x 2y z 0   Dados la recta  r:      y el punto P(1, 0, 1) exterior a r:

x 2y z 2

 a) Hallar la ecuación en forma general del plano   que contiene a r y a P

 b) Hallar la ecuación (como intersección de d

1.

os planos) de la recta s que 

      pasa por P y es paralela a la recta r

Solución:

x 2y z 0 a) Dos puntos de la recta r:  

x 2y z 2

x z 0 y 0   z 1 , x 1 A( 1, 0, 1)

x z 2

2y z 1 x 1   z 1 , y 1 B(1, 1, 1)

2y z 3

Se tienen los vectores directores  AB (2, 1, 0) y AP (2, 0, 0)

La ecuación implicita del plano que pasa por el punto P(1, 0, 1) con 

vectores AB (2, 1, 0) y AP (2, 0, 0) será:

2 2 x 1

1 0 y 0 z 1 0

0 0 z 1

s rb)  s es paralela a r:  u u AB (2, 1, 0)

x 1 y z 1s

2 1 0

x 1 y    

x 2y 1 0x 1 y z 1 2 1 sx 1 z 1 z 1 0       2 1 0

2 0

x 2y z 0   Dada la recta  r:      y  los puntos  P(1, 2, 0)  y  Q(0, 1, 3):

x z 0         

 a) Hallar la ecuación del plano   que contiene a r  y  es paralelo a PQ

 b) Hallar la ecuación de la recta s pe

2.

rpendicular a r que pasa por Q  

      e interseca a r   

Solución:

x 2y z 0 a) Las ecuaciones paramétricas de la recta r:  

x z 0         

x 2y 0 z 0   x 0 , y 0 A(0, 0, 0)

x 0         

x z 2        y 1   x 1 , z 1 B(1, 1, 1)

x z 0         

Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto 

A(0, 0, 0)  con vector director  AB (1, 1, 1):

x

r y

z

La ecuación implicita del plano que pasa por el punto A(0, 0, 0) 

con vectores AB (1, 1, 1) y PQ ( 1, 3, 3) será:

1 1 x

1 3 y 0 y z 0

1 3 z

b) Sea H r s 

Como H r  se tiene  (x, y, z) ( , , )

HQ ( , 1 , 3 ) 

Siendo r s AB HQ (1, 1, 1) ( , 1 , 3 ) 0

4 4 4 4 4 1 5 entonces  HQ , 1 , 3 , ,

3 3 3 3 3 3 3

s

Las ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por el punto 

4 1 5Q(0, 1, 3) con vector director   HQ , ,  , o bien, 

3 3 3

 v ( 4,   1,  5) , serán:

x 4   

s y 1  

z 3 5

rango(u, v) rango(u, v, AB) 1 Coincidentes

rango(u, v) 1 rango(u, v, AB) 2 Paralelas

rango(u, v) 2 rango(u, v, AB) Secantes

rango(u, v) 2 rango(u, v, AB) 3 Se cruzan

  Encuentra un valor de a 0 para que las rectas:  

x y 5z 3  y 3 z         y      x 1

2x z 1          a 2

sean paralelas. Para el valor de a que has encontrado, calcula la ecuación 

del plano que conti

3.

ene a ambas rectas.

Solución:

x y 5z 3 a) Las ecuaciones paramétricas de la recta r:

2x z 1         

x y 2 z 1   x 0 , y 2 A(0, 2, 1)

2x 0  

 y 5z 4 

x 1   z 3 , y 11 B(1, 11,3)z 3           

Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto 

x          

A(0, 2, 1)  con vector director  AB (1, 9, 2):  r y 2 9  

z 1 2  

s

C( 1, 3,0)   y 3 zs  x 1

v (1, a, 2)a 2

sComo  r s Los vectores AB (1, 9, 2)  y  v (1, a, 2)  son 

1 9 2proporcionales:   a 9

1 a 2

La ecuación implicita del plano que pasa

por el punto A(0, 2, 1) con vectores  

AB (1, 9, 2) y AC ( 1, 1, 1) será:

1 1 x

9 1 y 2 0 11x y 10z 8 0

2 1 z 1

x 1 y 1 z 2  Dada la recta r definida por:    

2 3 1

a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r.

b) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es 

    perpencicular a r.

4.

Solución:

x 1 y 1 z 2a)  r:

2 3 1

rA(1, 1, 2) , u (2, 3, 1)

r

La ecuación implicita del plano que pasa por el punto  O(0, 0, 0) 

con vectores directores AO ( 1, 1, 2) y u (2, 3, 1) será:

1 2 x

1 3 y 0 7x 3y 5z 0

2 1 z

' rb)  Si  r ' n u (2, 3, 1)

La ecuación implicita del plano  '  

será: 2x 3y z D 0

Como  O(0, 0, 0) es un punto 

del plano  ', sustituyendo: D 0

La ecuación implicita del plano  '  2x 3y z 0

  Dados los puntos A(2, 1, 1) y  B(0, 0, 1), halla los puntos C en el eje OX

      tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2.

