PAU RESUELTO MATEMATICAS CCSS SEPTIEMBRE 2012, MADRID

PAU MADRID MATEMATICAS CC.SS. SEPTIEMBRE 2011 ‐ Joaquín Aroca Gomez Página 1 de 6

EXAMEN MAT. CC.SS. SEPTIEMBRE 2012 OPCION A Ejercicio 1. (Calificación máxima: 3 puntos) Un pintor dispone de dos tipos de pintura para realizar su trabajo. El primer tipo de pintura tiene un rendimiento de 3 m2 por litro, con un coste de 1 € por litro. El segundo tipo de pintura tiene un rendimiento de 4 m2 por litro, con un coste de 1,2 € por litro. Con ambos tipos de pintura se puede pintar a un ritmo de 1 litro cada 10 minutos. El pintor dispone de un presupuesto de 480 € y no puede pintar durante más de 75 horas. Además, debe utilizar al menos 120 litros de cada tipo de pintura. Determínese la cantidad de pintura que debe utilizar de cada tipo si su objetivo es pintar la máxima superficie posible. Indíquese cuál es esa superficie máxima.

Solución: Rendimiento (m

2) Tiempo (h) Coste (€) Litros

Litros pintura A (x) 3x x/6 x x≥120

Litros pintura A (y) 4y y/6 1,2y y≥120

Totales S=F(x,y)=3x+4y O75 O480

Restricciones:

75 756 6 6 6

1,2 480 1,2 480

120 120

120 120

: , 3 4

x y x ya

x y b x y

x c x

y d y

Funcion a maximizar F x y x y

Vértices región factible

12075 6 6

120120

1,2 480 75 6 6

1201,2 480

x yx

a d c dy

y

x yx y

b c a bx

x y

A 330;120 B 120;120

C 120;300 D 300;150

, 3 4F x y x y

330;120A , 3 330 4 120 1.470F x y

120;120B , 3 120 4 120 840F x y

C 120;300 , 3 120 4 300F x y 1.560 2120;300 / , 1.560 F MAXIMO F x y m

300;150D , 3 300 4 150 1.500F x y Con 120 litros de pintura A y 300 de la B, se obtiene un rendimiento máximo de 1.560 m2, con un coste de 480 € y 70 horas pintando.

Ejercicio 2.

Se considera la función real de variable real definida por: 2 1

1

x xf x

x

a) Determínense las asíntotas de f . Calcúlense los extremos relativos de f . b) Represéntese gráficamente la función f.

c) Calcúlese:

5

22

f xdx

x

Solución:

a)

1 1

1

1

2

2 1 11 0 1 lim lim

1 0

2 1 1lim

1 0

2 1 1lim

1 0

2 1 2: lim lim lim 2

1

x x

x

x

x x x

ASINTOTAS VERTICALES ASINTOTA VERTICAL

ASINTOTAS HORIZONTALES NO TIENE

ASINT

x xx x f x

x

x x

x

x x

x

x x xx

x x

x 1

2 1lim : lim : lim

1x x x

OTAS INCLINADAS

x x xf x x x

xy mx n

2 1x

x

2 21

2 1 2 1 2 1

lim lim 2 lim lim 1 11 1 1x x x x

ASINTOTA OBLICUA

mx

x x x x x x xf x mx x m

x x x

y 2x+1

756 6

x ya

1,2 480b x y

120d y

120c x

A 330 ; 120 B 120 ; 120

C 120 ; 300

D 300 ; 150

, 0

3 4 0

F x y

x y


b)

2 2

2 22

2

4 1 1 2 2 4 1´

1 12 1 2

1 1 4 4 1´´

x x x x x xf x

x xx x x xf x

x x x xf x

22 4 1 2 1x x x

41x

33

2

2

1

1

2 1 2 1

1 1

2 1

1

:

0 0;0

2 1 0 ; 0 0 0;01 1;0

2 2

:

2 21 ´´ 1

2 2

´ 0 2 4 1 0

x

Dom f

x x x xf x f x f NO ES PAR

x x

x xf x f x f NO ES IMPAR

x

Corte ejes

x A

OX x x OY f Ax B

Extremos

x f

f x x x

4 2 0

2 2 1 MAXIMO C 1 ;3 2 2

2 2

2 21 ´´ 1 4 2 0

2 2

2 2 1 MINIMO D 1 ;3 2 2

2 2

´´ 0; No hay puntos de inflexión.

