Pensamiento numrico del preescolar a la educacin bsicaGilberto Obando Zapata Norma L. Vsquez Lasprilla76

Introduccin

T

al como lo expresa el Ministerio de Educacin Nacional en su documento sobre los Lineamientos Curriculares en el rea de matemticas8, el desarrollo del Pensamiento Numrico es el nuevo nfasis sobre el cual debe realizarse el estudio de los Sistemas Numricos. As, desde el estudio profundo de los Sistemas Numricos, se pueden desarrollar habilidades para comprender los nmeros, usarlos en mtodos cualitativos o cuantitativos, realizar estimaciones y aproximaciones, y en general, para poder utilizarlos como herramientas de comunicacin, procesamiento e interpretacin de la informacin en contexto, con el fin de fijar posturas crticas frente a ella, y as participar activamente en la toma de decisiones relevantes para su vida personal o en comunidad.el pensamiento numrico se refiere a la comprensin en general que tiene una persona sobre los nmeros y las operaciones junto con la habilidad y la inclinacin a usar esta comprensin en formas flexibles para hacer juicios matemticos y para desarrollar estrategias tiles al manejar nmeros y operaciones(McIntosh, 1992).

x Desde una perspectiva ms amplia, Resnick, 1989 (citada por Judith Sowder, 1992), propone que el pensamiento numrico debe ser considerado como una forma de pensamiento superior y que por tanto debe presentar caractersticas como: x No algortmico, esto es, el camino de la accin no est totalmente especificado de antemano. x Tiende a ser complejo: el camino total no es visible (mentalmente hablando) desde ningn lugar en particular. x Abre un campo de soluciones mltiples, cada una con costos y beneficios, antes que una nica solucin. x Involucra juzgar e interpretar. x Involucra la aplicacin de mltiples criterios, los cuales algunas veces entran en conflicto con otros. x Involucra la incertidumbre: no siempre que iniciamos una tarea, conocemos el camino para su solucin. x Involucra autorregulacin de los procesos de pensamiento, ... x Involucra imposicin del significado, encontrando estructura en el aparente desorden. x El pensamiento es esfuerzo total. Existe un considerable trabajo mental en el tipo de elaboraciones y juicios que se requieren.

Profesor Facultad de Educacin, Universidad de Antioquia. Estudiante del Doctorado Interinstitucional en Educacin, Universidad del Valle. e mail 1: gobando@une.net.co e mail 2: gobando@ayura.udea.edu.co. 7 Profesora Instituto de Educacin y Pedagoga, Universidad del Valle. Estudiante de la maestra en Educacin, Universidad de Antioquia E mail: nlvasquez@ayura.udea.edu.co 8 Ministerio de Educacin Nacional. (1998). Lineamientos curriculares para el rea de matemticas. Bogot, p 131.

