PAU RESUELTO MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE 2012, MADRID

PAU MADRID MATEMATICAS II SEPTIEMBRE 2011 Joaquín Aroca Gomez Página 1 de 5

EXAMEN SEPTIEMBRE 2012 OPCION A Ejercicio 1.

Dada la función: 2

3 ; 3

4 10 ; 3

x A Si xf x

x x Si x

a) Hallar el valor de A para que f(x) sea continua. ¿Es derivable para ese valor de A? b) Hallar los puntos en los que f′(x) = 0. c) Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de f(x) en el intervalo [4, 8].

Solución:

a)

2

3 3

2

3 3 3 3

3 ; 3

4 10 ; 3

lim lim 3 9

3 lim lim 4 10 17 en x 3 lim lim 3 9 17

3 9

3 8; 38

24 10 ; 3

x x

x x x x

x A Si xf x

x x Si x

f x x A A

x f x x x f continua f x f x f A

f A

x Si xA f x

x x Si x

A 8

´ 3 33; 3

´ ´ 3 ´ 3 no es derivable en x 3 para A 810 2 ; 3 ´ 3 4

fSi xf x f f f

x Si x f

b)

2

3 ; 3 3; 3´

10 2 ; 34 10 ; 3

´´ 2 3 ´ 0 10 2 0 5 3 5; 5 /

´´ 5 2 0

3 ´ 3 0

MAXIMO

x A Si x Si xf x f x

x Si xx x Si x

f xSi x f x x x P f

f

Si x f x

P 5 ; 21

c)

2

2

2

2

3 ; 3

4 10 ; 3

4 4 10 4 4 20

8 4 10 8 8 12 4;8

´ 0 5 5 4 10 5 5 21

x A Si xf x

x x Si x

f

f En

f x x f

Min. Absoluto:(8;12)

Max. Absoluto: 5;21

Ejercicio 2.

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

3 4 6

1 3

1 3 3

x ay z

x a y z

a x ay z

Se pide:

1. Discutir el sistema según los valores de a. 2. Resolverlo para a = −1.

Solución:

1.

2 2

*

3 4 6 3 4 6 3 4 5

31 3 1 1 1 3 1 1 1 3 8 5 0 3 8 5 011 3 3 1 31 3 3

5

3

1

C

C

x ay z a aa

x a y z a C a a a C a aaa a a aa x ay z

aRg C Rg C

a

3 41 0 2

1 13 5 3 4 6

1 2 3 1 3 3 6 4

8 3 5 3 3 3 1 3 1 4 0 * 3

8 3 3 3

*

3 1 4

* 3 º . . .

50 * . .

3

1 0

Rg C

Rg C

C

C

n de incognitas S C D

a C Rg C Rg C S I

a C

3 11 0 2

1 06

1 0 1 3 3 1 6

2 1 3 3 1 0 3 0 * 2

2 1 3

*

* º . . .

Rg C

Rg C

C

C

Rg C Rg C n de incognitas S C I


2.

3 11 0 2

1 03 1 4 6

1 0 1 3 3 1 6

2 1 3 3 1 0 3 0 * 2

2 1 3

*

3 4 6

1 0 . . . 3

2 3 3

Rg C

Rg C

C

C

x y z

a C S C I x z

x y z

3 4 6 3

3 3 ;

x y z x

x z y

z z

Ejercicio 3. Se dan la recta r y el plano π, mediante:

4 1 2; 2 2 7 0

2 1 3

x y zr x y z

Obtener los puntos de la recta cuya distancia al plano es igual a uno. Solución:

r

1

2

r1 1 1

r2

22 2

P

P

4 24 1 2

1 P 4 2 ;1 ;2 32 1 3

2 3

3 2 51 3 52 4 2 1 2 2 3 7 3 2 3 31 3 2 13 1 3 12 1 2

3 3

5 5 5 5 2 8P 4 2 ;1 ;2 3 P ; ; 3

3 3 3 3 3 3

1

3

rP ,

xx y z

r y

z

d

2 2

1 1 1 14 2P 4 2 ;1 ;2 3 P ; ;3

3 3 3 3 3

Ejercicio 4. Dadas las rectas:

41 2;

2 2 2 2 4

x yx y zr s

x z

1. Hallar la ecuación del plano que pasa por A(2, 3, 4) y es paralelo a las rectas r y s. 2. Determinar la ecuación de la recta que pasa por B(4,−1, 2) y es perpendicular al plano hallado anteriormente.