En x hay un

x f

En x hay un

f x x Dom f

22 2

2 22 2

2 2

32

2

1 1 1´

111

1 4 ∙( 3)

1

´ 0

2 2 2 1

´´

1 ´´ 1 1 0 1;0 2 1 0

1 ´´ 1 1 0 1;2

MINIMO

MAXIMO

x x xf x

xxxf x

x x x

x

f x

x x

f x

x f Px

x f Q

c)

2

22 2

2

55

2

22

2

5 5 5 2

2 2 22 2 2

2 12 32 2

2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 13

1 1 1 13 3

3

3 3 1 6 2 40 10

22 21

1

x x xxx x

x x x xx f x dx dx x dx x x Ln x Cx

x x x xx

f x dx x x Ln x Ln

x xf x x x xxdx dx dxx x x x

6Ln 2 +30

5 5

22 22

1 2020 2

2dx Ln x x Ln Ln Ln

x x

Ln 10

Ejercicio 3. Se dispone de cinco cajas opacas. Una contiene una bola blanca, dos contienen una bola negra y las otras dos están vacías. Un juego consiste en ir seleccionando al azar y secuencialmente una caja no seleccionada previamente hasta obtener una que contenga una bola. Si la bola de la caja seleccionada es blanca, el jugador gana; si es negra, el jugador pierde.

a) Calcúlese la probabilidad de que el jugador gane. b) Si el jugador ha perdido, ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado una sola caja?

Solución:

1 1

1 2

;

;

Caja con bola blanca : A

Cajas con bola negra: B B

Caja vacia : C C

a) 1 2 1 2 2 1P P P P P P

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 3 3 1 1 20

5 5 4 5 4 5 4 3 5 4 3 60 60

G A A C A C A C C A C C

1

3

b) 1 2P 1 P 1

3 3G G

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

3

1

3

1

3

1

4

1

4

1

4

1

4

1

3

1

3

1

3

1

4

1

4

1

4

1

4

x 1

y 2x 1

C

D


1 21 2

1 1 2P P 65 5 5P /

2 2P 103 3

B BB B G

G

3

5

Ejercicio 4. La duración en kilómetros de los neumáticos de una cierta marca se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ desconocida y desviación típica igual a 3000 kilómetros.

a) Se toma una muestra aleatoria simple de 100 neumáticos y se obtiene una media muestral de 48000 kilómetros. Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 90% para μ.

b) Calcúlese el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y μ sea menor o igual a 1000 kilómetros con probabilidad mayor o igual que 0,95. Solución:

a)

α / 2

DISTRIBUCION NORMAL

DISTRIBUCION MEDIA MUESTRAL

α / 2

N(μ,σ) = ( , 3.000)

σ 3.000N(X, ) = 48.000, = 48.000,300

n 100

IC= X±z

1‐α=90% 1 ‐ α = 0,90 ‐α = ‐1+ 0,90 α = 1 ‐ 0,90 = 0,10 α / 2 = 0,05 P z z = 0,90 + 0,05 = 0,95 z = 1,645r

:

:

/ 2

σ 3.000= 48.000±1,645 = 48.000±493,5 =

n 100

47.506,5;48.493,5

b) α / 2 α / 2

/2 /2

σ σ 3.000E=z n z 1,96 5,88 n=34,47

E 1.000n

1‐α=95% 1 ‐ α = 0,95 ‐α = ‐1+ 0,95 α = 1 ‐ 0,95 = 0,005 α / 2 = 0,025 P z z = 0,95 + 0,025 = 0,975 z = 1,96r

n 35


EXAMEN MAT. CC.SS. SEPTIEMBRE 2012 OPCION B Ejercicio 1.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, dependiente del parámetro real k :

x y z 2

x ky 2z 5

kx y z 1

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k. b) Resuélvase el sistema para k = 0. c) Resuélvase el sistema para k = 2.

Solución:

a)

2

1 2

1 5

1 1 1

1 1 1 21

1 2 5 3 2 02

1 1 1

*

10 * 3 º . . .

2

1 0

x y z 2

x ky 2z 5

kx y z 1

C

kk C k k C

kk

C

C

kC Rg C Rg C n de incognitas S C D

k

k C

1 1

1 2

*

*

1 11 0 2

1 2

1 1 2

1 1 2 5 1 0 3

1 1 1

1 11 0 2

1 21 2

2 5 1 1 2

2 1 1 1 1 2 5 0 2

2 1 1

* . .

