Pendulo Doble[1]

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El péndulo doble caótico Julio Pozo y Jonathan Makuc Departamento de Ciencias Básicas Facultad de Ciencias de la Ingeniería Universidad Diego Portales Casilla 298-V, Santiago e-mail: [email protected] Resumen En este trabajo se estudia el caso de un péndulo doble, como un ejemplo simple de un sistema físico que puede exhibir un comportamiento caótico. Se utiliza el formalismo de Lagrange para obtener las ecuaciones diferenciales de movimientos asociadas a los ángulos 1 θ y 2 θ respectivamente, se determinan estas ecuaciones diferenciales que resultan ser ordinarias de segundo orden no lineales y acopladas, las que se resuelven numéricamente utilizando Maple. Se desarrolla un código en Maple que permite representar el movimiento del sistema mediante una animación en el espacio real, con lo cual se logra analizar y describir directamente el comportamiento del sistema en términos de los parámetros relevantes que son las masas y las longitudes de los péndulos. Para cada caso investigado se presentan los gráficos que dan cuenta de cómo se comportan los ángulos 1 θ y 2 θ en función del tiempo. Las figuras que se presentan y que corresponden a las animaciones durante un tiempo de 40 segundos, muestran las trayectorias reales seguidas por cada uno de los péndulos, observándose que éstos últimos pueden realizan tanto movimientos rotatorios como oscilatorios, dando cuenta de esta forma de la complejidad del movimiento. También en estas figuras se observa el evidente cambio que se produce en el comportamiento del sistema al cambiar los valores de las masas y de las longitudes. 1. Introducción: Un péndulo doble consiste en sistema formado por un péndulo que está atado a otro péndulo, tal como se muestra en la figura. Este es un ejemplo simple de un sistema físico que puede exhibir un comportamiento caótico.

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El péndulo doble caótico

Julio Pozo y Jonathan Makuc

Departamento de Ciencias Básicas

Facultad de Ciencias de la Ingeniería

Universidad Diego Portales

Casilla 298-V, Santiago

e-mail: [email protected]

Resumen

En este trabajo se estudia el caso de un péndulo doble, como un ejemplo simple de un sistema físico que puede exhibir un comportamiento caótico. Se utiliza el formalismo de Lagrange para obtener las ecuaciones diferenciales de movimientos asociadas a los ángulos

1θ y 2θ respectivamente, se determinan estas ecuaciones diferenciales que resultan ser ordinarias de segundo orden no lineales y acopladas, las que se resuelven numéricamente utilizando Maple. Se desarrolla un código en Maple que permite representar el movimiento del sistema mediante una animación en el espacio real, con lo cual se logra analizar y describir directamente el comportamiento del sistema en términos de los parámetros relevantes que son las masas y las longitudes de los péndulos. Para cada caso investigado se presentan los gráficos que dan cuenta de cómo se comportan los ángulos 1θ y 2θ en función del tiempo. Las figuras que se presentan y que corresponden a las animaciones durante un tiempo de 40 segundos, muestran las trayectorias reales seguidas por cada uno de los péndulos, observándose que éstos últimos pueden realizan tanto movimientos rotatorios como oscilatorios, dando cuenta de esta forma de la complejidad del movimiento. También en estas figuras se observa el evidente cambio que se produce en el comportamiento del sistema al cambiar los valores de las masas y de las longitudes.

1. Introducción: Un péndulo doble consiste en sistema formado por un péndulo que está atado a otro péndulo, tal como se muestra en la figura. Este es un ejemplo simple de un sistema físico que puede exhibir un comportamiento caótico.

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Consideremos un péndulo doble inmerso en un campo gravitatorio gr , en el cual las masas

1m y 2m están atadas por alambres rígidos de masas despreciables y de longitudes 1l y 2l respectivamente.

2. Modelo y teoría

Las posiciones de las masas están dadas por: 111 senθlx = (1) 111 cosθly −= (2) 22112 sensen θθ llx += (3) 22112 coscos θθ lly −−= (4) La energía potencial del sistema es 2211 gymgymV += (5) Sustituyendo 1y dada por (2) e 2y dada por (4) en (5) se encuentra 2221121 coscos)( θθ glmglmmV −+−= (6) La energía cinética del sistema está dada por:

222

211

222

211 2

121

21

21

υυ mmxmxmT +≡+= && (7)

2θ 1m

2m

1l

2l

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Derivando con respecto al tiempo las ecuaciones (1) y (3), luego reemplazando en (7) la energía cinética toma la forma

