Klins, Bouchard y Cable (7) encontraron que la sumatoria de la ecuacion (1.140) se podia hacer can solo dos valores de an (al Y a2) sin cometer errores mayores del 0.0007% y que los valores de al Y a2 se podian obtener can las siguientes expresiones:

(1.150)

donde los valores de los bi dependiendo del a se dan en la tabla 4 y csch(ro) es la cosecante hiperbolica de ro y esta dada par

2 csch(ro)= - (1 .151)

e rn _ e - rfl

Ademas, observando la ecuacion (1.140) se puede ver 10 siguiente: cuando to se hace muy grande,

r2 -1 la sumatoria de la ecuacion se hace muy pequena (tiende a cera) y WeO(tO) se hace igual a ~

2 a sea una constante .

Tabla 4-. Constantes para la Ecuaci6n (1.150) (7)

bo b1 b2 b3 b4 bs

Q1

-0.0022211 -0.627638 6.277915 -2.734405 1.2708 -1.100417

Q 2 -0 .0079661 1.85408 18.71169 -2.857326 4.829162 -1 .009021

Llevando este valor de Weo(to) a la ecuacion (1.133) se tiene:

l (r2 r2) W =2nhA.Cr 2*- e - 0 *~p=1t(r2 -r 2 )*h*"'*C*~P (1 .152) e 'f' 0 2 2 e O 'l' . ro

que seria la intrusion que entraria al yacimiento cuando ~P se sintiera instantaneamente en todo el yacimiento ; es la maxima cantidad de agua que puede entrar al yacimiento.

Se ha encontrado que el valor de to al cual se puede considerar que WeO(to) = esta dado 2

:l par to = 0.5 r eD .

Para saber si se aplican las formas de la ecuacion (1.136) a de la ecuacion (1.137) se debe saber si el acuifer-o se comporta como infinito a como finito; para ella se tiene la siguiente expresion que me permite saber el tiempo al cual el acuifero empieza a comportarse como finito porque ya la caida de presion ha lIegado al limite exterior del acuifero:

( , =-l.767-0.606*rlJ +O . 12368*r/~2 5 +3.02*(ln(rIJ )) o5 (1 .153)

Acuiferos Lineales (8)

Cuando el acuifero es lineal tambiEln se pueden obtener expresiones para WeD en el caso de presion constante en el contacto yacimiento - acuifero ( soluciones de presion terminal constante)

71

de una manera similar a como se obtuvieron para el caso radial En este caso, VEH partiendo de la forma de la ecuacion de Darcy para flujo lineal definen la tasa adimensional como:

ef.1L (1.154)

en = kA!)'P

y adem as para el caso lineal el tiempo adimension~1 to se define como

kl t il = -¢f.1 - (1155)CL2

donde L es la longitud del acuifero. Si se toman integrales despues de obtener de (1.155) una

dl expresion para . se tiene:

dt /)

~ r r dlkA!)'P .b ell' dl = .b ew /) (t /) ) * - - * dldl

/) /)

f.1L ~IICL2--*W = 'f',.... *WkA!)'P K ,,/) (I /» )C

We =~CLAl\P * Wo(to)

y cuando se usan unidades practicas, We en barriles; l\P en Lpc.; C en Lpc·1; A en Pies2 y L en

Pies:

¢CLA *M *We J) (l I) ) (1 .156) W(" =5 .615

Para expresar la ecuacion (1156) en la forma de la ecuacion (1 121) se hace

¢CLA e = (1.157)w, 5.615

Y(I, p) = M * W eI) (I I) ) (1.158)

La ecuacion (1 .156) no es general porque supone una presion constante en el contacto Acuifero­Yacimiento y por tanto la expresion para Y(t, P) se debe obtener usando el principio de superposicion. Por otra parte , aunque las ecuaciones (1.158) y (1 .135) son similares las expresiones para WeO son diferentes porque en la primera es para acuiferos lineales y en la segunda para acuiferos radiales. La expresion para WeO en la ecuacion (1.158) depende de si el acuifero es finito 0 infinito. VEH plantean las siguientes soluciones para acuiferos infinitos y finitos cerrados:

