ÁREAÁREAMATEMÁTICAMATEMÁTICA

Walter R. Yupanqui HuatucoWalter R. Yupanqui HuatucoUniversidad Nacional de EducaciónUniversidad Nacional de Educación

Lima, octubre de 2009Lima, octubre de 2009

APRENDEMOS MATEMÁTICA

Comunicarnos con los demás

Plantear y resolver

problemas

Desarrollar un pensamiento

lógico.

Entender el mundo y desenvolvernos

en él.

Para

¿PARA QUÉ APRENDEMOS MATEMÁTICA?

¿PARA QUÉ APRENDEMOS MATEMÁTICA?¿PARA QUÉ APRENDEMOS MATEMÁTICA?

En la vida cotidiana usamos la matemática aún sin darnos cuenta, En la vida cotidiana usamos la matemática aún sin darnos cuenta, por ejemplo, desde cuando amanece y vemos la hora y por ejemplo, desde cuando amanece y vemos la hora y calculamos el tiempo para llegar a tiempo al trabajo, cuando calculamos el tiempo para llegar a tiempo al trabajo, cuando ordenamos las cosas y clasificamos de acuerdo a algún criterio, ordenamos las cosas y clasificamos de acuerdo a algún criterio, cuando disolvemos proporcionalmente un sólido (azúcar en café, cuando disolvemos proporcionalmente un sólido (azúcar en café, por ejemplo), cuando aplicamos recetas de cocina, cuando por ejemplo), cuando aplicamos recetas de cocina, cuando señalamos las distancias de los recorridos en las carreteras, etc.. señalamos las distancias de los recorridos en las carreteras, etc.. El uso de la matemática ha ido variando con el tiempo; así, en el El uso de la matemática ha ido variando con el tiempo; así, en el pasado ayudó a manejarse mejor en el mundo del comercio y hoy pasado ayudó a manejarse mejor en el mundo del comercio y hoy el uso de las calculadoras y ordenadores; actualmente una el uso de las calculadoras y ordenadores; actualmente una persona sin conocimiento matemático tiene dificultad para persona sin conocimiento matemático tiene dificultad para desenvolverse en la vida cotidiana.desenvolverse en la vida cotidiana.

¿PARA QUÉ APRENDEMOS MATEMÁTICA?¿PARA QUÉ APRENDEMOS MATEMÁTICA?

La enseñanza de la matemática debe contribuir al desarrollo La enseñanza de la matemática debe contribuir al desarrollo personal y social. Pensar y comunicarse matemáticamente es una personal y social. Pensar y comunicarse matemáticamente es una necesidad que todo individuo debe desarrollar, éstas deben ser necesidad que todo individuo debe desarrollar, éstas deben ser atendidas por la escuela para que los estudiantes logren su atendidas por la escuela para que los estudiantes logren su inserción real y autónoma en la sociedad y actúen adecuadamente inserción real y autónoma en la sociedad y actúen adecuadamente en ella.en ella. La resolución de problemas forma parte de la actividad cotidiana, La resolución de problemas forma parte de la actividad cotidiana, el ser humano tiene que desarrollar estas capacidades desde el ser humano tiene que desarrollar estas capacidades desde temprana edad, para que de adulto le sea fácil enfrentar y resolver temprana edad, para que de adulto le sea fácil enfrentar y resolver múltiples situaciones problemáticas que le tocará enfrentar.múltiples situaciones problemáticas que le tocará enfrentar.Desarrollar un pensamiento lógico, significa el desarrollo de Desarrollar un pensamiento lógico, significa el desarrollo de actividades secuenciadas y relacionadas hasta llegar a dar actividades secuenciadas y relacionadas hasta llegar a dar respuesta coherente a una situación problemática planteada respuesta coherente a una situación problemática planteada De esta forma, la matemática es un lenguaje que todos debemos De esta forma, la matemática es un lenguaje que todos debemos aprender para desenvolvernos y comunicarnos con el mundo, y aprender para desenvolvernos y comunicarnos con el mundo, y que no se trata pues solo de resolver operaciones aritméticas. Se que no se trata pues solo de resolver operaciones aritméticas. Se trata de desarrollar el pensamiento lógico-matemático para llevar a trata de desarrollar el pensamiento lógico-matemático para llevar a un nivel más alto de la actividad humana que llamamos razonar.un nivel más alto de la actividad humana que llamamos razonar.

