Pauta_Certamen1022010

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA

DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAS

CASA CENTRAL – CAMPUS VITACURA

PAUTA CERTAMEN N°1 SEGUNDO SEMESTRE 2010

GESTION DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

1.- A un grupo de artesanos se le presenta la oportunidad exportar cinturones de piel de salmón al

mercado europeo. Clasifican los cinturones en dos tipos A y B (A por alta calidad y B por baja

calidad). De acuerdo a sus estimaciones tendrían una utilidad de 4 euros por cinturón tipo A y 3

euros por el tipo B. La confección de un cinturón tipo A les requiere el doble de tiempo que uno

tipo B. Si confeccionaran sólo cinturones tipo B podrían hacer 1.000 diarios. Adicionalmente, el

abastecimiento de piel es suficiente para confeccionar un total combinado de 800 cinturones

diarios. Los cinturones usan un diferente tipo de hebilla según su calidad. Se pueden abastecer de

800 hebillas elegantes al día para los cinturones tipo A y 700 hebillas corrientes al día para los

cinturones tipo B.

RESPUESTA.

a) (7 Puntos) Formule un modelo de Programación Lineal que permita decidir cuántos cinturones

de cada tipo fabricar de modo de maximizar la utilidad total. Defina claramente las variables de

decisión, función objetivo y restricciones.

Variables de decisión

x1 : Número de cinturones tipo A, a fabricar por día

x2: Número de cinturones tipo B, a fabricar por día. (2 puntos)

Función Objetivo

Cada cinturón tipo A reporta una utilidad de 4 euros y cada cinturón tipo B reporta una utilidad de 3 euros. Se desea maximizar la utilidad total: Max z = 4x1 + 3 x2 (1 punto)

Función Objetivo Maximizar la utilidad Euros/semana

Datos • Utilidad A 4 E • Utilidad B 3 E • Capacidad producción

1000 cinturonesB/diarios

Decisión Cantidad de cinturones del tipo A y del tipo B fabricar

Limitaciones • Fabricar un cinturón tipo A ocupa el doble de recursos que uno tipo B • Abastecimiento de hebillas para cinturón tipo A: 800 • Abastecimiento de hebillas para cinturón tipo B: 700 • En total se puede fabricar 800 cinturones




Restricciones

No se puede fabricar más cinturones que la cantidad de hebillas disponibles:

x1 ≤ 800 x2 ≤ 700 (1 punto)

Como máximo se puede confeccionar diariamente 800 cinturones del tipo A y del tipo B en conjunto: x1 + x2 ≤ 800 (1 punto) La capacidad de producción permite fabricar 1000 cinturones tipo B a la semana si se fabricara sólo cinturones de este tipo. Los cinturones tipo A ocupan el doble de recursos que uno B, esto es se pueden fabricar 500 cinturones a la semana si sólo se fabrican cinturones tipo A

2x1 + x2 ≤ 1.000 (1 punto)

No negatividad de las variables de decisión: x1; x2 ≥ 0 (1 punto)

b) (10 Puntos) Resuelva el modelo propuesto por usted en a) de forma gráfica. Indique

claramente el dominio de soluciones factibles que definen las diferentes restricciones,

curva(s) de nivel de la función objetivo, la solución óptima y el valor óptimo del

problema.

0 4080 12016020024028032036040044048052056060064068072076080003570105140175210245280315350385420455490525560595630665700B

A

: 2 A + 1 B = 1000

: 1 A + 1 B = 800

: 1 A + 0 B = 800

: 0 A + 1 B = 700Payoff: 4 A + 3 B = 2600

Optimal Decisions(A,B): ( 200, 600)

: 2A + 1B <= 1000: 1A + 1B <= 800: 1A + 0B <= 800: 0A + 1B <= 700

Dominio de soluciones factibles (3 puntos)

Gradiente de la función objetivo y sus curvas de nivel (2 puntos)

La solución óptima es el punto (x1,x2)=(200,600), dando un valor óptimo con un costo total de v(P)=z*=2600 euros (5 puntos)




c) (15 Puntos) Resuelva el modelo formulado en a) mediante el Método Simplex.

Resolviendo por el método Simplex.

X1 X2 S1 S2 S3 S4 REC1 0 1 0 0 0 8000 1 0 1 0 0 7001 1 0 0 1 0 8002 1 0 0 0 1 1000-4 -3 0 0 0 0 0

XB =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1000800700800

SSSS

4

3

2

1

; XD = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

XX

2

1 (3 puntos)

En este caso entra X1, sale el MIN 5002

10002

1000,1

800,0

700,1

800==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= , Sale

S4.