2 0

C

C

C

Rg C

Rg C

Rg C

Rg C

Rg C Rg C S I

k C

1 1

1 2

* 2 º . . .Rg C Rg C n de incognitas S C I

b) 0 . . .

x y z 2

x 2z 5

y z 1

k S C D

x 1

y 1

z 2

c)

*

1 2 x y z 2

2 . . . 1 5 x 2 2z 5

1 1 1 1 2x y z 1

C

C

k S C I y

1 1

1 2

x y 2;

x 2 5 2

z

y

x 1

y 3

z


Ejercicio 2. Se considera la función real de variable real definida por:

3 2

; 1

1; 1

ax b Si xf x

x x Si x

a) Calcúlense los valores de a y b para los que la función f es continua y derivable. b) Para a = 0 y b = 1, hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en los puntos en los que dicha tangente es

paralela a la recta y − 8x = 1. c) Sea g la función real de variable real definida por g(x) = 1 − 2x2. Para a = 1 y b = 0, calcúlese el área de la región plana

acotada limitada por la gráfica de f y la gráfica de g. Solución:

a)

3 2 2

1 1

3 2

1 1 1 1

; 1 ; 1´

1; 1 3 2 ; 1

lim lim

1 lim lim 1 1 lim lim 1 1

1 1

lim

1

x x

x x x x

x

ax b Si x a Si xf x f x

x x Si x x x Si x

f x ax b a b

f continua en x f x x x f x f x f a b

f

f derivable en x

1 1

21 1

1 1

1 1

1 0´ lim

lim ´ lim ´ 1lim ´ lim 3 2 1

x

x x

x x

a b a

a bf x a a

f x f x af x x x

b)

3 2 2

2 2

1; 1 0; 10´

1 1; 1 3 2 ; 1

8 1 8 1 8

42 4 96 2 10

3 1 ´ ´ 8 3 2 8 3 2 8 06 6

r

r

Si x Si xaf x f x

b x x Si x x x Si x

r y x r y x m

xSolo si x f x m f x x x x x x

;x

1

2

´ 2 82 5 8 2 es la unica tangente en y=f(x) paralela a r

2 5

El punto de tangencia es (2;5)

x

m fx y x

f

y 8x 11

c)

2

3 2

2 2

3 2 2 3 2 2

1 ; 1 1 2

1; 10

1 11 1 8 1 3 1 1 2 2 1 0 1

4 4 12

1 1 1 2 0

Es punto de corte

Es punto de corte

a x Si xf x g x x

x x Si xb

xSi x g x f x x x x x x

x

Si x g x f x x x x x x x

01 0

xx

1

1

No es punto de corte

x

1 21 2 1 2 1 2 3 2

2 2

1 1 1 1

1

2 7 51 2 2 1

3 2 24 6

No es punto de corte

x xS g x f x dx x x dx x x dx x

29u

8

Ejercicio 3. Se consideran dos sucesos A y B tales que: / ; ( / ) / ; ( ) / P A 1 3 P B A 1 4 P A B 1 2

Calcúlese razonadamente: a) ( )P A B .

b) P B .

c) /P B A .

d) /P A B .

Nota: S denota el suceso complementario del suceso S . P(S /T) denota la probabilidad del suceso S condicionada al suceso T. Solución:

a)

/ /

/

P A 1 3 P B AP B A P B A P B A P A 1 4 1 3 1 12

P AP B A 1 4

b) P A B P A P B P B A P B P A B P A P B A 1 2 1 3 1 12 1 4

c)

/

P B A P A P A B 1 3‐1 12 1 4 3

P B AP A P A 1 3 1 3 4

d)

P A BP A B 1 P A B 1 1 2 1 2 4 2P A/B

P B 1 P B 1 P B 1 1 4 3 4 6 3

3 21; 1f x x x Si x

; 1f x x Si x

1

0

a

b

0

1

a

b

1; 1f x Si x

3 21; 1f x x x Si x

2;5

y 8x 11

y 8x 1

1f continua y derivable en x

1f continua en x

1

0

a

b

3 21; 1f x x x Si x

; 1f x x Si x

21 2g x x


Ejercicio 4. El tiempo de espera para ser atendido en un cierto establecimiento se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ desconocida y desviación típica igual a 3 minutos. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 121.

a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y μ sea mayor que 0,5 minutos.

b) Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 95% para μ, si la media de la muestra es igual a 7 minutos. Solución:

a)

/

/2 /2 / 2

/2

DISTRIBUCION NORMAL

DISTRIBUCION MEDIA MUESTRAL

N μ,σ ,3

σ 3 3N(X, ) X, X,

n 11121

σ n 121P X E 1 E z z E z 0, 5 1, 83 0, 9664

σ 3n

P Z z 1 P Z 1,83 1 0, 9664 02 2 2

:

:

Tablas

/2 /2 /2 /2

, 0336 0,0672

P Z z P Z z P z Z z2

P X 0,5 P X 0,5

0,0672

b)

/ 2 /2

/ 2

1 P Z z 1 z 1, 962

σ 3IC X 7 1,96

n 121

0,95 0,975

z

6,465 ; 7,535

Tablas

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