PB

Inflacin colombiana pronosticada con un VARbayesiano

Norberto Rodrguez Nio?

Banco de la RepblicaUniversidad Nacional de Colombia

Fecha de recepcin: Marzo 11 de 2011Fecha de aprobacin: Abril 11 de 2011

Resumen En este trabajo se presentan los resultados de una aplicacinde la estimacin y pronstico de modelos de Vectores Autorregresivosusando tcnicas bayesianas (BVAR), para la inflacin anual colombiana.Se comparan los resultados del uso de diversas especificaciones y de priors;los hiperparmetros de las prior se seleccionan de acuerdo a criterio debondad del pronstico. Luego, para las especificaciones seleccionadas, secompara la bondad del pronstico de la inflacin anual generada por losmodelos BVAR con el de una caminata aleatoria univariada, y contra losde modelos VAR convencionales. Los resultados muestran que los modelosBVAR mejoran los modelos de los VAR anlogos, logrando reduccionesde hasta 72.8% en la Raz del Error Cuadrtico Medio de Pronstico(RECMP).Abstract This work presents the results of the application of the VectorAutoregressive estimation and prediction by using bayesian techniques(BVAR) for the annual Colombian inflation. The results of the use ofdiverse specifications and priors are compared. Prior hyperparametersare selected according to the goodness-of-prediction criteria. Then, thegoodness-of-prediction of the annual inflation generated by BVAR modelsis compared to the goodness-of-prediction of a univariated Random Walkfor the selected specifications. It is also compared to the conventionalVAR models. The results show that BVAR models improve the analogVAR models, reaching deductions of up to 72.8% in the PredictionRoot-Mean-Square Error (RMSE).Palabras Clave: estimacin bayesiana, evaluacin de pronstico, mode-los BVAR, inflacin, priors.Keywords: bayesian probability, prediction evaluation, BVAR models,inflation, priors.

? Econometrista Asociado, Banco de la Repblica y Profesor Catedrtico Titular,Universidad Nacional de Colombia. [email protected]. Agradezco a CristinaSarmiento por los comentarios, sugerencias y pacientes revisiones de versiones previas ya Eliana Gonzlez y Andrs Gonzlez por sus comentarios y sugerencias. Las opinionesaqu expresadas y los errores an presentes son mi exclusiva responsabilidad y nocomprometen la posicin oficial de las instituciones con las cuales estoy vinculado.

Revista Elementos - Nmero 1 - Junio de 2011

1. Introduccin

Actualmente la poltica monetaria en Colombia, se conduce por medio de unesquema de inflacin objetivo (inflation targeting), que tiene como finalidaddisminuir las tasas de inflacin y buscar la estabilidad del producto alrededorde su tendencia de largo plazo. Bajo esta estructura la toma de decisiones delbanco central, reflejadas principalmente en la tasa de inters como instrumentode poltica, se ve limitada en gran medida a los pronsticos que se hagan sobrela inflacin.

El producir adecuados pronsticos de inflacin y otros agregados econmicospara diferentes horizontes es una tarea difcil. La incertidumbre sobre la verdaderaestructura de la economa y los mecanismos de transmisin obligan a los bancoscentrales a usar diversas aproximaciones para pronsticar infacin en lugar deconfiar en un nico modelo. Hoy en da existen diversas metodologas parapronosticar variables macroeconmicas como la inflacin. Por un lado, el uso demodelos, en especial los multivariados como los Vectores Autorregresivos (VAR),han ganado sostenida popularidad desde que fueron introducidos en el mbitoeconomtrico hace ya 30 aos [22]. Por otro lado, los pronsticos por juicio deexpertos (combinado o no con modelos estadsticos-economtricos), a pesar dela dificultad de no informar como son usados los datos, son de gran utilidadpara bancos centrales, puesto que permiten configurar escenarios factibles decorto plazo que usualmente involucran informacin no tenida en cuenta por losmodelos, adems del concenso y las expectativas de los agentes.

En el grupo de modelos multivariantes se pueden ubicar los modelos estruc-turales grandes, estos modelos tienen la ventaja de producir pronsticos paradiversas variables y producir clara intuicin econmica detras de la dinmica delos pronsticos. El problema de los modelos estructurales grandes es el uso desupuestos restrictivos que deben ser empleados para identificar la estructura dela economa. Por otra parte, los modelos VAR explotan la informacin presenteen las series de tiempo macroeconmicas basados en una cantidad mnima deinformacin estructural de la economa.

Una ventaja de emplear pronsticos basados en modelos es que su bondadpuede ser evaluada estadsticamente antes de usar el pronstico, lo cual no esusualmente posible con los pronsticos de juicio. Las tcnicas bayesianas, como esilustrado en la literatura, pueden ser usadas para cerrar esta brecha entre las dosalternativas, mediante el uso de informacin preliminar o prior. Los pronsticosno condicionales de la inflacin permiten ademas efectuar comparaciones conpronsticos de agentes externos al banco central. Esto posibilita que los directivosjuzgen si se presentan diferencias significativas entre la percepcin de los nivelesde inflacin de parte de los agentes del mercado y la suya propia.

