PENDIENTES DE MATEMÁTICAS DE 2º ESO

CUADERNILLO II

Fecha de entrega: 12 de abril Fecha del primer examen: 12 de abril

NOMBRE: ____________________________________________ CURSO: _______

Bloques temáticos Criterios de evaluación Ejercicios

1.- Proporcionalidad. 3 Del 1 al 24

2.- Funciones. 6 Del 25 al 31

3.- Sistema de ecuaciones. 4 Del 32 al 48

4.- Teorema de Pitágoras y Tales.

Geometría 5 Del 49 al 68

5.- Estadística. 7 Del 69 al 71

1.- Calcula el valor de a, b y c:

Tiempo (h) 1 2 3 0’5 a 10

Espacio

(km) 50 100 b 25 200 c

Solución: Como son magnitudes directamente proporcionales

1501

3·503

50

1 b

b 4

50

1·200

20050

1 a

a

5001

10·5010

50

1 c

c

2.- Calcula el valor de a, b y c:

Tiempo (h) 1 2 3 0’5 b 10

Velocidad(km/h) 120 60 40 a 30 c

Solución: Como son magnitudes inversamente proporcionales

2405,0

1·120·5,01·120 aa 40

30

1·12030·1·120 bb

1210

1·120·101·120 cc

3.- De los siguientes pares de razones, indica cuáles forman proporción.

a) 5

20y

4

16

b) 5

4y

100

80

c) 21

7y

30

1

d) 34

6y

17

3

Solución: Multiplicamos en cruz para ver si forman una proporción

a) PROPORCIÓN 808020·45·16

b) PROPORCIÓN 400400100·45·80

c) PROPORCIÓNESNO 2102130·721·1

d) PROPORCIÓN 10210217·634·3

4.- Encuentra el valor de x en las siguientes proporciones:

a) 50

x

x

8

b) 9

x

15

25

c) x

4

12

6

d) 14

7

x

5

Solución: Multiplicamos en cruz para obtener el valor de x.

a) 20400400·50·8 2 xxxxx

b) 1515

225·1525·9 xxx

c) 86

484·12·6 xxx

d) 107

70·714·5 xxx

5.- Busca los valores para que las siguientes proporciones sean ciertas:

, , ,

Solución: Cada expresión […] puede sustiturirse por x. Por lo que se hace igual que en 4.

a) 10100100·20·5 2 xxxxx

b) 15225225·45·5 2 xxxxx

c) 2

125

8

5005·100·8 xxx

d) 125360

45000·3601000·45 xxx

6.- Rellena los huecos que faltan y determina la constante de proporcionalidad:

Solución: Cada expresión […] puede sustiturirse por x. Por lo que se hace igual que en 4 y 5.

75,03

25,2

2

5,1

4

3

9

75,6

7.- Por 10 céntimos de euro, Isabel recibe 6 caramelos de menta. María compró 15

caramelos por 25 céntimos. Antonio recibió 3 caramelos por 5 céntimos. ¿Quién los

compró más caros?

Solución:

Isabel caramelo/€67,13

5

6

10 María caramelo/€67,1

3

5

15

25

....

20

5

....

5

....

....

45

100

....

8

5

000.1

....

360

45

....3

....

....

5,1

4

3

9

....

Antonio caramelo/€67,13

5 Por tanto, los compraron al mismo precio.

9.- El telesilla de una gran pista de esquí circula a 4 metros por segundo. Rellena la

tabla de recorridos.

Tiempo (s) 5 15 50 600

Distancia

(m) 500 800 2.000

Solución: Como recorre 4 m en 1 segundo, habrá que darse cuenta que multiplicando cada

segundo invertido por 4, obtendremos la distancia recorrida en ese tiempo. Asimismo, para

obtener el tiempo, bastará dividir por 4 la distancia.

Tiempo (s) 5 15 50 125 200 500 600

Distancia

(m) 20 60 200 500 800 2.000 2400

10.- Antonio trabaja en la taquilla de un cine y tiene una lista con los importes de

entradas. Se han borrado algunas cantidades. Ayúdale a rehacer la lista.