5.

Solución:

AC x ABA 2

2

AC (x 2, 1, 1)

AB ( 2, 1, 0)

i j k

AC x AB x 2 1 1 i 2 j xk ( 1,2, x)

2 1 0

2 2 2 2AC x AB ( 1) 2 ( x) 5 x

22AC x AB 5 x

A 2 5 x 42 2

25 x 16 x 11

Los puntos pedidos son:  ( 11, 0, 0)  y  ( 11, 0, 0)

  Considera las rectas:  

x y z 4 0      x 2 0     r    y       s  

x 2y 7 0          y 5 0

a) Estudia la posición relativa de r y s

b) Halla un punto P de r y otro punto Q de s tales que el vector P

6.

Q

    sea perpendicular a ambas.

c) ¿Cuántos cuadrados se pueden construir teniendo un vértice en

    el punto P y un lado en la recta s?. Calcula su área. 

Solución:

a) Dos puntos y un vector director de la recta r son:

x y 4 z 0 y 3 , x 1 A(1, 3, 0)

x 2y 7

x z 4y 0 x 7 , z 3 B(7, 0, 3)

x 7     

rAB (6, 3, 3) u (2, 1,1)

 Adviértase que también se podría haber calculado un vector 

    director de la recta r de la siguiente forma:

x y z 4 0     r

x 2y 7 0         

2

2

1

1r

n (1,1, 1)x y z 4 0     r u n x n

n (1,2, 0)  x 2y 7 0         

21r

i j k

u n x n 1 1 1 2 i j k (2, 1,1)

1 2 0

x 2 0Las ecuaciones paramétricas de la recta s    son:  

y 5 0

s

x 2  

s y 5 C(2, 5, 0) , v C(0, 0,1)

z   

Se tienen los vectores:

ru (2, 1,1)

sv C(0, 0,1)

CB C(5, 5, 3)

2 0 5Los vectores son linealmente

1 0 5 15 0  independientes                        

1 1 3

Las rectas se cruzan. 

b) Los puntos de las recta r y s tienen la forma:

x 7 2    x 2  

r y         s y 5

z 3      z   

P(7 2 , , 3 ) Q(2, 5, ) PQ ( 5 2 , 5 , 3 )

r Si  PQ r PQ . u ( 5 2 , 5 , 3 ). (2, 1,1) 0

              (1)2( 5 2 ) ( 5 ) ( 3 ) 0 6 8 0

s Si  PQ s PQ . u ( 5 2 , 5 , 3 ) . (0, 0,1) 0

             (2)0( 5 2 ) 0 ( 5 ) ( 3 ) 0 3 0

(1) (2)6 8 1

Resolviendo el sistema   y  : 3  2  

Sustituyendo en P(7 2 , , 3 ) y Q(2, 5, ):

P(5,1,2) y Q(2, 5,2)  y  PQ( 3, 6, 0)

c) Se pueden construir dos cuadrados que tengan un vértice 

    en P y un lado en la recta s.

La longitud de los cuadrados

es  PQ

PQ 9 36 45

22

cuadradoA PQ 45u

  a) Prueba que si dos vectores u  y  v  tienen el mismo módulo, 

          entonces los vectores u+v  y  u v son ortogonales.

     b) Considera los vectores  x ( 1,2, 3)  e  y (2, 3, 1)

   

7.

       1) Son linealmente independientes los vectores  x y  y   x y

          2) Calcula el área del paralelogramo que tiene tres vértices 

               consecutivos en los puntos (1, 5,2) , (0

, 0, 0) y ( 3, 1, 4)

Solución:

1 2 3 1 2 3a) u (u ,u ,u )  ,  v (v , v , v )  ,   u v

1 1 2 2 3 3u v (u v ,u v ,u v )

1 1 2 2 3 3u v (u v ,u v ,u v )

Si  u v u v (u v) . (u v) 0

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3(u v ,u v ,u v ) . (u v ,u v ,u v ) 0

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3(u v ) . (u v ) (u v ) . (u v ) (u v ) . (u v ) 0

2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3u v u v u v 0

2 22 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3(u u u ) (v v v ) 0 u v 0  pues   u v

b) 1)  x ( 1,2, 3)  ,  y (2, 3, 1)

x y (1, 5,2) , x y ( 3, 1, 4)

1 5 2 1 5rango 2   ya que    0

3 1 4 3 1

Por tanto,    x y   e  x y  son linealmente independientes.

c) BA (1, 5,2)  , BC ( 3, 1, 4)

ParalelogramoA BA x BC

i j k

BA x BC 1 5 2 22 i 10 j 14k (22, 10,14)

3 1 4

2 2 2 2ParalelogramoA BA x BC 22 ( 10) 14 780 u

  Dados los vectores  u (a,b,1) , v ( 3, 4,1)  y  w (1,2, c),  

     determina el valor de los parámetros  a, b , c de  manera

     que  los vectores   v  y  w  sean perpendiculares y además 

    

8.

  

 u x w   v  , donde x denota el producto vectorial. 

