ( ) 00 =xf

Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 ( bac ,∈ )

Como ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=≠−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 1111

22 fsignee

fsign , entonces existe, al menos, un punto

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈ 1,1

2ec tal que f (c) = 0

6

Page 137: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

CUESTIONES C-1.- Sea a un número real. Discutir el sistema de ecuaciones siguiente, según los

valores de a: ( )⎩⎨⎧

=−+=+

0120

yaxyax

Al ser un sistema homogéneo solo puede ser Compatible, siendo Determinado de solución (0 , 0 ) si el determinante de los coeficientes no es nulo siendo indeterminado cuando es cero

( )

{ } ( ) ( )( )

( )

( )

( ) ℜ∈−⇒−=⇒=+⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⇒<=⇒=

ℜ∈⇒=⇒=+−⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⇒<=⇒−=⇒⇒===−−ℜ∈∀

⇒⎪⎩

⎪⎨

−=−

=

=+

=

⇒±

=⇒>=+=Δ⇒=−−⇒=⇒−−=−−=−

=

μμμ

λλλ

,2,20200

0012

00

1212

mindetº12

,,000

0011

00

2211

mindetº110,0minº22,1

12

31

22

31

2910981020221

121 22

Solxyyx

adoerInCompatibleincognitasdeNArangaSi

Solyxyx

adoerInCompatibleincognitasdeNArangaSiSoladoDeterCompatibleincognitasdeNAranga

x

x

xaaASiaaaaa

aA

C-2.- Hallar el seno del ángulo formado por la recta r y el plano π dados por

zyxzy

zxr =+≡

⎩⎨⎧

=+=

≡ π,32

( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) 9

333

193

212

212111

2,1,21,1,1

2,1,223

232323

1,1,1

222222==

++−=

−++−⋅−++

−−⋅−=

⇒⋅

⋅=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−−=⇒⎪⎩

⎪⎨

−==−=

≡⇒−=⇒−=

−=

α

α

λλλ

π

π

π

sen

vv

vvsen

vz

yx

ryxyz

v

r

r

r

7

Page 138: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

8

C-3.- Calcular los valores del número real a sabiendo que 81lim 20=

−−→ x

axeax

x

( )

( )

⎩⎨⎧

−==

⇒±=

⇒=⇒=⇒====⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−

=

=−

=−

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−−

=⋅−−

=−−

→→→

44

16

16822222

lim00

0.21

21lim

2lim

00

001

0011lim

222020.22

0

'0

00

'0

2

0

20

aa

a

aaaeaeaeaeax

eax

aaeeaex

axe

aax

x

HopitalLAplicandoa

ax

x

ax

x

HopitalLAplicandoaax

x

C-4.- Calcular ( )∫−− 219 x

dx

( )

KxsenarctsenarcI

dudtutdtdxtx

usenarcu

duu

du

t

dtt

dtt

dt

x

dxI

+−

==

=⇒==⇒=−

=−

=−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

=−

=−−

= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫

31

3

33

1

113

31

31

31

913919 222222

Page 139: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

1

052 =−−+≡ zyxπ

PRUEBA A

PROBLEMAS PR-1.- Sea el plano y la recta zyxr ==≡ . Se pide: a) Calcular la distancia de la recta al plano b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a π c) Hallar el punto simétrico de P(-1 , 3 , 3) respecto a π a) Para que halla distancia entre plano y recta estos deben de ser paralelos estos, por los tanto los vectores directores de ambos son perpendiculares por ello su producto escalar es nulo

( )( )

( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )3,6,2'

33022

30

6932

329

2112

121

0,29,

21

06923

627

693

63

691

6996069054622

052323123

31

2,1,1

)

0033

0220111211

,,0,0,0,,1,1,12,1,1

)

665

65

211

50.2000,0,0

02111,1,12,1,1.1,1,12,1,1

'''

'''

'''

222

−⇒

−=⇒−⋅=⇒+

=

=⇒=+⇒+

=

=⇒=+−⇒+−

=

=⋅−=

=+=

=+−=

=⇒=⇒=+−⇒=−+−+

⇒=−−−+++−≡⇒

−=+=+−=

≡⇒−==

=−≡⇒=−

⇒=−+−+−⇒=−≡⇒

=−==

−=

=−

=++

−−+==⇒

⇒⊥⇒=−+=⋅−=⇒

=−=

P

zzz

yyy

xxx

Q

z

y

x

Q

zy

xsvv

c

yxyx

yxzzyxzyx

zyxzyxOGv

v

b

uddrdepuntounOSiendo

rvvvvv

v

PPP

PPP

PPP

s

r

Ar

rrr

λλλλλ

λλλπλλλ

σ

σ

π

π

π

ππ

πππ

Page 140: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

2

PR-2.- Sea f la función dada por 1

)( 2 −=

xxxf .

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica b) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x = -4, x = -2

( )( )( )

( )( )

( ) { }

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )

ℜ∈∀⇒−ℜ∈∀⇒−>⇒>+

ℜ∈∀⇒<−⇒ℜ∈∀∃/⇒>−

⇒>−

+−⇒>⇒⇒

+−=

−−=

−−=

−−∀=

=−

=⇒=⇒=−

−=−−

−=−⇒−=⇒=+

⇒=−+⇒=−

xxxxx

xxxxxfoCrecimient

xx

xx

xxxxxf

xfDom

fxx

fxxxxx

a

22

22

22

2

22

2

22

2

22

2

2

22

1101

0101

0110'

11

11

121'

1,101

1211101

01

1111101

01101

)

∞− ∞ -1 < 0 ( - )

x2 + 1 > 0 ( + ) (x2 – 1) > 0 ( + ) Solución ( - ) f’(x) < 0

Decreciente para ℜ∈∀x

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+>ℜ∈∀⇒>⇒>−

⇒>−=−

ℜ∈∀⇒>+>ℜ∈∀⇒>

ℜ∈∀⇒>

⇒>−

+⇒>⇒⇒

+=

−−−=

−−−−=

+−−−=

+−−−−=

1/1011/101

011

030/0

02

01

320''1

32''

1

321

2221

12121

121212''

232

2

32

2

32

2

32

3

32

33

32

22

42

2222

xxxxxxxx

xx

xxxxx

xxxxxfConcavidad

xxxxf

xxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxxxf

∞− -1 0 1 ∞ 2 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) x > 0 ( - ) ( - ) ( + ) ( + )

x2 + 3 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) x > -1 ( - ) ( + ) ( + ) ( + ) x > 1 ( - ) ( - ) ( - ) ( + )

Solución ( - ) f’’(x) < 0 ( + ) f’’(x) > 0 ( - ) f’’(x) < 0 ( + ) f’’(x) > 0 Continuación problema 2 de la Opción A

Page 141: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

3

a) Continuación Concavidad ( ) ( )101/ >∪<<−ℜ∈∀ xxx Convexidad ( ) ( )101/ <<∪−<ℜ∈∀ xxx

Punto de inflexión en x = 0 ( ) 010

00 2 =−

=⇒ f

No hay puntos de inflexión en x = -1 y x =1 ya que son puntos de discontinuidad de la función.

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) −∞→⇒=∞

=−

=−−

−=−=

∞→⇒=∞

=−

=−

=−=

⇒=⇒−∞→

=−

=−

∞−

=−

−=

−=

∞∞

−=−

−=

−=

=⇒∞→

=−

=−

∞=−

=−

=∞∞

=−

=

−∞==−

=

∞==−

=

⇒=

∞=−=−−

−=

−∞=−=−−

−=

⇒−=

∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→

∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→

−−→

++→

−−−→

++−→

xcuandoexisteNoxxx

xx

xx

m

xcuandoexisteNoxxx

xx

xx

m

oblícuasAsíntotas

yxCuandoxxx

xx

xxx

xx

xx

xxy

yxCuandoxxx

xx

xxx

xx

xxy

eshorizontalAsíntotas

xf

xfxEn

xf

xfxEn

verticalesAsíntotas

xxx

xxx

xxxx

xxx

v

v

v

v

011

1lim1

lim1lim

011

1lim1

lim1lim

0

001

011

1

1

1

lim1

lim1

lim1

lim

0

001

011

1

1

1

lim1

lim1

lim

01

11

1lim

01

11

1lim1

01

11

1lim

01

11

1lim1

22

2

22

2

222

2

22

2

2

22

222

2

22

2

2

2

21

21

21

21

Page 142: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

4

Continuación del Problema 2 de la Opción A a) Continuación Gráfica

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

[ ] ( )

( )( )

2

2

22

153

15

3

15

3

4

22

2

42

2

42

5ln21

315ln

21

312215144

221

3ln15ln21ln

21

21

21

111

)

uA

uxuxduxdxduxdxux

xududu

udx

xxdx

xxdx

xxA

b

⋅=⋅=

=−−=⇒−==−−=⇒−=

⇒=⇒=⇒=−

−⋅=⋅=⋅=⋅=−

=−

−=−

= ∫∫∫∫∫−

Y

X

Page 143: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

5

CUESTIONES

C-1.- Hallar para que valores de a es inversible

+=

aaa

A1

34y calcular la inversa de A para a =

0

{ }

( )

( )

=

−⋅

−=

−=⇒

=⇒⋅=⇒−=−−=⇒=

−−ℜ∈∀⇒∃⇒

−=−

=

=+

=⇒

±=

⇒>=+=∆⇒=−−⇒=⇒−−=+

=⇒≠⇒∃

041

10

0140

41

0140

04101440.300

4,11

253

42

53

2253

0251690430431

430

1

12

1

221

A

AadjAAadjA

AAaSi

aAa

aa

aaCSiaaa

aaAAA

ttt

C-2.- Calcular ( )

+→ xxx

11ln1lim

0

( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 21

21ln1

201ln1

111ln1lim

1111ln

1lim

00

001ln010

1ln1lim

11ln1

111

lim

111ln

111

lim

00

01ln.001ln0

1ln1lnlim

01

01ln11

1ln1lim

00

'

000

'

00

=+

==++

=

+++

=

+++

++= →=

==+++

=

+++

=

++++

+−+

=

⋅+

++

+−

=

= →==++−

=

++−

=∞−∞=−+

=

+

→→

→→→

→→

xxxx

xxxx

xxxx

xx

xx

x

x

xxxx

xx

xx

HopitalLAplicando

xxx

HopitalLAplicando

xx

C-3.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son : )0,1,1(A , )0,1,2( −B y )0,4,2(C

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

⋅=⋅=⇒=++=×

=+=−=×⇒

=−=−=−−=⇒×⋅=

2222

255

215500

523031021

0,3,10,1,10,4,20,2,10,1,10,1,2

21

uSACAB

kkkkji

ACABAC

ABACABS

Page 144: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

6

C-4.- Demostrar que la curvas ( ) ( )x

xgyxsenxf 1== se cortan en algún punto del intervalo

25,2 ππ

( )( ) ( )

>−=−=−

=

<−=−=−=⇒−=

⇒=−⇒=⇒=

012

511.2

512

52

52

50110.21222

1

0111

πππππππππ

senf

senfxxsenxfSiendo

xxsenxxsenx

xsen

No hay puntos de discontinuidad en el intervalo

25,2 ππ

Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en ( ) 000 ≠xfyx , entonces existe un entorno ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx , en el que la

función tiene el mismo signo que ( )0xf , es decir ( )[ ] ( )[ ] ( )δδ +−∈∀= 000 ,, xxxxfsignxfsign

Corolario: Si una función es continua en un punto 0x , y toma valores negativos ( ) 12 −=πf y

positivos 12

52

5−=

ππf en todo entorno de 0x entonces ( ) 00 =xf

Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto ( )bac ,∈ tal que f (c) = 0

Como ( )

−=

≠−= 1

25

2512 πππ fsignfsign , entonces existe, al menos, un punto

25,2 ππc tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)

Page 145: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

7

=

=

=

=

=

352

220

,100010000

,227

,321

EyDCBA

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Sean las matrices

a) Hallar la matriz ABT, donde BT indica la matriz traspuesta de B.¿ Es invertible? b) Hallar el rango de la matriz AT D

c) Calcular

=

zyx

M que verifique la ecuación (ABT + C)M = E

( )

( ) ( ) ( ) ( ) 1102.32.20.1220

321

)

00.3.2227227227

3266214414227

66214414227

227321

)

=⇒=++=

⋅=

⇒==⋅⋅==⇒

=⋅

=

DArangDA

b

inversatieneNo

ABAB

a

tt

tt

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

−⋅=

++−++−

−−⋅=

−−

−−⋅=+=

−−

−−⋅=+⇒

−−

−−=+⇒

=+

+∃⇒==−−−++⋅=⋅==+

=

+

=+⇒+=

2176

71

3.75.02.213.05.72.14

3.25.22.11

71

352

702107142211

71

702107142211

71

702107142211

74265221147

71.72824302424357763452221

776214514227

76214514227

100010000

66214414227

)

1

1

1

1

ECABM

CABCABadjCAB

CABCAB

CABECABM

c

t

ttttt

tt

tt

Page 146: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

8

PR-2.- Sea la función ( ) xexxf −+= a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas b) Demostrar que existe algún número real c tal que c + e-c = 4

( ) ( )

00ln1lnln1

1111010'1'

)

>⇒>⇒>⇒>

⇒<⇒−<⇒−>−⇒>−⇒>⇒⇒−= −−−−

xexeee

eeexfoCrecimientexf

a

xx

xxxxx

Decrecimiento 0/ <ℜ∈∀ xx Crecimiento 0/ >ℜ∈∀ xx Mínimo en x = 0 ( ) 11000 0 =+=+= −ef (de crecimiento pasa a decrecimiento)

( ) ( ) ℜ∈∀⇒>⇒>⇒⇒= −− xexfConcavidadexf xx 00'''' Concavidad ℜ∈∀⇒ x Asíntotas verticales Como ex > 0 no existen asíntotas verticales Asíntotas horizontales

( )

( ) ( )