Entradas 1 2 3 4 5

Importe 21’00

Solución:

€8,165

84

21

54 x

x y así, obtendríamos el resto de valores

Entradas 1 2 3 4 5

Importe 4,20 8,40 12,60 16,80 21’00

11.- En una frutería hay paquetes de 3 kg, 5 kg y 8 kg de patatas. Dos kilos cuestan

un euro. ¿Cuánto cuesta cada bolsa?

Solución:

Como 2kg cuestan un euro el precio del kilo es 0,5 €/kg. De esta forma:

3 kg cuestan 3·0,5=1,5 €; 5 kg cuestan 5·0,5=2,5 €; 8 kg cuestan 8·0,5=4 €

12.- La siguiente tabla muestra la producción de una máquina de tornillos según el

número de horas de funcionamiento. ¿Son magnitudes directamente o inversamente

proporcionales? Completa la tabla.

Horas funcionando 1 5 13

Tornillos

producidos 1.735 3.470

Solución:

Claramente es una proporcionalidad directa puesto que a más tornillos producidos se

necesitan más horas de funcionamiento de la máquina.

Por tanto, la tabla quedaría:

Horas funcionando 1 5 10 13

Tornillos

producidos 347 1.735 3.470 4511

13.- La siguiente tabla muestra los pintores necesarios para pintar todas las

habitaciones de un hotel y los días que tardarían. ¿Son magnitudes directamente o

inversamente proporcionales? Completa la tabla.

Nº. pintores 1 2 6

Dias necesarios 24 8

Solución:

Claramente es una proporcionalidad inversa puesto que a más pintores se necesitan menos

días para pintar las habitaciones del hotel.

Por tanto:

46

2424·1·6

38

2424·1·8

122

2424·1·2

xxx

xxx

xxx

Nº. pintores 1 2 3 6

Dias necesarios 24 12 8 4

14.- Quince hectáreas producen 90.000 kg de trigo. ¿Cuánto producirán 8 hectáreas

del mismo rendimiento?

Solución: Claramente se trata de una proporción (directa), es decir:

trigodekgxx

4800015

90000·8

815

90000

15.- El caudal de un grifo es de 22 litros/minuto. ¿Qué tiempo se necesitará para

llenar un depósito de 5’5 m3?

Solución: Establezcamos una regla de tres, pero antes hemos de recordar la equivalencia

entre litros y m3. 1 m3 equivale a 1000 litros. Por tanto, como a más cantidad de litros se

necesita más tiempo para llenar el depósito, se trata de una regla de tres directa:

Litros Minutos

22---------------1

5500--------------x min104min25022

5500·11

5500

22hx

x

se tardará en llenar el depósito.

16.- Cinco fontaneros instalan los cuartos de baño de una urbanización en 16 días.

¿Cuántos fontaneros debe emplear el constructor si quiere terminar la obra en 10 días?

Solución: Establezcamos una regla de tres, que claramente será inversa porque a más

cantidad de fontaneros se necesitan menos días para terminar la obra:

Fontaneros Días

5------------------16

x------------------10 810

5·161016·5 xx fontaneros se necesitarán.

17.- Isabel ha comprado al principio de curso 7 cuadernos que le han costado 6’30

euros. María compró 5 cuadernos. Calcula lo que pagó María.

Solución: Establezcamos una regla de tres directa ya que a más cantidad de cuadernos se

paga más dinero:

Cuadernos Euros

7-------------------6,30

5---------------------x 5,47

5·3,630,6

5

7 x

xeuros pagó María.

18.- Antonio trabajó 6 días y cobró 190’20 euros. Esta semana ha trabajado 5 días.

¿Cuánto cobró?

Solución: Establezcamos una regla de tres directa ya que a más cantidad de días se cobra

más:

Días Euros

6-------------------190,20

5---------------------x €5,1586

5·2,19020,190

5

6 x

xeuros cobró Antonio.

