PAUTA CONTROL N1 , Prof. Marcelo Ruiz.

Considere una barra homognea y rgida de masa m y largo . Tal barra se encuentra unida a un

resorte de constante elstica que no est deformado cuando la barra est en la posicin horizontal

, como muestra la figura.

a- Encuentre la ecuacin de movimiento cuando la barra pequeas oscilaciones

b- Identifique la frecuencia angular de la ecuacin de movimiento.

Solucin:

A-

Mtodo 1 :

La figura no muestra la posicin de equilibrio ya que el resorte est sin estirar, por tanto se analiza

la posicin mediante esttica.

0 =

4 cos()

4 cos() = 0

4 cos() (

4)

2

sen() cos() = 0

Luego se asume por tanto sen() cos() 1

L/4 L/4 L/2

k

m

L/4

L/2

P

4 (

4)

2

= 0

=4

( ) (1)

Ahora se debe aplicar una perturbacin al sistema para generar oscilaciones en torno al punto de

equilibrio, por tanto la referencia ser posicionada en el ngulo .

Se realiza sumatoria de torque respecto al pivote para determinar la ec. de movimiento del sistema.

0 =

4cos( + )

4cos( + ) =

4cos( + ) (

4)

2

cos( + ) sen( + ) =

Se sabe que (

+ ) (

+ ) 1 ; (

+ ) (

+ )

4 (

4)

2

( + ) = (2)

Reemplazando (1) en (2):

4 (

4)

2

(4

+ ) =

0 + 2

16= 0 (3)

Se calcula la inercia usando el teorema de los ejes paralelos

0 = + 2

0 =2

12+ (

4)

2

= 72

48 (4)

L/4

L/2

P

Reemplazando (4) en (3) y simplificando:

+3

7 = 0

Siendo esta la ecuacin del sistema con respecto al eje ngulo de equilibrio ()

Mtodo 2

Se considera una perturbacin del sistema soltndo desde el reposo en la posicin horizontal

(0) = 0 . De esa forma se obtiene un trmino constante en la ecuacin diferencial , que origina

como solucin particular un factor constante , cuyo valor es el ngulo de equilibrio al aplicar las

condiciones iniciales.

Se genera sumatoria de torque respecto al eje :

4 cos()

4 cos() =

4 cos() (

4)

2

sen() cos() =

72

48 + (

4)

2

4 = 0

+3

7

12

7= 0

Si se desea la solucin de la EDO se tiene dos partes, la homognea y la particular.

La solucin particular es = 4

, cuyo valor es la posicin que tomar el sistema en

estado estacionario (asumiendo que la energa se disipa) ; notar que est solucin es idntica en

el mtodo 1.

Mtodo 3 (Energa)

= + + +

=

2(

4())

2

2

322

L/4

L/2

P

=

4

= 72

962

Entonces

= 72

962 +

2

322

4

Dado que no existe variacin de la energa respecto al tiempo, por ser un sistema ideal sin disipacin,

entonces

= 0

=

722

96+

2 2

32

4= 0

72

48+

2

16

4= 0

+ 3

7

12

7 = 0

B-

En cualquiera de los 3 mtodos anteriores es de obviar que le frecuencia angular es la misma.

+ 2 + = 0

Entonces = 3

7 [rad/s]

BONUS

Inercia de una barra respecto a un eje que pasa por su centro de masa.

I = 2

La expresin diferencial de la masa para una barra cuya rea es despreciable es =

=

2

2

2

=

3(

3

8+

3

8) =

2

12