ENSEÑANZA ESCOLAR DE LA MATEMÁTICA

PROCESOS DE PENSAMIENTO

Redescubrir y reconstruir conocimientos matemáticos en

diversos contextos

Aplicar conocimientos matemáticos al resolver

problemas

al

Promueve el desarrollo de

y

ENSEÑANZA ESCOLAR DE LA MATEMÁTICAENSEÑANZA ESCOLAR DE LA MATEMÁTICA

La matemática, pensada en razón de su enseñanza y La matemática, pensada en razón de su enseñanza y aprendizaje, debe ser considerada más como proceso de aprendizaje, debe ser considerada más como proceso de pensamiento que como acumulación de información. Este pensamiento que como acumulación de información. Este proceso implica reconstruir y aplicar conocimientos proceso implica reconstruir y aplicar conocimientos matemáticos conectados lógicamente, que en la mayoría de los matemáticos conectados lógicamente, que en la mayoría de los casos, han surgido de la necesidad de resolver problemas de la casos, han surgido de la necesidad de resolver problemas de la vida real, de la ciencia y la tecnología.vida real, de la ciencia y la tecnología.En la actualidad todavía se observa en muchas sesiones de En la actualidad todavía se observa en muchas sesiones de aprendizaje que la actividad mental del alumno se reduce, en la aprendizaje que la actividad mental del alumno se reduce, en la mayoría de los casos, a tomar algunas notas mecánicamente, mayoría de los casos, a tomar algunas notas mecánicamente, que resumen las conclusiones presentadas por el maestro, o se que resumen las conclusiones presentadas por el maestro, o se dedique a tomar textualmente un dictado, a realizar algunos dedique a tomar textualmente un dictado, a realizar algunos ejercicios en que se repiten los mismos pasos ya presentados, o ejercicios en que se repiten los mismos pasos ya presentados, o memorizar ejercicios que el docente resuelve. Con esta actividad memorizar ejercicios que el docente resuelve. Con esta actividad insuficiente, no hay inicio de aprendizaje real que pueda insuficiente, no hay inicio de aprendizaje real que pueda traducirse después en una motivación para profundizar y ampliar traducirse después en una motivación para profundizar y ampliar lo estudiado; no hay solidez en lo aprendido ni relaciones con lo estudiado; no hay solidez en lo aprendido ni relaciones con los nuevos conocimientos, no se aprecia en los alumnos un los nuevos conocimientos, no se aprecia en los alumnos un pensamiento crítico y creador.pensamiento crítico y creador.