19.- Para transportar trigo se necesitan 25 camiones que emplean 12 días. Es

necesario hacer el transporte en 5 días. Si todos los camiones hacen el mismo trabajo,

¿cuántos camiones se necesitarán?

Solución: Establezcamos una regla de tres, que claramente será inversa porque a menos

cantidad de días se necesitan más camiones días para hacer el mismo trabajo:

Camiones Días

25------------------12

x-------------------5 605

25·12512·25 xx camiones se necesitarán.

20. Calcula el % de las siguientes cantidades:

a) 51% de 30

b) 21% de 60

c) 76% de 100

d) 10% de 40

e) 60% de 200

f) 25% de 8000

Solución:

a) 51% de 30 = 15,3

b) 21% de 60 = 12,6

c) 76% de 100 = 76

d) 10% de 40 = 4

e) 60% de 200 = 120

f) 25% de 8000 = 2000

21.- En una oferta de un comercio de electrodomésticos nos descuentan el

15 % de un frigorífico cuyo precio es de 475 €. En un segundo comercio, el

mismo frigorífico está marcado en 545 € y nos descuentan la cuarta parte.

¿Dónde conviene comprarlo?

Solución:

Si nos descuentan un 15% tenemos que pagar el 85% restante, es decir:

85% de 475 = 403,75 €

Si nos descuentan la cuarta parte, nos descuentan un 25% y, en consecuencia

tenemos que pagar el 75% de 545 € = 408,75 €.

Luego la primera opción es la más conveniente a la hora de comprar el

electrodoméstico.

22.- De 5 toneladas de carbón de una mina se eliminan 2.400 kg de

impurezas. ¿Qué tanto por ciento es carbón puro?

Solución:

Como 5 toneladas son 5000 kg de carbón, al eliminarle 2400 kg de impurezas, nos

quedan 2600 kg de carbón puro. Por tanto:

Cantidad (kg) %

5000----------------------100

2600-----------------------x

%525000

100·2600100

2600

5000 x

xde carbón puro.

23.- La compañía telefónica de Ana cobra las llamadas a razón de 5 céntimos

el minuto. ¿Cuánto tiempo puede hablar Ana con una tarjeta por valor de 12€?

Solución:

Tiempo (min) €

1 ----------------------0,05

x-----------------------12

24005,0

1·12

12

05,01 x

xminutos, que son 4h.

24.-En una vivienda se pagan 0,3 € por cada metro cúbico de agua consumido.

Si la factura del mes pasado fue de 7,5 €, ¿cuántos metros cúbicos de agua

se consumieron?

Solución:

Metros cúbicos €

1 ----------------------0,3

x-----------------------7,5

253,0

1·5,7

5,7

3,01 x

xmetros cúbicos se consumieron.

25. Representa los siguientes puntos del plano en los ejes coordenados,

indicando a qué cuadrante pertenece cada uno:

A(1,1) B(3,-2) C) (-5,2) D(-1,-3) E(0,4)

Solución:

E

C A

B

D

26.- Representa las siguientes rectas indicando cuál es su pendiente y si es

creciente o decreciente:

a) y=2x+3 b) y=-x+5 c) y=x-4

Solución:

Las pendientes son los coeficientes líderes, es decir, respectivamente 2; -1 y 1.

A la vista de la representación que se ve a continuación, son respectivamente

creciente; decreciente y creciente.

27.- En una tienda de ropa cada chaqueta cuesta 48 €. Escribe la ecuación

que relaciona el precio con el número de chaquetas compradas y represéntala

gráficamente.

Solución:

Sea x la variable independiente “número de chaquetas compradas” y sea y la

variable dependiente “precio”. Por tanto, la ecuación será y=48x.

28.- La nota de un examen tipo test de 100 preguntas (en el que hay que

responder a todas) es igual al número de respuestas acertadas menos 0,25

puntos por cada respuestas incorrecta. Escribe la ecuación que relaciona la

nota con el número de aciertos y errores. ¿Qué nota obtendría si he acertado

72 preguntas y fallado 28?

