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Pauta Certamen N 2 Estadstica IInstrucciones: Redacte y fundamente sus respuestas de forma clara y precisa. Si algnalumno es sorprendido copiando o en otra situacin sospechosa, ser evaluado con notamnima 1,0. Est prohibido el uso de celulares y/o smartphones.

1. Sea X una v.a. cualquiera, demuestre que:

V ar[X] = E[X2](E[X]

)2Solucin:

V ar[X] = E[(X )2

]= E

[X2 2X + 2

]= E

[X2] 2E[X] + E[2]

= E[X2] 2+ 2

= E[X2] 22 + 2

= E[X2] 2

= E[X2](E[X]

)2

(10 puntos)

2. Suponga que X es la v.a. que representa el nmero de ampolletas que fallan antesde las primeras 1000 horas de uso. Si la distribucin de probabilidad de X vienedada por:

f(x) =

2xe2

x! x = 0, 1, 2, . . .0 d.o.m.

a) Demuestre que f es una funcin de probabilidad.b) Calcule la probabilidad de que fallen cinco ampolletas antes de sus primeras

1000 horas de uso.

1

c) Calcule la probabilidad de que fallen al menos cinco ampolletas antes de susprimeras 1000 horas de uso.

Solucin:

a) Es claro que f(x) 0, x R.(01 puntos)

Adems: x

f(x) =

x=0

2xe2x!

= e2

x=0

2xx!

= e2e2

= e0

= 1

Por lo tanto, f es una funcin de probabilidad.(04 puntos)

b) La probabilidad de que fallen cinco ampolletas antes de sus primeras 1000horas de uso viene dada por:

P(X = 5) = 25e2

5!= 0, 0361

(05 puntos)

c) La probabilidad de que fallen al menos cinco ampolletas antes de sus primeras1000 horas de uso viede dada por:

P(X 5) = 1 P(X 4)

= 14

x=0

2xe2x!

= 1(20e2

0! +21e2

1! +22e2

2! +23e2

3! +24e2

4!

)= 1 7e2

= 0,0527

(05 puntos)

2

3. Considere la v.a. X con distribucin de probabilidad dada por:

f(x) = 12

e12 x

2 ; < x < +

a) Demuestre que f es una funcin de densidad.b) Encuentre la funcin generadora de momentos.c) Encuentre la funcin caracterstica.d) Demuestre que E[X] = 0 y V ar[X] = 1; es decir, X es una v.a. con media

= 0 y varianza 2 = 1.

Solucin:

a) Es claro que f(x) 0, x R.

(01 puntos)

Adems:

+

f(x) dx =+

12

e12 x

2dx

= 12

+

e12 x

2dx

= 22

+0

e12 x

2dx (pues el integrando es una funcin par)

(03 puntos)

Haciendo u = 12x2, se tiene que du = x dx. Adems, 2u = x2 o bien

2u = x.

Por ende du =

2u dx y as du2u = dx.

(03 puntos)

3

Luego:

+

f(x) dx = 22

+0

e12 x

2dx

= 22

+0

eudu2u

= 22 12

+0

2 12u 12 eu du

= 1

+0

u121eu du

= 1 (1

2

)= 1

= 1

Por lo tanto f es una funcin de densidad.

(03 puntos)

4

b) Recordemos que la funcin generadora de momentos de la v.a. X viene dadapor gX(t) = E[etX ]. Luego:

gX(t) = E[etX ]

=+

etx12

e12 x

2dx

= 12

+

e12 x

2+tx dx

= 12

+

e12 (x

22tx) dx

= 12

+

e12 (x

22tx+t2t2) dx

= 12

+

e12 [(xt)

2t2] dx

= 12

+

e12 (xt)

2+ 12 t2dx

= e 12 t2 12

+

e12 (xt)

2dx

(05 puntos)

Haciendo z = x t, se tiene que dz = dx.

(02 puntos)

5

As,

gX(t) = e12 t

2 12

+

e12 (xt)

2dx

= e 12 t2 12

+

ez2dz

= e 12 t2 22

+0

ez2dz (pues el integrando es una funcin par)

= e 12 t2 1 por a)= e 12 t2

Por lo tanto:gX(t) = e

12 t

2

(03 puntos)

6

c) Sabemos que la funcin caracterstica de la v.a. X viene dada por X(t) =E[eitX ]. Luego:

X(t) = E[eitX ]

=+

eitx12

e12 x

2dx

= 12

+

e12 x

2+itx dx

= 12

+

e12 (x

22itx) dx

= 12

+

e12 (x

22tx+i2t2i2t2) dx

= 12

+

e12 [(xit)

2i2t2] dx

= 12

+

e12 [(xit)

2+t2] dx

= 12

+

e12 (xit)

2 12 t2dx

= e 12 t2 12

+

e12 (xit)

2dx

(05 puntos)

Haciendo z = x it, se tiene que dz = dx.

(02 puntos)

7

As,

X(t) = e12 t

2 12

+

e12 (xit)

2dx

= e 12 t2 12

+

ez2dz

= e 12 t2 22

+0

ez2dz (pues el integrando es una funcin par)

= e 12 t2 1 por a)= e 12 t2

Por lo tanto:X(t) = e

12 t

2

(03 puntos)

d) Usando la funcin generadora de momentos gX(t) = e12 t

2 , tenemos:E[X] = m1

= gX(t)t=0

= t e 12 t2t=0

= 0 e0

= 0(02 puntos)

Por tanto, X es una v.a. con media = 0.

E[X2]

= m2= gX(t)

t=0

= e 12 t2 + t e 12 t2t=0

= e0 + 0= 1

(02 puntos)De donde V ar[X] = E[X2] (E[X])2 = 1 0 = 1.

Y as, X es una v.a. con varianza 2 = 1.(01 puntos)

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