La estimacin y pronstico bayesiano se convierte en una alternativa interme-dia entre el pronstico subjetivo y aquel basado en un modelo (VAR por ejemplo)cuya estimacin es guiada meramente por los datos. En este trabajo se abordaun ejercicio de pronsticos bayesianos VAR para la economa colombiana. Losresultados de este ejercicio muestran reducciones en la Raz del Error CuadrticoMedio de Pronstico (RECMP) relativas a las del VAR frecuentista desde 57.7%

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Inflacin colombiana pronosticada con BVAR

en el corto plazo y hasta de 52.8% en el mediano plazo. Este trabajo pretendeser una contribucin emprica a la literatura en este tpico para Colombia.

Este documento esta organizado como sigue: En la seccin dos se discutenlos indicadores macroeconmicos colombianos; en la seccin tres se presentanalgunos resultados conceptuales de la estimacin bayesiana de modelos VAR. Enla seccin cuatro se describen los ejercicios de estimacin y pronstico realizados,en la cinco se presentan los resultados de los mismos y finalmente en la seccinseis se resume, concluye y recomiendan algunas extensiones al presente trabajo.

2. El contexto colombiano

En esta seccin brevemente se describe la evolucin de los principales indicado-res macroeconmicos colombianos durante parte del perodo de estudio (1984hasta 2010), la importancia de estos radica en que estn dentro del conjuntode informacin que es usado por el banco central (Banco de la Repblica) paracontextualizar los pronsticos y fijar sus metas de inflacin.

Durante la dcada de los noventa, Colombia experiment una serie de cambiosinstitucionales y de poltica econmica que afectaron el desempeo macroeco-nmico y posiblemente alteraron la relacin entre las variaciones del productoy de los agregados monetarios con la inflacin. Dentro de stos se destacan elproceso de apertura y liberalizacin comercial y financiera de principios de losaos noventa; la reforma constitucional que le dio independencia y autonoma albanco central, estableci explcitamente la defensa del poder adquisitivo de lamoneda como el objetivo principal de la poltica monetaria. A partir de 1992, seanunciaron las metas de inflacin y a partir del 2000 se adopt formalmente unrgimen de inflacin objetivo. La inflacin se redujo de 32.4% en 1990 a 1.8% enmarzo de 2010, mientras su volatilidad1 se redujo de 1.7 a 1.2, respectivamente,llegando a su mximo de 3.7 a mediados de 1999. Recientemente la volatilidadha mostrado incrementos presentando nuevamente niveles de hasta 1.9 en el 2009y reducciones hasta llegar a 0.2 a finales de 2010.

La inflacin colombiana aunque contina en niveles bajos, comparada conla de sus principales socios comerciales, es an objeto de preocupacin para lasautoridades econmicas y para el pblico en general. La inflacin, entendida comola tasa de variacin del nivel observado de precios, los cuales se espera presentenniveles de equilibrio, hace considerar la estimacin de modelos multivariantesque contemplen la posible existencia de dichos equilibrios de largo plazo. Eneste trabajo se modela la presencia de cointegracin tanto con la alternativa deJohansen como con la bayesiana tradicional.

Es de anotar que resultados de otros trabajos de evaluacin de pronsticosde la inflacin colombiana, a diferentes horizontes y diferentes periodicidades,muestran seales variadas. Los modelos utilizados actualmente por el bancocentral generan valores de error Cuadrtico Medio de Prediccin (RECMP oFMSE) de la inflacin anual, para un ao adelante, entre 1,5 y 9,7. Por ejemplo, [9]1 Medida como la desviacin estndar mvil de las doce inflaciones anuales msrecientes.

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presenta RECMP de 4.4% a un trimestre y de 9.7% a un ao en una especificacin,mientras que encuentran de 7.8% a 16.5%, a los mismos horizontes, usando otraespecificacin. [15] reporta 4.4% a un trimestre y 1.6% a un ao (usando comoperodo de evaluacin enero 2004 hasta enero 2006). [8] reporta 1.7% a 2.6%usando datos trimestrales del perodo 2001: I - 2005: IV. [10], usando modelosfactoriales dinmicos y series mensuales logra reducciones de 70% en RECMPrelativo a un modelo AR univariante, el perodo de evaluacin es enero 2005 ajunio de 2008.

3. Vectores autorregresivos bayesianos

Esta seccin se ocupa de los resultados conceptuales de estimacin y pronsticosbayesianos en modelos VAR. Primero, por ser punto de referencia, se presenta lanotacin de los VAR frecuentistas y luego los conceptos de VAR bayesiano.

3.1. Modelamiento VAR Frecuentista

Considere el modelo VAR(p)

yt = + 1yt1 + ...+ pytp + t (1)

y = (X Ik) + (2)

cont N(0, ) (3)

donde yt denota un vector columna de k variables incluidas en el VAR parael perodo t, t = 1, 2, , T ; y = vec(y1, y2, . . . , yT ), vector de kp 1; X =[X 0, X 1, . . . , X T1], con Xt = [1 yt yt1 . . . ytp+1]; el producto Kronecker; elvector columna t de dimensin k denota el termino de error, el cual cuantifica elpunto hasta donde yt puede ser determinado exactamente por una combinacinlineal de valores pasados de yt, con ponderaciones dadas por las constantescontenidas el el vector y en las matrices i; representa al vector de k + k2pparmetros generado por el operador vec(, 1, . . . , p), as por ejemplo para unVAR bivariado, k = 2, con p = 2 rezagos se tiene,

y1t = 1 + 11,1y1,t1 + 11,2y2,t1 + 21,1y1,t2 + 21,2y2,t2 + 1t (4)y2t = 2 + 12,1y1,t1 + 12,2y2,t1 + 22,1y1,t2 + 22,2y2,t2 + 2t (5)

con =

[1 2

11,1

12,1

11,2

12,2

21,1

22,1

21,2

22,2] (6)

Otra notacin til en otros contextos, se puede encontrar en [1, seccin 10.1].