Luego se debe usar la fila 4 para realizar las siguientes iteraciones, por lo cual

dejaremos el pivote con un 1. E4(1/2)

X1 X2 S1 S2 S3 S4 REC1 0 1 0 0 0 8000 1 0 1 0 0 7001 1 0 0 1 0 8001 1/2 0 0 0 1/2 500-4 -3 0 0 0 0 0

Luego se debe usar la fila 4 para realizar las siguientes iteraciones:

E4(-1)+1, E4(-1)+3, E4(4)+5

X1 X2 S1 S2 S3 S4 REC0 -1/2 1 0 0 -1/2 3000 1 0 1 0 0 7000 1/2 0 0 1 -1/2 3001 1/2 0 0 0 1/2 5000 -1 0 0 0 2 2.000

XB =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

300700300500

SSSX

3

2

1

1

; XD = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

SX

4

2 (6 puntos)

En este caso entra X2, sale el MIN 3002/1

3002/1

500,2/1

300,1

700,2/1

300==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

= , Sale S3.

Con formato: Sangría:Izquierda: 0,63 cm




Luego se debe usar la fila 3 para realizar las siguientes iteraciones, por lo cual

dejaremos el pivote con un 1. E3(2)

X1 X2 S1 S2 S3 S4 REC0 -1/2 1 0 0 -1/2 3000 1 0 1 0 0 7000 1 0 0 2 -1 6001 1/2 0 0 0 1/2 5000 -1 0 0 0 2 2.000

Luego se debe usar la fila 3 para realizar las siguientes iteraciones:

E3(1/2)+1, E3(-1)+2, E3(-1/2)+4, E3(1)+5

X1 X2 S1 S2 S3 S4 REC0 0 1 0 1 -1 6000 0 0 1 -2 1 1000 1 0 0 2 -1 6001 0 0 0 -1 1 2000 0 0 0 2 1 2.600

XB =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

100600600200

SSXX

2

1

2

1

; XD = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

SS

4

3 (6 puntos)

d) (8 Puntos) Usando el concepto de precio sombra, ¿cuánto representa para el grupo de

artesanos contar con un socio más que permite aumentar en un 10% la capacidad de producción?

La restricción corresponde a: 2x1 + x2 = b4

Gráficamente la máxima variación se alcanza en el punto (800, 0), a su vez la mínima

variación se alcanza en el punto (100,700).

El Recurso de la máxima variación sería 1.600 y el de la mínima 900. (2 puntos)

Luego reemplazando la máxima variación en la función objetivo, se obtendría, 3.200 Euros y

en la mínima 2.500 Euros, por lo tanto el precio sombra sería:

1700700

900600.1500.2200.3

==−−

=π Euro por Unidad Capacidad. (4 puntos)

En este caso como el recurso puede aumentar hasta 1.600, el 10% de aumento en la capacidad de

producción (100 unidad – capacidad) sería posible. Como el precio sombra es 1 Euro unidad




capacidad, el Incremento en el ingreso de la función objetivo, sería de 100 Euros, es decir, pasar

de ganar 2.600 a 2.700 euros. Con esto, el nuevo punto óptimo sería 300 unidades de

cinturones tipo A y 500 del tipo B (2 puntos)

e) (5 Puntos) ¿Qué variación de la utilidad del cinturón tipo A cambia la solución óptima en b)?

-2 ≤ - c1/c2 ≤ -1 -6 ≤ - c1 ≤ - 3 3 ≤ c1 ≤ 6

Por lo tanto la contribución unitaria de los cinturones tipo A puede bajar hasta 3 o bien subir hasta 6 y la solución actual no cambia , esto es se sigue confeccionando 200 cinturones del tipo A y 600 cinturones del tipo B. Valores fuera de ese intervalo cambia la solución. (5 puntos)

f) (5 Puntos) Una de las máquinas del proveedor de hebillas elegantes tiene una falla y éste sólo

puede proveer 500 hebillas por día. ¿Cambia el programa de producción (solución óptima) según

esta limitación? En caso afirmativo, señale la nueva solución óptima.

Sólo se requiere 200 hebillas para cinturones tipo A. Existe un exceso de 600 hebillas.