ENSEÑANZA ESCOLAR DE LA MATEMÁTICAENSEÑANZA ESCOLAR DE LA MATEMÁTICA

Una destacada pedagoga cubana Rosario Martínez Verde, Una destacada pedagoga cubana Rosario Martínez Verde, plantea :plantea :Aunque se seleccione racionalmente lo que los alumnos Aunque se seleccione racionalmente lo que los alumnos y alumnas deben aprender, aunque se empleen los métodos y y alumnas deben aprender, aunque se empleen los métodos y los medios de enseñanza más afectivos para hacer más rápido y los medios de enseñanza más afectivos para hacer más rápido y sólido el aprendizaje, si no se enseña a los alumnos a aprender sólido el aprendizaje, si no se enseña a los alumnos a aprender por sí mismos, en el futuro no podrán solucionar los problemas por sí mismos, en el futuro no podrán solucionar los problemas que la vida les proporcionará.que la vida les proporcionará.Para que aprendan matemática es necesario que hagan Para que aprendan matemática es necesario que hagan matemática: ante una situación problemática, el alumno o matemática: ante una situación problemática, el alumno o alumna muestra asombro, elaboran supuestos, buscan alumna muestra asombro, elaboran supuestos, buscan estrategias para dar respuestas a interrogantes, descubren estrategias para dar respuestas a interrogantes, descubren diversas formas para resolver las cuestiones planteadas, diversas formas para resolver las cuestiones planteadas, desarrollan actitudes de confianza y constancia en la búsqueda desarrollan actitudes de confianza y constancia en la búsqueda de soluciones. Debemos promover el desarrollo de los de soluciones. Debemos promover el desarrollo de los conocimientos lógicos matemáticos que permita al alumno y conocimientos lógicos matemáticos que permita al alumno y alumna realizar elaboraciones mentales para que así alumna realizar elaboraciones mentales para que así comprendan el mundo que les rodea, y se ubiquen y actúen en comprendan el mundo que les rodea, y se ubiquen y actúen en él. El entorno presenta desafíos para solucionar problemas y él. El entorno presenta desafíos para solucionar problemas y ofrece múltiples oportunidades para desarrollar competencias ofrece múltiples oportunidades para desarrollar competencias (capacidades y actitudes) matemáticas.(capacidades y actitudes) matemáticas.

PROPÓSITOS DE LA MATEMÁTICAPROPÓSITOS DE LA MATEMÁTICA

Forma de razonamiento

(Explorar, conjeturar, interpretar, explicar, representar, predecir, etc.)

Valor formativo

Valor instrumental

Valor social

Utilidad para resolver

problemas

Medio de comunicación

radica en por su como

PROPÓSITOS DE LA MATEMÁTICAPROPÓSITOS DE LA MATEMÁTICA

La matemática tiene: un valor formativo (formación La matemática tiene: un valor formativo (formación matemática), basado en su método de razonamiento, matemática), basado en su método de razonamiento, un valor instrumental por su utilidad para la un valor instrumental por su utilidad para la resolución de problemas y un valor social, como resolución de problemas y un valor social, como medio de comunicación.medio de comunicación.Para el logro de estos propósitos se hace necesario Para el logro de estos propósitos se hace necesario reorientar la labor docente. Así por ejemplo, al reorientar la labor docente. Así por ejemplo, al trabajar la capacidad de resolución de problemas no trabajar la capacidad de resolución de problemas no es conveniente presentarlo como aplicación de es conveniente presentarlo como aplicación de contenidos aprendidos a través de ejercicios para contenidos aprendidos a través de ejercicios para aplicar los algoritmos donde lo importante es la aplicar los algoritmos donde lo importante es la respuesta, sino por el contrario se trata de promover respuesta, sino por el contrario se trata de promover la actividad creadora y la búsqueda de estrategias la actividad creadora y la búsqueda de estrategias para la resolución del problema. Debido a los para la resolución del problema. Debido a los cambios constantes y acelerados que se dan cambios constantes y acelerados que se dan actualmente en nuestra sociedad, los contenidos se actualmente en nuestra sociedad, los contenidos se conviertan rápidamente en “ideas inertes”, por lo conviertan rápidamente en “ideas inertes”, por lo que es más valioso propiciar en los estudiantes el que es más valioso propiciar en los estudiantes el desarrollo de procesos del pensamiento antes que desarrollo de procesos del pensamiento antes que simplemente la acumulación de contenidos.simplemente la acumulación de contenidos.

RESOLUCIÓN DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMASPROBLEMAS

RAZONAMIENTO Y RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓNDEMOSTRACIÓN

COMUNICACIÓN COMUNICACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICA

CAPACIDADES FUNDAMENTALES Y ESPECÍFICAS

•Identificar

•Interpretar

•Relacionar

•Modelar

•Resolver

•Calcular

•Estimar

•Formular

•Argumentar

•Representar

•Graficar

•Recodificar

Formula: Matematiza una situación concreta, propone operaciones, modela, simboliza, procesa

Algoritmiza : Señala y ordena procesos, muestra, emite, aplica, procesa.