( )

oblícuaasíntotaexisteNoxCuando

ex

ex

exx

xexm

xyxCuandoe

exexn

xexe

xx

xexm

oblicuasAsíntotas

xcuandohorizontalasíntotaSinxeComoexexy

xcuandohorizontalasíntotahayNoe

xexy

x

x

x

x

x

xx

x

x

xx

x

x

x

x

xx

x

xx

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

⇒−∞→

∞=∞+=+=+=+−−

=+

=

=⇒∞→⇒=∞

===−+=

=+=∞

+=+=+=+

=

−∞→⇒∞=>=∞+−∞=+−=+=

∞→⇒∞=+∞=∞

+∞=

+=+=

∞→∞→∞→∞→

−∞→

∞→

∞→

∞→

∞→

∞→∞→

∞→

∞→

−∞→

∞→

∞→

11

lim1lim1limlimlim

011limlim.1lim

101111lim1limlimlim

limlim

011limlim

Page 147: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

9

Continuación del Problema 2 de la Opción B b) Como la función es continua y ya sabemos sus valores en los limites derecho e izquierdo en

∞−∞+ y cuyo valor es igual ∞+ , tendremos que buscar los puntos intermedios en sonde existan mínimos relativos y, de estos, elegir el de menor ordenada que es el mínimo absoluto que debe de ser inferior a 4 Ya hemos hallado que hay un mínimo relativo en (0 , 1) con lo que la ( ) 1/Im >ℜ∈= yyf Esto significa que habrá dos valores de la función que cuya ordenada valdrá 4, uno a la derecha de x = 0 y otro a su izquierda

C-1.- Hallar a y b para que la función ( )

<

=>+

=

0

00ln

)(

xsix

xsenxsib

xsixxaxf

π, sea continua en toda ℜ

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ππ

ππππππ

==⇒=====

=== →===

=

>=+=+=

−+

−−

+

+

→→

→→

baxfbfaxf

xsenxf

bfxsiaaaxf

xx

x

HopitalLApicando

x

x

00

0

'

0

0

lim0lim

0.cos1

coslim00

00.lim

0000ln0lim

Page 148: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

10

C-2.- Dadas las rectas

==

=+=−+

≡52

720

yx

syyxzyx

r , hallar un punto de cada una de ellas, de tal

forma, que el vector que los una sea perpendicular a ambas Llamando rs a la recta buscada y R Y S a los puntos de intersección de esta con las rectas del enunciado y además su vector director es perpendicular con cada una de las rectas dadas por lo que sus productos escalares son nulos

( )

( )

( ) ( )

( )( )( )( )

( ) ( ) ( )0,2,10,2,1437,53,3.25

452

4373

13.27

47331557226

0707,5,25.1,0,0022607541007,5,25.1,1,2

0.0.7,5,257,5,227

1,0,052

1,1,27

27702727

≡−−=−−−−=⇒

===

=−==

=−=

⇒=⇒=+⇒=⇒=⇒

=+=+

=−−⇒=−−−−=−+⇒=++−−++−⇒=−−−−−−

=⇒⊥=⇒⊥⇒−−−−=−−−−−=

=⇒

===

−−=⇒

−==−=

≡⇒−=⇒=−+−⇒−=

rs

rssrss

rsrrsrrs

s

r

v

zyx

S

zy

xR

vvvvvvvvv

vzyx

s

vz

yx

ryzzyyyx

µµλλµλµλ

µλµλλλµλµλλλµλλλ

µλλλµλλλ

µ

λλλ

Page 149: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

11

C-3.- Discutir en función de a el sistema

=−=+

1ayxaayax

( ) ( )

{ } ( )

( )λ,11mindet10

0100

0

min20,1101

00101

12

SoluciónxadoerInCompatibleSistema

aSi

adoDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmeroArangaaa

aaaASiaaaa

aaa

A

⇒=⇒⇒

=

⇒==⇒−−ℜ∈∀

−=⇒=+=

⇒=+⇒=⇒+−=−−=−

=

( )λλ ,11mindet01

0011

11

1111

1

−⇒−=⇒⇒

−−−

−=

SoluciónyxadoerInCompatibleSistema

aSi

C-4.- Hallare el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones 63,42 −=−= xyxy Puntos de intersección o corte

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )

2

223312

212

212

3

1

2

21

2

1

2

22

1

2

1

2

2

22

22

61

6122714

229

3721221

21321

312

213

31

23634

23

23

46

236

296

233

23

474

494

23

23

23

0422234111

634

12

13

22

13

2130189023634

uA

xxxA

dxxxdxxdxxdxxgdxxfA

fg

g

ff

gfgf

xxgxxf

Si

x

xxxxxx

=−+−

=

−+−=−⋅+−⋅⋅−−⋅=⋅+⋅⋅−⋅=

+−=−−−=−=

<

−=−=−=−⋅=

−=−=−

=

=−==−=−==

−=−=

=−

=

=+

=⇒

±=⇒>=−=∆⇒=+−⇒−=−

∫∫∫∫∫

Page 150: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- PR-1.- Se considera el sistema , donde a es un parámetro real. ⎪⎩

⎪⎨

=−+=−+=++

22204

zyxzyax

azyx

a) Discutir el sistema en función del valor de a. b) Resolver el sistema para 1=a

( )

( )2,,224221)

mindet.024

000100111

224

100100111

64

4

300200

111

204

122111

111

1

244

000560122

204

122442122

204

122221122

204

122

1121

2111

21

min.301,21

21

42

431

14

31

491

09810120122222112211

11222

λλ−⇒−=⇒=++⇒=⇒=

⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

−−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

=

⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−

≡⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−−

≡⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

−−

−=

⇒==⇒≠⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−−ℜ∈∀

⇒⎪⎩

⎪⎨

−=−=−

=

=+

=⇒

±=

>=+=Δ⇒=−−⇒=⇒−−=++−+−−=−−=

SoluciónyxyxzaCuandob

adoerInCompSistema

aCuando

leIncompatibSistema

aCuando

adoDeterCompSistemaincognitasdeNúmeroArangAa

a

aa

aaASiaaaaaaa

A

1

Page 151: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2.- Sea f la función dada por . 22)( xxexf −=

a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas de f. b) Determinar el número de soluciones de la ecuación 2)( =xf en el intervalo [ ]. 1,0

( ) ( ( )

⎪⎩

⎪⎨

ℜ∈⇒>⇒<⇒−>−⇒>−

ℜ∈⇒>

⇒−⇒>⇒−=−=

−−

xexxxx

exxfoexexxf

xx

xxxx

01101

02120)('1222)('

2

22

2

222 )

<ℜ∈

⇒−

xx

Crecimientxx

1/

2

1 ∞ ∞− 2 > 0 ( + ) ( + ) x < 1 ( + ) ( - )

022 >−xxe ( + ) ( + )

Solución ( + ) f’(x) > 0 ( - ) f’(x) < 0 Creciente Decreciente 1/ <ℜ∈∀ xx 1/ >ℜ∈∀ xx Máximo en x = 1 en (1 , e) de creciente pasa a decreciente ef == − 211.2)1( e Asíntotas verticales no hay ya que el Dom(f) = ℜ∈∀x Asíntotas horizontales

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=−+=

⇒−±=−±

=−±

=

>⋅−=Δ⇒=+−⇒=−⋅−⇒=⇒=

−∞→⇒=∞

=⋅

=∞

===

∞→⇒=∞⋅∞−

−=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=

∞∞

=

=−

=⋅−∞=⋅−∞=−

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞

==

=⇒−∞→⇒=∞

=====

=⇒∞→⇒=∞

====

−−

+∞→

−−

∞→

−∞→

−∞→

−∞→

∞−−

∞→

∞→

∞−+−−−

∞→

−∞→

∞−−−

∞→

∞→

∞→

2ln112ln11

2ln112

2ln1222

2ln142

02ln4402ln202lnln22lnln2

)

011lim0limlim

0222

2lim

22lim01

22limlim

001limlim

001lim

2222

2

22

2'

2

2'

2

2lim22

2lim2

22

2

22

2

2

22

222

22

xx

x

xxexxee

b

xcuandoexisteNoexx

ex

em

xcuandoexisteNoex

exeex

xem

oblícuasAsíntotas

yxCuandoeeeey

yxCuandoeeey

xxxx

xxx

xx

x

xx

x

xxx

HopitalLApicando

xxx

xx

x

HopitalLApicandoxx

x

xxxx

x

xx

x

xxxx

x

x

x

2

Page 152: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

CUESTIONES

C-1.- .- Sean X una matriz , I la matriz identidad 22× 22× y . Hallar X

sabiendo que

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1012

B

IBBBX +2=+

( )

( )

⎟⎟

⎜⎜

⎛=⎟

⎜⎜

⎛ −+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎜⎜

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−+=

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=⇒⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⇒⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⋅=

⇒∃⇒≠==⇒−+=−+=⇒−+=

−−

−−−

1021

23

10211

211

1001

1021

21

1012

2011

21

2011

11021

021012

1

11

11212

IBBX

BadjBBadjBB

B

BBIBBBIBBXBIBBX

ttt

C-2.- Determinar el punto simétrico de respecto del plano de ecuación )3,0,4(P yx = . Calcularemos la recta r que pasa por P y tiene como vector director el del plano dado (vector que es perpendicular al plano) y hallaremos el punto de intersección de esta con el plano que nos da el punto M, que es el punto medio entre P y su simétrico P’

( )

( ) ( )3,4,0'

333.22

33

42.22

02

042.22

42

3,2,2

32

242424

304

0,1,1

''

''

''

P

zz

yy

xx

M

zy

xM

zyx

rvv

PP

PP

PP

r

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

=−=⇒+

=

==⇒+

=

=−=⇒+

=

⇒⎪⎩

⎪⎨

==−=

⇒−=⇒=−⇒−=+⇒⎪⎩

⎪⎨

=−=+=

≡⇒−== λλλλλλ

π

C-3.- Determinar en qué puntos de la gráfica de la función , la recta tangente a la misma es paralela a la recta

13 23 ++−= xxxy7+= xy

( )

( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

−⇒−=+−=++⋅−=⇒=++⋅−=

⇒⎩⎨⎧

=⇒=−=

⇒=−⇒=−⇒=+−⇒+−=⇒=

1,2131281223221,0110.0300

2020

0230631163163'1

23

23

222

ff

xxx

xxxxxxxxym

3

Page 153: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

C-4.- Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación , el eje OX y las rectas y

xy ln=1=x 2=x .

[ ] ( ) ( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

==⇒=

=⇒=

−=−−=−−=−==

∫∫∫

xdxvdvdxx

dxduux

udxx

dxxxxdxxA

ln

12ln2122ln21ln12ln2lnln 22

1

2

1

2

1

21

4

Page 154: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA B

PROBLEMAS PR-1.- De una recta r se sabe que está contenida en el plano π de ecuación , que

pertenece a r , y que el vector que une A y 0=− yx

)0,0,0(A )1,0,1( −B es perpendicular a r. Determinar la recta r, y calcular la distancia entre r y el plano paralelo a que pasa por B. π

( )( )

( ) ( )( )

( )

udd

yxdDDyxBporpasaquePlano

cyx

rv

babababaabavvvv

vABbav

cbyax

r

rA

r

rrr

22

21

11

1000110010

1,1,1

000011,0,11,,0.

1,0,11,,

000

22=

−=

+

−−==

⇒=−−≡⇒−=⇒=+−⇒=+−⇒

⇒⎪⎩

⎪⎨

===

≡⇒≡

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒=−⇒=−⇒=−=−=−⋅⇒=⇒⊥⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==≡⇒

⎪⎩

⎪⎨

+=+=+=

αα

ππ

π

α

λλλ

λλλλλλ

5

Page 155: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2 Sea la función 4

)( 2 +=

xxxf . Se pide hallar:

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f , los máximos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica. b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas . 2,2 =−= xx

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

ℜ∈∀⇒>+<ℜ∈∀⇒<⇒−>−⇒>−

−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+

⇒>+

−⋅+⇒>⇒⇒

+

−⋅+=

+

−=

+

−+=

xxxxxxx

xxxxx

xxxfoCrecimientx

xxx

xx

xxxxf

042/2202

2/202

04220)('

422

44

424)('

22

222222

2

22

2

∞− -2 2 ∞

x < -2 ( - ) ( + ) ( + ) x < 2 ( + ) ( + ) ( - )

( ) 042 >+x ( + ) ( + ) ( + ) Resultado ( - ) f’(x) < 0 ( + ) f’(x) > 0 ( - ) f’(x) < 0

Creciente 22/ <<−ℜ∈∀ xx Decreciente ( ) ( )22/ >∪−<ℜ∈∀ xxx

Mínimo relativo en ( ) 4

142

2)2(2 2 −=+−

−=−⇒−= fx de decreciente pasa a

creciente

Máximo relativo en 41

422)2(2 2 =+

=⇒= fx de creciente pasa a decreciente

Asíntota vertical

ℜ∉∀⇒−±=⇒−=⇒=+ xxxx 4404 22 No existen asíntotas verticales Asíntota horizontal

0

001

041

1

41

1

lim4

lim4

lim4

lim

0001

041

1

41

1

lim4

lim4

lim

222

2

2

22

222

2

2

2

=⇒−∞→

⇒=+

=

∞+

∞−

=+

−=

+

−=

∞∞−

=+

−=

+=

=⇒∞→⇒=+

=

∞+

∞=+

=+

=∞∞

=+

=

∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→

yxCuandox

x

xxx

xx

xx

xxy

yxCuando

x

x

xxx

xx

xxy

xxxx

xxx

6

Page 156: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación del Problema 2 de la opción B Asíntota oblicua o inclinada

( )

( )oblicuasasíntotasexistenNo

xxxx

xx

x

m

xxxx

xx

x

m

xxx

xxx

⇒=∞

=+

=+−

−=+=

=∞

=+

=+

=+=

∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→

014

1lim4

lim4lim

014

1lim4

lim4lim

22

2

22

2

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

[ ] ( )

⎩⎨⎧

=⇒==⇒=

⇒=⇒=⇒=+

==−====+

= ∫∫∫

8240

224

2ln48ln4ln8lnln

212

42

)

2

284

8

4

8

4

2

02

txtxdtxdxdtxdxtx

uttdtdt

tdx

xxA

b

7

Page 157: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

CUESTIONES C-1.- Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz

( ) ( )

{ } ( )

( )

( ) 2000100312

100100312

500300

312

212324312

3

2000450212

212642212

212321212

2

33,2

23

225102524106060

66241264168212321

12

212321

12

22

22

=⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−=

=

=⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ −≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−

−=

−=

=⇒−−ℜ∈∀

⇒⎩⎨⎧

−==

⇒±

=⇒>=+=Δ⇒=−−⇒=++−⇒=

⇒++−=+−+−−=+−+++−−=−−

+=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−+=

ArangA

mSi

ArangA

mSi

Arangm

mm

mmmmmASi

mmmmmmmmmmmm

A

mm

A

. C-2.- Sea A el punto medio del segmento de extremos y )1,2,3(P )1,0,1(−Q

). Calcular el

volumen del tetraedro de vértices A, , y . )3,1,2(B ) 4,3(D3,2,1(C 1,( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) 3

3510

6164

61

032210201

61

0,3,21,1,11,4,32,1,01,1,13,2,12,0,11,1,13,1,2

611,1,1

12

11

12

02

12

13

uV

ADACAB

ADACABVA

z

y

x

A

A

A

=−⋅=−−⋅=⋅=

⇒⎪⎩

⎪⎨

=−==−==−=

⇒×⋅⋅=⇒⇒

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

=+

=

=+

=

=−+

=

8

Page 158: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

9

C-3.- Discutir si la ecuación 2sen =+ xx tiene alguna solución real.