)]cos(2[21

21

21212122

22

21

212

21

211 θθθθθθθ −+++= &&&&& llllmlmT (8)

El Lagrangiano VTL −= está dado por

2221121

21212122

22

21

212

21

211

coscos)(

)cos(2[21

21

θθ

θθθθθθθ

glmglmm

llllmlmL

+++

−+++= &&&&& (9)

La ecuación diferencial de movimiento de Lagrange para 1θ

011

=∂∂

∂∂

θθLL

dtd

&

tiene la forma:

0sen)()sen()cos()( 121212222212221121 =++−+−++ θθθθθθθθ gmmlmlmlmm &&&&& (10)

Y la ecuación diferencial de movimiento para 2θ

022

=∂∂

∂∂

θθLL

dtd

&

Queda expresada como: 0sen)sen()cos( 2221

211221112222 =+−−−+ θθθθθθθθ gmlmlmlm &&&&& (11)

De esta forma se encuentra un par de ecuaciones de movimiento (10) y (11), cuyas soluciones que son las que describen el comportamiento completo del sistema. 3. Resultados y conclusiones Las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden acopladas (10) y (11) pueden ser resueltas numéricamente para 1θ y 2θ con alguna elección adecuada para los parámetros de las condiciones iniciales.

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Cabe destacar que las ecuaciones de movimiento, también pueden ser obtenidas mediante el formalismo de Hamilton a partir del cálculo de los momentos generalizados

1θp y 2θp

encontrándose los mismos resultados 3.1 Programa computacional (Código Maple) Para resolver las ecuaciones diferenciales acopladas, se desarrolla un programa en Maple, que es el que se presenta a continuación, en donde se han realizado las siguientes denominaciones 1)( θ=ttheta y 2)( θ=tphi restart: with(plots): with(plottools): with(DEtools):

Warning, the name changecoords has been redefined Warning, the name translate has been redefined ec1:=(m[1]+m[2])*l[1]*diff(theta(t),t$2)+m[2]*l[2]*diff(phi(t), t$2)*cos(theta(t)-phi(t))+m[2]*l[2]*diff(phi(t),t)^2*sin(theta(t)-phi(t))+g*(m[1]+m[2])*sin(theta(t))=0;

ec1 ( ) + m1 m2 l1

∂2

t2 ( )θ t m2 l2

∂2

t2 ( )φ t ( )cos − ( )θ t ( )φ t + :=

m2 l2

∂t ( )φ t

2

( )sin − ( )θ t ( )φ t g ( ) + m1 m2 ( )sin ( )θ t + + 0 =

ec2:=m[2]*l[2]*diff(phi(t), t$2)+m[2]*l[1]*diff(theta(t), t$2)*cos(theta(t)-phi(t))-m[2]*l[1]*diff(theta(t),t)^2*sin(theta(t)-phi(t))+m[2]*g*sin(phi(t))=0;

ec2 m2 l2

∂2

t2 ( )φ t m2 l1

∂2

t2 ( )θ t ( )cos − ( )θ t ( )φ t + :=

m2 l1

∂t ( )θ t

2

( )sin − ( )θ t ( )φ t m2 g ( )sin ( )φ t − + 0 =

Ejemplo 1 (theta = Pi/2, phi = Pi/2, m1=1, m2=3) Condiciones Iniciales

> condiciones:={ theta(0)=Pi, phi(0)=Pi-0.1, D(theta)(0)=0,

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D(phi)(0)=0};

:= condiciones { }, , , = ( )θ 0 π = ( )φ 0 − π .1 = ( )( )D θ 0 0 = ( )( )D φ 0 0 Valores de los parámetros: masas, longitudes y de la constante para la gravedad > m:=[1,3]; l:=[1,1]; g:=9.8;

:= m [ ],1 3 := l [ ],1 1

:= g 9.8 > Digits:=14;

:= Digits 14

> f:=dsolve({ec1, ec2} union condiciones, {theta(t), phi(t)}, type=numeric, output=listprocedure, method=lsode[backfull]):

> th:=subs(f, theta(t));

:= th proc ( ) ... end proct > ph:=subs(f, phi(t));

:= ph proc ( ) ... end proct dth:=subs(f, diff(theta(t),t));

:= dth proc ( ) ... end proct

dph:=subs(f, diff(phi(t),t));