Para acuiferos infinitos

72

(1 .159)

y cuando se tienen acuiferos finitos cerrados

( 1.160)

n =1, 3, 5 . . .. • ... .. . . .. .... 00

Observando la ecuacion(1 .160) se puede ver que cuando (to) --) 00 WeD tiende a 1, 0 sea que se hace constante y Ilevando este valor para WeO(tO) a la ecuacion (1 .158) se tiene

W e =~CALt.P (1 .161)

que es el maximo volumen de agua que puede entrar al yacimiento , 0 sea cuando esta involucrado todo el acuifero . .

• Otras Soluciones para el Comportamiento de Acuiferos (8).

Ademas de las soluciones presentadas en las ecuaciones (1 .136) - (1140) Y (1 .159)-(1 .160) Van Everdingen and Hurst presentan otras soluciones dependiendo del tamario del acuifero y de las condiciones de frontera que se impongan .

Acuiferos Radiales:

• Acuifero Infinito y Tasa de Intrusion Constante en el Contacto Yacimiento - Acuifero Solucion Exacta de Van Everdingen y Hurst.

P( R, , t) = P, - 141.2e~ *L1P( to) Kh

Si to < 0.01

Sito> 100

I L1P( t[ ) ) = - (In t [) + 0.80907)

2

=0.5 In (to) + 0.40454

(1.162)

(1 .163)

(1 .164 )

(1 .165)

73

Solucion de la Integral Exponencial

(e)j.1 * ~ I/) = P, - 141.2~ t:.P(rf) , l /) ) (1 .166)

. 1 t1P(rIJ , l f) )= - E,(-X) (1 .167)

2

donde Ei( -x) se conce como la funci6n integral exponencial y esta dada por

00 -x

E,(-X)= r -dx x

x

• Acuifero Finito Cerrado con Tasa Constante en el Contacto Yacimiento - Acuifero

Solucion de Van Everdigen - Hurst.

141.2(e)~_ j.1 * t:.P(rf) ,l IJ ( 1.168) P(r,!) = P, - kh

t1P(r}) , / J) ) = -, 2~ -- [ 1 + / I) ] _ 3(r,.}) ) ~ _ - 4k.~) )4 1n(ref) ~ - 2(r"f) r -1 ' ei) - 1 4 4r(r )2 _ ]2 ~ eJ) 1

"" e-fJ';'n J I2 ({J"r }» ) . .

(1 .169) + 2L {J-i [J 2 ({J r;~ )- ~ J 2 ((J,,)]

11 =1 IJ I n I

donde ~nson las raices de la ecuaci6n J1Wn reO)Y1Wn) - J1Wn)Y1Wnreo) =0

• Tasa de intrusion Constante en el Contacto Yacimiento- Acuifero y Presion Constante en el Limite Externo del Acuifero.

En este caso la soluci6n es del tipo tasa terminal constante 0 sea:

P - 14 I.2 *()ell, *j.1 * /1P(t }) )P( R, ,t) = I --k:-:-h-~ (1170)

donde ~p(O) se puede calcular por una ecuaci6n tan compleja como la que se muestra en la ecuaci6n (1 .163).

La variable to que aparece en las ecuaciones (1 .162) a (1170) esta definida par la ecuaci6n (1 .132).

Acuiferos Lineales

• Rata de Intrusion Constante en el Contacto Yacimiento - Acuifero. Acuifero infinito.

74

!Y.P = 887 .58eflL *2 (1.171)kA

• Tasa de Intrusion Constante en el Contacto Acuifero - Yacimiento. Acuifero Cerrado .

887.58epL (( 1 ) 2 ICf) 1 -II'![\, ) P _!Y. - t + - - -e (1172)/) 3 2 1kA J[ 11 =1 n ­

• Tasa de Intrusion Constante en el Contacto Acuifero - Yacimiento y Presion Constante en el Limite Exterior.