( )

( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

=−=−+=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

<−=−=−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

02

212

212

2222

022020002

,0int2

ππππππ

π

senf

senf

ervaloelenxsenxxffunciónladenulosvaloreshaberpuedesiEstudiemos

No hay puntos de discontinuidad en el intervalo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2,0 π

Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,

en el que la función tiene el mismo signo que ( )0xf( )

, es decir

( )[ ] ( )[ ] δδ +−∈∀ 00 , xxxf= ,signxfsign 0x

Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores negativos

y positivos

0x

( ) 20 −=f2

22

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ππf en todo entorno de entonces 0x ( ) 00 =xf

Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 ( bac ,∈ )

Como ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≠−=

22

220 ππfsignfsign , entonces existe, al menos, un punto

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈

2,0 πc tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)

C-4.- Calcular, si existe, el valor de 2

2

0

)(limx

ee xx

x

− .

( )( )

( ) ( ) ( ) 411222lim1

22lim00

0

lim2

2lim00

0)()(lim

0022

0

22

0

'00

22

00

'2

200

2

2

0

=+=+=+=+

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−

=

=−

=+−

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−

=−

−−

eeeeeeeex

eex

eeeeeexee

xx

x

xx

x

HopitalLAplicando

xx

x

xxxx

x

HopitalLAplicandoxx

x

Page 159: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

1

=+=+

=+=−

≡32

2,

322

zxyx

syz

myxr

-PRUEBA A

PROBLEMAS PR-1.- Sean r y s las rectas dadas por:

.

a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten b) Para 1=m , hállese la ecuación del plano que contiene a r y s.

( )

( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0236710023671001617110011814121812

0122421111

1,1,11,1,1,,1,2,2

4,2,11,1,1

11.41.2311.21

11

55

534612

5132211

230)

155

512412866

5143221

213

min.051884142221

210

342122

32

423212

23

2123

2123223

42322432232

)

=−++≡⇒=+−−−⇒=−−−−−−⇒=−+−−−−−−−−−−

⇒=−−−−−−

≡⇒

−−−=−=−−=

−=⇒

=−+==+−=

=⇒=

−−

=−

−++−=

−−−−−

=⇒

=−−

=−

−−+++−=

−−−−−

=

⇒≠−=−−+−=−−−−=⇒

−=−−−=−+−

=+

=−++−=+−

−=⇒

=+−=−=

≡⇒+−=−−=⇒−=

−+=+−=

=≡⇒+−=−⋅−=⇒−=

zyxzyxzyxyxzzyx

zyx

zyxzyxAGvv

A

zy

xAAcortedePunto

b

m

adoDeterCompSistemaAmm

mm

zyx

szzyzx

mzmy

xrmxmxzmxy

a

s

r

π

π

λ

µλµλ

µλ

µλµλ

µλ

µµµ

λλ

λ

Page 160: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

2

PR-2.- Considérense las funciones xx exgexf −−== )( ,)( . Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) OYejeElxrxy

maB

AMínimo

eed

ee

eeee

eeee

eeeeed

aaeeeede

ee

eeee

eeee

eeeedaddd

eed

ee

eeaad

eaBeag

eaAeafaxrectalaSiendo

AB

a

a

a

aaa

a

aaa

a

aaaa

AB

aaaAB

a

a

a

aaa

a

aaa

a

aaaaAB

ABa

a

AB

a

a

aa

ABa

a

aa

⇒=≡⇒−⋅=−

⇒=⇒

−⇒⇒>=

+=

+=

⇒+

=+−

=−−

=−−

=

⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=−⇒=

−=

−−=

+−=

+−==⇒

+=

+=

++−=⇒

−⇒−=

⇒=⇒= −

00011

01

1,1,0

021

1110''

1121212''

0021010'

1121212'1

111,

,

0

0.2

2

2

22

2

23

2

22

0222

2

2

22

2

23

2

222

2222

CUESTIONES

C-1.- Hállense las matrices A cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad:

AA

=

1101

1101

.

=

=⇒+==⇒+=+

===⇒=+

++

=

++

=

aca

A

bdbddacadc

bbbaba

dbcaba

ddcbba

dcba

dcba

0

0

00

1101

1101

Page 161: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

3

C-2.- Calcúlese la distancia del punto ( )1,1,1P a la recta

−==

+−=≡

λ

λ

zyx

r 022

.

Se trazara un plano π perpendicular a la recta por el punto P, que cortara a esta en el punto A . La distancia entre P y A es la que existe entre punto y recta.

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) udd

Azy

xA

zxzxzyx

PGvPGvzyxzyxPG

vv

PA

r

6411110101

1,0,01

001.22

105501222

012011201,1,11,0,2

01,1,11,1,1,,

1,0,2

222Pr =++=++−+−==

−⇒

−==

=+−=⇒=⇒=+−⇒=−−−+−⋅

⇒=−−≡⇒=−−−⇒=−−−⋅−

⇒=⋅⇒⊥⇒

−−−=−=−==

λλλλ

π

πππ

C-3.- Calcúlese el valor de 20

))2ln(cos(limx

xx→

.

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 212

0cos2

0.2cos2

2cos2lim

2cos2lim

12cos

2

lim00

00.22lim2cos

2

lim

2

222cos

1

lim00

01ln

00cosln

00.2cosln2coslnlim

2222020

2

0

'

00

0

'220

−=−=−=−=−=−=

=−

= →==−=−

=−

=

=⋅−⋅

= →=====

→→

→→→

→→

xx

xtgx

xtgx

xxsen

x

xsenx

xx

xx

x

HopitalLAplicando

xx

x

HopitalLAplicando

x

C-4.- Hállese el área del recinto limitado por la parábola 2xy −= y la recta 32 −= xy

( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

2

223313

13

213

3

1

3

21

3

21

3

1

3

21

3

22

332

3362428128

328

3133131313

212

31

323232

32

42

12

42

216201612403232

uA

xxxA

dxxxdxxdxxdxxdxxA

x

xxxxxx

=++−

=++−=

−−+−−−−−⋅−=+⋅⋅−⋅−=

=+−−=−+−−=−−−=

−=−−

=

=+−

=⇒

±−=⇒>=+=∆⇒=−+⇒−=−

−−−

−−−−−∫∫∫∫∫

Page 162: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

4

=++=++=++

424)1(

32

azyxzyazyx

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales .

a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. b) Resuélvase el sistema para a=2.

( ) ( )

( ) ( )

{ } ( )

( ) ( )1,1,0,,

031.11.21334131143

100130121

443

221130121

min2)

10143

000120121

443

121120121

1

90943

000100121

143

200100121

443

121100121

1

min.301,1

101101

011

01011212121

110121

)

222

=⇒

⇒=⇒=++⇒=⇒=⇒=+⇒=⇒

⇒=

⇒ℜ∉∀⇒=⇒

=

⇒ℜ∉∀⇒=⇒

−≡

−=

⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀

=⇒=−−=⇒=+

⇒=−⋅+

⇒=−⇒=⇒−=−−+=−+−++=+=

zyxSolución

xxyyyz

adoDeterCompatibleSistemaaSib

leIncompatibSistemaxz

aSi

leIncompatibSistemaxz

aSi

adoDeterCompSistemaincognitasdeNúmeroArangAa

aaaa

aa

aASiaaaaaaaa

aA

a

Page 163: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

5

PR-2.- Dada la función 11)(

+−

=xxxf , se pide:

a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. b) Calcúlese el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas 0,0 == yx .

( ) { }

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

−>⇒>+ℜ∈∀⇒<−

⇒>+−

⇒>⇒⇒+−

=++−

⋅=

ℜ∈∀⇒

ℜ∈∀⇒>+ℜ∈∀⇒>

⇒>+

⇒>⇒⇒+

=+

−−+=

−−ℜ∈∀=⇒−

=+−−−

=−⇒−=⇒=+

10104

0140)(''

14

1122)(''

0102

01

20)('1

21

11)('

102

1111)1(101

)

334

2222

xxx

xxfConcavidad

xxxxf

xoCrecimientxx

xx

xfoCrecimientxx

xxxf

xfDomfxx

a

∞− -1 ∞

-4 < 0 ( - ) ( - ) x > -1 ( - ) ( + )

Solución ( + ) f’’(x) > 0 ( - ) f’’(x) < 0 Concavidad 1/ −<ℜ∈∀ xx Convexidad 1/ >ℜ∈∀ xx No existe punto de inflexión porque en x = -1 hay una asíntota vertical Asíntota verticales En x = -1 como se ha determinado en el análisis del Dominio de la función

110101

11

11lim

1

1

lim11lim

11lim

110101

11

11

11

11lim

1

1

lim11lim

=⇒−∞→⇒=+−−−

=+−

−−=

+−

−−=

∞∞

=+−−−

=+−

=

=⇒∞→⇒=+−

=

∞+

∞−

=+

−=

+

−=

∞∞

=+−

=

∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→

yxCuando

x

x

xxx

xxx

xx

xxy

yxCuando

x

x

xxx

xxx

xxy

xxxx

xxx

Asíntotas horizontales

Page 164: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

6

Continuación del Problema 2 de la Opción B a) Continuación

( )

oblicuaasíntotaexisteNoxCuandox

xx

xx

xx

xxx

xxx

xxx

m

oblicuaasíntotaexisteNoxCuandox

xx

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

m

xxxx

xxxxx

⇒−∞→

⇒=+−−

=∞−∞

−∞

−=

−−=

−−=

∞∞

=−−−

=+−

=

⇒∞→

=+−

=∞+∞

−∞=

+

−=

+

−=

∞∞

=+−

=+−

=+−

=

∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

00100

1

11

11

11

lim

1

lim1lim11

lim

00100

1

11

11

11

lim

1

lim1lim1

1lim11

lim

2

22

2

22

2

2

22

2

22

2

Asíntotas oblicuas

-15

-10

-5

0

5

10

15

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

Page 165: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

7

Continuación del Problema 2 de la Opción B

[ ] ( ) [ ] ( )

( ) ( ) 2

12

1

2

01

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

12ln22ln021

1021

1

2ln1ln21ln210121

121

21

211

11

11

11

11

1010

11010)0(0

)

uA

txtx

dtdxtx

tdtt

xdxx

dxdxx

A

xxx

dxxxdx

xxdx

xxA

xxy

fxCuando

b

−⋅=−⋅−−=

=⇒==⇒=

⇒=⇒=+

−−−=⋅−−=−=+

−=

+−=

−−−

+−

+−

=+−

−=+−

=⇒

=⇒=−⇒=

−=+−

=⇒=

∫∫∫∫

∫∫∫

Page 166: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

8

C-1.- Dadas las matrices

−−−=

111101011

P y

−=

200010001

A , hállese razonadamente la

matriz B sabiendo que ABP = .

( )

−−=

−−⋅

−==

−−⋅=⇒

−−=⇒

−−−

=⇒⋅=

⇒∃⇒≠=++−=−−

−=

=⇒=⇒=

−−

−−−−

202110111

101110

111

200010001

101110

111

11

101110

111

110101111

1

01111111101011

1

11

1

1111

APB

PadjPPadjPP

P

PP

APBAPBIAPBPP

ttt

C-2.- Hállese la distancia entre el plano π , que pasa por los puntos A(2,0,-1), B(0,0,0) y C(1,1,2), y el plano β de ecuación 0625 =−+− zyx . Para que haya distancia deben de ser paralelos, vamos a comprobarlos. Si, efectivamente, lo son se halla la distancia de uno cualquiera de los puntos al plano β

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )udd

vvvvzyx

zyx

yxyxzyzyx

zyxzyxBGBC

BA

B 530

30306

42516

251

60.20.50

0625025

40420211102

,,0,0,0,,2,1,10,0,02,1,1

1,0,20,0,01,0,2

222==

++

+−+

−+−==

⇒⇒=⇒

=−+−≡=+−≡

+≡⇒=−++−⇒=−≡⇒

=−==−=

−=−−=

βαβ

βπβπ βαβπ

ππ

Page 167: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

9

C-3.- Sea dcxbxaxxf +++= 23)( . Determínense a, b, c y d para que la recta 01 =+y sea tangente a la gráfica de f en el punto )1,0( − , y la recta 02 =−− yx sea tangente a la gráfica de f en el punto )1,1( − .

1)(1

0111123033

12311.21.31)1('0111.1.1)1(000.20.30)0('

110.0.0.1)0(

23)('

23

2

23

2

23

23

−−=⇒=

⇒=−⇒−=⇒=−⇒

=+=−−

=+⇒=+⇒===+⇒−=−+⇒−==⇒=++⇒==−=⇒−=+++⇒−=

+++=

xxxfa

abbbaba

babafmbabafccbafmddcbaf

cbxaxaxxf

C-4.- Determínense los valores de a y b para los cuales 1)(sen

)cos(1lim 2

2

0=

−++→ x

xbxaxx

.