:= dph proc ( ) ... end proct

> i:='i': razon:=i/24: cuadros:=400: for i from 0 to cuadros do pendulo1:=disk([l[1]*sin(th(razon)), -l[1]*cos(th(razon))], 0.05*m[1]^(1/3), color=black); pendulo2:=disk([l[1]*sin(th(razon))+l[2]*sin(ph(razon)), -l[1]*cos(th(razon))-l[2]*cos(ph(razon))], 0.05*m[2]^(1/3), color=blue); linea1:=line([0,0], [l[1]*sin(th(razon)), -l[1]*cos(th(razon))], color=red, thickness=2); linea2:=line([l[1]*sin(th(razon)), -l[1]*cos(th(razon))], [l[1]*sin(th(razon))+l[2]*sin(ph(razon)), -l[1]*cos(th(razon))-l[2]*cos(ph(razon))], color=green, thickness=2); pto.i:=[l[1]*sin(th(razon))+l[2]*sin(ph(razon)), -l[1]*cos(th(razon))-l[2]*cos(ph(razon))];

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if i > 0 then estela2.i:=line(pto.(i-1), pto.i, color=orange); p.i:=pointplot([l[1]*sin(th(razon)), -l[1]*cos(th(razon))], color=gray); puntos:=display(estela2.(1..i), p.(1..i)); t.i:=display(pendulo1, pendulo2, linea1, linea2, puntos); else t.i:=display(pendulo1, pendulo2, linea1, linea2); fi: od: display(t.(0..cuadros), insequence=true, view=[-1.1*(l[1]+l[2])..1.1*(l[1]+l[2]), -1.1*(l[1]+l[2])..1.1*(l[1]+l[2])]);

> Figura que realiza la animación y que muestra las condiciones iniciales consideradas

> with(plottools): with(DEtools):

> DEplot({ec1, ec2}, [theta(t), phi(t)], t=0..40, [[theta(0)=Pi/2,

D(theta)(0)=0,phi(0)=0,D(phi)(0)=0]], stepsize=0.1);

> DEplot({ec1, ec2}, [phi(t), theta(t)], t=0..40, [[theta(0)=Pi/2,

D(theta)(0)=0,phi(0)=0,D(phi)(0)=0]], stepsize=0.1);

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3.3 Resultados de las animaciones La figura 1 muestra el movimiento real de los péndulos después de 40 segundos, cuando las longitudes son iguales y la masa del primer péndulo es menor que la del segundo

figura1: 21 ll = 3/21 mm =

Dependencia de los ángulos con el tiempo correspondiente a la figura 1

)(tθ )(tθ

1

2

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La figura 2 muestra el movimiento real (trayectorias) de los péndulos después de 40 segundos, para los valores de los parámetros que se indican

figura 2: 2/21 ll = ; 12 3mm = Las siguientes figuras muestran la dependencia temporal de los ángulos en el tiempo de la figura 2

)(tθ )(tθ

1

2

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La figura 3 muestra el movimiento real (trayectorias) de los péndulos después de 40 segundos, para los valores de los parámetros que se indican

figura 3 : 21 2ll = ; 12 3mm = Las siguientes figuras muestran la dependencia temporal de los ángulos en el tiempo de la figura 3

)(t )(2 t

θ

1

θ
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La figura 4 muestra el movimiento real (trayectorias) de los péndulos después de 40 segundos, para los valores de los parámetros que se indican

figura 4: 21 ll = ; 21 2mm = Las siguientes figuras muestran la dependencia temporal de los ángulos en el tiempo de la figura 4

)(t )(tθ

θ

1

2

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La figura 5 muestra el movimiento real (trayectorias) de los péndulos después de 40 segundos, para los valores de los parámetros que se indican

figura 5: 21 ll = ; 21 mm = Las siguientes figuras muestran la dependencia temporal de los ángulos en el tiempo de la figura 5

)(t )(2 t

θ

1

θ
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La figura 6 ilustra el movimiento real (trayectorias) de los péndulos después de 40 segundos, para los valores de los parámetros que se indican

figura 6: 2/21 ll = ; 21 3mm =

Las siguientes figuras muestran la dependencia temporal de los ángulos en el tiempo de la figura 6

3.4 Conclusiones finales Finalmente cabe destacar que el archivo que permite obtener las figuras anteriores y realizar las animaciones correspondientes, aparece en el sitio: www.apuntesudp.com Bibliografía 1. Landau y Lifshitz, Mecánica 2. J. Pozo, Apuntes de Mecánica Racional (U.D.P.) 3. R. Deveney, Chaotic Dynamical Systems