(1.173)

n =1, 3, 5, 7 ..... ......... .. . .. 00

• Presion Constante en el Contacto Acuifero - Yacimiento, 10 mismo que en el Limite Exterior.

W, ~ ¢AC ' IV" L[U+ I" ) - t\ e-;::'i: ] (1 174)

n =1,2, 3,4 . . .. 00

La variable to que aparece en las ecuaciones (1 .171) - (1 .174) esta definida por la ecuacion (1 .155)

Principio de Superposicion Aplicado al Comportamiento de Acuiferos(8)

Las ecuaciones planteadas hasta ahora en el modelo general para analizar el comportamiento de acuiferos , tanto las soluciones de tasa terminal constante como de presion terminal constante, suponen que durante todo el tiempo de estudio la tasa de intrusion al yacimiento 0 la presion en el contacto agua - petroleo se mantienen constantes; esto dificilmente se consigue y mas bien se tiene una historia del comportamiento de la tasa de intrusion 0 de la presion con el tiempo , a partir de esta historia es posible seleccionar periodos de tiempo donde la intrusion 0 la presion se pueden considerar constantes.

Como basicamente interesan las soluciones de presion terminal constante para acuiferos lineales y radiales tanto infinitos como finitos , en este ultimo caso acuifero cerrado, se trabajara con estas soluciones para los dos tipos de acuiferos .

Cuando son acuiferos lineales la solucion es de la forma :

w = ¢A LeM *W (t ) (1156) <: 5.615 (./) /)

75

y cuando son son radiales la solucion es de la forma

W =1 119 h.!.C r 2 * f(8) * ~P * W (t) (1 .133) e · ~ N eO 0

donde la expresion para WeO(tO) depende del tipo de acuifero y del valor de to

Arnbas ecuaciones se pueden escribir en forma general como:

W" = ewe *Y(l , p)

donde ewe esta dado por la ecuaci6n (1 .134) para un acuifero radial y por la ecuacion (1 .157) para un acuifero lineal , y Y(t,p) esta dado por la ecuacion (1 .135) para un acuifero radial y la ecuacion (1 .158) para uno lineal.

EI principio de superposicion se aplica de la misma manera que en el caso de yacimientos de petroleo, como se vera en el capitulo 3, y quedaria entonces

11

W(' -- ewe *"~ I'1P./ *We/) (I /) -I ,- I.n ) (1 .175) ./=1

a sea que de acuerdo can la ecuacion (1 .175) el valor de Y(t ,P) para la ecuacion general de comportamiento de acuifero , tanto radial como lineal es

11

Y(/ , p) = I/)'p, *WeIJ (t f) - ' ,-I ,IJ) (1.176) ./ =1

donde WeD para acuiferos radiales esta dado por las ecuaciones (1 .136) - (1 .137) Y para los acu iferos lineales por las ecuaciones (1 .159) - (1 .160).

En la ecuacion (1 .175) ~Pj es la caida de presion en cada intervalo de tiem po en el que se puede considerar constante y existen diferentes propuestas para calcularlo. Por ejemplo:

Supongamos que la curva de comportamiento de P vs t es la que se muestra en la figura 12. una forma de calcular el ~P es haciendo el promedio entre la caida de presion anterior y la actual ; en el caso de ~P1 seria la mitad de la caida de presion entre P, y Pl , este procedimiento 10 proponen VEH .

Los ~Pi se calcularian entonces asi ;

1/)'PI = "2(Pj - PI)

I I 1 /)'P2 ="2 (P; -PI )+"2(PI - P2)="2(P, -P2)

1 1 I /), PJ ="2 (PI - P2 ) +"2 (p2 - P1) ="2 (PI - PJ )

76

(1 .177)

p. 1

~

p

~ ' '''~ ~ ~

f\.

Figura 12-. Comportamiento de la Presion en un Yacimiento con el Tiempo.

Otra forma de calcular los L'lPj es suponiendo que ~Pj = P j- I - P i .