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ] ( )

( )( ) 1

sen

cos12lim

21122121

212

01212

00.20c20cos2

2c2cos2lim

00

00102

000c02

00.2c2

2lim

00

01100

0sen0cos10.0.

sencos1lim

2

2

0

222220

'

220

'2

2

2

2

0

=−+

⇒=⇒=⇒=+⇒=+

−+

=−+

=−+

= →==

==→=⋅⋅++

=⋅

++=

++=

= →==−++

=−++

=−++

x

xx

aaaa

asenos

axxsenxxos

xa

brealvaloruntenerallegarparabbos

senbaxosx

xsenbax

bax

xbxax

x

x

HopitalLAplicando

x

HopitalLAplicando

x

Page 168: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- .- a) Hállese el valor de a para el que la recta y el plano ⎩⎨⎧

=−+=+−

≡252

12zyx

zyxr

01 =++−≡ zyaxπ sean paralelos b) Para , calcúlese la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a 2=a π a) Los vectores directores de recta y plano son perpendiculares y por ello su producto escalar nulo.

( )

( )( ) ( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 04740714021361

0131112

1

,,10,0,1,,1,3,11,1,2

0,0,1)

201301,1,1,3,10

1,1,

1,3,131

312111333

=−−+≡⇒=+−−−⇒=−−−+++−−

⇒=−−

≡⇒⎪⎩

⎪⎨

−=−=≡

−≡

=⇒=+−⇒=−⋅⇒=⋅⇒⊥

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−≡

≡⇒⎪⎩

⎪⎨

==+=

≡⇒=⇒=+−+⇒+=⇒=−⇒=−

zyxzyxyxzzyx

zyx

zyxzyxRGv

v

rrectaladepuntoRb

aaavvvv

av

vzy

xrzyzyzzxzxzx

r

rr

r

β

β

λλλ

π

ππ

π

1

Page 169: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2.- a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento , sus máximos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de inflexión. Demuéstrese que para

todo x se tiene que

xxexf −=)(

exf 1)( ≤

]1,b) Pruébese que la ecuación tiene alguna solución en xex =3 ( ∞−

( )<⇒−>−⇒>

ℜ∈∀⇒>−⇒>⇒−=−=

−−−−−

1100

10)('1)('xxx

eexfoCrecimientxexeexf

xxxxx

( )⎩⎨⎧

−⇒>

10x

1 ∞− 0>−xe ( + ) ( + )

x < 1 ( + ) ( - ) Solución ( + ) f’(x) > 0 ( - ) f’(x) < 0

Crecimiento 1/ <ℜ∈∀ xx Decrecimiento 1 / >ℜ∈∀ xx

Máximo relativo en x = 1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⋅= −

eeef 1,111)1( 1 , de crecimiento pasa a

decrecimiento Asíntota vertical Como , no existen asíntotas verticales ( ) ℜ∈∀= xfDom Asíntota horizontal

horizontalasíntotaexisteNoxCuandoxexey

yee

xxey

x

x

x

x

xx

HopitalLAplicandoxx

x

x

⇒−∞→⇒−∞=−==

=⇒∞⇒=∞

==⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞

===

∞→

−∞→

∞→∞→

∞→

limlim

0011limlimlim ' xCuando →

Asíntota oblicua

oblicuaasíntotaexisteNoxCuandoex

xem

oblicuaasíntotaexisteNoxCuandoex

xem

x

x

x

x

xx

x

x

⇒−∞→⇒∞===

⇒∞→⇒=∞

===

∞→

−∞→

∞→

∞→

limlim

011limlim

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⇒=

=−=⇒−=−−−−=−−=

=⇒=−⇒=−−⇒=⇒−−=−+−=−−−=

−−−−−

−−−−−

22

22

2,2.222

123)('''322)('''

202020)(''2111)(''

inf

eefx

eexfxeexexexf

xxxexfxexexeexf

lexióndePunto

xxxx

xxxxx

2

Page 170: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación del Problema 1 de la opción A

ℜ∈∀⇒>⇒ℜ∈∀⇒>−

⇒ℜ∈∀⇒>−

⎩⎨⎧

⇒ℜ∈∀⇒>

ℜ∈∀⇒>⇒>−⇒

−=

−=−

−−−−

+

xex

ex

ex

e

xe

xexe

xxexee

xee

exeex

e

xx

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

101

00

01 1111

1

Veamos si g(x) se anula No hay puntos de discontinuidad en el intervalo

b

( ) ( )⎧ >−=⇒−=

01.313

1egexxg x

( )⎩⎨

<−=−= 010.30

)

0eg

( ]1,∞− TSi

eorema de conservación del signo f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,

en el que la función tiene o que el mismo sign ( )0xf( )

, es decir

( )[ ] ( )[ ] δδ +−∈∀ 00 , xxxf= ,signxfsign 0x

Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores positivos

en todo entorno de entonces 0x

( ) 10 −= 0x ( ) 00 =xg ( ) eg −= 31 y positivos g

onsecuencia de todo ello C Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto

s del intervalosigno en los extremo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , ent , un punto ( )bac ,∈ tal que f (c) = 0

onces existe, al menos

Como ( ) ( )[ ]1031 −=≠−= fsignefsign , entonces existe, al menos, un punto [ ] ( ]1,1,0 ∞−∈∈c tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)

3

Page 171: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

CUESTIONES

C-1.- Sea m un número real. Discútase, en función de m, el sistema de ecuaciones

lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

+=

2121

111

mmmA

Al ser un sistema de ecuaciones homogéneas, los valores que no anulen al determinante de la matriz de los coeficientes darán lugar a sistemas Compatibles Determinados con solución trivial (0 , 0 , 0), los valores que lo anulan generan sistemas Compatibles Indeterminados

( )

{ } ( )( )

( )

( )μλμλ ,,

mindet..1000

000000111

000

222111111

1

0,0,0min...301

1220440120120

1213212122212

1111

22

22

−−⇒−−=

⇒=⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

=

⇒⇒==⇒≠⇒−ℜ∈∀

==⇒=−=Δ⇒=+−⇒=−+−⇒=

−+−=−+−−=−+−−+++=+

=

Soluciónzyx

adoerInCompatSistArangA

mSi

SoluciónadoDeterCompatSistincognitasNumArangAm

mmmmmASi

mmmmmmmmmmmm

mmA

C-2.- Hállense las ecuaciones de la recta que pasa por P(2 , 1 , -1), está contenida en el

plano 132 =++≡ zyxπ , y es perpendicular a la recta ⎩⎨⎧

+=−=

≡432

zyzx

s

( )

( )

( )( )( )( )

( )

31

51

12

3,5,11,35,

31

3103

310

35053

0642012

032012

3,2,11,,1,1,21,,

0.0.

1,1,2423

1,,1

12

+=

−−

=−

−≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇒=⇒=+−⇒−=⇒=−−⇒

⎩⎨⎧

=−−−=++

⎩⎨⎧

=++=++

⇒⎩⎨⎧

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒⊥=⇒⊥⇒

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⇒

=+=+−=

=⇒⎪⎩

⎪⎨

+−=+=+=

zyxr

aabbba

ba

baba

baba

vvvvvvvv

vz

yx

s

bavz

byax

r

rr

srsr

s

r

ππ

λλλβββ

4

Page 172: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

C-3.- Calcúlese 20

cos1))ln(cos(limx

xxx

+−→

( )[ ] ( )[ ] ( )

( ) ( )

122

2

111

2

0cos0cos

1

2

coscos

1

lim

00

000

0.200

2lim

2cos

1

lim

00

0111ln

00cos10coslncos1coslnlim

22

0

'

00

'220

−=−

=−−

=−−

=−−

=

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−

=−−

=−−

=−−⋅

=

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==+−

=+−

=+−

→→

xx

sentgx

xsenxtgx

xsenxsenx

xxx

x

HopitalLAplicando

xx

HopitalLAplicando

x

C-4.- Calcúlese el área del recinto limitado por la curva de ecuación y por la recta tangente a dicha curva en el punto x = 0.

xxxy 23 23 +−=

( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2233442233

442233442232

232

332

4

10

221

321

410

210

310

430

2

3

0

1

0

2

1

3

2

232323

23

2

223

2322323

2

232

232323411212

1241010101

4103

212

313

41

212

313

41

212

313

41

212

2323232

083

82454273

427

827

23.2

23.3

23

23

12

13

22

13

2130189023

0023023

21.201.21.311

3030

0303232

tansecint

tan.02

020220.60.30'

00.20.30263''

−−−+−⋅−−+−−

−−⋅+−−−+−⋅−−=⋅⋅−⋅⋅+⋅−

−⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅=

+−−+−++−−=

<−=+−

=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎪⎩

⎪⎨

=−

=

=+

=⇒

±=⇒>=−=Δ⇒=+−

=

⇒=+−⇒=+−⇒⎩⎨⎧

===+−=

⇒⎩⎨⎧

=⇒=−=

⇒=−⇒=−⇒+−=

=−

⇒−⋅=−⇒⎩⎨⎧

=+−===+−=

⇒+−==

∫ ∫ ∫ ∫

xxx

xxxxxxxA

dxxxxdxxxxdxxxxdxxA

f

y

xxxx

xxxxxxxfunciónladecortedePuntos

yf

xxx

xxxxxxxx

gentegraficaciónerdePuntos

genteEcyx

xyfmxf

xxxfy

5

Page 173: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA B

PROBLEMAS PR-1.- Discútase, en función del parámetro real k el siguiente sistema de ecuaciones

lineales: . Resuélvase el sistema cuando sea posible ⎪⎩

⎪⎨

=+=+=+

0323

03

kyxkyx

ykx

( ) ( )( )

{ } ( )

( )

( )3,3393093

33min030

0010

33

030

332333

3

0,0min000

001023

000

101023

000

203023

000

033023

053,

53

53

5930

593

5335min

03

0

005033

03

0

332333

3

3/0/3,0,3

303303

003309090

0323

03/ 23

−⇒=⇒=⇒=−

⇒−=⇒=−⇒⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

=

⇒⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⇒−=⇒=−⇒=−−

⇒−=⇒−=⇒⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−=

⇒>=⇒≠⇒−−ℜ∈∀

⎪⎩

⎪⎨

=⇒=−−=⇒=+

=⇒=−+⇒=−⇒=−⇒==

Soluciónxxx

yyadoDeterCompatibleSistema

kSi

SoluciónadoDeterCompatibleSistema

kSi

Soluciónxxx

yyadoDeterCompatibleSistema

kSi

leIncompatibSistemaincognitasdeNúmeroBArangBAx

kkkk

kkkkkkkk

kk

kBA

6

Page 174: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2.- .- Sea x

xxf224)( −

= ,

a) Determínense el dominio de f, sus asíntotas, simetrías, y máximos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica.

b) Calcúlese ( ) ( )∫2

1

ln dxxxf

( ) { }

( )

( )

( )

( )

xyxCuandoxx

xxxx

xn

x

xx

xx

xx

xxx

x

m

xyxCuandoxx

xxxx

xn

x

xx

xx

xx

xxx

x

m

oblicuasAsíntotasxcuandoexisteNo

x

x

xxxx

xxx

xxy

xcuandoexisteNo

x

x

xx

xx

xx

xy

eshorizontalAsíntotas

xf

xfx

verticalesAsíntotas

xfDomxfx

a

xxx

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

xxx

x

x

2

044lim224lim224lim

21

201

24

1

24

lim

24

lim24lim

24

lim

2

044lim224lim224lim

21

201

24

1

24

lim

24

lim24lim

24

lim

02

020

1

24

lim

24

lim24lim24lim

02

020

1

24

1

24

lim

24

lim24lim

04

00.24lim

04

00.24lim

0

004

00.24)0(0

)

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

22

2

0

2

0

2

−=⇒−∞→

=∞

−=−−

+−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

−=−

=−

∞=−

=−

=−

=

=

−=⇒∞→

=∞

=+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

−=−

=−

∞=−

=−

=−

=

=

−∞→⇒

−=−−

=−

−=

−=

∞−∞−

=−−

=−

=

∞→⇒−=−

=

−∞=

−=

−=

∞∞−

=−

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

∞==−

=

−∞==−

=⇒=

−ℜ∈∀=⇒ℜ∉∀∃/⇒=−

=⇒=

∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→

∞→∞→∞→∞→

∞→∞→∞→−∞→

∞→∞→∞→

++→

−−→

+

7

Page 175: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación del Problema 2 de la Opción B

( )

( )

relativosmínimosnimáximoshayNo

xxxxfx

xxx

xxxxxf

origenalrespectoSimétricaxfx

xxxxf

⇒−±=⇒−=⇒=+⇒=⇒+

⋅−=−−

=−−−

=

⇒−=−

−=−−

=−

22020)('2242244)('

2424)(

222

2

2

2

2

2

22

-15

-10

-5

0

5

10

15

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

( ) ( ) ( )

[ ] ( ){ } { } [ ]

( ){ } ( )212ln2ln

2112

212ln

222ln

2112

212ln22ln

21

210.12ln202ln

211ln12ln2

21

21

ln

01ln12ln2ln

21ln

212ln2ln4ln24

)

22222

21

2222

1

222ln0

2

2

2

1

22

1

22ln

0

2

1

2

1

2

1

2

+−⋅=−⋅+⋅−⋅=−⋅+⋅−⋅=

⋅++⋅−−⋅=+−−⋅=

⎪⎩

⎪⎨

⋅==⇒=

=⇒=

⎩⎨⎧

==⇒==⇒=

⇒=⇒=

⎟⎟

⎜⎜

⎛⋅−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅−=−=

−=

∫∫∫∫∫

I

xdxxtI

xdxxvdvdxxx

dxduux

txtxdt

xdxtx

xdxxxxdttdxxxdx

xxdxx

xxI

b

8

Page 176: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

C-1.- ¿Existen máximos y mínimos absolutos de la función 1cos)( += xxf en el intervalo [ ]π,0 ?. Justifíquese su existencia y calcúlense.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )0,0111cos

2,021110cos00.

int011cos''

010cos0''cos''