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La funcin de verosimilitud para el proceso gaussiano resulta entonces en,

l(|y) =(

12pi

)kT/2|IT |1/2

exp[12((y (X Ik))

(IT 1 )(y (X Ik))] (7)

Se ha mostrado [18], que el estimador mximo verosmil de , bajo el supuestode que t se distribuye normal multivariante (0, ), en cuyo caso coincide conel de mnimos cuadrados, esta dado por,

=[(X X 1 )

]1 [(X 1 )y] (8)y la matriz de varianza-covarianza est dada por,

=[(X X 1 )

]1 (9)Resultados bsicos sobre modelos VAR convencionales o frecuentistas, se

pueden encontrar, por ejemplo, en Judge [13] y ms completos en [18] el cualcontiene, adems, una revisin sobre VAR bayesiano.

La estructura de los VAR convencionales conlleva un inconveniente serio. Enla prctica es frecuente encontrar modelos VAR que estimados sin restricciones2requiere estimar un gran nmero de parmetros, an ms en el caso de unacantidad moderada de variables y rezagos. Esto usualmente produce erroresestndar grandes de los coeficientes estimados, lo cual puede deberse a que loscoeficientes son en efecto cero o que los datos pueden no ser lo suficientementeinformativos para producir estimaciones precisas de los coeficientes.

3.2. Modelamiento VAR bayesiano

Una solucin alternativa al problema de sobre-parametrizacin es la aproximacinbayesiana. El problema de sobre-parametrizacin frecuentemente resulta enbuen ajuste dentro de muestra pero un pobre desempeo del pronstico fuera demuestra. Por esta razn, en este trabajo se emplean tcnicas bayesianas, como laspropuestas [16,4], en las cuales a priori se imponen restricciones inexactas sobrelas matrices de coeficientes, con lo cual se configura un mtodo til para reducirla dimensionalidad asociada con el VAR no restringido, lo cual ha mostradogenerar pronsticos ms adecuados.

La idea detras del procedimiento VAR bayesiano es asignar menos peso a losrezagos mas distantes pero sin restringirlos a cero, en tanto que permiten que estesupuesto sea sobreajustado si se tiene evidencia fuerte en los datos que indiqueotra cosa. En la prctica, esto es implementado especificando distribuciones priorpara los coeficientes del VAR, los cuales son tratados como variables aleatoriascon valores esperados especificados previamente (a priori), y con la concentracin2 Es decir, todos los coeficientes en todas las k ecuaciones son estimados libremente.

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(tightness) de las distribuciones las cuales son determinadas por un conjunto dehiperparmetros. Esta informacin es luego incorporada en la estimacin juntocon la informacin muestral para obtener la estimacin final o posterior.

Los modelos VAR bayesianos pueden ser vistos como un intermedio (puente)entre modelos multivariados de series temporales usados slo para generar prons-tico y modelos interpretables de ecuaciones simultneas. En el mismo sentido quela estimacin de modelos de Equilibrio General Dinmicos Estocsticos (DSGE,por sus iniciales en ingls) el modelo bayesiano es visto como un intermedio entrecalibracin y estimacin pura.

En el contexto bayesiano tradicional, el vector de parmetros sigue apriori una distribucin normal multivariada con media conocida y matriz devarianza-covarianza V , consecuentemente la densidad prior es escrita como

f() =(

12pi

)k2p/2|V |1/2 exp

[12(

)V 1 ( )]

(10)

En esta aplicacin se sigue a [4] al especificar la desviacin estndar de ladistribucin prior para el rezago l de la variable j en la ecuacin i, es decir, elelemento i, j de la matriz l de coeficientes l, denotado por S(i, j, l) acorde a lasiguiente representacin.

Combinando (10) con la verosimilitud (7), se obtiene la densidad posterior3,obteniendo el resultado deseable y facilitador de conjugamiento (vase [13]), esdecir, normalidad, densidad dada por

f(|y) exp[12( )

1 ( )]

(11)

donde la media (y moda) posterior es4

=[V 1 + (X

X 1 )]1 [

V 1 + (X 1 )y

](12)

y la matriz de varianza-covarianzas posterior es

=[V 1 + (X

X 1 )]1

(13)

1 = V

1 +

1

(14)

lo anterior implica que tanto la estimacin puntual como la de la matriz deprecisin (inversa de la matriz de varianzas-covarianzas) se pueden interpretarcomo promedio ponderado de la media y precisin a priori respectivas y lasestimaciones frecuentistas; adems, se mantiene el ya tradicional resultado deque ante mayor incertidumbre en las priors (varianzas prior tendiendo a infinito)3 Excepto por una constante de proporcionalidad.4 Otra representacin que no requiere invertir V se encuentra en [18, sec. 5.4.2], lacual es til cuando no se tiene informacin precisa sobre algunos de los coeficientes.

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mayor similitud entre la estimacin bayesiana y la estimacin frecuentista, y, enel otro extremo a mayor certidumbre en las priors (varianzas a priori peque-as) las densidades posterior estarn mas cerca de las priors. Por simplicidadcomputacional, en este trabajo se supone que es fija y conocida5.