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x La anterior cita muestra como el desarrollo del pensamiento numrico es un proceso cuya construccin implica largos periodos de tiempo, ya que involucra no solo aspectos conceptuales de las matemticas, sino tambin el desarrollo mismo de la cognicin humana. En los Lineamientos Curriculares se proponen ideas similares a propsito de los nfasis sobre los cuales se debe estructurar el currculo de matemticas en el sistema educativo colombiano:El pensamiento numrico se adquiere gradualmente y va evolucionando en la medida en que los alumnos tienen la oportunidad de pensar en los nmeros y de usarlos en contextos significativos, y se manifiesta de diversas maneras de acuerdo con el desarrollo del pensamiento matemtico. En particular, es fundamental la manera como los estudiantes escogen, desarrollan y usan mtodos de clculo, incluyendo clculo escrito, clculo mental, calculadoras y estimacin, pues el pensamiento numrico juega un papel muy importante en el uso de cada uno de estos mtodos. La invencin de un algoritmo y su aplicacin hace nfasis en aspectos del pensamiento numrico tales como la descomposicin y la recomposicin, y la comprensin de las propiedades numricas. Cuando se usa un algoritmo ya sea utilizando papel y lpiz o calculadora, el pensamiento numrico es importante cuando se reflexiona sobre las respuestas. Otras situaciones que involucran el desarrollo del pensamiento numrico hacen referencia a la comprensin del significado de los nmeros, a sus diferentes interpretaciones y representaciones, a la utilizacin de su poder descriptivo, al reconocimiento del valor (tamao) absoluto y relativo de los nmeros, a la apreciacin del efecto de las distintas operaciones, al desarrollo de puntos de referencia para considerar nmeros. En general, estos puntos de referencia son valores que se derivan del contexto y evolucionan a travs de la experiencia escolar y extraescolar de los estudiantes. Otro indicador valioso del pensamiento numrico es la utilizacin de las operaciones y de los nmeros en la formulacin y resolucin de problemas y la comprensin entre el contexto del problema y el clculo necesario, lo que da pistas para determinar si la solucin debe ser exacta o aproximada y tambin si los resultados a la luz de los datos del problema son o no razonables. El contexto mediante el cual se acercan los estudiantes a las matemticas es un aspecto determinante para el desarrollo del pensamiento. Por tanto, para la adquisicin del sentido numrico es necesario proporcionar situaciones ricas y significativas para los alumnos. Claramente, el pensamiento numrico es a veces determinado por el contexto en el cual las matemticas evolucionan. Por ejemplo, mientras un estudiante en la escuela no se incomoda porque 514 sea la suma de 28 + 36, el mismo estudiante en una tienda puede exigir que se le revise la cuenta si tiene que pagar $ 5140 por dos artculos cuyos precios son $ 260 y $ 380. Para otro estudiante resulta ms fcil decir que en libra de queso hay ms queso que en de libra, que determinar cual es mayor entre y . La manera como se trabajen los nmeros en la escuela contribuye o no a la adquisicin del pensamiento numrico. Los estudiantes que son muy hbiles para efectuar clculos con algoritmos de lpiz y papel (este es el indicador mediante el cual se mide con frecuencia el xito en matemticas) pueden estar o no, desarrollando este pensamiento. Cuando un estudiante de 6 grado dice que3 4

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o un estudiante de 2 grado afirma que

40 36 16 , estn intentando aplicar un algoritmo que han aprendido pero no estn manifestando pensamiento numrico. MEN, 1998, p 43 y 44

Surge entonces una gran pregunta para la escuela: Cmo organizar la estructura curricular del rea de matemticas con el fin de lograr el desarrollo de un pensamiento matemtico en los estudiantes, coherente con los planteamientos propuestos en los Lineamientos Curriculares, Estndares Bsicos de Matemticas, y en general, con los planteamientos actuales de la Didctica de las matemticas en el mbito nacional e internacional? Por supuesto, un intento de respuesta ni es simple ni inmediato. El desarrollo del pensamiento numrico de los nios empieza antes de su ingreso a la escuela, cuando hacia los dos o tres aos, a travs de la interaccin con otros adultos (fundamentalmente sus padres) desarrollan no solo las habilidades y competencias relativas al lenguaje materno, sino que, gracias a