Solución:

Sea x la variable independiente “número de aciertos” y sea y la variable

dependiente “nota”. Por tanto, la ecuación será xxy 10025,0

Si acierta 72 preguntas y falla 28 preguntas, entonces la nota es:

6577228·25,072 y es la nota.

29.- Cada factura de teléfono incluye 25 € por el alquiler de línea y una

tarifa de 0,07 €/min por cada una de las llamadas. Escribe la ecuación que

relaciona el coste de la factura con el tiempo de utilización del teléfono.

Elabora una tabla de valores que refleje el precio y la duración de las

llamadas y represéntala. ¿A cuánto ascenderá la factura si el tiempo de

utilización de la línea ha sido de 15 h y 24 min?

Solución:

Sea x la variable independiente “tiempo de utilización del teléfono (min)” y sea y la

variable dependiente “coste de la factura”. Por tanto, la ecuación será

xy 07,025

x(min) 10 50 100 200 400 500 800 1000

Y(€) 25,7 28,5 32 39 53 60 81 95

Si el tiempo es 15 h y 24 min son 924 min, por lo que el coste de la factura es:

€68,89924·07,025 y

30.- María sale de casa con su bicicleta a las nueve de la mañana y tarda 20

min en llegar a la estación de tren, que está a 8 km. Espera 40 min hasta que

sale el tren, que tarda una hora en realizar un trayecto de 32 km hasta llegar

al área de actividades, donde permanece durante tres horas.

A continuación inicia el regreso por una pista para bicicletas y llega a casa a

las seis de la tarde.

a) Representa en unos ejes la relación entre el tiempo empleado (eje de

abscisas) y la distancia que le separa de su casa (eje de ordenadas).

b) ¿Entre qué horas se encuentra a la máxima distancia de su casa?

c) ¿Cuánto tiempo dura el viaje de regreso a casa?

Solución: a)

b) Entre las 11 y las 14 horas, es decir, entre las once de la mañana y las

dos de la tarde.

c) El regreso a casa por la pista dura cuatro horas.

31.- Una empresa de alquiler de automóviles saca una oferta de verano que

incluye el alquiler de un coche a un precio de 90 € más 2 € por cada kilómetro

que se recorra con él. ¿Cuánto pagaremos por un recorrido de 120 km? ¿Y por

uno de 60,5 km? Escribe la ecuación que relaciona el número de kilómetros

recorridos con el precio total del alquiler del coche.

Solución:

La ecuación que relaciona el número de kilómetros recorridos con el precio

total del alquiler del coche, viene dada por y= 90 + 2x.

Donde claramente x indica los kilómetros recorridos e y, el coste o precio

total del alquilar. Por tanto:

Pagaremos y= 90 + 2·120 = 90 + 240 = 330 €, si el recorrido es de 120 km.

Pagaremos y= 90 + 2·60,5 = 90 + 131 = 221 €, si el recorrido es de 60,5

km.

32.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por los tres métodos

(sustitución, igualación, reducción):

a)

38y5x

12y2x3 b)

11y5x2

5y2x

c)

8y2x

2y3x

d)

9y3x2

6y2x3 e)

x13y2x3

22x5yx2

Solución:

a)

38y5x

12y2x3 Sol:

6

8

y

x b)

11y5x2

5y2x

Sol:

1

3

y

x

c)

8y2x

2y3x Sol:

2

4

y

x d)

9y3x2

6y2x3 Sol:

3

0

y

x

e)

x13y2x3

22x5yx2 Sol:

4

4

y

x

33.- De entre los siguientes sistemas encuentra los que sean equivalentes por

tener la misma solución:

3

1

y

x

a)

125

63

yx

yx

b)

125

63

yx

yx

c)

125

63

yx

yx

d)

4

2

yx

yx

Solución

a)

13·215

6313 La primera ecuación no se cumple.

b)