     ¿Qué ángulo forman u y v en dicho caso?

Solución:

u (a,b,1) , v ( 3, 4,1) , w (1,2, c)

 Si   v w v.w 0 ( 3, 4,1) . (1,2, c) 0

                                                3 8 c 0 c 5

i j k

  u x v a b 1 ( 5b 2) i (5a 1) j (2a b)k

1 2 5

u x v ( 5b 2, 5a 1,2a b)

5b 2 3b 1 / 5

Si  u x  w   v 5a 1 4     a 3 / 5

2a b 1     

En este caso u y v son perpendiculares:

3 1 9 4u. v , ,1 . ( 3, 4,1) 1 0

5 5 5 5

x y 2 0   x 2               Dadas las rectas:   r  y     s  

z 1             y z 5 0

a) Determinar su posición relativa

b) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y 

     el punto de co

9.

rte

Solución:

x y 2 0  a) Un punto A y un vector director de  r

z 1            

21r r

i j k

u n x n 1 1 0 i j u ( 1, 1, 0)

0 0 1

y 2 0x 0 y 2

z 1     

A(0,2, 1)

x 2             Dos puntos B y C y un vector director de  s  

y z 5 0

x 2       z 0 y 5     B(2, 5, 0)

y 5 0

x 2       y 0 z 5      C(2, 0, 5)

z 5 0

sBC (0, 5, 5) v (0, 1, 1)

Por otra parte,  AB (2, 3,1)

r s r s

1 1 0 Los vectores son linealmente  

u , v , AB 0 1 1 0 dependientes  y   u , v  no son  

2 3 1 proporcionales                         

Las rectas son secantes

r s r s r su . v u v cos(u v )

r su . v ( 1, 1, 0). (0, 1, 1) 1

r su 2 , v 2

or sr s r s

r s

1 1

22 . 2

u . vcos(u v ) (u v ) 120

u v

  Resolver la siguiente ecuación vectorial:  x (2,1, 1) (1, 3, 5)

        sabiendo que  x 6  , donde el símbolo   significa producto 

        vectorial.

10.

Solución:

Si   x (a,b, c) (a,b, c) (2,1, 1) (1, 3, 5)

i j k

a b c (b c) i (a 2c) j (a 2b)k (1, 3, 5)

2 1 1

3 ac

b c 1 2sistemacona 2c 3

infinitas solucionesa 2b 5 a 5

b2

2 2 2La solución debe verificar   x a b c 6  

2 2 2a b c 6  sustituyendo, queda: 

2 2

2 2

a 1a 5 3 a

a 6   3a 8a 5 0  52 2 a

3

obteniéndose los resultados:  

1  a 1,  b 2,  c 1 x (1, 2,1)

2

5 5 2 5 5 2  a ,  b ,  c x , ,

3 3 3 3 3 3

  Se consideran las rectas:  

x y 1 z 3 x 2 y z 1     r      y       s  

1 2 2 3 1 1

a) Justificar razonadamente que ambas rectas se cruzan.

b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas.

11.

Solución:

a) Un punto y un vector director de cada recta:

r

x y 1 z 3r u (1, 2,2) , A(0,1, 3)

1 2 2

s

x 2 y z 1s   v (3,1, 1) , B(2, 0, 1)

3 1 1

AB (2, 1, 4)

r sSi r y s se cruzan, los vectores u , v y AB serán linealmente

independientes, en consecuencia, su determinante debería

ser distinto de cero.

1 2 2

3 1 1 35 0 r  y  r  se cruzan

2 1 4

b) Denotando por t a la perpendicular común.

t

i j k

w 1 2 2 7 j 7 k

3 1 1

t tw (0, 7, 7) w (0,1,1)

t rEl plano   que contiene a  w  y  a la recta r: u (1, 2,2) , A(0,1, 3):

0 1 x

1 2 y 1 0 4x y z 2 0

1 2 z 3

Un punto Q  de la recta     será  Q s,  se halla sustituyendo las

ecuaciones paramétricas de la recta s en  : 

t

x 2 3x 2 y z 1

s y         3 1 1

z 1

4x y z 2 0 4(2 3 ) ( 1 ) 2 0

1114 11 0

14

33 11 11 5 11 3Q 2 , , 1 Q , ,

14 14 14 14 14 14

t

La ecuación de la recta     perpendicular a las rectas  r  y  s, con el

5 11 3vector director w (0,1,1) y el punto Q , , , será:

14 14 14

t

5x                 

1411

t y         143

z           14

x y z 0     Dados el plano  :  x y 2z 5 0  y la recta  r

2x y z 10

a) Calcula el punto de intersección entre el plano y la recta.

b) Encuentra la ecuación continua de la recta  s  contenida en el

  

12.

  plano  , que es perpendicular a r y corta a la recta r.