La media posterior as obtenida y presentada en (12) tiene la misma formadel estimador de Theil o de Cresta (Ridge Regression) usado en modelos linealescuando los coeficientes son estimados con restricciones estocsticas, con lo cualse resuelve el problema de multi-colinealidad presente en los VAR no restringidos.Otra interpretacin posible, y a veces til, es el uso de informacin dummyexplicada como informacin adicionada al sistema de ecuaciones del VAR. Vase[1, seccin 10.2].

En la prctica, la media prior y la varianza prior V necesitan ser especi-ficadas. Si todos los parmetros son considerados concentrados (shrinking) haciacero, la media prior nula puede ser especificada. De acuerdo con Litterman [17],la varianza prior puede ser dada por

vij(l) ={

(/l)2 si i = j(i,i/lj,j)2 si i 6= j

(15)

donde vij(l) es la varianza prior del (i, j)simo elemento de l, resulta serla desviacin estndar prior de los elementos de la diagonal de la matriz deprimeros rezagos, 1 en (1); es una constante en el intervalo (0, 1), que controlala incertidumbre sobre los parmetros de primer rezago.

Para rezagos propios de orden mayor a uno, la incertidumbre disminuye auna velocidad dada por l . 2i,i es el elemento isimo de la diagonal de .Los trminos determinsticos tienen varianza prior difusa. En la prctica, sereemplaza 2i,i por el elemento isimo de la diagonal del estimador MximoVerosmil de en el modelo no restringido. El hiper-parmetro controla laconcentracin alrededor de cero de la distribucin del primer rezago de la variabledependiente6.

Por ejemplo, para un modelo BVAR(2) bivariado,

y1t = 0 + 11,1y1,t1 + 11,2y2,t1 + 21,1y1,t2 + 21,2y2,t2 + 1t (16)y2t = 0 + 12,1y1,t1 + 12,2y2,t1 + 22,1y1,t2 + 22,2y2,t2 + 2t (17)

5 Para estudiar otros casos se puede consultar [1, seccin 10.2]6 Es posible configurar valores de diferentes para cada ecuacin.

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con matriz de varianza - covarianza prior

V = V(, ) =

2 0(

21

)2 (12

)22 (

2)2

0(221

)2 (122

)2 (2)2

(18)

Los valores de cero para los interceptos de las ecuaciones se usan por generalizar,con el supuesto de incertidumbre total a priori sobre dichos valores. Note que si,por ejemplo, = 0, V se reduce a:

V = V(0, ) =

2 0

002 (

2)2

0 00 (

2)2

(19)

Puesto que (con 0 < 1) controla todas las varianzas de los parmetrosendgenos, es llamado parmetro de precisin total, mientras que es denominadocomo el parmetro de decaimiento (decay parameter). Note que la varianza delos coeficientes de una misma ecuacin de un rezago es menor a medida que elrezago es mas grande7. La figura 1 muestra esquemticamente los resultadosanteriores usando cuatro rezagos, e hiperparmetors arbitrarios = 0.6 y = 0.1.Valores distintos de estos ltimos generan grficas anlogas, con debidos cambiosen escala.

Para la estimacin bayesiana de sistemas integrados, la media prior es igualadaa uno para el primer rezago de cada variable en su propia ecuacin y todos los otroscoeficientes igualados a cero. Por ejemplo, para un modelo BVAR(2) bivariado,

7 Valores de muy grandes junto con 6= 0, generan estimaciones puntuales cercanasa las frecuentistas.

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Coeficientes variable dependientela

g1la

g2la

g3

2 1 0 1 2

lag4

Coeficientes otras variables

lag1

lag2

lag3

2 1 0 1 2

lag4

Figura 1. Estructura de las densidades prior de Litterman no cointegracin.

las prior seran,

y1t = 0 + 1y1,t1 + 0y2,t1 + 0y1,t2 + 0y2,t2 + 1t (20)y2t = 0 + 0y1,t1 + 1y2,t1 + 0y1,t2 + 0y2,t2 + 2t (21)

es decir

y1t = y1,t1 + 1t (22)y2t = y2,t1 + 2t (23)

esto es, cada variable es una caminata aleatoria, pero no necesariamente indepen-dientes pues Cov(1t, 2t) no se restringe a ser cero. Este supuesto es razonablepues las caminatas aleatorias usualmente generan pronsticos adecuados para

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series de tiempo macro-econmicas, sin embargo, esta condicin es consideradasolamente a priori, pues la densidad posterior depende de los datos. La figura 2muestra este esquema, usando los mismos cuatro rezagos y valores de hiperpar-metros que antes. Note que la nica diferencia es la ubicacin de la densidad priordel primer rezago de la primera variables, antes centrada en cero y ahora en uno.En esta especificacin tradicional no se imponen las restricciones de Johansen[12]8.

Coeficientes variable dependiente

lag1

lag2

lag3

2 1 0 1 2

lag4

Coeficientes otras variables

lag1

lag2

lag3

2 1 0 1 2

lag4

Figura 2. Estructura de las densidades prior de Litterman con cointegracin.

8 Una revisin de literatura de BVAR con restricciones de cointegracin est en [14].

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3.3. Pronsticos en modelos BVAR

Los pronsticos y los Impulsos-Respuesta (IR), se calculan de forma convencional ytiene la propiedad de ser consistentes si T . Pero en la prctica el investigadordebe trabajar con un T finito, adems, obtener intervalos de credibilidad enforma analtica es difcil, en consecuencia en la prctica se recurre a mtodos desimulacin.