esas interacciones, tambin desarrollan una serie de intuiciones sobre lo numrico, las cuales se muestran en competencias relativas al conteo9, percepcin del cardinal de pequeas colecciones10, incluso, la posibilidad de composiciones y descomposiciones de las mismas. Si bien no puede decirse que estas actuaciones constituyan un conocimiento amplio del nmero ni en el sentido matemtico (aun no pueden reconocerse las propiedades matemticas bsicas del sistema de los nmeros naturales ni psicolgico (la complejidad lgica de estos conocimientos es aun incipiente), si puede afirmarse que estas primeras intuiciones numricas son la base para el posterior desarrollo de los aspectos psicolgicos y matemticos del mismo. Desde el punto de vista psicolgico, se deben estructurar las operaciones lgicas de clases de seriacin y de inclusin, que son las que permiten, siguiendo a Piaget, la construccin de la nocin de cardinalidad, y orden estable, y por consiguiente, del nmero como una clase lgica. Esta construccin de los aspectos cognitivos del nmero es un asunto del desarrollo normal de la persona, y el papel de la escuela en este proceso es importante, pero no enseando las actividades piagetianas de seriacin, clasificacin, ordenacin, conservacin, etc., sino a partir de promover situaciones en las cuales el papel de la interaccin social del nio con otros nios y adultos sea factor fundamental para el desarrollo de stas, en tanto que le posibiliten el proceso de adquisicin de las competencias lingsticas, pragmticas, y conceptuales necesarias para su desarrollo. En otras palabras, el aprendizaje del nmero no es solo un problema de desarrollo cognitivo, sino que el contexto sociocultural en el que el nio despliega su actividad es determinante en los logros que puede alcanzar. As pues, aceptando que la escuela juega un papel importante en el desarrollo del pensamiento numrico, y que este es un proceso de larga duracin, se pueden proponer los siguientes aspectos sobre los cuales centrar los esfuerzos en el contexto escolar: x Conocimiento de los mltiples usos de los nmeros. x El conteo y las estrategias para operar a travs del conteo. x La comprensin de las relaciones y las operaciones. x Comprensin del sistema de numeracin decimal. x Sentido de nmero y estimacin. x Trascender los nmeros naturales. El siguiente esquema presenta relaciones bsicas entre los principales conceptos relacionados con el pensamiento numrico

9 Por contar se entiende no el recitar la secuencia de palabras nmero, sino al establecimiento de la correspondencia entre stas y los objetos de la coleccin que se desea contar. Aunque es de anotar que en esas edades se cometen muchos errores al establecer esta correspondencia, y que el conteo, ms que dar cuenta de la cantidad de objetos de una coleccin (cardinal), lo que hace es asignar etiquetas a los objetos contados (el tres no significa tres objetos, sino ms bien el tercer objeto contado). 10 Desde edades muy tempranas los nios reconocen perceptualmente colecciones de hasta tres o cuatro objetos sin necesidad de recurrir a su conteo. Dicho proceso se conoce como subitizing.

Cardinal

Ordinal

Cdigo

Medida

Representaciones Simblicas Verbal Escrita Posicional

Dominio y uso de su campo semntico

Concepto de Nmero

Simples Mltiples Combinatori

Tratamiento de Magnitudes Contar Discretas Medir Continuas

Operaciones Bsicas

Base 10 Algoritmos

Estructuras Aditivas Estructuras Multiplicativas

Orientadas/ Escalares Vectoriales

Proporcionalidad Positivo/Negativo Positivo/Negativo

Naturale

Enteros No Densos

Racionales

Irracionales Densos

Incompletos Nmeros Reales

1. CONOCIMIENTO DE LOS MLTIPLES USOS DE LOS NMEROSLos nmeros en la vida cotidiana pueden ser usados de muchas maneras: como secuencia verbal, para cuantificar, para medir, para expresar un orden, para etiquetar, para marcar una locacin, o simplemente como una tecla para pulsar (en el caso de las calculadoras), (MEN, 1998; Decorte, Verschafel, 1996).