Solución:

1

2

x y z 0    n (1,1,1)   a)   r

2x y z 10 n (2, 1,1)

1 2r

i j k

u n x n (1,1,1) x (2, 1, 1) 1 1 1 (2,1, 3)

2 1 1

y z 0    para x 0  z 5 , y 5 A(0, 5, 5)

y z 10

x 2          

Las ecuaciones paramétricas de r y 5  

z 5 3    

Para hallar un punto  P r  se sustituyen las ecuaciones 

paramétricas de la recta r en el plano 

:  x y 2z 5 0 2 ( 5 ) 2(5 3 ) 5 0

5 10 0 2  y  el  punto  P(4, 3, 1)

s

s r

s v nb) 

s r v u

Como s   y  s corta a r, 

el punto P s

s r

i j k

v u x n 2 1 3 ( 1, 7, 3)

1 1 2

x 4 y 3 z 1La ecuación continua de s:   s

1 7 3

  Un plano   determina sobre la parte positiva de los ejes OX, OY 

y  OZ tres segmentos de longitudes 2, 3 y 4 m, respectivamente.

a) Halle la ecuación del plano  .

b) Halle la ecuación de la recta  r

13.

que contiene a los puntos A(2, 0, 3) y  

    B(0,6, a) y estudie la posición relativa de   y r según los valores de a.

c) Para el caso a 2, halle el punto donde se cortan   y r.

Solución:

a) El plano   pasa por los 

puntos A(2,0, 0) ,B (0,3, 0)

y C(0,0, 4)

AB ( 2,3, 0)

AC ( 2,0, 4)

El plano   se halla con A(2,0, 0) , AB ( 2,3, 0) y AC ( 2,0, 4):

2 2 x 2

3 0 y 0 6x 4y 3z 12 0

0 4 z

b) La ecuación paramétrica de la recta r que pasa por los

puntos A(2,0,3) , B(0,  6,  a) , con AB ( 2, 6,  a 3) será:

x 2 2         

r y 6               

z 3 (a 3)

Para hallar la posición relativa de r y  , se sustituyen las

ecuaciones de r en el plano  :

6x 4y 3z 12 0

6(2 2 ) 4 (6 ) 3 3 (a 3) 12 0 3 3a 9

Si  a 1 no existe valor de    r9

Si  a 1   r  y     se cortan               3 3a

9

c) Si  a 2 13 3 . 2

sustituyendo los valores a 2 y   1 en la recta r:

x 2 2           

r y 6              se cortan en P(4, 6, 4)

z 3 1          

1 2 3 4  Dados los puntos  P (1, 3, 1) , P (a,2, 0) , P (1, 5, 4)  y  P (2, 0,2), se pide:

a) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos estén en el mismo plano.

b) Hallar los valores de a para que el tetra

14.

1 2 3 4

1 3

edro con vértices en P ,  P ,  P ,  P

    tenga volumen igual a 7.

c) Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidisten de P  y de P .

Solución:

1 2 3 4a) Sean los puntos  P (1, 3, 1) , P (a,2, 0) , P (1, 5, 4)  y  P (2, 0,2)

1 3 4 1 3

1 4 4

La ecuación del plano   que pasa por  P ,  P  y  P  con  P P (0,2, 5),

P P (1, 3, 3)  y   P (2, 0,2):

0 1 x 2

2 3 y 0 21x 5y 2z 38 0

5 3 z 2

2Ahora se impone la condición que P (a,2, 0) verifique la ecuación:

28 421.a 5.2 2.0 38 0 21a 28 a

21 3

b)

1 2P P (a 1, 1,1)

1 3P P (0,2, 5)

1 4P P (1, 3, 3)  

Tetraedro 1 2 1 3 1 4

a 1 0 11 1

V det P P , P P , P P 1 2 3 76 6

1 5 3

                                                                          70 10

21a 28 42 a21 3

1 3

1 3

c) Si   '  equidista de P  y de P ,

entonces  M, el punto medio de

 P P , pertenece a   ' :

1 3P P 3M 1, 4,

2 2

1 3 ' 1 3El plano  ' es perpendicular a P P  , en consecuencia, n P P (0,2, 5)

La ecuación del plano  ' es de la forma:  2y 5z D 0

3Como M 1, 4, '  tiene que verificar la ecuación del plano: 

2

3 31 312.4 5. D 0 D ' 2y 5z 0

2 2 2

' 4y 10z 31 0

3x y z 6 0  Dados el plano   :  x y z 1 0  y  la recta r:   

2x y 2 0     

a) Estudia la posición relativa de r y  . Calcula la distancia de r a 

b) Calcula la ecuación general o implícita del plano

15.

que contiene a r

    y es perpendicular a  .  