El procedimiento bootstrap es utilizado para estimar errores estndar delpronstico [17,5]. Se generan B simulaciones y en cada una de estas se realizanlos siguientes pasos:

El procedimiento genera con reemplazamiento, una muestra de tamao iguala la cantidad de observaciones disponibles, T , y nmeros enteros aleatorioscon distribucin uniforme, It, donde t = 1, ...T . Una nueva observacin, yt, es obtenida como la suma de los pronsticos

basados en los coeficientes estimados, ms el vector de residuos de la muestra,It; esto es,

yt =pj=1

jytj + It (24)

los valores iniciales yp+1, , y1, y0 son retenidos como fijos. Un nuevo modelo BVAR es estimado usando las pseudo-observaciones, asobtenidas, recurrentemente se obtiene un valor de prediccin usando lasobservaciones mas recientes:

yT+l|T = +pj=1

jyT+lj . (25)

La medida de Error Cuadrado Medio del Pronstico, ECMP, l-pasos adelantees

ECMP (l) = 1B

Bi=1

(yiT+l|T yT )2 (26)

donde yT = (1/B)Bi=1

yiT .

3.4. Medidas de evaluacin de pronstico

La experiencia en la aplicacin y uso de modelos BVAR ha mostrado que lamejor eleccin de los hiper-parmetros ( y V) se obtiene de la evaluacin depronsticos fuera de muestra; al respecto vase [23]; esa es la alternativa seguidaen este trabajo9. Con esa idea como objetivo, la estrategia de evaluacin sigue loslineamientos del conocido Rolling de ventanas crecientes (expanding windows), elcual es un procedimiento en el que se generan pronsticos secuencialmente.9 Una alternativa es usar mtodos bayesianos jerrquicos, los cuales emplean densidadesprior sobre los hiperparmetros, vase [1].

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El primer perodo de datos para la estimacin se extiende desde el primertrimestre de 1984 hasta el ltimo trimestre de 1999, as ningn modelo es estimadocon menos de 60 observaciones. Los coeficientes estimados en cada modelo VARy BVAR son usados para generar pronsticos fuera de la muestra para horizontesh = 1, 2, . . . , 12 trimestres adelante, es decir, para 2000-I en adelante. Hechoesto, la muestra es ampliada con las observaciones del siguiente perodo, primertrimestre de 2000, cada modelo es re-estimado y esos coeficientes re-estimadosson empleados para producir el pronstico del perodo que inicia en 2000-II. Esteprocedimiento es continuado hasta el final del ciclo del que se dispone sobreobservaciones, en este caso hasta incluir las observaciones de 2009-IV y solo elpronstico de un paso adelante es considerado.

Las predicciones del IPC y PIB son registradas y transformadas a variacionesao a ao, i.e. inflacin anual y crecimiento anual del PIB; las prediciones dela tasa de inters no son transformadas. Finalmente, las predicciones de lasvariables en escalas originales son comparadas con los valores observados endiferentes trimestres hacia adelante y los errores de prediccin son calculados yalmacenados.

Cinco estadsticas se usan para medir la capacidad de pronstico individualfuera de muestra, el Error Medio de Pronstico (EMP), el Error AbsolutoPorcentual Medio de Pronstico (EAPMP), la Raz del Error Cuadrtico Mediode Pronstico (RECMP), la Raz del Error Cuadrtico Porcentual Medio dePronstico(RECPMP) y la estadstica U de Theil. Sus frmulas aparecen acontinuacin:

EMP (h) = (p h+ 1)1plr=0

(ZTp+r+h ZTp+r+h

)(27)

EAPMP (h) = (p h+ 1)1phr=0

ZTp+r+h ZTp+r+h|ZTp+r+h| 100 (28)

RECMP (h) =

(p h+ 1)1 phr=0

(ZTp+r+h ZTp+r+h

)2(29)

RECPMP (h) =

(p h+ 1)1 phr=0

(ZTp+r+h ZTp+r+h

ZTp+r+h 100

)2(30)

U Theil(h) =phr=0

(ZTp+r+h ZTp+r+h

)2phr=0 (ZTp+r+h ZTp+r)2

(31)

donde h = 1, 2, 3, . . ., denota el horizonte de tiempo (nmero de trimestres) sobreel cual se realiza el pronstico, T es el tamao de la serie efectiva usada parrealizar la prediccin, p indica el nmero de observaciones que son excluidas alfinal de la serie para hacer comparaciones fuera de muestra, r = 1, . . . , p indicael aumento de tamao de la sub-muestra usada para la evaluacin.

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Note que la U Theil compara cada modelo a cada horizonte contra elpronstico obtenido de un modelo de Caminata Aleatoria Univariada.

Adicionalmente, se calcula la estadstica de Diebold y Mariano [3], DM enadelante bajo este enfoque, se parte de la hiptesis nula en la cual el nuevomodelo no genera mejores pronsticos que el existente o de referencia, contrala alternativa que el modelo en consideracin mejora al modelo de referencia(benchmark). Interesa por tanto rechazar la hiptesis nula.