13·215

6313 Si es solución.

c)

13·215

6313 La segunda ecuación no se cumple.

d)

431

231 Si es solución.

34.- Resuelve por sustitución.

a)

1332

5

yx

yx

b)

023

72

yx

yx

c)

112

1323

yx

yx

Solución:

a)

32

2

133152

13532

5

1332

5

yx

x

xx

xxII

xyI

yx

yx

b)

32

147

01443

07223

72

023

72

yx

x

xx

xxII

xyI

yx

yx

c)

15

357

134223

1321123

211

112

1323

yx

x

xx

xxI

xyII

yx

yx

35.- Resuelve por igualación.

a)

1332

5

yx

yx

b)

023

72

yx

yx

c)

112

1323

yx

yx

Solución:

a)

32

151323

3

213

3

315

3

2135

3

213

5

1332

5

yx

xx

xx

xx

xyII

xyI

yx

yx

b)

32

147

3144

2

372

2

3

72

023

72

yx

x

xx

xx

xyII

xyI

yx

yx

c)

15

357

313422

2

313211

2

313

211

112

1323

yx

x

xx

xx

xyI

xyII

yx

yx

36.- Resuelve por reducción.

a)

1332

5

yx

yx

b)

023

72

yx

yx

c)

112

1323

yx

yx

Solución:

Los mismos resultados que en los ejercicios anteriores 34 y 35.

37.- Resuelve por el método que quieras o consideres más adecuado.

a)

502

30

yx

xy

b)

1035

673

yx

yx

c)

)1(3

5

xy

xy

Solución:

a)

502

30

yx

xy

Sol:

10

20

y

x

b)

1035

673

yx

yx

Sol:

0

2

y

x

c)

)1(3

5

xy

xy

Sol:

3

2

y

x

38.- Resuelve por el método que quieras.

a)

7)2(2)1(3

5)1(2

yx

yx

b)

110

)2(3

5

932

yx

yx

c)

1323

7

32

1

2

13

4

3

yyx

xyyx

Solución:

a)

7)2(2)1(3

5)1(2

yx

yx

Sol:

3

2

y

x

b)

110

)2(3

5

932

yx

yx

Sol:

12

10

y

x

c)

1323

7

32

1

2

13

4

3

yyx

xyyx

Sol:

3

5

y

x

39.- El producto de dos números naturales consecutivos es 380. Calcula los

dos números consecutivos.

Solución:

Sean x y x+1 los dos números naturales consecutivos. Entonces:

19

20

2

391

2

15211

2

)380·(1·411

0380

3801·

2

2

x

xx

xx

Por tanto la solución es que los números consecutivos son 19 y 20.

40.- En un corral hay gallinas y conejos. Si sabemos que hay en total 25

cabezas y 80 patas. ¿Cuántas gallinas y conejos hay?

Solución: Si hay x gallinas e y conejos.

1510

202

8041002

802542

25

8042

25

yx

x

xx

xxII

xyI

yx

yxEntonces hay 10 gallinas y 15 conejos.

41.- En una cafetería, el camarero anota:

Mesa A: 2 cafés y 4 zumos, 16 €; Mesa B: 3 cafés y 2 zumos 12 €. Halla el

precio del café y del zumo en dicha cafetería.

Solución: Si x es el precio del café e y es el precio del zumo.

32

84

624216

2

312

4

216

2

312

4

216

1223

1642

yx

x

xx

xx

xyII

xyI

yx

yx Entonces el café cuesta 2 € y el zumo 3€.

42.- En un aparcamiento hay 120 vehículos entre coches y motos. Si se van

40 coches, el número de coches y el número de motos es el mismo. ¿Cuántos

coches hay en el aparcamiento? ¿Y motos?

Solución: Si x es el nº de coches e y es el nº de motos.

4080

1602

12040

40

40

120

yx

x

xxI

xyII

yx

yx Entonces hay 80 coches y 40 motos.