Solución:

a)  :  x y z 1 0

1

2

3x y z 6 0 n (3,1,1)r:  

2x y 2 0 n (2,1, 0)     

1

2

3x y z 6 0 n (3,1,1)r:  

2x y 2 0 n (2,1, 0)     

1 2r

i j k

u n x n 3 1 1 ( 1,2,1)

2 1 0

Un punto de r, por ejemplo, si y 0:

3x z 6 0y 0   x 1 , z 3 A(1, 0, 3)

2x 2 0      

x 1

Ecuaciones paramétricas de r y 2    

z 3

Para hallar la posición relativa de r y  , se sustituyen las

ecuaciones paramétricas de r en el plano  :

:  (1 ) 2 (3 ) 1 0 3 0

Como la ecuación no tiene solución,  r y  no tienen 

puntos comunes. En consecuencia,  r  

La distancia entre r y  ,  con A(1, 0, 3) y   :  x y z 1 0,  es: 

2 2 2

1.1 1.0 1.3 1 3dist(r, ) dist(A, ) 3  u 

31 1 ( 1)

c) Como  ' n '

r  ' se determina con A, u  y n

1 1 x 1

' 2 1 y 0 ' x z 4 0

1 1 z 3

  a) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el 

        origen de coordenadas y es perpendicular al plano   determinado

        por los puntos A(1,  0,  2) , B(2,  1,  3)  y  C(3,

16.

 0,  0)

       b) Calcula los posibles valores de a para que el punto P(a,  a,  a)

       equidiste de la recta r y del plano π del apartado anterior. 

Solución:

a) A(1,  0,  2) , B(2,  1,  3)  ,  C(3,  0,  0) AB (1,1,1) , AC (2, 0, 2)

i j k

n AB x AC 1 1 1 ( 2, 4, 2)

2 0 2

n ( 1,2, 1)

rComo  r u n ( 1,2, 1)

r

Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por O(0,  0,  0) 

con vector director u ( 1,2, 1):

x

 r y 2  

z

b)

 La distancia del punto P a la recta r:

rparalelogramo r r

r

u x OPArea u x OP u .d d dist(P, r)

u

r

i j k

u x OP 1 2 1 (3a, 0, 3a)

a a a

2 2 2 2 2r ru x OP 9a 9a 3a 2 u ( 1) 2 ( 1) 6

r

r

u x OP 3a 2d dist(P, r) a 3

u 6

Para calcular la ecuación del plano   se toma el punto C(3,  0,  0) 

y  los vectores AB (1,1,1)  y  AC (2, 0, 2) 

1 2 x 3

1 0 y 0 x 2y z 3 0

1 2 z

 La distancia del punto P al plano  :

2 2 2

1. a 2. a 1. a 3 3 6dist(P, )

261 ( 2) 1

6 2 dist(P, ) dist(P,r) a 3 a

2 2

  Dado el punto P(1,  1,  1) y el plano  :  x y z 5

       a) Calcula las ecuaciones continuas de la recta perpendicular

            al plano   que pasa por el punto P.

       b) Calcula el punto simétri

17.

co de P respecto del plano  . 

Solución:

a) P(1,  1,  1)  ,   :  x y z 5

rr u n (1,   ‐1,  1)  

x 1 y 1 z 1r

1 1 1

b) El punto  O r   se calcula sustituyendo las ecuaciones 

paramétricas de r en la ecuación del plano.

x 1:  x y z 5                               

r y 1(1 ) (1 ) (1 ) 5

z 1

4 7 1 73 4 O , ,

3 3 3 3

x 1 7 11   x

2 3 3P P' y 1 1 5

O y2 2 3 3

z 1 7 11   z

2 3 3

11 5 11El punto simétrico de P respecto de     es  P' , ,

3 3 3

  Dado el punto P(1,  1,  3)  y la recta 

2x y 2z 3 0                                                         r

x y 4 0          

       encuentre la ecuación general del plano   que es

       perpen

18.

dicular a la recta r y que cumple  dist(P, ) 3

Solución:

1

2

2x y 2z 3 0 n (2, 1, 2)a) P(1,  1,  3)  ,   r

x y 4 0 n (1, 1, 0)           

1 2r

i j k

r u n n x n 2 1 2 ( 2, 2, 1)

1 1 0

2x 2y z D 0

2 2 2

2.1 2.1 1.3 D 7 DComo  dist(P, ) 3 3

3( 2) ( 2) ( 1)

7 D 9 D 167 D 9

7 D 9 D 2

Hay dos planos que verifican las 

condiciones:

2x 2y z 16 0

' 2x 2y z 2 0

1 2

1 2

  Dados los puntos P(4,  2,  1)  y  Q(3,  3,  1), encuentra los dos 

        puntos, R  y  R ,  del plano  x y 2z 3 0  tales que  

        PQR  y  PQR  son triángulos equiláteros.

19.