- p )+ P 1 - ( ) ;;P_I = J- - J- P = P + P * I 2 J )- 1 J 2

o sea que de acuerdo con el anterior diagrama del comportamiento de la presion con el tiempose tend ria

pI - P

I~P = P - P, - PI I I 2 2

~P, = PI + P2 _ P2 + P1 = PI - P1

, 2 2 2

77

-----~Pn P" -, + Pn- I P,,-I + P" P 1 - P"n =

2 2 2

donde se ha obtenido la misma ecuacion (1 .177).

Finalmente la tabla 5 muestra las ecuaciones a usar para calcular los valores de ewe y Y(t,P) de la ecuacion (1 .121) para los modelos "Pot" , continuo y general.

Tabla 5-. Ecuaciones para Calcular los valores de ewe y Y(t,P) de la ecuaci6n (1.116) de acuerdo con el Modelo de comportamiento del Acuifero.

Modelo Ecuacion para ewe

Ecuacion para Y(t,P) I

"Pot" (1.122) (1 .123) Continuo (1 .129) (1 .128) ,

General (1 .134), Radial (1 .157), Lineal

(1 .176) I

I

1.7.1.4-. Metodo de Fetkovich (1)

Es un metodo que a diferencia del metodo de Van Everdingen - Hurst, no requiere aplicar el principio de superposicion aunque requiere conocer re , <1> , y, si el acuifero es finito , A y CA.

Fetkovitch plantea que la intrusion de agua se puede plantear como

e = qw = J * (p ) = dW0 (1178)- a-P _

dt

donde Pa es la presion promedia del acuifero, P es la presion en el contacto agua - petroleo (CAP)

y J es una especie de indice de productividad del acuifero. Para eliminar el valor de p" en la ecuacion (1 .178) se aplica al balance de materiales as!:

We=C*Wj*(P j - Pal (1 .179)

de donde se puede despejar Pa Y luego tomar derivadas con respeto al tiempo:

-) We (Pi - Pa = CW

i

- W ( W ) p" = Pi - C~ = Pi 1 - ewe P (1 .180)

I I I

78

( 1.180a) p = P ( I- ~)a 1

Wi.

donde W ei es la intrusion maxima que puede ocurrir cuando la presion es el CAP caiga a cera .

Oerivando la expresion anterior con respecto al tiempo se tiene:

_ dPu =~ * dWc

dl WI<' dl

y IIevando esta expresion a la ecuacion (1.178) se tiene:

y separando variables:

_ dP) dt = J P / W (P. _p) 1 e l

dP. _ J P / W *d( P a _ p) - - 1 ci t

y para evaluar la constante integracion se recuerda que cuando t = 0 P a = Pi , 0 sea que

C=Ln(~ -p)

y por tanto la expresion anterior queda como

-.11', I

~ (/5" - p)= (~ - p)e II"

y IIevando esta expresi6n al ecuaci6n (1 .178) se tiene :

(1 .181)

79

= J(p - p)* 1e-JP,I /W<, *dt,

W e, ]1 = - J(P p)*_ei *e-JP;I/Wi ­ JP

I 0

Cw =W [l _e-JJ~liw,., ]*(~ -p) (1 .182) ,

l' ~

Cuando t -; 00 =:) W ..... _ W

C_' *(p - p)e p ,

I

C*P *W ~ . (p, - p) = C *W, *(Pi - P) que s8ria la maxima intrusion de agua al yacimiento

,

para la caida de presion (Pi - P) , 0 sea la intrusion de agua que se presentara cuando la perturbacion alcance a Ilegar al limite externo del acuifero De aqui en adelante We sera una constante 10 cual esta de acuerdo con el comportamiento de qo(tD) visto antes, cuando alcanzaba el

r2 - 1 valor de ell y hacia una con stante.

