UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDADNÚMEROS RACIONALES

NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales son todos aquellos números que se pueden expresar en la formaab

con a y b números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales serepresenta por la letra .

FRACCIÓN PROPIA E IMPROPIA

Sean a y b enteros positivos.

i) Si a b ab

es una fracción propia.

ii) Si a b ab

es una fracción impropia.

OBSERVACIÓN: Toda fracción impropia se puede escribir como número mixto.

IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número racional?

I)-64

II)5

3 3III) 4 – 32

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

Q =   / , y   a

a b b 0b

Seanab

,cd

. Entonces:ab

=cd

a · d = b · c

C u r s o : Matemática 3º Medio

Material N° MT-02

2

2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es impropia y además irreductible?

A)34

B)4

10

C)53

D)93

E)12

3. Al simplificar la fracciónab

, reductible con a b, se obtiene:

I) Un racional equivalente.II) La unidad.

III) Siempre una fracción propia.

Es (son) verdadera(s)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

3

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Siab

,cd

, entonces:

OBSERVACIONES

El inverso aditivo (u opuesto) deab

es -ab

, el cual se puede escribir también como-ab

o

a-b

.

El número mixto Abc

se transforma a fracción con la siguiente fórmula:

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Siab

,cd

Q, entonces:

MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

OBSERVACIÓN

El inverso multiplicativo (o recíproco) deab

es-1a

b

=ba

, con a y b 0

EJEMPLOS

1.3

2 + 64

=

A) 714

B) 534

C) 234

D) 214

E) 114

ab

cd

=ad bc

bd

Abc

=A · c + b

c, con A 0

ab

·cd

=acbd

ab

:cd

=ab

·dc

=adbc

, c 0

4

2. El inverso aditivo del recíproco de5 1 1 1

2 + : : 33 4 2 2

es

A) -15

B) -13

C) -3

D)13

E) 3

3. La tercera parte del doble de3 1

:5 2

· 20 es igual a

A)150

B) 2C) 4D) 8E) 16

5

RELACIÓN DE ORDEN EN

OBSERVACIONES

Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientesprocedimientos:

Igualar numeradores. Igualar denominadores. Convertir a número decimal.

Transformar a número mixto

bA

c.

Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.

EJEMPLOS

1. El orden decreciente de los números p =45

, q =23

y r =34

es

A) r, p, qB) q, p, rC) p, q, rD) p, r, qE) q, r, p

2. El orden creciente de los números x =910

, y =1112

y z =78

es

A) z, x ,yB) z, y, xC) y, x, zD) y, z, xE) x, y, z

3. El orden creciente de los números a =25

, b =38

y c =47

es

A) c, b, aB) c, a, bC) a, c, bD) a, b, cE) b, a, c

Seanab

,cd

y b, d +. Entonces:ab

cd

ad bc

6

POTENCIAS EN

DEFINICIONES

OBSERVACIONES

0n = 0, si n > 0 1n = 1 00 no está definido.

Positivo, si a 0 y n es par.SIGNOS DE UNA POTENCIA: an =

Negativo, si a < 0 y n es impar.

EJEMPLOS

1. (-2)2 + 40 – 22 =

A) -4B) 1C) 4D) 8E) 9

2.

-1-1 22 1

:3 2

=

A) -125

B) -512

C) 16

D) 38

E) 6

3. (-3)2 · 43 · 82 · 63 =

A) -245

B) -246

C) 24D) 245

E) 246

a0 = 1 , a 0

a-n =n

1

a, a – {0} y n +

a · a · a · a · a · a · a … · a = an, con a – {0} y n

n factores

7

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS

Sean a y b – {0}, m y n

Multiplicación de potencias de igual base

División de potencias de igual base

Multiplicación de potencias de distintabase e igual exponente

División de potencias de distinta base eigual exponente

Potencia de una potencia

EJEMPLOS

1. 43 · 4 =

A) 42

B) 43

C) 44

D) 45

E) 46

2. -56 · 53 =

A) -518

B) -59

C) 59

D) 518

E) (-25)4

3. 76 : (-7)2 =

A) -712

B) -78

C) -74

D) 74

E) 78

an · am = an + m

an : am = an - m

an · bn = (ab)n

an : bn = (a : b)n

(an)m = an · m

8

NOTACIÓN CIENTÍFICA Y ABREVIADA

Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k 10n,en que 1 k 10 y n .

Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p 10n, en quep es el menor entero y n .

EJEMPLOS

1. 0,00345 expresado en notación científica es

A) 0,0345 · 10-1

B) 0,345 · 10-2

C) 3,45 · 10-3

D) 34,5 · 10-4

E) 345 · 10-5

2. La notación científica de 42,5 es equivalente a

A) 4,25 · 10B) 0,425 · 102

C) 425 · 10-1

D) 4.250 · 10-2

E) 0,0425 · 104

3. El número 0,0725 escrito en forma abreviada es

A) 7,25 · 10-2

B) 72,5 · 10-3

C) 725 · 10-4

D) 7.250 · 10-5

E) 72.500 · 10-6

9

NÚMEROS DECIMALES

Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene undesarrollo decimal, el cual puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.

OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES

Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar númerosdecimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas,la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.

Multiplicación de números decimales:Para multiplicar dos o más números decimales,se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final,de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números enconjunto.

División de números decimales: Para dividir números decimales, se puedetransformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potenciaen base 10.