,0000)(')('

ππππ

ππ

π

⇒=+−=+=⇒=⇒=+=+=⇒=

⎩⎨⎧

⇒>=−−=−=⇒<−=−=

⇒−=

ℜ∈+=⇒=⇒=−⇒=⇒−=

fxenabsolutoMínimofxenabsolutoMáximo

absolutosextremossonestoservalodelextremospuntoslosencumplenserelativosextremoslosComo

MínimofMáximof

xxf

kkxxsenxsenxfxsenxf

C-2.- Dadas las matriz , determínense los valores del número real a

para los cuales existe la matriz inversa de P

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+=

543012

21a

aP

( ) ( )

ℜ∈∀⇒

ℜ∉∀⇒<−=−=Δ⇒=+−⇒=−+−⇒=

−+−=−−−++=−+−++=+=⇒≠

− aPExiste

aaaaaP

aaaaaaaaaaaa

PP

1

22

22

0801801000151030151030

1510320338552013815543012

210

C-3.- Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la

función 1

)( 2

2

+=

xxxf en el punto x = 0

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )⎪⎪

⎪⎪

=⇒−⋅−=−⇒−=−=−=

=⇒−⋅=−⇒⇒==+

⋅==

⇒==+

=

⇒+

=+

−+=

+

−+=

00010

01

101

0'1'

0000.tan.010

1002)0('

010

1000

12

1222

1212)('

22

2

2

2222

33

22

22

xxyf

m

yxygEcfm

f

xx

xxxx

xxxxxxf

9

Page 177: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti

10

C-4.- El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo A(3 , 0 , -1), B(6 , -4 , 5) y C(5 , 3 , z). Calcúlese el valor de z y hállese el área del triángulo. Los vectores AB y AC son perpendiculares, entre si, siendo su producto escalar nulo.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2

222

85421

179221792231889124

1326431,3,210,3,2

21

0040666

0161261,3,26,4,31,3,21,0,3,3,56,4,31,0,35,4,6

uA

ACABkjijikkjiACAB

kjiACABACACABA

zzz

zzACABzzAC

AB

⋅=

++−=×⇒++−=−−+++−=×

−=×⇒=+=⇒×⋅=

=⇒=⇒=++−

=++−⇒+⋅−=⋅⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

+=−−=−=−−−=

Page 178: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- .- a) Discútase el sistema , en función del valor de a. ⎪⎩

⎪⎨

−=−++=++

=−+

1)1(302

2

azyaxazyxzayx

b) Para el valor , hállese, si procede, la solución del sistema. 1=a

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )2,10,662210

10462224

2

100310111

64

2

210310111

002

123112111

min1)

.330

338

4

000500212

658

4

2000500212

138

4

400500212

104

236124212

21

02

1233

2112

1211

21

.3034

2

000210101

74

2

210210101

102

113012101

0

min.3021,0

21012

0012012

2222232131231113

1211

)

2222

−⇒−=⇒=−+

−=−⇒−=+−⇒=⇒−=−⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

−−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

−−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⇒=

⇒ℜ∉∀⇒=

⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

−≡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

−−

=

⇒ℜ∉∀⇒−=⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

=

⇒==⇒≠⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−ℜ∈∀

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒=−

=⇒=−⇒=⇒−=

−=+−−+−−=++−++−+−=−+

−=

Soluciónxx

yyzz

adoDeterCompatibleSistemaaCuandob

leIncompatibSistemazz

aSi

leIncompatibSistemazz

aSi

adoDeterCompatibleSistincognitasdeNúmeroArangAa

aaa

aaASiaaA

aaaaaaaaaaaaa

aa

A

a

1

Page 179: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2.- a) Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función , sus extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas

21)( xexf −=

( ) −= xexf 2'

b) Esbócese la gráfica de f y calcúlese . ∫3

1 )( dxxxf

( )⎪⎩

⎪⎨

ℜ∈∀⇒>>ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒<−

⇒>−⇒>⇒−

−−

xexxx

xxexfsioCrecimient

x

xx

00/0

02020'

2

22

1

11

0 ∞− ∞

-2 < 0 ( - ) ( - ) x > 0 ( - ) ( + )

02

>1−xe ( + ) ( + ) Solución ( + ) f’(x) > 0 ( - ) f’(x) < 0

Crecimiento 0/ <ℜ∈∀ xx Decrecimiento 0/ <ℜ∈∀ xx Máximo relativo en x = 0 ( ) ( )eeef ,00

201 == − de crecimiento pasa a decrecimiento

( ) ( ) ( )( )

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒===⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒===⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒=

⇒=⇒=⇒=−⇒=⇒−−=−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−

eeeefx

eeeefx

xxxxfxexxe

lexión

xxx

,22

22

22

,22

22

22

21120210''2122

21

2112

21

21

2112

21

2222111

2

2

222

⇒±=

−=

x

exf

dePuntos

21

2''

inf

Asíntotas verticales

( ) verticalesasíntotasexistenNoxfDom ⇒ℜ∈∀= Asíntotas horizontales

00limlimlim

00limlim

2

22

2

2

11

1

=⇒−∞→⇒=∞

====

=⇒∞→⇒=∞

===

∞→

∞→

−∞→

∞→

∞→

yxCuandoeeeeey

yxCuandoeeeey

xx

x

x

x

x

xx

x

x

Asíntotas oblicuas

hayNoxCuandoexee

xe

xem

hayNoxCuandoexe

ex

em

xx

x

x

x

x

xx

x

x

⇒−∞→⇒=∞−

=−

=−

==

⇒∞→⇒=∞

===

∞→

∞→

−∞→

∞→

∞→

0limlimlim

0limlim

2

22

2

2

11

1

2

Page 180: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación del Problema 2 de la Opción A

0

1

2

3

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

[ ] ( )

⎩⎨⎧

=⇒=−=⇒=

⇒−=⇒=−⇒=−

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−=−⋅−=⋅−=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅= −

−−

−− ∫∫∫

0183

221

2111

21

21

21

21

2

)

2

8

8

808

8

0

80

8

0

3

1

1 2

txtxdtxdxdtxdxtx

ee

eeeedtedtedxxe

b

tttx

3

Page 181: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

CUESTIONES

C-1.- Sea A una matriz de columnas y determinante 4. Sea B otra matriz de determinante 2. Si C es la matriz de columnas

22× 21 ,CC22× 21 CC + y , calcúlese el

determinante de la matriz . 23C

1−C⋅B

61

1221

124.33333

11

212221221

===⋅=⋅=

==⋅=+=+=

−−

CB

CBCBBC

CCCCCCCCCC

C-2.- Calcúlese la distancia del origen al plano π que pasa por y contiene a la recta

)0,2,1(Azyxr =−=+≡ 3/)1(2/)2( .

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )ud

zyxxzzy

zyx

zyxzyxABAB

v

O

r

59595

595

731

50.70.30

0573019223

0013132

21

,2,10,2,1,,0,1,30,2,10,1,2

1,3,2

222==

+−+

++−=

=++−≡⇒=−++−−−

⇒=−−

−−≡⇒

⎪⎩

⎪⎨

−−=−=−−=−−=

=

π

π

π

C-3.- Calcúlese xx exx )ln(lim

+∞→

011lim

1

lim

1)ln(lim

1)ln(lim)ln(lim ''

=∞

===

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞

=+

=⋅+

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞

=

+∞→+∞→

+∞→+∞→+∞→

xxxx

HopitalLUtilizandoxxxx

HopitalLUtilizandoxx

xeex

ex

ex

xx

exx

4

Page 182: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

C-4.- Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que

para se verifica: 0>x 21)(arctg)2(arctg

xxxx+

<− .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0/112

7121

32

121

32.2

1210

0124206

01602

01220

320

4124160192

0.4160.16

20.4120.2

126'''

12''

12'

4116192'''

4116''

412'.2

!1!0

!20''

!10'0

23

3333

332

2

222

3332

22

222

32

2

222

32

2

222

11

2

>ℜ∈∀⇒+

<+−=−=

+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−+−=−=−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

+−+=+⋅

−⋅+

+⋅

⋅−

+⋅+=

+−+=+⋅

−⋅+

+⋅−

⋅++=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

+

−=⇒

+−=⇒

+=⇒=

+

−=⇒

+−=⇒

+=⇒=

⋅+

+⋅++⋅+⋅+= ++

xxx

xxxgxfxh

xxxxxxxtgarcxtgarcxgxfxh

xxxtgarcxg

xxxx

xxtgarcxf

xxxg

xxxg

xxgxtgarcxg

xxxf

xxxf

xxfxtgarcxf

xn

xfxn

fxfxffxf nn

nn ϑ

5

Page 183: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA B

PROBLEMAS PR-1.- a) Determínese el punto simétrico de )7,1,3( −−A respecto de la recta

21

231 +=

−=+≡

zyxr .

b) Hállese la distancia entre A y r. a) Por A trazaremos un plano π perpendicular a la recta r que tiene como vector genérico al de la recta que es perpendicular al vector formado por A y el punto genérico del plano G por lo que su producto escalar es nulo. Se halla el punto de corte de recta y plano que nos da el punto B, punto medio entre A y su simétrico A’

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (( )

( )

)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) udd

b

A

zz

yy

xx

B

zy

xB

zyx

r

zyxzyxzyx

AGvAGvzyxzyxAG

vv

ABAr

AA

AA

AA

r

228220571133

)

3,3,3'

37522

75

31122

11

33322

33

5,1,3

221223

21209180152122321

2123

1

0152207212307,1,32,2,1

07,1,37,1,3,,

2,2,1

222222

''

''

''

==−++=−−−+−−+−−−==

−−−⇒

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

−=−−−⋅=⇒+−

=−

−=−−⋅=⇒+

=−

−=−−−⋅=⇒+−

=−

⇒−−−

⎪⎩

⎪⎨

−+−=−+=−−=

⇒−=⇒=+⇒=++−++++−⇒⎪⎩

⎪⎨

+−=+=+−=

=+++≡⇒=++−++⇒=+−+⋅

⇒=⋅⇒⊥⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

+−+=−−−===

λλλλλλλλ

π

πππ

6

Page 184: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2.- Sea , )ln()( xexf x += ),0( ∞∈x . a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas.

b) Pruébese que f tiene un punto de inflexión en el intervalo ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 1 ,21 y esbócese la gráfica

de f.

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )⎪⎪

⎪⎪

>−=

<−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⇒−

=−−+

=+−+

=

∞→

+=

++=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=

=∞∞

=+

=+

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞

=+

=

+

=

∞→

∞=+=+

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞

=+

=

=⇒=⇒≥∈∀=

>ℜ∈∀⇒⇒⎩⎨⎧

>ℜ∈∀⇒>ℜ∉∀⇒−>⇒−>⇒>+

⇒>+

⇒>⇒⇒+

=+=

∞→∞→

∞→∞→∞→∞→

∞→∞→∞→

011''

044

44

41

14

21''

1111''

21

121

21''111)(''

)

22lim

21lim

21lim

2lim1lim

1

lim

1lim1

lim1lim

000

0/0/0

1lnln101

010)('11)('

)

2

12

2

212

2

2

2

2

2

'

'2

'

ef

eee

f

ef

ef

xex

xxeexxe

xxexeexxf

bxcuandooblicuaasíntotaexisteNo

xeexex

xexxee

xxe

xx

xe

y

oblicuasAsíntotasxcuandohorizontalasíntotaexisteNo

xexeex

xey

eshorizontalAsíntotasxverticalasíntotaExiste

xxxfDomverticalesAsíntotas

xxoCrecimientxxx

xxexexex

xexfoCrecimientx

xex

exf

a

xxxxxxx

x

x

xx

x

HopitalLAplicando

x

x

xx

x

HopitalLAplicandox

x

x

x

x

x

xx

x

HopitalLAplicandox

x

xxx

xxx

7

Page 185: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación del Problema 2 de la opción B

No hay puntos de discontinuidad en el intervalo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 1,

21

Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,

en el que la función tiene el mismo signo que ( )0xf( )

, es decir

( )[ ] ( )[ ] δδ +−∈∀ 00 , xxxf= ,signxfsign 0x

Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores negativos 0x

421'' −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ef y positivos ( ) 11'' −= ef en todo entorno de entonces 0x ( ) 00 =xf

Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 ( bac ,∈ )

Como ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=≠−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 11''4

21'' efsignefsign , entonces existe, al menos, un punto

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈ 1,

21c tal que f’’ (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación) que es el punto de

inflexión buscado

8

Page 186: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

C-1.- Dadas las matrices , , hállense las matrices X que

satisfacen

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

001001001

A

2A

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

223012001

C

CAXC +=+

( ) ( ) ( )

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛==⋅+=

⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=−⇒

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛⋅⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

−+=−+=⇒−+=⇒−+=

−−−−

100010001

0

000000000

001001001

001001001

001001001

001001001

001001001

1

22

12121212

ICIX

AAA

CAAICAACXCAACXCCAACXC

C-2.- Dados el punto y la recta )1,5,3( −A4

122

1 +=+=

−≡

zyxr , hállese el punto B

perteneciente a r tal que el vector de extremos A y B es paralelo al plano π de ecuación . 0523 =++− zyx

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )( )

( )5,3,15141

3121121

10880421466

01,2,34,7,220

1,2,34,7,221,5,341,2,21

412

21

−−−⇒⎪⎩

⎪⎨

−=−⋅+−=−=−+−=−=−⋅+=

⇒−=⇒=+⇒=+−++−

⇒=−⋅+−+−⇒=⋅⇒⊥

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+−+−=−−+−+−+=⇒

⎪⎩

⎪⎨

+−=+−=

+=

Bzyx

B

vABvAB

vAB

zyx

genéricoB

λλλλλ

λλλ

λλλλλλ

λλλ

ππ

π

C-3.- Estúdiese, según los valores de los números reales α y β , la continuidad de la función f definida por

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠++

=0 si

0 si 1)( /1

x

xe

xxf x

β

α.