43.- Ana recibe el doble de dinero que su hermana como paga semanal, y

entre las dos suman 30 €. ¿Cuál es la paga de cada una?

Solución: Si x es el dinero semanal de la hermana e y es el dinero semanal de

Ana.

2010

303

302

2

2

30

yx

x

xxI

xyII

xy

yx Entonces Ana recibe 20 € y su hermana 10 €.

44.- En una excursión hay 141 entre alumnos y alumnas de un IES. El número

de chicas es doble que el de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas van?

Solución: Si x es el nº de chicos e y es el nº de chicas.

9447

1413

1412

2

2

141

yx

x

xxI

xyII

xy

yx Entonces hay 94 chicas y 47 chicos.

45.- Juan e Isabel tienen formada una sociedad. Si Juan compra a Isabel 2

de sus acciones, los dos tendrán la misma participación en la empresa. Si

Isabel compra tres acciones a Juan, la participación de Isabel será 6 veces

mayor que la de Juan. ¿Cuántas acciones tiene cada uno?

Solución: Si x es el nº de acciones de Juan e y es el nº de acciones de Isabel

95

255

4216

216

216

4

363

22

yx

x

xxI

xyII

yx

yx

xy

yx

Entonces Juan tiene 5 acciones mientras que Isabel tiene 9.

46.- Un total de 6 hamburguesas y 2 refrescos cuestan 20 €. Lo mismo que 4

hamburguesas y 8 refrescos. ¿Cuánto cuesta una hamburguesa?

Solución: Si x es el precio de la hamburguesa e y es el precio del refresco.

31

55

10615

10253

25

52

103

2084

2026

xy

y

yy

yyI

yxII

yx

yx

yx

yx

Entonces la hamburguesa cuesta 3 € y el refresco 1€.

47.- Jesús tiene en su monedero 15 monedas por un total de 2,10 €. Sólo

lleva monedas de 20 céntimos y de 5 céntimos. ¿Cuántas lleva de cada clase?

Solución: Si x es el nº de monedas de 20 céntimos e y es el nº de las de 5.

69

273

42154

15

424

15

210520

15

yx

x

xxI

xyI

yx

yx

yx

yx

Entonces hay 9 monedas de 20 céntimos y 6 de 5 céntimos.

48.- En una tienda hay 15 lámparas de 1 y 3 bombillas. Si las encendemos

todas a la vez, la tienda queda iluminada por 29 bombillas. ¿Cuántas lámparas

de cada tipo hay?

Solución: Si x es el nº de lámparas de 1 bombilla e y es el nº de las de 3.

78

162

29153

15

293

15

293

15

yx

x

xxI

xyI

yx

yx

yx

yx

Entonces hay 8 lámparas de una bombilla y 7 de tres.

49.- Halla la longitud del segmento desconocido en estas proporciones:

a) 12

8

3

AB

b) 60

12

AB

5

c) AB

15

3

1

d) 2

AB

4

5

Solución:

a) 212

8·3AB b) 25

12

60·5AB c) 45AB

d) 5,24

2·5AB

50.- Dada la siguiente figura calcula la longitud de los segmentos 'OC , 'C'B y

BC , sabiendo que:

C cm2OA ; cm3AB cm7OC

B

A cm3'OA ; cmBA 5'4''

O A’ B’ C’

Solución:

cmOCOC

AB

BA

OC

OC5,10

3

5,31'

3

5,4

7

''''

cmCBCBCBBAOAOC 35,435,10''''5,435,10''''''

cmBCBCBC

CB

OC

OC2

5,10

213

7

5,10'''

51.- ¿Son semejantes un triángulo isósceles que tiene 90º de lado desigual y

un rectángulo de lados 2cm, 2 cm y 1’41 cm? Justifica tu respuesta.

Solución:

2cm 1,41cm

2cm

Como hay un ángulo de 90º, el triángulo isósceles y el rectángulo serán

semejantes si el triángulo isósceles es al mismo tiempo rectángulo, por tanto,

los lados iguales que miden 2cm son, a su vez, catetos y el lado desigual es,

además, la hipotenusa. Pero claramente vemos que una hipotenusa no puede

ser menor a los catetos. Por tanto la respuesta es que no pueden ser

semejantes.