Estima: Cuantifica en forma aproximada, redondea para calcular, redondea un cálculo, aplica definiciones.

Resuelve: Calcula, infiere, explica, emite, aplica, examina, procesa, analiza.

RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS

Identifica: Registra, muestra discrimina, distingue, diferencia, compara, caracteriza, selecciona, señala, elige, organiza, comprende.

Permitirá que el estudiante manipule los objetos Permitirá que el estudiante manipule los objetos matemáticos, active su propia capacidad mental, ejercite su matemáticos, active su propia capacidad mental, ejercite su creatividad, reflexione y mejore un proceso de pensamiento. creatividad, reflexione y mejore un proceso de pensamiento. Esto exige que los docentes planteen situaciones que Esto exige que los docentes planteen situaciones que constituyan desafíos, de tal manera que el estudiante constituyan desafíos, de tal manera que el estudiante observe, organice datos, analice, formule hipótesis, observe, organice datos, analice, formule hipótesis, reflexione, experimente, empleando diversas estrategias, reflexione, experimente, empleando diversas estrategias, verifique y explique las estrategias utilizadas al resolver el verifique y explique las estrategias utilizadas al resolver el problema; es decir, valorar tanto los procesos como los problema; es decir, valorar tanto los procesos como los resultados. resultados. Resolver problemas no es sólo un objetivo de aprendizaje Resolver problemas no es sólo un objetivo de aprendizaje de las matemáticas, sino también un medio por el cual se de las matemáticas, sino también un medio por el cual se aprende matemática.aprende matemática.Una situación problemática o problema que requiere ser Una situación problemática o problema que requiere ser resuelto hace que los niños y niñas recurran a los resuelto hace que los niños y niñas recurran a los conocimientos que poseen para encontrar su solución, a conocimientos que poseen para encontrar su solución, a través de esta capacidad, muchas veces adquieren través de esta capacidad, muchas veces adquieren nociones matemáticas nuevas.nociones matemáticas nuevas.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMASRESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Pensamiento Lógico

Pensamiento Crít ico

Pensamiento Reflexivo

Pensamiento Creativo

PENSAMIENTO EN LA SOLUCIÓN DE PENSAMIENTO EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMASPROBLEMAS

LOS PENSAMIENTOS EN LA RESOLUCIÓN DE LOS PENSAMIENTOS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASPROBLEMAS

El pensamiento críticoEl pensamiento crítico tendrá que ponerse tendrá que ponerse en acción cada vez que no se logra llegar al en acción cada vez que no se logra llegar al resultado y hay que revisar los razonamientos resultado y hay que revisar los razonamientos que nos condujeron al error.que nos condujeron al error.El pensamiento creativoEl pensamiento creativo se pondrá de se pondrá de manifiesto al buscar las estrategias más manifiesto al buscar las estrategias más apropiadas para abordar cada tipo de apropiadas para abordar cada tipo de problema.problema.El pensamiento lógicoEl pensamiento lógico permitirá deducir, permitirá deducir, hipotetizar, plantear posibles respuestas que hipotetizar, plantear posibles respuestas que luego deberán verificarse. luego deberán verificarse. El pensamiento reflexivoEl pensamiento reflexivo revisará los datos revisará los datos obtenidos en cada momento del proceso de obtenidos en cada momento del proceso de solución, comprobará las respuestas.solución, comprobará las respuestas.