H0 = DMi 0 (32)

Ha = DMi < 0 (33)

para i = 1 y 2, usando

DM1 = (O PN)2 (O PR)2 (34)

DM2 = |O PN | |O PR| (35)donde O : Dato observado, PR : Pronstico modelo referencia, PN : Pronsticomodelo nuevo, obs : nmero de observaciones usadas para pronosticar.

Bajo la hiptesis nula, tanto DM1 como DM2 se distribuyen cada una comouna normal estndar. As, lo deseable es obtener valores para estas estadsticasmenores que cero (0) con p-valores pequeos.

Adicionalmente, se usa la correccin propuesta por Harvey et al (1997), la cualpresenta una aproximacin ms potente cuando se aplica en muestras pequeas,tiene en cuenta la posible correlacin serial de los errores de pronstico, y empleaaproximacin a la densidad t-student, en lugar de la Normal.

4. Metodologa

En esta seccin se presenta primero una breve descripcin de la base de datos yla metodologa empleada, y luego se resumen los principales resultados de losejercicios realizados.

La base de datos tiene periodicidad trimestral desde 1984-I hasta 2010-IV.Contiene el Producto Interno Bruto a precios de 1994, PIB; el ndice de Precios alConsumidor, IPC, calculado como promedio geomtrico de los datos mensuales,este ltimo estacionalmente ajustado y con base 1994; la Tasa de Inters dedepsitos a trmino fijo 90 das, (calculada por el Banco de la Repblica); laBase monetaria, en este caso el dato de cada trimestre corresponde al promedioaritmtico de los datos mensuales (fin de perodo) fuente base de datos semanaldel Banco de la Repblica; el ndice de la tasa de cambio real efectiva es calculadocon el IPP de ocho pases socios comerciales de Colombia y tiene fuente SGEEdel Banco de la Repblica, el cual se refiere al promedio que incluye 8 paisessocios comerciales y los respectivos ndices de precios del productor.

Todas las variables, excepto las tasa de inters, estn expresadas en logaritmos,se desestacionalizan con el procedimiento TRAMO-SEATS (vase [7]). Ningn

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de los modelos considerados incluye variables dicotmicas ni estacionales, ni deotra clase, tampoco tendencias deterministas.

Se estiman diferentes modelos VAR. En cuanto al ordenamiento de las series,se siguen los lineamientos de Eichenbaum y Evans [6], as como Christiano,Eichenbaum y Evans [2]. Los modelos VAR se estiman con las siguientes variables:IPC, PIB, BASE, Tasa de Inters de los CDT 90 das y la Tasa de CambioNominal, con ese ordenamiento de la variable mas endgena a la mas exgena,ordenamiento que segn resultados de Eichenbaum y Evans [6] evita el acertijode los precios (price puzzle). Es decir, puede evitar el resultado de otros modelosVAR, donde los precios se incrementaran significativamente luego de un alza enla tasa de inters.

Las alternativas de especificacin son las siguientes: para la primera, se usantodas las series diferenciadas, en la segunda en niveles y sin considerar restriccionesde cointegracin (rango de cointegracin r = 0) y la tercera y ltima, series enniveles y considerando como restriccin una relacin de cointegracin (r = 1).

5. Resultados principales

Para la eleccin de los hiper-parmetros y , se evalua cul combinacin devalores de estas constantes produce mejores pronsticos de la inflacin anual,segn estadstica de RECMP y usando el perodo 2000-2006. Luego de realizaruna bsqueda de malla medianamente exhaustiva, segn longitud de rezago ehiper-parmetros, los resultados de bondad del pronstico son alentadores. Losvalores de y , encontrados para cada modelo, son los que se muestran en elcuadro 1; los resultados que siguen utilizan estas especificaciones:

Especificacin Rango Co-integr. rezago RECMPDiferencias 0 3 0.01 0.01 2.043Niveles 0 1 0.01 0.01 0.762Niveles 1 4 0.90 0.90 2.518

Fuente: Clculos del autor

Cuadro 1. Especificacin e hiperparmetros para los diferentes BVAR.

Se ha escogido iniciar el perodo de pronstico fuera de la muestra tipo rollingen 2000-I, para disponer de suficientes datos que consideren el cambio de rgimenposterior a la recesin de 1998-1999. Sin embargo, ejercicios con submuestras deeste perodo muestran resultados similares a los reportados, y estn disponiblesdel autor a solicitud del interesado.

Al considerar los resultados de bondad del pronstico de los modelos BVAR(no presentados por brevedad) es claro que, de no seleccionar adecuadamentelos valores de los hiperparmetros, se puede estar sujeto a errores de pronstico

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bastante grandes, generando incluso pronsticos ms imprecisos que los obtenidosal usar modelos VAR equivalentes. Pero por otro lado, la adecuada seleccin dedichas constantes es de gran ayuda, como se describe ms adelante.

El cuadro 2 presenta los resultados de evaluacin de la bondad de los pro-nsticos de la inflacin anual para el perodo 2005-I hasta 2010-IV. En adelantey por brevedad, solo se presentan las medidas de bondad de pronstico parahorizontes 1, 2, 4, 6 y 8 trimestres en adelante, as como el promedio de 1 a 12trimestres10. Como es usual, en general, las estadstica RECMP y U Theil lomuestran, el desempeo se deteriora a medida que el horizonte de pronsticoincrementa11. De all es claro que el BVAR se hubiera desempeado mejor quela caminata aleatoria univariada (note los valores de las estadsticas U-Theil) eincluso que el VAR frecuentista.