Los Nmeros como secuencia verbalEsta es quizs una de las primeras identificaciones que el nio hace con respecto al nmero. Desde una edad muy temprana, cuando se inicia el desarrollo del lenguaje, los nios comprenden que existen palabras para referirse a las cosas o las acciones, y otras palabras especiales con las cuales referirse al contar11. No quiere decir esto que los nios en esos momentos iniciales sepan contar, sino que identifican la existencia de palabras para referirse a esa accin es especial. Esta iniciacin al uso de las palabras nmeros cumple una funcionalidad muy importante en el aprendizaje del conteo: de un lado, permite que los nios aprendan las palabras nmero, y de otro, con la correccin del adulto, interiorizan el orden en que ellas deben ser aprendidas. Si bien pronunciar las palabras nmero no es contar en el sentido estricto de la palabra, conocer las palabras y su orden es uno de los aspectos claves en su aprendizaje. Adems, cuando este aprendizaje se hace unido a las acciones mismas de contar, y no solo a partir de accin de repetir las palabras nmero como si se tratara de una cancin o un retahla de palabras, stas palabras nmero se aprenden en contexto y con significado, lo que hace ms fcil los aprendizajes posteriores con respecto al nmero.

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As, hacia los dos aos, los nios usan algunas palabras, como por ejemplo: uno tres cinco, etc., para referirse a acciones que indiquen contar, y cuando se les pide contar, no usan otras palabras como, gato, perro, etc., que son comunes en su vocabulario.

Los nmeros para etiquetarLos nmeros como etiquetas tienen varios sentidos: de un lado puede identificar cierto uso que da el nio a las palabras nmero cuando est en proceso de aprender a contar, pero de otro, puede referirse al uso que al nmero como cdigo de identificacin de personas, objetos, funciones etc. Cuando el nio inicia el aprendizaje del conteo, una etapa inicial del proceso est referida al uso de las palabras nmero como etiquetas. Esto es, para el nio, cada palabra nmero enunciada, no representa la cantidad de objetos contados hasta el momento, sino el ltimo objeto sealado12. Es decir, la palabra nmero no expresa cantidad sino formas de nombrar los objetos. Esto se va superando en la medida que los nios interiorizan la nocin de cantidad, y sobre todo, en la medida que reconocen y memorizan de manera perceptual las cantidades o colecciones de muestra. Por ejemplo, reconocen donde hay dos o tres objetos sin necesidad de contar13. El otro sentido, ya no depende de la comprensin del nio, sino de los usos culturales del nmero. Los nmeros de las cdulas, de los telfonos, de las camisetas de los jugadores de ftbol, etc., no comportan el significado de nmero en el sentido estricto de la palabra. Son tan solo etiquetas para identificar algo: una persona (la cdula), una cuenta (el telfono) y una funcin (el juego del ftbol). Como puede verse en los ejemplos sealados, con dichos nmeros no tiene sentido las operaciones clsicas de sumar o restar, aunque si indican una clasificacin. Esto es, los nmeros como etiquetas cumplen la funcin de clasificar objetos, y dependiendo del contexto en que sean usados, esta clasificacin es ms detallada o no. Por ejemplo, en el caso de los cdigos de barra que identifican los productos que se venden en una tienda, almacn o supermercado, las barras representan una secuencia de nmeros14 los cuales se utilizan representar caractersticas del producto: fabricante, tipo de producto, nacionalidad, etc.

Los nmeros para contarComo se ver ms adelante, contar es una accin fundamental en el desarrollo del pensamiento numrico, sobre todo, al inicio de las conceptualizaciones ms elementales con respecto al nmero. Pero no siempre que se repite una secuencia de palabras nmero se est usando el nmero en su sentido de contar. Los nmeros se usan para contar, cuando el resultado final de la accin expresa la cantidad (cardinalidad) de una coleccin de objetos. En tal sentido, establecer correctamente la correspondencia uno a uno de las palabras nmero con los objetos de la coleccin que se quiere contar no es suficiente para que el nmero exprese cantidad, aunque si es condicin necesaria. Esta significacin se logra, cuando en la accin de establecer la correspondencia biunvoca, cada nueva palabra nmero usada expresa la totalidad de objetos contados hasta el momento, y no tan solo como una etiqueta que representa el ltimo objeto contado.

Los nmeros para medirEn el mismo sentido del tem anterior, no siempre se tiene la necesidad de cuantificar cantidades

Esto se evidencia en acciones como las siguientes: despus de contar cuatro objetos se le pregunta al nio que muestre donde hay tres, y generalmente seala el tercer objeto contado. Esto demuestra que la palabra tres aun no significa cantidad, sino una forma de uno de los objetos contados. 13 Este reconocimiento de las cantidades iniciales pues dos objetos siempre estn en lnea, mientras que tres siempre estn en tringulo. De ah que la visualizacin juega un papel importante. Adems, culturalmente, se induce al nio en la representacin de estas cantidades en sus dedos, sobre todo a partir de solicitarle que represente su edad en los dedos de las manos, en los juegos, al contar uno, dos, tres, (y salte), etc. 14 Representar los nmeros por barras es un asunto de tecnologa, pues de es forma se facilita su lectura electrnica.

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discretas. Muy a menudo, se debe cuantificar magnitudes continuas. En tales casos, el nmero expresa una cantidad, pero ahora como resultado de una medicin. En estos casos, por lo general ya no se trata de nmero enteros, sino de nmeros racionales, o incluso de nmeros irracionales. Los nmeros como resultado de una medida constituyen una de las fuentes de sentido y significado ms importantes para el desarrollo del pensamiento numrico. Es precisamente la necesidad de expresar la medida de magnitudes de diferente naturaleza la que se constituye como fuente fenomenolgica para la construccin conceptual de los diferentes sistemas numricos.

Los nmeros para ordenarUnido a lo anterior est el sentido de los nmeros como criterio organizador de una secuencia. Se trata un sentido del nmero en que no es solo cantidad, sino que a travs de la nocin de cantidad se establece la organizacin de una secuencia de eventos, acciones, etc. En este sentido el significado del nmero en juego no es el de cantidad, sino el de orden. En este caso, la nocin de cantidad es el referente bsico para definir el orden de aquello que se quiere organizar. Todo lo anterior muestra la necesidad del desarrollo de una propuesta curricular con una amplia riqueza de situaciones a travs de las cuales los alumnos puedan tomar conciencia de esta multiplicidad de sentidos y significados de los nmeros.

2. EL CONTEO Y EL APRENDIZAJE DEL NMERO NATURALPor lo general, cuando se piensa en el aprendizaje del nmero natural, se piensa bsicamente en los primeros aprendizajes que el nio realiza en el preescolar y/o primero primaria. Nada ms lejos de la realidad que tal planteamiento. Tal aprendizaje est presente, por lo menos, a lo largo de toda la educacin bsica. Esta afirmacin tan fuerte debe ser sustentada con cuidado. Durante mucho tiempo las actividades de enseanza del nmero centraron la atencin en las tareas piagetianas sobre conservacin, seriacin y clasificacin. Hoy en da se ha demostrado que estas actividades no mejoran la comprensin numrica de los nios (De Corte y Verschafel, 1996), y que por el contrario, centrar el trabajo sobre el conteo y las estrategias del conteo a travs de la solucin de problemas sencillos, trae grandes desarrollos en los procesos de conceptualizacin de los alumnos. En consonancia con los planteamientos piagetianos, en nuestro sistema educativo es muy comn la estrategia de ensear el concepto de nmero natural a partir la nocin de cardinal, el cual se supone es el resultado de la abstraccin del trabajo con colecciones15. Una vez aprendidos los nmeros, as a secas, se pasa al estudio de las operaciones, el cual se restringe bsicamente al aprendizaje de los algoritmos para calcular los resultados, y no de las operaciones en si mismas. Finalmente se trabaja la solucin de problemas, donde se aplican los conceptos estudiados anteriormente. Esta perspectiva de trabajo desarticulado, no permite el desarrollo del pensamiento numrico tal como se propone en los Lineamientos Curriculares. Saber el nmero cinco es mucho ms que reconocer una coleccin de cinco unidades, o reconocer el numeral 5. Es reconocer que 5 es 3+2, 4+1, 102, etc., es reconocer que 3