2

La ecuacion (1 .182) supone que la presion P en el CAP se mantiene constante y esto es solo aplicable en pozos nuevos y cuando t nos muy grande; cuando P varie con t hay que recurrir al principio de superposicion, pero Fetkovitch plantea que el problema se puede maneJar asi:

Durante el primero intervalo de tiempo donde P se mantuvo constante:

(1 .183 ) f>W" = ~:' ( l-/~l(p, -p,)

y la presion promedia al terminar este periodo de tiempo se calcula de la ecuacion (1.180a)

I - _ CIPal = P (I b.W) W

CI

para el segundo periodo de tiempo, !'J.We2 se calcula de

W ( _ J'~<' IJ f...We}= Pie, l-e P, *(P~I-P 2 )

y al final izar este periodo, Pa2 se obtiene de

80

I~W . 2 ]P ? = P 1 _ 1=1 eJ

J_ I C * W [ CI

En general , en el periodo n la intrusion de agua es:

J'Wn

" _J

_ W

oi * -

P; * _

(1 .184 ) ~Wen -~ ( I-e (Pan-I - Pn)

y la presion al finalizar el periodo n es: n

I~Wcj 1- --=-j =....:,.I_ ­Pan = Pi *

WeI

Los valores Pn, presion promedia en el CAP durante el intervalo de tiempo n, se calcula de la misma forma propuesta pro Van Everdigen - Hurst para aplicar el principio de superposicion 0 sea

PJ = ( PI- I pJ *~ . EI indice productividad del acuifero se puede obtener de las ecuaciones de flujo deducidas a partir de la ecuacion de difusividad, dependiendo de si el acuifero es lineal 0 radial

Asi para acuiferos radiales, utilizando la presion promedia

p-p =~In[~ -~]w/ . 27rkh rw 4

que para el caso de acuiferos seria:

p -p = qJlB * In[re- ~l (1 .185) (/ (AI' 7.08*10-.1kh ro 4

y despejando q y considerando Bw =1

q= 7.08*10 -1 * (P a-Pc·I1I' )*kh

(1 .186)

Jln1 [re - . - 3]. ro 4

y comparando la ecuacion (1 .186) con la (1 .178) se encuentra que

81

./ == 7.08 * 10-1 * kh (1 .187)

,u Inl ro 4

La ecuacion (1 .187) es para cuando se tiene flujo radial seudoestable.

Cuando se tiene flujo estable se considera que en el extremo del acuffero esta entrando agua a una tasa igual a la que esta saliendo y por tanto la presion Pi se mantendra constante . En este caso , la ecuacion de flujo es:

(p, - P(AI' ) == q,uB * [In r) rJ 7.08*10-.1 kh

7.08 *10-1 kh(p, - P(IlI' ) q - (1 .188)

- ,u In[r) rJ

Recordando que

dWq w == _ _e == J(p _P)*e- JP,I /W" dt I

y como W ei Sera infinito

We ==J i(P, -P)*dt

que es la misma ecuacion de Schilthuis utilizada cuando se suponia que la intrusion segu ia un modelo de flujo continuo. Si ademas se desea tener en cuenta el factor de forma acuifero se podra aplicar la siguiente ecuacion:

- - q,uB *-In1 [ 4 A 1(p (}-~ A I ' ) - 7 . 08*10 ' kh 2 }C/,,2

y por 10 tanto quedaria para J:

7.08 *10-' kh ./ ==----- (1189)

,u*-'In ~.1 . 2 ,£, r 2

("-' A "'

EI metodo de Fetkovitch es aplicable cuando se trata de yacimientos finitos (bien se un flujo estable o seudoestable) , pero no se puede aplicar para yacimientos infinitos porque en el caso de acuiferos no estan valida la aproximacion de la linea fuente; por esta razon en acuiferos grandes cuando al comienzo se tiene comportamiento en el periodo transiente, en estos tiempos iniciales se debe calcular la intrusion de agua aplicando el procedimiento de Van Everdingen Hurst.

'\; 82 ...

1.71.5-. Soluci6n de Carter - Tracy para Casos de Tasa Terminal Constante(2).