LA ENSEÑANZA EN LA RESOLUCIÓN DE LA ENSEÑANZA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASPROBLEMAS

Enseñar "A TRAVÉS" de la resolución

de problemas

Enseñar "SOBRE"

resolución de problemas

Enseñar "PARA" resolver

problemas

PROBLEMAS

LA ENSEÑANZA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASLA ENSEÑANZA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Los problemas se pueden proponer a los alumnos Los problemas se pueden proponer a los alumnos persiguiendo diversos objetivos como desarrollar persiguiendo diversos objetivos como desarrollar estrategias y procedimientos generales o específicos del estrategias y procedimientos generales o específicos del pensamiento matemático, o motivar y hacer signifcativa el pensamiento matemático, o motivar y hacer signifcativa el aprendizaje de una noción matemática.aprendizaje de una noción matemática.En el primer caso, la resolución de problema es objeto de En el primer caso, la resolución de problema es objeto de aprendizaje y hablamos de “aprender a resolver aprendizaje y hablamos de “aprender a resolver problemas” o a “pensar matemáticamente”. problemas” o a “pensar matemáticamente”. En el segundo caso, la resolución de problemas es En el segundo caso, la resolución de problemas es instrumento o herramienta de aprendizaje instrumento o herramienta de aprendizaje y hablamos de y hablamos de “aprender resolviendo problemas”“aprender resolviendo problemas”

LA ENSEÑANZA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASLA ENSEÑANZA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Aprender a resolver problemasAprender a resolver problemas. La resolución de problemas puede . La resolución de problemas puede focalizar el aprendizaje de las matemáticas, en el sentido de que éste focalizar el aprendizaje de las matemáticas, en el sentido de que éste se centre en transmitir a los alumnos aquellas ideas, estrategias, se centre en transmitir a los alumnos aquellas ideas, estrategias, procesos, actitudes, etc., que sean útiles y eficaces para resolver procesos, actitudes, etc., que sean útiles y eficaces para resolver problemas.problemas.Aprender a pensar matemáticamenteAprender a pensar matemáticamente. Se entiende como modelizar, . Se entiende como modelizar, simbolizar, abstraer y aplicar ideas matemáticas a un amplio rango de simbolizar, abstraer y aplicar ideas matemáticas a un amplio rango de situaciones, gracias a la disponibilidad de herramientas que permitan situaciones, gracias a la disponibilidad de herramientas que permitan abordarlas con éxito. En este marco los problemas juegan un papel abordarlas con éxito. En este marco los problemas juegan un papel esencial como punto de partida de discusiones matemáticas.esencial como punto de partida de discusiones matemáticas.Aprender resolviendo problemasAprender resolviendo problemas. Los problemas se utilizan para . Los problemas se utilizan para ayudar a los alumnos a aplicar sus conocimientos para responder a ayudar a los alumnos a aplicar sus conocimientos para responder a las situaciones que se les plantean, si estas son insuficientes, las situaciones que se les plantean, si estas son insuficientes, despertará el interés de incorporar nuevos conocimientos. Así la despertará el interés de incorporar nuevos conocimientos. Así la resolución de problemas servirá de contexto para el desarrollo de la resolución de problemas servirá de contexto para el desarrollo de la sesión de enseñanza y aprendizaje. sesión de enseñanza y aprendizaje.

CARACTERÍSTICAS DE UNCARACTERÍSTICAS DE UN “BUEN” PROBLEMA “BUEN” PROBLEMA

••    Ser desafiante para el estudiante.Ser desafiante para el estudiante.

••    Ser interesante para el estudiante.Ser interesante para el estudiante.

•• Ser generador de diversos procesos Ser generador de diversos procesos

de pensamientode pensamiento..

•• Poseer un nivel adecuado de Poseer un nivel adecuado de

dificultad. dificultad.

¿CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA?

Comprensión del problema

Diseño o adaptación de una estrategia

Ejecución de la estrategia

¿Funciona?

Retrospección y verificación del resultado

Comunicación de los procesos y del resultado

SI

NO

Comprender el problema. Exige el haber desarrollado convenientemente la capacidad de comprensión lectora. Luego, la tarea consiste en identificar la incógnita, las condiciones del problema y efectuar representaciones gráficas o diagramas, lo que permitirá idear un plan de solución.