La figura 3 ilustra los pronsticos tipo rolling de la inflacin. En la mismadireccin el cuadro 3 muestra los resultados de las estadsticas de DM parainflacin, evaluadas para el mismo perodo y usando como modelo de referenciauna caminata aleatoria univariada. Note que en ningn caso, empleando losniveles de significacin convencionales, se logra rechazar la hiptesis nula deigualdad de bondad de pronsticos de cada modelo VAR y BVAR y el de lacaminata aleatoria.

El resultado a corto plazo, 1-2 trimestres en adelante, muestra niveles adecua-dos, pero el pronstico de mediano plazo, 6 a 8 trimestres, presenta demasiadaincertidumbre.

Actualmente las autoridades econmicas, las organizaciones internacionales yotras agencias locales acostumbran considerar los pronsticos puntuales acom-paados con un indicador de incertidumbre, lo cual diferencia los modelos deotros mtodos. Para ilustracin, se presenta el resultado de los pronsticos entiempo real, ex-ante, es decir, despus del final de la muestra (2010-IV). Lafigura 4 presenta los pronsticos de inflacin anual fuera de muestra desde 2011-Ihasta 2012-IV con sus respectivos intervalos de pronstico empleando para elloel modelo BVAR antes seleccionado, por ser ste el que mejores pronsticos deinflacin genera. El modelo predice que la inflacin anual colombiana descender,con pequeos repuntes, hasta alcanzar niveles de 1.3% (promedio trimestral) alfinal del 2012. El resultado de intervalo del pronstico es importante cuando elbanco central trabaja bajo el esquema de inflacin objetivo, como lo hace el Bancode la Repblica desde el ao 2000, estos mustran aumento de la incertidumbrepara finales del ao 2011.

6. Comentarios finales

En este trabajo se estimaron modelos VAR con aplicacin de las tcnicas baye-sianas. El pronstico fuera de muestra de un modelo de Vectores Autorregresivoscon tcnicas bayesianas (BVAR), el cual contiene Precios al Consumidor, PIB, la10 No obstante, los resultados completos estn disponibles para quien los requiera.11 Es de resaltar que un modelo con estadstico UTheil mayor a uno, no necesariamente

significa un pronstico inadecuado.

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Modelo EM EAMP EAPMP RECPM RECPMP U-Theill-promedio (1, ..., 12)

BVAR (N, r=0) 0.607 1.197 27.804 1.584 35.401 0.727NAIVE -0.839 1.791 56.273 2.201 85.793 1VAR (D) -0.846 1.814 55.485 2.286 86.017 1.005BVAR (D) -0.638 1.987 59.096 2.43 87.317 1.128BVAR (N, r=1) -1.653 2.289 69.239 2.793 101.98 1.213VAR (N, r=1) -3.805 3.994 112.162 4.68 140.371 1.982VAR (N, r=0) -5.508 5.535 153.888 5.831 184.389 2.481

l=1, NOBS =24BVAR (N, r=0) 0.143 0.442 10.614 0.555 12.736 0.734VAR (D) -0.076 0.461 10.566 0.563 12.827 0.745BVAR (N, r=1) -0.105 0.465 10.422 0.565 12.902 0.748VAR (N, r=1) -0.295 0.552 13.194 0.663 15.808 0.877NAIVE -0.129 0.55 12.916 0.756 18.655 1VAR (N, r=0) -0.516 0.677 16.533 0.816 20.02 1.08BVAR (D) 1.132 1.132 24.548 1.27 25.961 1.681

l=2 NOBS =23BVAR (N, r=0) 0.306 0.739 17.23 0.986 22.117 0.757VAR (D) -0.156 0.771 17.867 1.019 24.344 0.783BVAR (N, r=1) -0.303 0.814 19.014 1.071 25.682 0.823NAIVE -0.278 0.979 25.438 1.302 37.595 1BVAR (D) 1.05 1.148 24.909 1.357 27.796 1.042VAR (N, r=1) -0.814 1.145 28.783 1.381 35.924 1.061VAR (N, r=0) -1.372 1.492 39.188 1.803 49.867 1.385

l=4 NOBS =21BVAR (N, r=0) 0.66 1.327 31.358 1.732 40.174 0.824BVAR (D) 0.722 1.434 32.73 1.913 47.099 0.91VAR (D) -0.513 1.531 42.081 2.082 69.935 0.991NAIVE -0.616 1.55 48.55 2.102 81.963 1BVAR (N, r=1) -1.108 1.799 48.802 2.317 76.505 1.102VAR (N, r=1) -2.536 2.86 81.753 3.396 107.295 1.615VAR (N, r=0) -4.086 4.086 116.364 4.579 149.727 2.178

l=6 NOBS =19BVAR (N, r=0) 0.687 1.35 31.805 1.774 41.075 0.701NAIVE -0.953 2.008 68.502 2.53 112.835 1BVAR (D) -0.987 2.001 66.534 2.655 115.191 1.049VAR (D) -0.84 2.021 66.293 2.656 113.626 1.05BVAR (N, r=1) -1.684 2.313 76.358 3.022 127.449 1.194VAR (N, r=1) -3.983 4.07 121.224 5.026 162.545 1.986VAR (N, r=0) -6.01 6.01 168.275 6.315 202.143 2.496

l=8 NOBS =17BVAR (N, r=0) 0.705 1.347 31.365 1.801 40.522 0.643NAIVE -1.199 2.369 76.695 2.803 114.929 1VAR (D) -1.2 2.473 81.387 3 126.255 1.07BVAR (D) -1.441 2.532 83.983 3.035 129.244 1.083BVAR (N, r=1) -2.099 2.977 97.285 3.459 144.698 1.234VAR (N, r=1) -5.311 5.377 153.415 6.351 191.194 2.265VAR (N, r=0) -7.346 7.346 201.536 7.54 234.56 2.69Fuente: Clculos del autor