Carter - Tracy plantean una soluci6n para acuiferos radiales que evita el principio de superposici6n para calcular la intrusi6n de agua a un yacimiento haciendolo de manera secuencial para cada inteNalo de tiempo en el que se puede considerar que la tasa de intrusion se ha mantenido constante; para ello usan las soluciones de Van Everdingen and Hurst , caso tasa terminal constante:

(1190)

donde

U es el mismo valor de ewe para un acuifero radial dado por la ecuaci6n (1 .129), ~P =P j -Pj, POj es la solucion de tasa terminal con stante que da VEH y cuya expresi6n depende de si el acuifero es infinito 0 no y del valor de to, Y Po' es la derivada de Po con respecto a to. La siguiente expresion general es propuesta por Dake(2) para calcular Po(to) y P'o(to), la cual se obtuvo aplicando regresion polinomial a valores de Po obtenidos de con la solucion de Van Everdingen and Hurst para el caso de tasa terminal constante.

(1 .191)

donde los aT se dan en la tabla 6 dependiendo del valor de reD

Tabla 6 -. Coeficientes de la Ecuacion (1 .191) (2)

Coeficientes de Regresion reD ao a1 a2 a3 1.5 0.10371 1.66657 -0.04579 -0.01023 2.0 0.30210 0.68178 --0.01599 -0.01356 3.0 0.51243 0.29317 001534 -006732 4.0 0.63656 0.16101 0.15812 -009104 5.0 0.65106 0.10414 0.30953 -0 11258 6.0 0.63367 0.06940 0.41750 -0 11137 8.0 0.40132 0.04104 0.69592 -0.14350 10.0 0.14386 0.02649 089646 -0 .15502

00 0.82092 -3 .68*10-" 0.28908 0.02882

1.7.2-. Obtencion de la Funcion para Describir el Comportamiento del Acuifero

Como normalm~nte del acuifero se conoce muy poca informacion sobre sus dimensiones y propiedades fisicas, la obtencion de la funcion que describe el comportamiento del acuifero es generalmente un proceso de ensayo y error dependiendo de la informacion de la cual se disponga y del comportamiento de la intrusion de agua . En su forma mas simple el procedimiento seria : de la informacion de balance de materiales se calcula el valor de la intrusion acumulada y luego se trata de encontrar una forma matematica de predecirla para luego calcular nueva mente los valores de We ; cuando los valores de We calculados de EBM comparan con los calculados matematicamente

83

se dice que se ha hecho un ajuste historico del comportamiento del acuifero que se ha encontrado la forma de predecirlo. Este procedimiento supone que se conoce N, pero en un yacimiento con empuje hidraulico si no se conoce el modelo del acuifero tampoco se conoce N 0 G; por tanto encontrar el modelo para describir el comportamiento del acuifero tambien implica obtener N.

Algunos metodos tratan de no usar el principio de superposicion ni las caracteristicas del acuifero mientras que otros, los mas recientes, tratan de no usar el principio de superposicion pero si algo de la informacion del acuifero. En todos los casos para validar algun metodo de descripcion del comportamiento del acuifero se requiere del uso del EBM y la historia de presion del yacimiento

Usando la ecuacion de balance de materiales, en la forma presentada por la ecuacion (1.72), la historia de produccion del yacimiento y algun procedimiento de regresion lineal , simple 0 multiple, es posible resolver la EBM para N 0 G Yel modelo de comportamiento del acuifero.

Los metodos mas conocidos para resolver la EBM de yacimientos que producen por empuje hidraulico usando tecnicas de regresion lineal son

• Metodo de Havlena y Odeh Metodo de Tehrani

• Metodo de Sills.

1.7.2.1-. Metodo de Havlena y Odeh.

Se basa en lIevar la EBM a la ecuacion de una linea recta y para el caso de un yacimiento con empuje hidraulico si la EBM esta dada por la ecuacion (1.72)

Z = NX + ewcY(/, p) (1.72)

donde X involucra todos los factores de expansion del yacimiento: petroleo, capa de gas y agua de formacion y volumen poroso y adem as se ha reemplazado We por la ecuacion (1121).