52.- Si un árbol mide 5 metros de altura y su sombra 12 metros ¿cuánto

mide un hombre cuya sombra mide 4’2 metros?

5m

12 m

Solución: El teorema de Tales nos ayuda.

5m

4,2 m

12 m

Por tanto, Tales nos dice que:

mhh

75,112

21

12

5·2,4

2,412

5 Así pues, este hombre mide 1,75 m.

53.- El perímetro de un triángulo isósceles es 34 cm y el lado desigual mide 2

cm menos que cada uno de los lados iguales. Calcula la medida de cada lado.

x x

x-2

Solución:

El perímetro es la suma de los lados, luego 2x+x-2=34, por tanto: 3x=36 y

x=12. Así pues los lados iguales miden 12 cm y el lado desigual 10 cm.

54.- Calcula la longitud de la hipotenusa.

8cm

15 cm

Solución: Usando el teorema de Pitágoras se tiene:

1728922564158 22222 hhhh Así pues mide 17 cm.

55.- Calcula el lado desconocido.

x 10 cm

8 cm

Solución: Usando nuevamente el teorema de Pitágoras se tiene:

6363664100810 22222 xxxx Así pues mide 6 cm.

56.- La diagonal de un rectángulo mide 20 m y uno de los lados, 16 m. Calcula

la longitud del otro lado.

Solución: Usando nuevamente el teorema de Pitágoras se tiene que:

20 cm

16 cm

121441442564001620 22222 xxxx

Así pues mide 12 cm.

57.- Calcula el lado desconocido.

X 2 cm

4 cm

6 cm

Solución: Hemos de fijarnos en el triángulo rectángulo generado donde los

catetos son 2 y 6-4; y la hipotenusa x.

X 2 cm

4 cm

6 cm

Por tanto: cmxxx 83,28822 2222 Luego mide: 2,83 cm.

58.- Calcula la apotema de un hexágono regular de 8 cm de lado.

a

Solución:

Como sabemos el hexágono regular está formado por 6 triángulos equiláteros.

El triángulo rectángulo que visualizas es la mitad de uno de ellos. Por tanto,

de ahí sacas la información necesaria y con la herramienta conocida (Tª de

Pitágoras) ya lo tienes:

8 cm a

4 cm

Así pues: cmaaaa 93,64848166448 22222

La apotema mide 6,93 cm.

59.- Cada uno de los brazos de una escalera de tijera tiene 3 m de longitud.

Sus pies se apoyan en el suelo a una distancia de 2m. ¿Qué altura alcanza la

escalera?

3 cm 3 cm

2 cm

Solución: De nuevo el teorema de Pitágoras nos lo da:

cmaaaa 83,2881913 22222 mide la altura.

60.- El plano de una vivienda está realizado a escala 1:60.

a) ¿Qué dimensiones reales tiene la cocina si el plano mide 4cm de ancho y

7cm de largo?

b) El pasillo mide 7’5m en la realidad. ¿Cuánto mide de largo en el plano?

Solución:

Una escala es una representación semejante. Es decir usamos la semejanza de

figuras. La proporcionalidad inferida por Tales nos da:

a)

cmxx

cmxx

4207

60

1

2404

60

1

Por tanto en la realidad la cocina tiene 4,2 m x 2,4 m.

b) cmxx

5,1275060

1 Por tanto, en el plano mide 12,5 cm el pasillo.

61.- Halla cuánto mide el lado de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 18

cm, respectivamente.

Solución: De nuevo Pitágoras.

cmxxx 82,1011711796 2222

12 cm

18 cm

62.- Determina la altura de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden

8cm y su base 6 cm.

Solución: Pitágoras.