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

0

0lim0lim

01

1

0lim

0

011111

0lim

00

010

010

==⇒

⇒=====⇒

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

=∞

=+

=

+

+=

=

=+

=+

=+

=

+

+=

+−

++

−−

→→

∞→

∞−→

βα

βαααα

β

ααααα

continuiaserPara

xffxf

ee

xf

fe

ee

xf

xx

x

x

9

Page 187: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

10

C-4.- Hállese el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones 2xy = ,

2

2xy = , . xy 2=

( )

( )⎩⎨⎧

=⇒=−=

⇒=−⇒=−⇒=⇒=

⎩⎨⎧

=⇒=−=

⇒=−⇒=−⇒=

=⇒=⇒=⇒=

4040

0404422

2020

02022

0022

222

22

2222

2

xxx

xxxxxxxx

xxx

xxxxxx

xxxxxx

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1 0 1 2 3 4 5

Y

X

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) 2332233

40

342

22

0

4

0

20

324

2

2

43

123

323683

321238

66412

3804

612402

31

31

21

212

31

212

uA

xxxdxxdxxdxxA

==−+

=−+=−+=−⋅−−+−⋅=

⇒⋅⋅−⋅⋅+⋅=−+= ∫ ∫∫

Page 188: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA A

PROBLEMAS PR-1.- a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas

y son perpendiculares. ⎩⎨⎧

=−++−=+−+

≡0330163

zyxazayx

r⎪⎩

⎪⎨

+=+=−−=

≡λλλ

azy

xs

131

b) Para , calcúlese la recta que pasa por y se apoya en r y s. 1=a )1,1,1( a) Lo son, también, los vectores directores de ambas y por lo tanto su producto escalar es nulo

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

λαλ

λαλ

λαλ

λαλ

λαλ

λαλ

λαλ

λαλ

λαλλαλαλα

λαλαλα

λλλ

ααα

−+−−

=−−−

−−=

++

⇒−+−

−−=

−−−−−

=+++

⇒−+−

−−=

−−−−−

=+++

≡⇒−+−−−−+=

⇒−−−−−+++−=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪⎨

+=+=−−=

⎪⎩

⎪⎨

=−=+−=

−≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒+−=⇒−+−=

⇒=−+−+−⇒−=−

=⇒=−+⇒⎩⎨⎧

=−++−=+−+

⎩⎨⎧

=−=

⇒±=⇒=−⇒=++−+−⇒=−⋅+−

⇒=⇒⊥⇒⎪⎩

⎪⎨

−=

+−≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+=

⇒⋅+

++−−

=⇒⋅+

++−+

++−

=

⇒=−+⋅+−

++

+−⇒⋅+−

++

=

⇒−−=+⇒=−−++⇒⎩⎨⎧

=−++−=+−+

41312

92

4111

3131

911

411

313

9141,31,9

14,332,191

1314

3291

4,3,91,43,

49

49133

432

033432

432

4380834

099330163

)

33

909039690,1,13,96,9

0.,1,1

3,96,91,3

96,39

39

331

33396

3338

0333

963

83

963

8

698308693099330163

222

zyxtv

v

zy

xs

zy

xr

vzxzzx

zzxzzyzyzyx

zyxr

b

aa

aaaaaaaaaa

vvvvav

aaaa

aa

av

za

aa

axza

aaa

ax

zza

aa

xza

aa

y

zayazayazyx

azayxr

t

t

r

srsr

s

r

1

Page 189: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación del Problema 1 de la Opción A

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

⎪⎩

⎪⎨

+=−=+=

≡⎪⎩

⎪⎨

=+=+=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−⋅=⇒−=⇒=

≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−+⋅+−⋅=⇒=⇒=

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

−=−

=⋅−

−⋅=⇒==

−=

=−

=⋅−

−⋅=⇒==

+=

⇒±

=

⇒=−=Δ⇒=+−⇒+−−=+−−

⇒−⋅−=−⋅−⇒−−

=−−

⇒⎪⎩

⎪⎨

−−

=⇒−=−

−−

=⇒−=−

⇒⎩⎨⎧

=−+−⇒=−+−=−+−⇒=−+−

⇒⎩⎨⎧

++=+−++−+=+−++−

⇒⎩⎨⎧

++=+−++=+−+

⇒+−

=++

+=

++

γγγ

ββ

λα

λα

λα

λα

α

αααααααα

ααααα

αα

α

ααλααλ

ααλααλ

αλααλλααλααλλα

λαλλλαλλλαλαλλαλλλα

λαλλαλλαλλαλ

λαλ

λαλ

λαλ

20191

691

17191

20,9,6932,

103,

1023

54

6141,

54

6131,

54

619

54

61

0,7,90,47,

490

4141,0

4131,0

4190

41

54

6564

61133

2618

61

488

48210

0

41

0

41133

2418

41

4812

48210

48410

496100011024133521272288

1331427214272

28133

28

72282872

1332828133

0728207282013382013382

3428294282

314129412

41312

92

)

21

222

22

22

xy

xt

xyx

t

v

v

ónContinuacib

t

t

2

Page 190: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2.- a) Estúdiese la derivabilidad de , sus intervalos de

crecimiento y decrecimiento y sus puntos de inflexión. Esbócese su gráfica. ⎩⎨⎧

≤>+

=0 x,

0 ),1ln()( 2

2

xxx

xf

b) Calcúlese el área delimitada por la gráfica de y las rectas )(xf 1−=x , , . 1=x 0=y

( ) ( )

( ) ( )2ln,12ln11ln)1(1inf

020/11

0/11010)(''

0 x2

0 si112

1212

)(''

0/0/0

0202

0/01

0/002

01

2

0)('

00.2)('lim)0('

010

010.2)('lim

0 x2

0 si1

2)('

)

2

222

2

22

2

22

0

202

⇒=+=⇒=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠⎩⎨⎧

≤ℜ∉⇒−=≤ℜ∈⇒=

⇒=−⇒=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

−⋅=

+

−+⋅

=

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎩⎨⎧

≤ℜ∈∀⇒⇒>ℜ∈∀⇒>

ℜ∈∀⇒>⇒>

⎪⎩

⎪⎨

⎧>ℜ∈∀⇒⇒

ℜ∈∀⇒>+>ℜ∈∀⇒>

ℜ∈∀⇒>⇒>

+⇒>⇒

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

===

==+

=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+=

+

fxlexióndepuntoExiste

xxxx

xxfsi

xxx

xxxx

xf

xxntoDecrecimiexxx

xx

xxoCrecimientxx

xxxx

xx

xfoCrecimient

derivableEsxff

xf

six

xxx

xf

a

x

x

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

3

Page 191: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación del Problema 2 de la Opción A

( ) [ ] ( )[ ]

( )

( )[ ] ( ) ( )[ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) 2

1

0

10

102

1

0

2

22

1

02

1

02

22233

22

1

02

10

20

1

1

0

01

322

2352ln0

4222ln

310120122ln

31

222ln31

11222ln

31

111

1

11122ln

31

1201ln011ln110

31

121ln

121ln

311ln

utgarctgarcA

xtgarcxdxx

dxA

x

xx

dxx

dxx

xA

xvdvdx

dxxxduux

dxxxxxxxdxxdxxA

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+−+=−⋅+−⋅−+=

⋅+⋅−+=+

+−+=

−−−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−+=

+−+⋅−+⋅+−−⋅=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒=+

=⇒=+

+−++⋅=++=

∫∫

∫∫

∫∫ ∫−

ππ

4

Page 192: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

CUESTIONES

C-1.- Sea la matriz . Calcúlese el determinante de A sabiendo que

, donde Id es la matriz identidad y 0 es la matriz nula.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cba

A0

0Id22 =+− AA

( ) ( )( )

( )

11001

1001

101021102

002

101

0000

1021

0000

120212

0000

1001

2022

0

000

2

2

2

2

2

2

2

22

==⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=⇒=−⎩⎨⎧

=−+⇒=−+=

⇒=−+

=⇒=−

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

−−+−

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

+−−++−

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

AA

ccca

bcab

aa

ccaba

ccbbcabaa

cba

cbcaba

cbcaba

cba

cba

A

C-2 Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

a10312121

( )

( ) 231

331

31013

1300130121

330130121

10130121

10312121

=⇒−=

=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−−ℜ∈∀

−=⇒=+

⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

+−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

ArangaSi

Aranga

aaSi

aaaaA

5

Page 193: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

C-3.- Calcúlese el simétrico de respecto del plano )1,1,1(P 0=++ zyx . Se traza, desde P, una recta r perpendicular al plano dado y cuyo vector director es el de este. Se hallara el punto de corte A, de la recta y el plano, que es el punto intermedio entre P y su simétrico P’.

( )

( )( )( )

( ) ( )1,1,1'

11022

10

11022

10

11022

10

0,0,0011011011

10330111111

1,1,1

'

'

'

'

'

'

−−−⇒

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

−=−⋅=⇒+

=

−=−⋅=⇒+

=

−=−⋅=⇒+

=

⇒⇒⎪⎩

⎪⎨

=−+==−+==−+=

⇒−=⇒=+⇒=+++++⇒⎪⎩

⎪⎨

+=+=+=

≡⇒=

P

zz

yy

xx

Azyx

A

zyx

rv

PP

PP

PP

r λλλλλλλλ

C-4 Calcúlense los valores de 0≠λ para los cuales 11)(cos

)(senlim 2

2

0−=

−→ xx

x λ.

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )( )

( ) ( )( )

⎩⎨⎧

−==

⇒±=⇒=⇒−=−⇒⋅−

−=

⋅−⋅−

=−

−=

=−−

−=

⋅+⋅−−−

=

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==⋅⋅⋅−

⋅⋅=

=⋅−

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−

=−

→→

→→

11

11111

0102cos

0020c2cos

2clim

cos22c2

limcoscos2

2c2lim

00

00cos20c02

cos2c2

lim00

10.cos0sen

1cossen

lim

2222

222

2

222

0

222

222

0

22

0

'2

2

0

'2

2

2

2

0

λλ

λλλλλλλλ

λλλλλλλλλλ

λλλ

λλλλλ

senosx

xsenxxosxsenx

xsenxxosxxxsenxsen

xsenxxxossen

os

xsenxxosx

xx

x

xx

HopitalLAplicando

x

HopitalLAplicando

x

6

Page 194: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA B

PROBLEMAS PR-1.- Sea k un número real. Considérese el sistema de ecuaciones lineales

⎪⎩

⎪⎨

=++=++=++

2

1

kkzyxkzkyx

zykx.

a) Discútase según los valores de k e interprétese geométricamente el resultado. b) Resuélvase el sistema para . 2=k

( ) ( )

( ) ( )

{ } ( )

paralelossonplanostresLos

alproporcionesparNingúnleIncompatibSistema

zz

kSipuntounencorseplanostresLos

adoDeterCompatSistincognitasdeNúmeroArangAk

kkkk

kkkkk

kk

kkkkkkk

kkASikkkkkkk

kk

A

a

⇒−

≠⇒≠−

⇒−

≠−

ℜ∉⇒=⋅⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−−

−=

⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀

⇒⎩⎨⎧

−=⇒=+=⇒=−

⇒=+−⇒=+−⇒⎪⎩

⎪⎨

−=−−

=

=+−

=⇒

±−=

>=+=Δ⇒=−+⇒−+⋅−=+−−

=+−⇒=⇒+−=−−−++==

12

11

11

12

21

12

6063

1

000330112

93

1

330330112

84

1

422242112

42

1

211121112

2tan

min..301,2

202101

0210232

231

12

31

291

0211

09810221232112301

1

0230231111

1111

)

23

223

333

7

Page 195: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación del Problema 1 de la opción B

( )

planostreslosdecortedePuntoSolución

xxxxyyyy

zz

kSib

planomismoelseaoescoincidentsonplanostresLosSolución

zyxadoerInCompatibleSistema

kSiónContinuacia

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=⇒−=⇒−=⇒=++⇒=⇒=⇒−=⇒=+

⇒=⇒=⋅⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

=

⇒−−

−−=⇒⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

=

49,

41,

43

43

232

25121

49

412

41

433

49333

493

49188

1831

800130112

2131

930130112

731

310130112

841

422242112

421

211121112

2)

,,1

1mindet001

000000111

111

111111111

1)

αλαλ

8

Page 196: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2.- Sea sen a) un punto de la gráfica de la función ,(aP )(sen)( xxf = en el intervalo [ ]π,0 . Sea la recta tangente a dicha gráfica en el punto P y el área de la región determinada por las rectas ,

Pr PA

Pr 0=x , π=x , 0=y . Calcúlese el punto P para el cual el área es mínima. (Nota: Puede asumirse, sin demostrar, que la recta se mantiene por encima del eje 0X entre 0 y

PA

Pr π )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) [ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

[ ]

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⇒>=+⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⇒<−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅=⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⋅=

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⋅==

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒=+−

∈+==⇒=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⇒=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +⋅−==

⋅+⋅−=⋅+−+⋅−==

⋅−−+⋅−==⇒⋅−+⋅=

−⋅−+−⋅⋅=⋅−+⋅⋅=

⋅−+=−+=

−+=−+=⇒=⎩⎨⎧

−+=−+=−+⋅=⇒=−=⇒+−=⇒=−+⇒=

−+=⇒=−+−≡⇒−⋅=−⇒==⇒=

∫∫∫

1,22

,2

01002222

cos2

''

02

02

1002

0cos0''

2cos''

20

2

,0000

20'

22'

2coscos

2'

coscos2

'coscos2

0cos0cos21coscos

21

coscoscoscos

coscoscoscos1cos0coscos0cos0

coscos0coscos0

coscos0coscoscoscos)('c)('

2

2

2

22

22

2200

2

000

πππ

ππππππππ

πππππ

ππ

ππππ

ππππ

ππππ

ππππ

ππ

πππ

ππ

πππ

PsenP

MínimosenA

MáximosenA

asenaada

AdA

aa

NkksenarcaasenaasenASi

aasenasenaasendadAA

asenaasenasenaaaasendadAA

asenaaaasendadAAaaasenaA

aaasenaxaaasenxaA

dxaaasendxxadxaaasenxaA

aaasenaaasenayxaaasenaaasenaaasenayx

atgaxaaasenxaaaasenxay

aaasenxayaaasenyxaraxaasenyaafmxosxf

p

9

Page 197: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

C-1.- Calcúlese ∫ ++dx

xx 1341

2

( ) ( )

Kxtgarcttgarcutgarcduu

duu

I

dudtutdtdxtx

dxt

dtt

dxt

dxx

dxx

I

xxx

++

⋅=⋅=⋅=+

⋅=+

⋅=

=⇒==⇒=+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

=++

=+−+

=

ℜ∉⇒<−=−=Δ⇒=++

∫ ∫

∫∫∫∫∫

32

31

331

31

11

313

11

91

33

2

91

31

191

919

19

192

11342

103652160134

22

22222

2

C-2.- Sea . Determínense los valores de m para los cuales no es

invertible (donde Id denota la matriz identidad).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3221

A IdmA +

( )

( ) ( )

{ } ( ) 1

2

22

1

052,52

525252

2524

220420416014

1443343132

21

032

210

03221

+∃⇒≠+⇒+−−−−ℜ∈∀

⎩⎨⎧

−−=+−=

⇒±−=±−

=±−

=⇒=+=Δ⇒=−+

⇒−+=−+++=−+⋅+=+

+=+

⇒≠+⇒+∃⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

IdAIdAm

mmmmmSi

mmmmmmmm

mIdA

IdAIdAm

mm

mIdA

C-3.- Calcúlese )(sen)ln(lim

0xx

x→

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

010

011.0.2

000cos0c02

cosc2lim

00

100

0cos00sen

cossenlim

sencos

1

lim

0sen1

0l

sen1

llim00sen0lnsenlnlim

0

'22

0

2

0

'

00

=−=−

−=⋅−⋅

−=

=−

−=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==⋅

−=⋅

−=−=−

=

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞

−===⋅−∞==

→→→

→→

senossen

xxsenxxosxsen

xxx

xx

x

n

x

xnxx

x

HopitalLAplicando

xx

HopitalLAplicando

xx

10

Page 198: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

11

C-4.- Calcúlese el volumen del tetraedro de vértices , , , .

)1,1,1(A )3,2,1(B )1,3,2(C)2,1,3(D

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3

23

699

6118

102021210

1,0,21,1,12,1,30,2,11,1,11,3,22,1,01,1,13,2,1

61

uVADACAB

ADACAB

ADACABV

==−⋅=⇒−−==×⋅

⇒⎪⎩

⎪⎨

=−==−==−=

⇒×⋅⋅=

Page 199: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti

1

xey 22 −=

PRUEBA A

PROBLEMAS PR-1.- Sea la función . a) Estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas. b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas x= 1 y x= -1.

( )( )

( )

( )

( )

( )

−∞→⇒=∞

−=⋅∞

−=−=−

==

∞→⇒=∞

=⋅∞

===

=⇒−∞→⇒=∞

=====

=⇒∞→⇒=∞

====

ℜ∈∀

−=−=

=

⇒==

≥−=

=⇒=

≥ℜ∈∀⇒

ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒<−

⇒−

<ℜ∈∀⇒

ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒>

⇒>⇒>⇒

≥−<

=⇒

≥<=

=⇒>

∞∞→

∞→−∞→

∞∞→

∞→

∞∞→

∞→−∞→

∞∞→

∞→

⋅−−

−−

−−

−⋅−

xcuandooblicuaasíntotasexisteNoexex

exem

xcuandooblicuaasíntotasexisteNoexex

em

oblicuaAsíntota

yxcuandohorizontalAsíntotasee

eey

yxcuandohorizontalAsíntotasee

ey

eshorizontalAsíntotas

verticalesasíntotastoloporexistennoxcontinuaEs

eslonoto

loporderechalaae

izquierdalaaefderivableesnopuntoeseenperontoDecrecimieapasa

oCrecimientDeeexsie

izquierdalaaefxenrelativoMáximoserPodia

xxntoDecrecimiexex

e

xxoCrecimientxe

xe

xfoCrecimient

xsiexsie

xfxsie

xsieexfx

xx

x

x

x

x

xx

x

x

xx

x

x

x

x

xx

x

x

x

xx

xx

x

x

x

xx

0222lim2lim2lim

0222lim2lim

00222lim2lim2lim

00222lim2lim

,tan,

tan

,44

440',

2.2204

4400

0/004

4

0/0

0404

0'

0404

'02

0220

2

22

2

2

222

22

0

0

0022

0

22

22

2

2

2

22

Page 200: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti

2

Continuación del Problema 1 de la opción A

[ ] [ ] ( ) ( )

22

2

222

022020

02

0

1

1

0

0

2

2

0

1

0

20

1

2

22221111

2100

22

0021

22

22

2222

)

ue

eeee

A

uxuxdudxux

txtxdtdxtx

eeeeeeduedteduedtedxedxeA

b

utututxx

−=−=

−−

−=

−=⇒==⇒=

⇒−=⇒=−

=⇒=−=⇒−=

⇒=⇒=

−−−=−=−=

−+=+= −−−

−− −

−−

−∫ ∫ ∫ ∫∫∫

Page 201: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti

3

PR-2.- Sea la recta

=+−=++

≡032

01zxyx

r .

a) Escríbase la recta en forma paramétrica b) Para cada punto P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )0

23110,1,2323,1,

2302301,0,023,1,0

1,0,023,1,23,01,00

0)

231

321

)

λλλ

λλλλλλλλ

λααλαλλλ

αλλλαλλλ

α

λλ

λ

+−=

−−++

=−

⇒⇒−−=−−+−−=

+=⇒=−+⇒=⋅−+−−⇒=⋅

⇒⊥⇒

=−+−−=−+−−−−=⇒

===

+=−−=

=≡⇒

+=−−=

zyxEcuaciónv

vv

vvv

v

zyx

OZEje

b

zy

xr

xzxy

r

a

t

OZt

OZtOZ

t

Page 202: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti

4

CUESTIONES

C-1.- De todas las primitivas de la función 2( ) 2 tg(x)sec ( )f x x= , hállese la que pasa por el punto

P( , 1).4π

( )

( ) xtgxFKKKtg

xdxdttxtg

KtgKxtgtdttdxx

xtgxF

222

2

2222

0114

1

cos

41

2122

cos12

=⇒=⇒+=⇒+

=

=⇒=

+

=⇒+=⋅⋅==⋅= ∫∫

π

π

C-2.- .- Demuéstrese que las gráficas de las funciones xexf =)( y x

xg 1)( = se cortan en un punto x > 0.

( )

( )

<−=−

=

>−=−

=

⇒⇒−

=⇒=−⇒=04

41

141

41

011

111

10114

41

1

ee

h

eeh

xxexh

xe

xeSi

xxx

No hay puntos de discontinuidad en el intervalo

1,

41

Teorema de conservación del signo Si h(x) es continua en ( ) 000 ≠xhyx , entonces existe un entorno ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx , en el que la

función tiene el mismo signo que ( )0xh , es decir ( )[ ] ( )[ ] ( )δδ +−∈∀= 000 ,, xxxxhsignxhsign

Corolario: Si una función es continua en un punto 0x , y toma valores negativos 441 4 −=

eh y

positivos ( ) 11 −= ef en todo entorno de 0x entonces ( ) 00 =xh Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si h(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bhsignahsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto ( )bac ,∈ tal que f (c) = 0

Como ( )

−=≠−=

114

41 4 ehsignehsign , entonces existe, al menos, un punto

∈ 1,

41c tal

que h (c) = 0 (Intersección de la dos funciones) C-3.- Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1 , C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son - C2 , C3 + C2 , 3C1. Calcúlese razonadamente el determinante de A-1 en caso de que exista esa matriz.

Page 203: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti

5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

911

93313133

03333

1

321231132

1321221321232

−==

−=⋅−=⋅−⋅=⋅−⋅−=⋅−=

−−=−−=+−=

AA

CCCCCCCCCA

CCCCCCCCCCCCCA

C-4 Determínese si el plano 0432 =−+≡ yxπ corta o no al segmento de extremos A(2,1,3) y B(3,2,1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

ABsegmentoalcortanoplanoElByAentreestanoCpuntoEldddd

d

d

d

C

z

y

x

C

zyx

rAB

BCAB

ACAB

BC

AC

AB

⇒⇒

<>

==

−+

+

=

−+

−+

−=

==

−+

+

=

−+

−+

−=

=−++=

=

−⋅−=

=−=

=−=

⇒−=⇒=+⇒=−+++

⇒=−+⋅++⋅⇒

−=+=+=

≡⇒−=−=

568

25384

516

58

58

5211

522

573

563

2554

56

53

53

5213

521

572

6211

521,

52,

57

521

5323

52

531

57

532

53035043324

04132223

12

2,1,13,1,21,2,3

222222

222222

222

λλλλ

λλλλλ

Page 204: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti

6

=++=++=++

11

zyxzyx

zyx

λλ

λ

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema .

a) Discútase según los valores del parámetro λ . b) Resuélvase para 3−=λ . c) Resuélvase para 1.λ =

{ } ( )

( )

( )αβαβ

λ

λ

λ

λ

λ

λλλλλλλλλλ

λ

,,111001

000000111

mindet1)

1,1,11

211144144443

040400

111

113

131311

111

min3)

mindet001

000000111

111

111111111

1

minº301

122044

01201201211111

11111

)

2222

+−−⇒+−−=⇒=++⇒

⇒=

−−−⇒−=

⇒−=−−⇒−=⇒=−⇒−=⇒=−⇒

−−≡

−−

⇒−=

=

⇒==⇒≠⇒−ℜ∈∀

==⇒=−=∆

⇒=+−⇒=−+−⇒=⇒−+−=−−−++==

Soluciónzyxzyx

adoerInCompatibleSistemaSic

Soluciónx

xyyzz

adoDeterCompatibleSistemaSib

adoerInCompatibleSistema

Si

adoDeterCompatibleSistemaincognitasdeNArangA

ASiA

a

Page 205: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti

7

PR-2.- Sea cbxaxxxf +++= 23)( . Determínense a, b y c de modo que )(xf tenga un extremo relativo en 0=x , la recta tangente a la gráfica de )(xf en 1=x sea paralela a la recta 04 =− xy , y el área comprendida por la gráfica de )(xf , el eje OX y las rectas 0=x , 1=x , sea igual a 1.

( )

( )( )

[ ] [ ] [ ]

( )127

21

127

61

4111

61

411

31

21

411

21

21124121.31'41

00020.30'00

23'

23

1

0

10

10

310

423

2

2

2

+⋅+=

=−−=⇒=++⇒=+⋅⋅+⋅⇒=

++

=⇒=⇒=⋅+=⇒=⇒=

=⇒=+⋅+=⇒=⇒=

++=

xxxf

ccxcxxdxcxx

aaafmx

bbafmx

baxxxf

C-1.- Calcúlese 0

1 1limsen x x x→

020

00120

000cos20

cos2lim

coscoslim

00

10011

0cos0010cos

cos1coslim

00

0000lim

01

0111lim

0

0

'

0

'

00

==⋅−⋅

−=

⋅−−

=−

−=

=−+

−= →==

⋅+−

=⋅+−

=+

−=

= →==⋅

−=

−=∞−∞=−=

→→

→→

sensen

xxsenxxsen

xxsenxxxsen

senxxxsenx

sensen

xxsenxxsen

senxsenx

x

x

HopitalLAplicando

x

HopitalLAplicando

xx

C-2.- Calcúlese 2( 1)x dx

x−

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) KxxxxxxxxtttI

dttdxtx

dtdttdttdtttdttdttt

tdxx

xI

++−=+⋅−⋅=+⋅⋅−⋅⋅=

=⇒=

+−=+−=−=−

=−

= ∫∫∫∫∫∫∫

23

45

234

512

314

512

2

24212212211

23535

2

242422222

Page 206: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti

8

C-3.- .- Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta zyxr ==≡ y es perpendicular al plano 01 =−−+≡ zyxπ

( )( )

( ) ( ) ( )0022

00111

111,,0,0,0,,

1,1,11,1,1

=−≡⇒=+−

⇒=+−−++−⇒=−

≡⇒

=−==

−=

yxyx

yxzzyxzyx

zyxzyxPGv

v

r

α

απ

C-4.- Dada la matriz 2 11B1 23

− = −

hállese una matriz X que verifique la ecuación -1XB+B=B .

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

=

=−=

=

=⇒

=

⋅⋅=⇒

⋅=

−⋅=⇒⋅=⇒∃⇒=−⋅=

−−

⋅=

−=⇒−=⇒−=⇒−=

−−

−−

−−−−−−−

4444

1001

5445

5445

2112

2112

2112

2112

31

311

2112

31

2112

311

3114

91

2112

31

21

211

112

21121111

IBX

BBBadj

BBadjB

BBB

IBXBBBXIBBBXBBBBXB

t

tt

Page 207: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA A

PROBLEMAS PR-1.- a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas

y son perpendiculares. ⎩⎨⎧

=−++−=+−+

≡0330163

zyxazayx

r⎪⎩

⎪⎨

+=+=−−=

≡λλλ

azy

xs

131

b) Para , calcúlese la recta que pasa por y se apoya en r y s. 1=a )1,1,1( a) Lo son, también, los vectores directores de ambas y por lo tanto su producto escalar es nulo

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

λαλ

λαλ

λαλ

λαλ

λαλ

λαλ

λαλ

λαλ

λαλλαλαλα

λαλαλα

λλλ

ααα

−+−−

=−−−

−−=

++

⇒−+−

−−=

−−−−−

=+++

⇒−+−

−−=

−−−−−

=+++

≡⇒−+−−−−+=

⇒−−−−−+++−=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪⎨

+=+=−−=

⎪⎩

⎪⎨

=−=+−=

−≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒+−=⇒−+−=

⇒=−+−+−⇒−=−

=⇒=−+⇒⎩⎨⎧

=−++−=+−+

⎩⎨⎧

=−=

⇒±=⇒=−⇒=++−+−⇒=−⋅+−

⇒=⇒⊥⇒⎪⎩

⎪⎨

−=

+−≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+=

⇒⋅+

++−−

=⇒⋅+

++−+

++−

=

⇒=−+⋅+−

++

+−⇒⋅+−

++

=

⇒−−=+⇒=−−++⇒⎩⎨⎧

=−++−=+−+

41312

92

4111

3131

911

411

313

9141,31,9

14,332,191

1314

3291

4,3,91,43,

49

49133

432

033432

432

4380834

099330163

)

33

909039690,1,13,96,9

0.,1,1

3,96,91,3

96,39

39

331

33396

3338

0333

963

83

963

8

698308693099330163

222

zyxtv

v

zy

xs

zy

xr

vzxzzx

zzxzzyzyzyx

zyxr

b

aa

aaaaaaaaaa

vvvvav

aaaa

aa

av

za

aa

axza

aaa

ax

zza

aa

xza

aa

y

zayazayazyx

azayxr

t

t

r

srsr

s

r

1

Page 208: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación del Problema 1 de la Opción A

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

⎪⎩

⎪⎨

+=−=+=

≡⎪⎩

⎪⎨

=+=+=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−⋅=⇒−=⇒=

≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−+⋅+−⋅=⇒=⇒=

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

−=−

=⋅−

−⋅=⇒==

−=

=−

=⋅−

−⋅=⇒==

+=

⇒±

=

⇒=−=Δ⇒=+−⇒+−−=+−−

⇒−⋅−=−⋅−⇒−−

=−−

⇒⎪⎩

⎪⎨

−−

=⇒−=−

−−

=⇒−=−

⇒⎩⎨⎧

=−+−⇒=−+−=−+−⇒=−+−

⇒⎩⎨⎧

++=+−++−+=+−++−

⇒⎩⎨⎧

++=+−++=+−+

⇒+−

=++

+=

++

γγγ

ββ

λα

λα

λα

λα

α

αααααααα

ααααα

αα

α

ααλααλ

ααλααλ

αλααλλααλααλλα

λαλλλαλλλαλαλλαλλλα

λαλλαλλαλλαλ

λαλ

λαλ

λαλ

20191

691

17191

20,9,6932,

103,

1023

54

6141,

54

6131,

54

619

54

61

0,7,90,47,

490

4141,0

4131,0

4190

41

54

6564

61133

2618

61

488

48210

0

41

0

41133

2418

41

4812

48210

48410

496100011024133521272288

1331427214272

28133

28

72282872

1332828133

0728207282013382013382

3428294282

314129412

41312

92

)

21

222

22

22

xy

xt

xyx

t

v

v

ónContinuacib

t

t

2

Page 209: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2.- a) Estúdiese la derivabilidad de , sus intervalos de

crecimiento y decrecimiento y sus puntos de inflexión. Esbócese su gráfica. ⎩⎨⎧

≤>+

=0 x,

0 ),1ln()( 2

2

xxx

xf

b) Calcúlese el área delimitada por la gráfica de y las rectas )(xf 1−=x , , . 1=x 0=y

( ) ( )

( ) ( )2ln,12ln11ln)1(1inf

020/11

0/11010)(''

0 x2

0 si112

1212

)(''

0/0/0

0202

0/01

0/002

01

2

0)('

00.2)('lim)0('

010

010.2)('lim

0 x2

0 si1

2)('

)

2

222

2

22

2

22

0

202

⇒=+=⇒=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠⎩⎨⎧

≤ℜ∉⇒−=≤ℜ∈⇒=

⇒=−⇒=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

−⋅=

+

−+⋅

=

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎩⎨⎧

≤ℜ∈∀⇒⇒>ℜ∈∀⇒>

ℜ∈∀⇒>⇒>

⎪⎩

⎪⎨

⎧>ℜ∈∀⇒⇒

ℜ∈∀⇒>+>ℜ∈∀⇒>

ℜ∈∀⇒>⇒>

+⇒>⇒

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

===

==+

=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+=

+

fxlexióndepuntoExiste

xxxx

xxfsi

xxx

xxxx

xf

xxntoDecrecimiexxx

xx

xxoCrecimientxx

xxxx

xx

xfoCrecimient

derivableEsxff

xf

six

xxx

xf

a

x

x

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

3

Page 210: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación del Problema 2 de la Opción A

( ) [ ] ( )[ ]

( )

( )[ ] ( ) ( )[ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) 2

1

0

10

102

1

0

2

22

1

02

1

02

22233

22

1

02

10

20

1

1

0

01

322

2352ln0

4222ln

310120122ln

31

222ln31

11222ln

31

111

1

11122ln

31

1201ln011ln110

31

121ln

121ln

311ln

utgarctgarcA

xtgarcxdxx

dxA

x

xx

dxx

dxx

xA

xvdvdx

dxxxduux

dxxxxxxxdxxdxxA

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+−+=−⋅+−⋅−+=

⋅+⋅−+=+

+−+=

−−−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−+=

+−+⋅−+⋅+−−⋅=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒=+

=⇒=+

+−++⋅=++=

∫∫

∫∫

∫∫ ∫−

ππ

4

Page 211: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

CUESTIONES

C-1.- Sea la matriz . Calcúlese el determinante de A sabiendo que

, donde Id es la matriz identidad y 0 es la matriz nula.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cba

A0

0Id22 =+− AA

( ) ( )( )

( )

11001

1001

101021102

002

101

0000

1021

0000

120212

0000

1001

2022

0

000

2

2

2

2

2

2

2

22

==⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=⇒=−⎩⎨⎧

=−+⇒=−+=

⇒=−+

=⇒=−

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

−−+−

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

+−−++−

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

AA

ccca

bcab

aa

ccaba

ccbbcabaa

cba

cbcaba

cbcaba

cba

cba

A

C-2 Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

a10312121

( )

( ) 231

331

31013

1300130121

330130121

10130121

10312121

=⇒−=

=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−−ℜ∈∀

−=⇒=+

⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

+−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

ArangaSi

Aranga

aaSi

aaaaA

5

Page 212: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

C-3.- Calcúlese el simétrico de respecto del plano )1,1,1(P 0=++ zyx . Se traza, desde P, una recta r perpendicular al plano dado y cuyo vector director es el de este. Se hallara el punto de corte A, de la recta y el plano, que es el punto intermedio entre P y su simétrico P’.

( )

( )( )( )

( ) ( )1,1,1'

11022

10

11022

10

11022

10

0,0,0011011011

10330111111

1,1,1

'

'

'

'

'

'

−−−⇒

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

−=−⋅=⇒+

=

−=−⋅=⇒+

=

−=−⋅=⇒+

=

⇒⇒⎪⎩

⎪⎨

=−+==−+==−+=

⇒−=⇒=+⇒=+++++⇒⎪⎩

⎪⎨

+=+=+=

≡⇒=

P

zz

yy

xx

Azyx

A

zyx

rv

PP

PP

PP

r λλλλλλλλ

C-4 Calcúlense los valores de 0≠λ para los cuales 11)(cos

)(senlim 2

2

0−=

−→ xx

x λ.

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )( )

( ) ( )( )

⎩⎨⎧

−==

⇒±=⇒=⇒−=−⇒⋅−

−=

⋅−⋅−

=−

−=

=−−

−=

⋅+⋅−−−

=

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==⋅⋅⋅−

⋅⋅=

=⋅−

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−

=−

→→

→→

11

11111

0102cos

0020c2cos

2clim

cos22c2

limcoscos2

2c2lim

00

00cos20c02

cos2c2

lim00

10.cos0sen

1cossen

lim

2222

222

2

222

0

222

222

0

22

0

'2

2

0

'2

2

2

2

0

λλ

λλλλλλλλ

λλλλλλλλλλ

λλλ

λλλλλ

senosx

xsenxxosxsenx

xsenxxosxxxsenxsen

xsenxxxossen

os

xsenxxosx

xx

x

xx

HopitalLAplicando

x

HopitalLAplicando

x

6

Page 213: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PRUEBA B

PROBLEMAS PR-1.- Sea k un número real. Considérese el sistema de ecuaciones lineales

⎪⎩

⎪⎨

=++=++=++

2

1

kkzyxkzkyx

zykx.

a) Discútase según los valores de k e interprétese geométricamente el resultado. b) Resuélvase el sistema para . 2=k

( ) ( )

( ) ( )

{ } ( )

paralelossonplanostresLos

alproporcionesparNingúnleIncompatibSistema

zz

kSipuntounencorseplanostresLos

adoDeterCompatSistincognitasdeNúmeroArangAk

kkkk

kkkkk

kk

kkkkkkk

kkASikkkkkkk

kk

A

a

⇒−

≠⇒≠−

⇒−

≠−

ℜ∉⇒=⋅⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−−

−≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−−

−=

⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀

⇒⎩⎨⎧

−=⇒=+=⇒=−

⇒=+−⇒=+−⇒⎪⎩

⎪⎨

−=−−

=

=+−

=⇒

±−=

>=+=Δ⇒=−+⇒−+⋅−=+−−

=+−⇒=⇒+−=−−−++==

12

11

11

12

21

12

6063

1

000330112

93

1

330330112

84

1

422242112

42

1

211121112

2tan

min..301,2

202101

0210232

231

12

31

291

0211

09810221232112301

1

0230231111

1111

)

23

223

333

7

Page 214: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Continuación del Problema 1 de la opción B

( )

planostreslosdecortedePuntoSolución

xxxxyyyy

zz

kSib

planomismoelseaoescoincidentsonplanostresLosSolución

zyxadoerInCompatibleSistema

kSiónContinuacia

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=⇒−=⇒−=⇒=++⇒=⇒=⇒−=⇒=+

⇒=⇒=⋅⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

=

⇒−−

−−=⇒⇒⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛≡

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

=

49,

41,

43

43

232

25121

49

412

41

433

49333

493

49188

1831

800130112

2131

930130112

731

310130112

841

422242112

421

211121112

2)

,,1

1mindet001

000000111

111

111111111

1)

αλαλ

8

Page 215: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

PR-2.- Sea sen a) un punto de la gráfica de la función ,(aP )(sen)( xxf = en el intervalo [ ]π,0 . Sea la recta tangente a dicha gráfica en el punto P y el área de la región determinada por las rectas ,

Pr PA

Pr 0=x , π=x , 0=y . Calcúlese el punto P para el cual el área es mínima. (Nota: Puede asumirse, sin demostrar, que la recta se mantiene por encima del eje 0X entre 0 y

PA

Pr π )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) [ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

[ ]

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⇒>=+⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⇒<−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅=⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⋅=

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⋅==

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒=+−

∈+==⇒=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⇒=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +⋅−==

⋅+⋅−=⋅+−+⋅−==

⋅−−+⋅−==⇒⋅−+⋅=

−⋅−+−⋅⋅=⋅−+⋅⋅=

⋅−+=−+=

−+=−+=⇒=⎩⎨⎧

−+=−+=−+⋅=⇒=−=⇒+−=⇒=−+⇒=

−+=⇒=−+−≡⇒−⋅=−⇒==⇒=

∫∫∫

1,22

,2

01002222

cos2

''

02

02

1002

0cos0''

2cos''

20

2

,0000

20'

22'

2coscos

2'

coscos2

'coscos2

0cos0cos21coscos

21

coscoscoscos

coscoscoscos1cos0coscos0cos0

coscos0coscos0

coscos0coscoscoscos)('c)('

2

2

2

22

22

2200

2

000

πππ

ππππππππ

πππππ

ππ

ππππ

ππππ

ππππ

ππππ

ππ

πππ

ππ

πππ

PsenP

MínimosenA

MáximosenA

asenaada

AdA

aa

NkksenarcaasenaasenASi

aasenasenaasendadAA

asenaasenasenaaaasendadAA

asenaaaasendadAAaaasenaA

aaasenaxaaasenxaA

dxaaasendxxadxaaasenxaA

aaasenaaasenayxaaasenaaasenaaasenayx

atgaxaaasenxaaaasenxay

aaasenxayaaasenyxaraxaasenyaafmxosxf

p

9

Page 216: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

C-1.- Calcúlese ∫ ++dx

xx 1341

2

( ) ( )

Kxtgarcttgarcutgarcduu

duu

I

dudtutdtdxtx

dxt

dtt

dxt

dxx

dxx

I

xxx

++

⋅=⋅=⋅=+

⋅=+

⋅=

=⇒==⇒=+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

=++

=+−+

=

ℜ∉⇒<−=−=Δ⇒=++

∫ ∫

∫∫∫∫∫

32

31

331

31

11

313

11

91

33

2

91

31

191

919

19

192

11342

103652160134

22

22222

2

C-2.- Sea . Determínense los valores de m para los cuales no es

invertible (donde Id denota la matriz identidad).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3221

A IdmA +

( )

( ) ( )

{ } ( ) 1

2

22

1

052,52

525252

2524

220420416014

1443343132

21

032

210

03221

+∃⇒≠+⇒+−−−−ℜ∈∀

⎩⎨⎧

−−=+−=

⇒±−=±−

=±−

=⇒=+=Δ⇒=−+

⇒−+=−+++=−+⋅+=+

+=+

⇒≠+⇒+∃⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

IdAIdAm

mmmmmSi

mmmmmmmm

mIdA

IdAIdAm

mm

mIdA

C-3.- Calcúlese )(sen)ln(lim

0xx

x→

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

010

011.0.2

000cos0c02

cosc2lim

00

100

0cos00sen

cossenlim

sencos

1

lim

0sen1

0l

sen1

llim00sen0lnsenlnlim

0

'22

0

2

0

'

00

=−=−

−=⋅−⋅

−=

=−

−=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==⋅

−=⋅

−=−=−

=

=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞

−===⋅−∞==

→→→

→→

senossen

xxsenxxosxsen

xxx

xx

x

n

x

xnxx

x

HopitalLAplicando

xx

HopitalLAplicando

xx

10

Page 217: Pau Mate Cyl

IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti

11

C-4.- Calcúlese el volumen del tetraedro de vértices , , , .

)1,1,1(A )3,2,1(B )1,3,2(C)2,1,3(D

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3

23

699

6118

102021210

1,0,21,1,12,1,30,2,11,1,11,3,22,1,01,1,13,2,1

61

uVADACAB

ADACAB

ADACABV

==−⋅=⇒−−==×⋅

⇒⎪⎩

⎪⎨

=−==−==−=

⇒×⋅⋅=