Pauta_1_PS_FMM_003_2009_-_01
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Universid ad Andr´ es Bello Depar tamento de Matem´ aticas MATEM ´ ATICAS GENERALES- FMM 003 1 er Semestre, 2009 P AUT A PRIMERA PRUEBA SOLEMNE Mi´ ercoles 08 de Abril de 2009 1. Eval´ ue la siguiente expresi´ on para a = −2; b = −1; c = 1: a 2 − b 2 a 2 + ab + b 2 + 2a + 5b 2b − c + a 2 − c 2 a + 2b + c Sol: Evaluando la expresi´on, se tiene: (−2) 2 − (−1) 2 (−2) 2 + 2 + (−1) 2 + 2 · −2 + 5 · −1 2 · −1 − 1 + (−2) 2 − 1 2 −2 + 2 · −1 + 1 = 4 − 1 7 + −9 −3 + 4 − 1 −3 = 3 7 + 3 − 1 = 3 7 + 2 = 17 7 1.5 Ptos 2. En la fabricaci´ on de p´ olvora para romper rocas, el carb´ on y el salitre est´ an en la raz´ on de 16:5 y el salitre con el azufre est´ an en la raz´ on de 10:3 ¿Cu´ antos kilogramos de carb´ on, salitre y de azufre entrar´ an en 5940 kg, de p´ olvora? Sol: Sean C, S y A, las cantidades de carb´on, salitre y azufr e. Por tan to se pue de estab lecer que C S = 16 5 ; S A = 10 3 ; C + A + S = 5940. De las proporcione s se establece que C = 16S 5 ; A = 3S 10 . Sustit uye ndo en la suma: 16S 5 + 3S 10 + S = 5940 / · 10 ⇔ 32S + 3S + 10S = 59400 ⇒ S = 1320 Luego; A = 396; C = 4224. 1.5 Ptos 3. Simplifique al m´ aximo la siguiente expresi´ on: 1 + a 2 1 − a 2 − 1 − a 2 1 + a 2 : 1 + a 1 − a − 1 − a 1 + a Sol: 1 + a 2 1 − a 2 − 1 − a 2 1 + a 2 : 1 + a 1 − a − 1 − a 1 + a ⇔ (1 + a 2 ) 2 − (1 − a 2 ) 2 (1 − a 2 )(1 + a 2 ) : (1 + a) 2 − (1 − a) 2 (1 − a 2 ) = (1 + a 2 + 1 − a 2 )(1 + a 2 − 1 + a 2 ) (1 − a 2 )(1 + a 2 ) · 1 − a 2 4a = 2 · 2a 2 (1 + a 2 )(1 − a 2 ) · 1 − a 2 4a = a 1 + a 2 1.5 Ptos
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8/7/2019 Pauta_1_PS_FMM_003_2009_-_01
http://slidepdf.com/reader/full/pauta1psfmm0032009-01 1/2
Universidad Andres Bello
Departamento de Matematicas
MATEMATICAS GENERALES- FMM 003
1er Semestre, 2009
PAUTA PRIMERA PRUEBA SOLEMNE
Miercoles 08 de Abril de 2009
1. Evalue la siguiente expresion para a = −2; b = −1; c = 1:
a2 − b2
a2 + ab + b2+
2a + 5b
2b− c+
a2 − c2
a + 2b + c
Sol:
Evaluando la expresion, se tiene:
(−2)2 − (−1)2
(−2)2 + 2 + (−1)2 +
2 · −2 + 5 · −1
2 · −1− 1 +
(−2)2 − 12
−2 + 2 · −1 + 1 =
4− 1
7 +
−9
−3 +
4− 1
−3
=3
7+ 3 − 1 =
3
7+ 2 =
17
7
1.5 Ptos
2. En la fabricacion de polvora para romper rocas, el carbon y el salitre estan en la razon de 16:5 yel salitre con el azufre estan en la razon de 10:3 ¿Cuantos kilogramos de carbon, salitre y de azufreentraran en 5940 kg, de polvora?
Sol:
Sean C, S y A, las cantidades de carbon, salitre y azufre. Por tanto se puede establecer queC
S =16
5; S
A= 10
3;C + A + S = 5940. De las proporciones se establece que C = 16S
5;A = 3S
10. Sustituyendo
en la suma:
16S
5+
3S
10+ S = 5940 / · 10 ⇔ 32S + 3S + 10S = 59400 ⇒ S = 1320
Luego; A = 396;C = 4224.
1.5 Ptos
3. Simplifique al maximo la siguiente expresion:
1 + a2
1− a2 −1− a2
1 + a2 : 1 + a
1− a −1− a
1 + a
Sol:
1 + a2
1− a2−
1− a2
1 + a2
:
1 + a
1− a−
1− a
1 + a
⇔
(1 + a2)2 − (1− a2)2
(1− a2)(1 + a2)
:
(1 + a)2 − (1− a)2
(1− a2)
=(1 + a2 + 1 − a2)(1 + a2 − 1 + a2)
(1− a2)(1 + a2)·
1− a2
4a=
2 · 2a2
(1 + a2)(1− a2)·
1− a2
4a=
a
1 + a2
1.5 Ptos
8/7/2019 Pauta_1_PS_FMM_003_2009_-_01
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4. Encontrar la solucion de las siguientes ecuaciones
(a)1
2(x + 1) +
1
3(x + 2) = 3−
1
4(x + 3)
Sol:
1
2 (x + 1 ) +
1
3 (x + 2) = 3−1
4 (x + 3) / · 10 ⇔ 6x + 6 + 4x + 8 = 36− 3x− 9 ⇔ 13x = 13 ⇒ x = 1
0.7 Ptos
(b) (x + a)(x− b) + (x + b)(x− a) = 2a2 − 2ab
Sol:
(x+a)(x−b)+(x+b)(x−a) = 2a2−2ab⇔ x2−bx+ax−ab+x2−ax+bz−ab = 2a2−2ab⇔ 2x2 = 2a2
⇔ x2
= a2
⇒ x1 = a;x2 = −a
0.8 Ptos
5. Utilizando propiedades de los logaritmos, simplifique al maximo la expresion:
loga
1
x + 1−
1
x+
1
x2+ loga x +
1
2· loga(x + 1)
Sol:
loga
1
x + 1−
1
x+
1
x2+loga x+
1
2·loga(x+1) ⇔
1
2loga
x2 − x2 − x + x + 1
x2(x + 1)
+loga x+
1
2·loga(x+1)
=1
2loga
1
x2(x + 1)
+loga x+
1
2· loga(x+ 1) =
1
2loga 1 0
−1
2loga(x2(x+1))+loga x +
1
2· loga(x+ 1)
= −
1
2 loga x2
−
1
2 loga(x+1)+loga x+1
2 ·loga(x+1) = − loga x−1
2 loga(x+1)+loga x+1
2 ·loga(x+1) = 0
1.5 Ptos