Elaborar un plan de solución. Se deben establecer conexión entre datos, condiciones y requerimientos del problema; esto permitirá plantear ecuaciones y proponer estrategias de solución como: efectuar una o más operaciones aritméticas, organizar la información en una tabla, buscar patrones, inducir la aplicación de fórmulas.

Ejecutar el plan. Llevará a cabo el plan establecido, verificando paso a paso el proceso que sigue y efectuará los cálculos necesarios.

Hacer la retrospección y verificación. Deben comprobar y analizar el resultado obtenido. Este momento es un excelente ejercicio de aprendizaje que sirve para detectar y corregir errores. Como forma de verificación deben buscar diferentes formas de solución, así como establecer la coherencia de la respuesta con las condiciones del problema.

PROCESO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Requiere además de la reflexión, el desarrollo del pensamiento crítico y creativo del alumno, para ello se propone que el estudiante:

• Compruebe que la respuesta es posible y razonable. Por ejemplo, un peso de 224,50 kilogramos no parece posible para alguien que tenga siete años de edad, tiene más sentido decir que pesa 22,45 kilogramos.

• Cambie las condiciones del problema. En esta actividad, el docente y los estudiantes realizan cambios en las condiciones propuestas inicialmente en el problema, incrementando la dificultad y el requerimiento. Responder interrogantes como: ¿qué ocurre si...?¿y si...? conduce a procesos de pensamiento más profundos.

∀• Formule problemas. En esta etapa, el alumno debe tratar de formular problemas similares a los que trabajaron, los que podrán resolver utilizando estrategias y procedimientos que emplearon en la solución del problema original.

Comunicar sus hallazgos en forma oral y escrita. Para un mejor logro de aprendizajes, debe darse a los estudiantes la oportunidad para que compartan las soluciones con sus compañeros, para que todos se beneficien de la experiencia, Asimismo, se recomienda que analicen sobre el proceso seguido en la resolución del problema, examinando sus estrategias.

PROCESO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Relaciona: Muestra propiedades, vincula objetos y proposiciones matemáticas, verifica hipótesis, aplica y explica definiciones y propiedades, cuestiona y examina procesos.

Recodifica : Descompone códigos, desagrega propiedades, relaciones, aplica definiciones.

Argumenta : Fundamenta, relaciona procesos matemáticos, muestra propiedades, explica los procesos empleados, formula juicios.

Razonamiento y demostración

Proporcionan formas de argumentación Proporcionan formas de argumentación basados en la lógica. Razonar y pensar basados en la lógica. Razonar y pensar analíticamente, implica identificar analíticamente, implica identificar patrones, estructuras o regularidades, patrones, estructuras o regularidades, tanto en situaciones del mundo real como tanto en situaciones del mundo real como en situaciones abstractas. en situaciones abstractas.

RAZONAMENTO Y DEMOSTRACIÓNRAZONAMENTO Y DEMOSTRACIÓN

Interpreta: Expresa, descubre, encuentra, explica, organiza, examina, ordena, procesa, representa, comprende.

Grafica: Dibuja, esquematiza, muestra, construye, señala, emite, representa.

Matematiza: Modela, simboliza, esquematiza, examina, procesa, representa.

La comunicación

matemática

Esto implica valorar la matemática entendiendo Esto implica valorar la matemática entendiendo y apreciando el rol que cumple en la sociedad, y apreciando el rol que cumple en la sociedad, es decir, comprender e interpretar diagramas, es decir, comprender e interpretar diagramas, gráficas y expresiones simbólicas, que gráficas y expresiones simbólicas, que evidencian las relaciones entre conceptos y evidencian las relaciones entre conceptos y variables matemáticas para darles significado, variables matemáticas para darles significado, comunicar argumentos y conocimientos, así comunicar argumentos y conocimientos, así como para reconocer conexiones entre como para reconocer conexiones entre conceptos matemáticos y para aplicar la conceptos matemáticos y para aplicar la matemática a situaciones problemáticas reales.matemática a situaciones problemáticas reales.

COMUNICACIÓN MATEMÁTICACOMUNICACIÓN MATEMÁTICA