Solución:

a) P(4,  2,  1)  ,   Q(3,  3,  1) ,    x y 2z 3 0

Sea R(x, y,z) un punto del plano 

PQ ( 1,1, 0) PQ 2

PR (x 4, y 2, z 1)

QR (x 3, y 3, z 1)

Para que el triángulo PQR sea equilátero, se tiene que cumplir:

PQ PR QR 2

2 2 2PR (x 4) ( y 2) ( z 1) 1)2 (

2 2 2QR (x 3) ( y 3) ( z 1) 2)2 (

Como R   verifica la ecuación:   (3)x y 2z 3 0

Operando, resulta el sistema:

2 2 2

2 2 2

x y z 8x 4y 2z 19 0

x y z 6x 6y 2z 17 0

x y 2z 3 0                             

Restando la 2ª ecuación de la 1ª, resulta:  2x 2y 2 0

2x 2y 2 0 2x 2y 2 0          z 2

x y 2z 3 0 2x 2y 4z 6 0

x y 2z 3 0 x y 1 x 1 y

2 2 2Con z 2, x 1 y en  x y z 8x 4y 2z 19 0 2 2(1 y) y 4 8 (1 y) 4y 4 19 0

2y 3 x 4

y 5 y 6 0y 2 x 3

1 2Los puntos pedidos son:  R (4, 3,2)  y   R (3, 2,2)

  a)  Si   v 6 ,    w 10  y   v w 14 , calcula el ángulo que forman 

             los vectores  v  y  w.

        b) Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación general del 

             plano 

20.

que pasa por los puntos  A( 1, 5, 0)  y  B(0,1,1)  y es

             paralelo a la recta

3x 2y 3 0                                               r

2y 3z 1 0

Solución:

a)  v 6 ,    w 10 ,    v w 14

Por el teorema del coseno: 

2 2 2 ˆa b c 2bc cosA

2 2 2 ˆ ˆ14 6 10 2.6.10.cosA 196 136 120.cosA

1ˆ ˆcosA A 120º2

b) A( 1, 5, 0)  ,   B(0,1,1)   ,   AB (1, 4,1)

1

2

3x 2y 3 0 n (3,2, 0)   r

2y 3z 1 0 n (0,2, 3)

1 2r r

i j k

u n x n 3 2 0 ( 6, 9, 6) / u ( 2, 3,2)

0 2 3

Ecuación paramétrica plano  :

x 2         

y 1 4 3

z 1 2   

r

La ecuación general del plano   que pasa por el punto B(0,1,1)

con vectores directores AB (1, 4,1)  y  u ( 2, 3,2):

1 2 x

4 3 y 1 0 11x 4y 5z 9 0

1 2 z 1

1

 Se considera el plano   x 2y z 1 0,  la recta

x 2 y 1       r z 3  y el punto A(1, 0,2).

3 2

      a) Obtener la ecuación del plano   que pasa por el punto A,   

           es paralelo a la recta  r

21.

  y es perpendicular al plano  .

      b)  Determinar, si es posible, un plano perpendicular a   que

            pase por  A   y que no sea paralelo a  r. 

Solución:

1

a) El vector normal  n  al plano    

está contenido en el plano  . 

1

'r r

1

Siendo el plano   r  un vector paralelo

al vector director u  de la recta  r  (u )

está contenido en el plano  .

1

1

r

Un vector perpendicular al plano  

será  n  u x n  

r

x 2 y 1r z 3 u (3, 2, 1)

3 2

x 2y z 1 0 n ( 1,2,1)

1 r

i j k

n  u x n 3 2 1 4 j 8k (0, 4, 8)

1 2 1

1

1La ecuación del plano   que pasa por el punto  A(1, 0,2)  con vector 

normal  n (0, 4, 8)  será:

10. (x 1) 4.(y 0) 8.(z 2) 0 y 2z 4 0

x 2 y 1b) Un punto de  r z 3

3 2

es B(2,1, 3)

2

2

Se impone que el vector AB  pertenezca al

plano  . De este modo, corta a la recta r

en el punto B, y el nuevo plano   y  r  no

son paralelos.

AB (2,1, 3) (1, 0,2) (1,1,1)

22 2Como  x 2y z 1 0 v n ( 1,2,1). Otro vector de 

será AB (1,1,1),  y un punto del plano es  B(2,1, 3). 

2 2

x 2 y 1 z 3

  1 1 1 0 x 2y 3z 5 0

1 2 1

 a) Hallar la recta que corta a las rectas:    

x 2y 2 0x y 2 z 1               r     y     s

2y z 5 02 3 3

               y que pasa por el punto A( 2, 0, 7)

       b) Calcular la distancia del punt

22.

o  A  a la recta r.   

Solución:

a)Para estudiar la posición relativa de las rectas  r  y  s

rUn punto  P  y un vector director  u  de la recta r:

r

x y 2 z 1r P(0,2,1) u (2, 3, 3)

2 3 3

sUn punto  B  y un vector director  v  de la recta s:

x 2y 2 0 y 1s si  x 0 B(0, 1, 7)

2y z 5 0 z 7 

s

i j k

v 1 2 0 2 i j 2k (2, 1,2)

0 2 1

r sSean  u (2, 3, 3)  ,  v (2, 1,2)  y  PB (0, 1, 7) (0,2,1) (0, 3, 6)

2 3 3

              2 1 2 0 Las rectas  r  y  s  se cruzan

0 3 6

  Sea  t  la recta que corta a las rectas r  y  s

    y que pasa por A

El plano    que pasa por A y contiene a s:  

                    x 2y 2 0

El punto  A( 2, 0, 7)  cumple la ecuación del plano  x 2y 2 0

  Se calcula el punto  P r

x 2       

Las ecuaciones paramétricas de r y 2 3

z 1 3

Sustituyendo  r  en el plano   , resulta:

3x 2y 2 0 2 2(2 3 ) 2 0

2

3 5 11Sustituyendo el valor    en  r:  P 3, ,

2 2 2

  Las ecuaciones paramétricas de la recta  t  que pasa por los puntos

5 11 5 25    A( 2, 0, 7)  y  P 3, ,   con  AP 5, , :

2 2 2 2

x 2 5         

5 x 2 y z 7t y               t

2 5 5 / 2 25 / 225

z 7     2

r rxb) S u PA h. u

r

r

xu PAh d(A,r)

u

(2, 3, 3) PA ( 2, 0, 7) (0,2,1) ( 2, 2, 8)

r x

i j k

u PA 2 3 3 30 i 10 j 10k (30,10, 10)

2 2 8

2 2 2r xu PA 30 10 ( 10) 1100 10 11

2 2 2ru 2 ( 3) 3 22 2 . 11

r

r

xu PA 10 . 11d(A,r) h

u

2 . 11

105 2

2

2 2

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen 

x y      de coordenadas y pasa por los focos de la elipse  1            

25 9

23. 

Solución:

2 22 2x y

1 a 25 , b 925 9

2 2 2 2Al ser una elipse se cumple que:  a b c 25 9 c c 4

Los focos de la elipse son:  ( 4, 0)  y  (4, 0)

El radio de la circunferencia es 4. 

2 2 2 2 2Su ecuación es:  x y r x y 16

x 3 y 1 z 1Calcular el ángulo que forma la recta  r  

2 5 1

       con el plano   2x 5y 7z 11 0  

24. 

Solución:

ang(r, )

r r π rˆn .u n . u . cos(n  u )

r

r

n .usen cos(90 )

n . u

2 2 2r r

x 3 y 1 z 1r u (2, 5, 1) u 2 5 ( 1) 30

2 5 1

2 2 2n (2, 5, 7) n 2 ( 5) 7 78

rn .u (2, 5, 7) . (2, 5, 1) 4 25 7 28

or

r

n .u 28sen cos(90 ) 35 22'

n . u 78 . 30

Dado el punto  P(1, 2,2). Calcula la ecuación de la recta  r'  

x 2

      simétrica de  r y 1     respecto del punto P.

z 2    

25.   

Solución:

Sean A y B dos puntos de la recta r, se calculan las 

coordenadas de sus simétricos A' y B' respecto del 

punto P. Es decir, P es el punto medio de los 

segmentos AA'  y  BB'.

La recta  r'  es la que une los puntos A' y B'

0 x 2 y 1 z 0 A(2,1, 0)x 2

r y 1

z 2    1 x 1 y 2 z 2 B(1,2,2)

2 a 1 b 0 c1 2 2

 A(2,1, 0)  y   A'(a,b, c) 2 2 2P(1, 2,2)

 B(1,2,2)  y   B'(d, e, f) 1 d 2 e 2 f1 2 2

2 2 2

con lo que  A'(0, 5, 4)  y  B'(1, 6,2) A'B' (1, 1, 2)

x            

r' y 5    

z 4 2    

Dados el  plano    x y z 1 , la recta (x, y, z) (1, 0, 0) (0,1,1),   

      y el punto P(1,1, 0),  se pide:

a) Hallar la ecuación de una recta  s  que sea perpendicular a  r y pase por P.  

b) Hallar el p

26.   

unto P', simétrico de P respecto de r.

c) Hallar el punto P'', simétrico de P respecto de  .

Solución:

1a) Se halla el plano    , perpendicular a  r  

    que pasa por P:  

1r

x 1

r y u n (0,1,1)

z

1 1

1Py z D 0 1 0 D 0 D 1 y z 1 0

1Sustituyendo  r  en    resulta:  

1

1y z 1 0 1 0

2

1 1 1 1Q(1, , ) Q 1, , QP 0, ,

2 2 2 2

1 1La ecuación de la recta  s  que pasa por  P(1,1, 0)  con QP 0, , :

2 2

x 1       

s y 12

z    2

b) El punto  Q  es el punto medio del 

P P'    segmento PP' :  Q

2

1 a1 a 1  

2P P' 1 1 b

Q b 0 P'(1, 0,1)2 2 2

1 cc 1      

2 2

c)  x y z 1 n (1,1,1) 

PPSea la recta  PP :  v n (1,1,1) 

''''

PP''

x 1        

t y 1        

z              

El punto  M  es el punto medio del segmento PP'':  M PP'' 

PP''Sustituyendo  t   en    resulta:  

1  x y z 1 (1 ) (1 ) 1

3

2 2 1M(1 ,1 , ) M , ,

3 3 3

Las coordenadas del punto P'':   

2 1 d 1d     

3 2 3P P'' 2 1 e 1 1 1 2

M e      P'' , ,2 3 2 3 3 3 3

1 f 2f       

3 2 3

2 2 2

a) Determina el centro y el radio de la esfera: 

                 x y z 2x 4y 8z 4 0

      b) Determina el centro y el radio de la circunferencia intersección  

          de la esfera del apartado

27. 

 anterior con el plano z 0.