Por lo tanto esto no tiene efectos sobre el programa de producción. (5 Puntos)

2.- Una empresa multinacional de productos de consumo masivo que opera a nivel nacional, tiene dos plantas de producción (P1 y P2), las cuales tiene una capacidad de producción de 1.000 y 500 unidades respectivamente, de donde se fabrica un sólo producto para abastecer dos locales (L1 y L2), uno ubicado en el norte y el otro en el sur. Estos tienen demandas de 750 unidades cada uno. Para abastecer estos locales desde las plantas de producción, existen tres centros de distribución: Norte, Santiago y Sur. El centro de distribución norte puede ser abastecido por las plantas 1 y 2, a un costo por unidad de $1 y $2 respectivamente y puede abastecer al centro de distribución de santiago y al local del norte a un costo por unidad de $1 y $6 respectivamente, además su capacidad de almacenaje es de 2.000 unidades. El centro de distribución sur puede ser abastecido por las plantas 1 y 2, a un costo por unidad de $2 y $3 respectivamente y puede abastecer al centro de distribución de santiago y al local del sur, a un costo por unidad de $2 y $5 respectivamente, además su capacidad de almacenaje es de 1.000 unidades. Finalmente, el centro de distribución de Santiago no es abastecido por las plantas, sino sólo por los centros de distribución norte y sur. El centro de distribución de santiago, puede abastecer a los locales norte y sur a un costo por unidad de $3 y $4, respectivamente, además su capacidad de almacenaje es de 800 unidades. Formule un modelo de Programación Lineal que permita determinar el plan de distribución óptimo. Defina claramente las variables de decisión, función objetivo y restricciones.

RESPUESTA.




Variables de Decisión: (5 Puntos)

Función Objetivo: (3 Puntos)

Restricciones:

Capacidad en las plantas: Todo lo que sale de las plantas no puede ser mayor a la

capacidad de cada una. (4 Puntos)




Capacidad de los centros de distribución: Todo lo que entra a los centros de distribución

no puede superar la capacidad de dicho centro de distribución. (6 Puntos)

Demanda de los locales: la cantidad que llega a los locales debe satisfacer la demanda de

cada local. (5 Puntos)

Congruencia: La cantidad que entra a los centro de distrubución tiene que ser la misma

que la que sale. (6 Puntos)

No negatividad de las variables: No se pueden transportar cantidades negativas de

producto. (1 Punto)

3.- Considere el siguiente problema de Programación Lineal, que está bien formulado y posee solución óptima:

P) Max 15x1 + 10x2 s.a. 2x1 + x2 ≤ 6

x1 + x2 ≤ 4 x1≥0, x2≥0,

a) (3 puntos) Formule el modelo en su formato estándar.

El problema corresponde a:

Min -15x1 - 10x2 s.a. 2x1 + x2 + s1 = 6

x1 + x2 + s2 = 4 x1≥0, x2≥0, s1≥0, s2≥0 (3 puntos)




b) (10 puntos) ¿Cuál es la diferencia entre una solución básica y una solución básica factible en un problema cualquiera de Programación Lineal? Identifique las soluciones básicas factibles del problema P).

Definido un problema de Programación Lineal en su forma estándar: Min cx s.a Ax=b, x≥0 con un total de n variables y m ecuaciones, toda solución básica del sistema Ax=b corresponde a aquella en que se fijan en 0 n-m variables y resuelve el sistema para las m restantes (3 puntos). Por su parte una solución básica factible es aquella que además verifica x≥0 (1 punto).

El problema en particular tiene las siguientes soluciones básicas factibles:

x1 = 0 x2 = 0 s1 = 6 s2 = 4 x1 = 0 x2 = 4 s1 = 2 s2 = 0 x1 = 2 x2 = 2 s1 = 0 s2 = 0 x1 = 3 x2 = 0 s1 = 0 s2 = 1 (6 puntos)

c) (7 puntos) La siguiente es la tabla final al aplicar el Método Simplex a este problema, donde las dos primeras columnas están asociadas a las variables originales en P):

¿Cuál es la diferencia entre tener una solución óptima y una solución básica factible óptima como la encontrada por el Método Simplex? Indique la solución básica factible óptima del problema P). Proponga un cambio en la función objetivo del problema que le permita apreciar la diferencia entre estos dos conceptos, en caso de haberla puede usar un argumento geométrico nada más.

Cuando un problema de Programación Lineal tiene a solución óptima esta puede ser única o puede que haya infinitas. En este último caso aunque habrá al menos una básica factible óptima hay una infinidad de soluciones óptima que no lo son. (3 puntos)

x1 = 2 x2 = 2 s1 = 0 s2 = 0 representa la básica factible óptima (1 punto)

Cuando en el problema la función objetivo tiene la misma pendiente de las rectas 2x1+x2=6 o x1 + x2 = 4 se tiene el caso de las infinitas soluciones. Por ejemplo si f(x1,x2)=15x1 + 15x2 son soluciones básica factible óptima: x1=2, x2=2, s1=0, s2=0 y x1=0, x2=4, s1=2, s2=1, pero también una solución óptima como : x1=1, x2=3, s1=1, s2=0 (4 puntos)

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