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL FINITO A FRACCIÓN

Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en eldenominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dichonúmero.

EJEMPLOS

1. El desarrollo decimal de la fracción3

500es

A) 0,0006B) 0,006C) 0,015D) 0,06E) 0,6

2. El valor de (0,25 – 0,7) · 2 es

A) -1,1B) -0,9C) -0,45D) 0,9E) 1,9

3. (0,08 : 0,4 + 0,8) · 10 =

A) 82B) 28C) 10D) 8,2E) 6,6

10

NÚMEROS IRRACIONALES (I, ’)

Son aquellos números decimales infinitos no periódicos.

Los números = 3,141592 …, 2 = 1,414213 … son ejemplos de números irracionales.

OBSERVACIÓN: La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para a y bnúmeros racionales no negativos, son:

DEFINICIÓN:

PROPIEDADES

a · b = ab a

b= a

b a b = 2a b

a a b =

b b

NÚMEROS REALES (lR)

La unión del conjunto de los racionales () y los irracionales (’) genera el conjunto de los

números reales el cual se expresa como lR

Es decir:

OPERATORIA EN lR

El resultado de una operación entre racionales es SIEMPRE otro número racional(excluyendo la división por cero).

La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional.

Por otra parte, la operación entre un número racional () y un irracional (’) da como

resultado un irracional, EXCEPTUÁNDOSE la multiplicación y la división por cero.

OBSERVACIÓN

No son números reales las expresiones de la forma n a , con a < 0 y n par.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de los siguientes números no es irracional?

A) 18

B) 36

C) 12

D) 80

E) 2

a = b b2 = a

lR = ’

11

2. El orden de los números a = 3 2 , b = 2 3 y c = 4 2 , está dado en la opción

A) a > c > bB) a > b > cC) a < b < cD) b > a > cE) c > a > b

3. ¿Cuál de las siguientes expresiones representan números reales?

I) 2 3 3 2

II) 5 2 4

III) 4 5 9

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

12

EJERCICIOS

1. 1 +2

11 +

3

=

A)43

B)94

C)52

D)113

E) 4

2. 312

– 412

=

A) -1

B) -12

C) 0

D)12

E) 1

3.12

–34

+ 2 =

A) -1B) 1

C)74

D) 2

E)94

4.

12

21

13

=

A) -94

B) -32

C) -1

D)32

E)94

13

5. 0,2 + 112

: 2 =

A)1136

B)112

C)119

D)229

E)449

6. ¿Cuál es el inverso aditivo de -1 2 1

: · 12 3 2

?

A) -83

B) -38

C) -16

D)38

E)83

7. ¿Cuál es el recíproco de1 4

2 : + 15 5

?

A) -2581

B) -1C) 0D) 1

E)2581

8.-10,024 · 10 · 0,03

0,3 · 240=

A) 10-4

B) 10-5

C) 10-6

D) 10-7

E) 10-8

14

9. 0,0036 · 0,0450,012 · 0,00015

=

A) 3 · 10-1

B) 9 · 10-1

C) 3 · 10D) 6 · 10E) 9 · 10

10. 0,0481 expresado en notación científica es

A) 0,481 · 10-1

B) 4,81 · 10-2

C) 48,1 · 10-3

D) 481 · 10-4

E) 4810 · 10-5

11. 0,00582 expresado en forma abreviada es

A) 582 · 105

B) 582 · 10-5

C) 5,82 · 10-3

D) 5,82 · 103

E) 58,2 · 10-4

12. El orden creciente de las cifras a =4

2, b =

2

3y c = 6 es

A) b – a – cB) b – c – aC) c – a – bD) c – b – aE) a – c – b

13. 40 – {23 – [102 – (22 – 32)]} =

A) -96B) -87C) 0D) 17E) 98

15

14. Los23

de los35

de 500 es

A) 100B) 150C) 200D) 250E) 300

15. Un estanque contiene agua hasta su tercera parte, luego se agregan 100 litrosquedando a la mitad de su capacidad, ¿Qué capacidad tienen el estanque?

A) 200 ltB) 300 ltC) 400 ltD) 500 ltE) 600 lt

16. Si los1240

de una cantidad corresponde a 600, ¿cuál es la cuarta parte de la cantidad?

A) 125B) 250C) 500D) 1.000E) 2.000

17. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?

I) Al multiplicar dos números irracionales el producto puede ser racional.II) A multiplicar un número irracional con un número racional, el producto es

siempre un número irracional.III) Al elevar al cuadrado un número irracional es siempre racional.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

18. Se puede determinar que p q es irracional si :

(1) q es primo.

(2) p es racional.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

16

19. Se puede determinar que aP

3es un número real si :

(1) a es racional positivo y P múltiplo de 3.

(2) P es un número natural y a es racional.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)+5E) Se requiere información adicional

20. La cuarta parte de un número es igual a un quinto del sucesor del número si :

(1) El doble del número es 8.

(2) Su recíproco es14

.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS

DMDOMT-02

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EjemplosPágs. 1 2 3

1 y 2 D C A

3 y 4 A B E

5 D A E

6 B C D

7 C B D

8 C A C

9 B B C

10 y 11 B E B.

1. C 11. B2. A 12. B3. C 13. E4. A 14. C5. C 15. E6. D 16. C7. D 17. A8. C 18. E9. E 19. D10. B 20. D

EJERCICIOS PÁGINA 12