Solución:

a)  La ecuación de una esfera de centro C(a,b, c) y radio  r  es:

                        2 2 2 2(x a) (y b) (z c) r

2 2 2 2 2 2 2x 2ax y 2by z 2zx a b c r 0

2 2 2Comparando con la ecuación:  x y z 2x 4y 8z 4 0

2 2 2 2

2a 2                    a 1                                                 

2b 4                      b 2                                             

2c 8                     

a b c r 4

2

c 4                                               

r 1 4 16 4 25 r 5

El centro de la esfera es el punto  C(1, 2, 4)  y el radio  r 5

b) Primero se calcula la ecuación de la circunferencia resolviendo

    el sistema:

2 2 22 2x y z 2x 4y 8z 4 0x y 2x 4y 4 0

z 0                                                

 La ecuación de la circunferencia de centro  C(a,b) y radio  r:  

2 2 2 2 2 2 2 2(x a) (y b) r x 2ax y 2by a b r 0

2 2Comparando con la ecuación:  x y 2x 4y 4 0

2 2 2 2

2a 2            a 1                                 

2b 4              b 2                              

a b r 4 r 1 4 4 r 3

El centro de la circunferencia es el punto  C(1, ‐2)  y radio  r 3  

2x y z 3 0Halla la distancia entre el punto  P(2,1, 3)  y la recta  r:   

x y z 2 0  

28. 

Solución:

   La recta  r  en forma paramétrica:

o o1 2x 1 2   

2x y z 3 0 x 1 2z                    r: r: y 1 3

x y z 2 0   y x z 2 1 3zz           

También se podía haber hecho:

z 02x y z 3 0 2x y 3r: x 1 y 1 A(1, 1, 0)

x y z 2 0   x y 2  

r

i j k2x y z 3 0 n (2, 1, 1)

r: u 1 1 1 (2, 3,1)x y z 2 0   n' (1, 1,1) 

2 1 1

r El plano     que pasa por P(2,1, 3) y es perpendicular a r:  n u (2, 3,1) 

2(x 2) 3(y 1) (z 3) 0 2x 3y z 10 0

x 1 2   

 El punto de corte del plano   2x 3y z 10 0  con   r: y 1 3

z           

112(1 2 ) 3( 1 3 ) 10 0  

14

36 19 11 El punto de corte Q(1 2 , 1 3 , ) Q , ,

14 14 14

2 2 28 5 31 8 5 31 75

 d(P,r) d(P,Q) PQ , ,14 14 14 14 14 14 14

x 1 y z 2Calcula la distancia del punto  P(1,2, 3)  a la recta  r:   

2 1 2

29. 

Solución:

r

x 1 y z 2r: A( 1, 0,2) u ( 2,1,2) AP (2,2,1)

2 1 2

 Utilizando la expresión vectorial la distancia del punto P a la recta r:

r

r

x x

i j k

2 2 1

2 1 2AP u (2,2,1) ( 2,1,2) (3, 6, 6)d(P,r)

u ( 2,1,2) ( 2,1,2) ( 2,1,2)

2 2 2

2 2 2

3 ( 6) 6 9                                                                  3

3( 2) 1 2

 La distancia del punto a la recta es independiente del punto de la recta

   que se tome y del vector director.

r

x 1 2

 r: y             B( 3,1, 4) v (4,2, 4) BP (4,1, 1)

z 2 2   

r

r

x x

i j k

4 1 1

4 2 4BP v (4,1, 1) (4, 2, 4) ( 6,12, 12)d(P,r) 3

v (4, 2, 4) (4, 2, 4) (4, 2, 4)

a) Halla el lugar geométrico de  los puntos que  equidistan de  los  planos de  

          ecuaciones  3x 4y 5 0   y  2x 2y z 9 0

      b) ¿Qué puntos del eje OY equidistan de ambos planos?

30. 

Solución:

a) Si  P(x, y, z) es uno de los puntos del lugar geométrico, entonces:

2 2 2 2 2

3x 4y 5 2x 2y z 9 3x 4y 5 2x 2y z 9

5 33 ( 4) 2 ( 2) 1

9x 12y 15 10x 10y 5z 45  

3 3x 4y 5 5 2x 2y z 9

9x 12y 15 10x 10y 5z 45

x 2y 5z 30 0      resultando   

19x 22y 5z 60 0

Son los planos bisectores del diedro que determinan los dos planos dados.b) Un punto del eje  OY  tiene la forma  P(0, y, 0). La distancia de  P  a cada 

    uno de los planos ha de ser igual, es decir: 

2 2 2 2 2

4y 5 2y 9 4y 5 2y 9

5 33 ( 4) 2 ( 2) 1

12y 15 10y 45 y 15  

3 4y 5 5 2y 9

3012y 15 10y 45   y    

11

1 2

30Hay dos puntos  P (0, 15, 0)  y   P 0, , 0

11