Solución:

1.

1 22;2; 2 1;1; 1

2 2 2

1 1 1 3;1; 24

1 1 0 1; 1; 2 1 1 22 4

2 0 1

3;1; 23 2 3 2 4 0 3 2 11 0

2,3,4

r

r s

s

x y zr v

i j k

i j k n v vx y

s vx z

nx y z x y z

A

2.

3;1; 2 4 1 2

4, 1,2 3 1 2

mv n x y zm a por B m

B


EXAMEN SEPTIEMBRE 2012 OPCION B Ejercicio 1. Dado el punto P(2, 1,−1), se pide:

1. Hallar el punto P′ simétrico de P respecto del punto Q(3, 0, 2). 2. Hallar el punto P′′ simétrico de P respecto de la recta r ≡ x − 1 = y − 1 = z. 3. Hallar el punto P′′′ simétrico de P respecto del plano π ≡ x + y + z = 3.

Solución:

1.

´´

´´

´´

2 2 3 2 42

´2 2 0 1 1 ´ 4; 1;5

2 2

2 2 2 1 52

P PQ P Q P

P PQ P Q P

P PQ P Q P

x xx x x x

OP OP x xOQ x x x x P

x xx x x x

2.

r

r

´´

2;1; 1 1 1 , 2;1; 1 2 1 1 0 2 0

1;1;1

1

1 1 1 P 1 ;1 ; 1;1;0

P 1 1 2 0 3 0 0

2´´

2

r

P PM

Pa r x y z por P x y z x y z

n v

x

r x y z r yr M M

z

x xx

OP OPOM

´´

´´´´

´´´´

2 2 1 2 0

2 21 1 1 ´´ 0;1;12

2 2 0 1 12

P M P

P PM P M P

P PM P M P

x x x

y yy x y y P

z zz z z z

3.

22;1; 1

3, 2;1; 1 2 1 1 1 2 ;1 ; 11;1;1

1

1 1 1 1 7 4 2 2 1 1 3 3 1 0 2 ;1 ; 1 ; ;

3 3 3 3 3 3 3

´´´

2

n

n r

nn

xP

n a x y z por P n x y z n y Pv n

z

Pn N P N

x

OP OPON

´´´´´´

´´´´

´´´´

7 82 2 2

2 3 3

4 5 8 5 12 2 1 ´´´ ; ;

2 3 3 3 3 3

2 12 2 1

2 3 3

P PN P N P

P PN P N P

P PN P N P

xx x x x

y yy x y y P

z zz z z z

Ejercicio 2. Dada la función 2( ) senf x x x , se pide:

a) Determinar, justificando la respuesta, si la ecuación f(x) = 0 tiene alguna solución en el intervalo abierto (π/2, π). b) Calcular la integral de f en el intervalo [0, π]. c) Obtener la ecuación de la recta normal a la grafica de y = f(x) en el punto (π, f(π)). Recuérdese que la recta normal es

la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto. Solución:

a)

2

2

20 0

0 0 2 ;

0 sen 0 0 2 ;sen 0 0

2 ;

2;

2 2 4 0 : 2; / 0

0

BOLZANO

x x k k

f x x x x k kx x Arcsen

x k k

f es continua en

x f No se puede asegurar que x f x x si es solu

x f

0 2;

No hay solución en 2;

ción de f x pero x

P 2,1,‐1

Q 3,0,2

P´ 4,‐1,5

P

P´´M

r

rn v

P

P´´

n

N

nn v


b)

2

22 2

22

2 dx

sen sen 2

dx

sen

u x du x

dv Sen x dx v Cos xx x dx x x dx x Cos x x Cos x dx

u x du

dv Cos x dx v Sen xx Cos x dx x Cos x dx x Sen x Sen x dx x Sen x Cos x

x x dx x Co

2

22 2

0 0

2 2 2

sen 2 2 4

s x x Sen x Cos x C x Cos x x Sen x C

x x dx x Cos x x Sen x

c)

2 2

0

2

2 22 2

sen ´ 2 sen Cos

1 ,

´

sen 0 1 1

´ 2 sen Cos

f x x x f x x x x x

Normal en P f n y f xf

fn y x n y x

f

Ejercicio 3.