Cuadro 2. Estadsticas de Bondad de Pronstico, Inflacin 2005-I a 2010-IV.

tasa de inters y la base monetaria de la economa colombiana. Se compara elpronstico de la inflacin con el de una caminata aleatoria univariada, y contralos modelos VAR convencional de la misma especificacin. Los resultados de losmodelos BVAR en varias de las configuraciones mejoran en bondad estadsticade pronstico a sus rivales, al menos, en lo que refiere a la inflacin.

De los pronstico BVAR el que no restringe el pronstico para que cumplarelaciones de cointegracin, usa 6 rezagos (BVAR-5) y genera mejores pronsticos

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Modelo DM1 P-Valor(DM1) DM2 P-Valor(DM2)Promedio l = 1, ..., 12

BVAR (N, r=0) 1.93 0.97 1.2 0.89NAIVE 2.62 1 2.92 1VAR (D) 3.67 1 2.93 1BVAR (D) 4.18 1 3.57 1BVAR (N, r=1) 3.82 1 3.51 1VAR (N, r=1) 7.89 1 7.42 1VAR (N, r=0) 8.59 1 8.42 1

l=1, NOBS =41BVAR (N, r=0) 2.19 0.99 2.46 0.99VAR (D) 3.5 1 3.53 1BVAR (N, r=1) 3.28 1 3.62 1VAR (N, r=1) 5.26 1 5.54 1NAIVE 4.2 1 6.49 1VAR (N, r=0) 4.78 1 5.29 1BVAR (D) 6.39 1 6.54 1

l=2 NOBS =40BVAR (N, r=0) 3.07 1 2.52 0.99VAR (D) 2.46 0.99 1.95 0.97BVAR (N, r=1) 3.74 1 3.28 1NAIVE 2.43 0.99 2.63 1BVAR (D) 6.17 1 6.2 1VAR (N, r=1) 4.41 1 5.08 1VAR (N, r=0) 5.57 1 5.44 1Harvey et al [11]. Fuente: Clculos del autor

Cuadro 3. Estadsticas de Diebold-Mariano modificada. Inflacin 2000-I a 2008-II.

Figura 3. Pronsticos rolling de inflacin.

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Figura 4. Inflacin: Pronstico fuera de muestra hasta 2012-IV con intervalos decredibilidad.

de la inflacin para el perodo considerado, el trmino de RECPM. Reduciendoeste indicador desde el 32.0% respecto al VAR, cuando se pronostica un trimestreadelante, y hasta del 76.1% cuando la prediccin se hace a ocho trimestres.

Este trabajo, entonces, muestra alguna evidencia emprica relacionada con eldesempeo de las posibles especificaciones VAR bayesianas para pronosticar lainflacin. En consideracin a que los modelos VAR estn siendo cada vez masusados para generar pronsticos, se espera que tcnicas como la usada en esteartculo ganen relevancia entre los usuarios tanto del sector acadmico comoprivado e institucional.

En resumen, los hallazgos aqu presentados sugieren que los BVAR que noincorporan restricciones de cointegracin proporcionan una alternativa prome-tedora y prctica para producir pronsticos ms adecuados para la inflacin enColombia. Este resultado puede servir para complementar un modelo estructuraly ayudar a mejorar la bondad del pronstico, aportando una visin alternativa alos pronsticos existentes.

No est de ms advertir que ste no pretende ser un trabajo que utilicetodos los resultados tericos disponibles hoy en da ni mucho menos proponermetodologas inditas, por el contrario, es apenas un trabajo modesto inicial que,si al caso pretende algo, es ser una referencia para futuros trabajos que usandodatos de la economa colombiana apliquen tcnicas ms novedosas ya disponiblesen la literatura internacional. En ese orden de ideas, se listan abajo algunas de

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las posibilidades para la agenda de investigacin tanto para estadsticos comopara econometristas y economistas.

Como trabajo de investigacin futura, valdra la pena ensayar este ejerciciousando datos mensuales, o ms an frecuencias mezcladas (datos trimestralescon cifras preliminares mensuales) como en [21]. Tambin, se puede pensar enmodelos BVAR con otras priors, por ejemplo no conjugadas, lo cual conducea la necesidad de usar mtodos computacionales como los MCMC, as comoalternativas de BVAR, considerando estacionalidad explcitamente y en formadinmica como en [20] [19]. En un contexto un poco diferente, sera interesanteintentar ajustar y usar modelos BVAR con parmetros cambiantes en el tiempo,como [1] sugiere o como lo hacen en [21] para considerar los cambios inducidospor la estrategia de inflacin objetivo. Queda pendiente evaluar el efecto que hade tener el excluir coeficientes de rezagos no significativos en cada ecuacin dela representacin VAR, es decir, estimar con restricciones de igualdad a cero dealgunos coeficientes. En otra lnea de investigacin queda evaluar los pronsticoscondicionales como en [23].

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Inflacin colombiana pronosticada con un VAR bayesiano

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