Si la ecuacion (172) se divide a am bos lados por X se tiene

Z (X=N+e YI,P) (1192)wc X

La ecuacion (1.187) es la ecuacion de una linea recta y la obtencion de N y ewe se puede hacer por regresion lineal simple minimizando el valor de ZJX. En este caso las ecuaciones a resolver son

(1.193)I(~) -nN - I(~) =0 X I 1=1 X 1

"z Y n Y Y-?

I - - -N*I - -e I - =0 (1.194 ) ) ( ) )

1=1 I X 1 1=1 ( X 1 we 1=1(x

11

(x ), Cuando se trata de acuiferos que se pueden describir con los modelos tipo "Pot" 0 de intrusion continua la expresion para Y(t,P) no depende de las propiedades ni del tipo de acuifero y por 10 tanto N y ewe se obtienen resolviendo las dos ecuaciones anteriores.

84

Cuando el modelo es el general la expresi6n para Y(t,P) es la ecuaci6n (1,176) la cual involucra WeD(tD) cuya expresion depende del tipo de acuffero, lineal 0 radial, y del regimen de fluJo e involucra el tiempo adimensional que depende de propiedades petroffsicas del acuifero, y el tamafio del acuffero reaD. Por 10 tanto en esta caso para resolver la ecuacion (1.182) se debe recurrir a un procedimiento de regresion lineal multiple de la siguiente manera:

1-. Para cada tiempo j de la historia del yacimiento se calcula (Z/X)j 2-. Se supone un valor de reaD. 2.1-.Suponer un valor de la constante del tiempo adimensional, MD 2.2-. Para cada tiempo j se calcula de la historia del yacimiento (Y/X)J 2.3-. Se resuelven las ecuaciones (1.193-94) para N yewe. 2.4-, Para cada tiempo j calcular (Z/X)J de la ecuacion (1,188) usando los valores de N yewe obtenidos en el paso 2,3. 2,5-. Para los (Z/X); calculados en los pasos 1 y 2.4 calcular la desviacion tipica as!

() = J~ * ((z / X )/e - (Z / X) I )2

donde (Z/X)je es el valor de (Z/X) obtenido en el paso 2.4 y el (Z/X)j es el valor de (Z/X) obtenido en el paso 1. 2,6-.Suponer otros valores de ~tD y repetir pasos 22 - 2,5 2.7- Graficar (J vs. ~tD 3-. Suponer otros valores de reaD Ypara cada uno repetir pasos 2,1 - 2.7, 4-. De los graficos de (J vs. ~tD para los diferentes valores de reaD escoger el valor de reaD cuya curva muestre el menor valor de (J y leer el valor de ~tD al cual se presenta este valor minimo Estas curvas se muestran en la figura 12 5-, Con los valores de reaD Y~tD repetir pasos 2.2 y 2,3. 6-. Los valores de N y ewe obtenidos en el paso 5 y los de reaD Y ~tD del paso 4 son los valores de N para la EBM y los parametros de la expresion (1,121) para describir el comportamiento del acuifero,

1.7.2.2-. Metodo de Tehrani.

Tehrani(13) demuestra que el procedimiento de Havlena y Odeh es incorrecto desde el punto de vista estadistico y como consecuencia se cometen errores apreciables en la determinacion de N; por tanto la tecnica propuesta por el autor usa la ecuacion original, ecuacion (1,72), Y para obtener N y ewe aplica regresion lineal multiple que lIeva a las siguientes ecuaciones para resolver

1/ n n

IZ,X, - NIX,2 - ewe Ix,y, =0 (1 195) ,=1

I} n n

Iz,y, - NIx,y, -e~cIy,2 =0 (1,196) ,=1 ,=1 ,=1

Obviamente las ecuaciones (1,193) y (1.194) son diferentes a las ecuaciones (1.195) y (1,196), por 10 tanto tambien 10 seran los valores que se obtengan para N y ewe con los dos sistemas de ecuaciones.

85