Sean 3, , , a b c d R

, vectores columna. Si:

det , , 1

det , , 3

det , , 2

a b d

a c d

b c d

Se pide calcular razonadamente el determinante de las siguientes matrices:

a) (0,5 puntos) det ,3 , .a d b

b) (0,75 puntos) det , , .a b c d

c) (0,75puntos) det 3 ,2 , 3 .d b a b a d

Solución:

det , , 1 1; det , , 3 3; det , , 2 2a b d a b d a c d a c d b c d b c d

a) det , , 1 det , , det , , 1 det ,3 , 3.det , ,a b d a d b a b d a d b a d b 3

b) det , , det , , det , , det , , det , , 3 2a b c d a b c d a c d b c d a c d b c d a c d b c d ‐5

c)

*1 *2 *1

*2 *1 *2

det 3 ,2 , 3 2 det 3 , , 3 2 det 3 , , 3 3 2 det 3 , ,

2 det 3 3 , , 2 det 2 , , 4 det , , 4 det , ,

d b a b a d d b a b a d d b a b a d a d b a b d

d b b d a b d d a b d d a b d d a b d d

*3 *3

*4 *5

4 det , ,

4 det , , 4 det , , 4 det , , 4 1

Otra forma: det 3 ,2 , 3 3 2 3 3 2 2 3 2 2 2 3 2

3 2

d a b

d a b a d b a b d

d b a b a d d b a b a d d b a b a a a d d a b d a a d a d

b a

4

*6

3 2 3 3 2 det ,2 , det ,2 ,3 det ,2 , det 3 ,2 , det 3 ,2 ,3

0 0 0 0

det 3 ,2 , det ,2 , det 3 ,2 ,

b b a a b a d d a b d a a d a d b a b b a a

b a d d a b b a d

*1

1

2det , , 6det , , 2det , , 6det , , 2det , ,

6det , , 4 det , , 4 1

Para multiplicar a un determinante por una costante, basta multiplicar a una

d a b b a d a d b a b d a b d

a b d a b d

4

*2

*3

sola de sus filas o columnas.

Si a una fila o columna le añadimos una combinacion lineal de otras el determinante no varia.

Si se cambian dos filas o dos columnas consecutivas de lugar ent

*4

*5

*6

re si el determinante cambia de signo.

Distributiva del producto vectorial respecto de la suma de vectores.

Distributiva del producto mixto respecto de la suma de vectores.

Si dos co

lumnas o filas son iguales o combinacion lineal una de otra el determinante es nulo.

0P π;0

2

x 1n y

ππ

2f x x sen x


Ejercicio 4.

Dado el sistema de ecuaciones lineales:2 2

8

2 4

x z

ax y z

x az

; se pide:

a) Discutir el sistema según los valores de a. b) Resolverlo para a = −5.

Solución:

a) *

2 2 1 0 2 2 1 0 2

8 1 1 8 1 1 4 0 4 0 4

2 4 2 0 4 2 0

4 0 * 3 º . . .

1 0 2

4 0 4 1 1

2 0 4

C

C

x z

ax y z a C a a C a a

x az a a

a C Rg C Rg C n de incognitas S C D

a C

1

2

3 1

*

21 0

8 1 0 * 2 º . . .4 1

4 2

C

C

F

F Rg C Rg C n de incognitas S C I

F F

b)

2 0 2 1 2 2 1 0 2

8 1 1 5 8 1 5 1 8

4 0 5 2 4 5 2 0 4

*

2 2 1 0 2 2 2

5 . . . 5 8 5 1 1 8 1 : 2; 2; 0 2

2 4 2 0 5 4 0

C

C

x z x

a S C D x y z C Cramer x y z yC C C

x az z

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