8cm cmhhh 49,8727238 2222

6 cm

63.- Halla el área de los siguientes polígonos: a) b) c) 22 cm d)

2 cm 12 cm 10 cm

1 cm 4 cm

7 cm 16 cm 24 cm

Solución:

a) 22222 41,9312 cmrRA

b) Necesitamos la altura para calcular el área, veamos:

2

22

13,342

7·75,9

2

·

75,995712

cmhb

A

cmh

c) 2190

2

380

2

162210

2cm

bBhA

d) 2240

2

4·5·24

2

Pr·cm

apA

64.- Calcula el área total y el volumen de un cilindro que tiene de radio 4 m

y de altura 10 m.

Solución:

4cm 22 86,35122 cmrhrA

10cm 32 65,502 cmhrV

65.- Calcula cuántos litros de agua puede contener como máximo una piscina

que mide 50 m de longitud, 12 m de anchura y 2 m de profundidad.

Solución:

Claramente la solución viene dada por la multiplicación de las tres dimensiones:

31200mV Pero queremos litros, por tanto recordamos que 1 m3 equivale a

1000 litros. Así pues puede contener como máximo 1200000 litros.

66.- Un bidón de aceite de forma cilíndrica, tiene una altura de 1m y una

base circular de 20 cm de radio. ¿Qué cantidad de aceite contendrá sabiendo

que solo están llenas sus 4

3 partes?

Solución:

20cm 1m = 100 cm. Como está lleno a tres cuartas partes,

1m 322 78,94247100·204

3

4

3cmhrV

Equivalentemente: 94,24778 dm3

67.- Calcula la cantidad aproximada de papel que se necesitará para etiquetar

toda la superficie lateral de una lata de conservas cilíndrica que tiene 9 cm de

altura y una base de 6 cm de diámetro.

Solución:

3 cm 22 19,22622 cmrhrA de papel necesitará.

9 cm

68.- Se ha construido una claraboya en forma de pirámide cuya base es un

cuadrado de 18 cm de lado y cuyas caras laterales son triángulos equiláteros.

Calcula el volumen de aire que contiene y la superficie de cristal que se

necesita para su construcción.

Solución:

Cada triángulo equilátero tiene de lado 18 cm.

cmhh 59,15243918 222

h 231,1402

59,15·18cmA luego el área total de cristal sería:

Cuatro veces el área anterior, es decir 561,24 cm2.

En cuanto al volumen de una pirámide, necesitamos su altura y para ello

necesitaremos la altura de una de sus caras y el teorema de Pitágoras.

h 15,59 cm Por tanto cmhh 73,12959,15 222

9cm

Así pues: 32

84,13743

73,12·18

3

·cm

hAV B

69.- Se han estudiado durante quince días el número de piezas defectuosas

fabricadas por una máquina y se han obtenido los siguientes resultados:

10, 15, 14, 13, 13, 10, 10, 15, 10, 10, 12, 12, 14, 11, 10

a) Calcula la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa, la frecuencia

absoluta acumulada y la frecuencia relativa acumulada.

b) Halla la media, la moda y la mediana.

c) Representa la información en un diagrama de barras.

Solución:

70.- Estas son las respuestas acertadas por los participantes de un concurso:

5, 5, 1, 3, 0, 3, 2, 4, 4, 5, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 5, 1, 2, 3

a) Calcula la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa, la frecuencia

absoluta acumulada y la frecuencia relativa acumulada.

b) Halla la media, la moda y la mediana.

c) Representa la información en un diagrama de barras.

Solución:

71.- En una clínica se ha tomado la presión sanguínea a 30 pacientes en un día

y se han anotado estas máximas:

10, 13, 13, 12, 16, 16, 12, 12, 14, 14, 12, 11, 14, 10, 12

11, 16, 15, 14, 16, 10, 15, 15, 12, 11, 11, 16, 10, 14, 12

a) Calcula la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa, la frecuencia

absoluta acumulada y la frecuencia relativa acumulada.

b) Halla la media, la moda y la mediana.

c) Representa la información en un diagrama de barras.

Solución: