Pensar creativamente

Se nos plantea este siguiente dilema tico-moral, que incluso ha sido formulado en varias entrevista de trabajo.Conducimos nuestro coche durante una noche bajo una espantosa tormenta. Pasamos por una parada de autobs en la que se encuentran tres personas esperando:1. Una mujer anciana que parece a punto de morir.2. Un buen y viejo amigo que nos salv la vida hace tiempo.3. El hombre perfecto o la mujer de nuestros sueos (elegir una de las dos opciones).

A cul llevaramos en el coche, teniendo en cuenta que slo tenemos sitio para un pasajero?Podramos llevar a la anciana, ya que su estado es grave y puede morir, as que quizs sera la que ms necesitara ayuda. O bien podramos llevar a nuestro buen amigo, ya que nos salv la vida una vez y estamos en deuda con l. No obstante, tal vez nunca volvamos a encontrar a la persona perfecta capaz de cumplir todos nuestros sueos.De qu forma se puede pensar creativamente para llegar a una solucin satisfactoria?

Simplemente contest: Le dara las llaves del coche a mi amigo, y le pedira que llevara a la anciana al hospital, mientras yo me quedara esperando el autobs con la mujer de mis sueos.Moraleja: Debemos superar las aparentes limitaciones que nos plantean los problemas, y aprender a pensar creativamente.

Qu es el diagrama de Venn?

Esencialmente, se conoce aldiagrama de Venncomo una forma de mostrar de manera grfica, una agrupacin de elementos segn los conjuntos, siendo representado cada conjunto con una circunferencia. Esta clase de grficos se emplean en laTeora de Conjuntos, dentro de las matemticas modernas y nos explica el funcionamiento de un conjunto de elementos al realizar alguna operacin con ellos.

La posicin en que estn dispuestas las circunferencias, nos mostrar el vnculo que existe entre los conjuntos.En la imagen de abajo, vemos cmo los crculos del grupo A y el B se encuentran solapados, poseyendo un rea en comn que comparten ambos grupos y en la que se encuentran todos los elementos del conjunto A y B.http://www.blogodisea.com/wp-content/uploads/2011/02/Diagramas-de-Venn.gifEn la imagen de abajo, el crculo del grupo A se haya dentro del crculo B, de manera que todos los componentes de B tambin se encuentran contenidos en A.

El nombre de estos diagramas fue designado en honor a su autor,John Venn, que era un matemtico y filsofo britnico. John expuso por primera vez este diagrama en 1880, apareciendo en el artculo De la representacin mecnica y diagramtica de proposiciones y razonamientos e inspirndose inicialmente en el clculo de clases deBoole.

John Venn (1834 1923)

El despiste de Paul Halmos

En una serie de reuniones de matemticos estadounidenses, se aprovechaban los almuerzos para relacionarse y conocerse. El primer da, Paul Halmos se acerc con dicho fin a un joven matemtico y le dijo:- Soy Halmos. Y usted?.- Smith, mucho gusto en conocerle.Paul posea la particularidad de ser despistado como pocos, as que el segundo da volvi a presentarse de nuevo:- Soy Halmos. Y usted?.- Smith, mucho gusto en conocerle, le volvi a responder el chico amablemente.Pero el tercer da, y viendo que Halmos vendra de nuevo con su cantinela, el chico contraatac primero:- Usted es Halmos. Y yo?.Paul Halmos(1916-2006) fue un matemtico hngaro que desarroll grandes avances en los campos de lateora de la probabilidad,estadsticas, operadores,anlisis funcionales(en particular, de losespacios Hilbert) y las matemticas lgicas. Tambin fue reconocido y alabado como un gran orador del terreno matemtico.

Juego de cerillas: Dejar 3 cuadrados

En esta imagen vemos 6 cuadrados formados por unas cerillas. Cmo podramos dejar 3 cuadrados con solo quitar 5 cerillas?SOLUCINen losCOMENTARIOS

Curiosidad del nmero de 6174 y la operacin de Kaprekar

Mysterious number 6174 es un interesante artculo de Yutaka Nishiyama que explica la extrasima propiedad del nmero 6174. Aunque nos parezca un nmero cualquiera, atesora un gran misterio por resolver, que en realidad se puede explicar fcilmente. En el artculo original se dan ms detalles, y aparece un bonito puzzle matemtico al final:La operacin de KaprekarEsta operacin matemtica llamadaOperacin de Kaprekar, es muy singular. Consiste tan slo en reordenar los dgitos de un nmero de tal forma que se pueda obtener el mayor y el menor nmero posible, restando as el menor del mayor.Esta operacin se puede realizar con nmeros de cualquier tamao, y se puede repetir sistemticamente una y otra vez. Resulta curioso lo que ocurre exactamente con cuatro cifras, siempre que no sean todas iguales. Un ejemplo: si lo hacemos con el ao en que nos encontramos, el 2009.9002 2009 = 69939963 3699 = 62646642 2466 = 41767641 1467 = 61747641 1467 = 6174Y aqu entramos en un bucle continuo. Al llegar al 6174, el resultado se repite constantemente. (Si cuando hacemos la operacin, aparecen nmeros de menos de cuatro dgitos, nos bastar rellenar con ceros a la izquierda.)Lo curioso del asunto, es que sin tener en cuenta el nmero por el que empezamos, mientras tenga cuatro dgitos y no sean todos iguales, llegaremos siempre al nmero 6174. Se puede averiguar porqu ocurre esto, si examinamos cmo se comporta cada dgito mientras realizamos las operaciones, o probando con los 8991 nmeros de esta clase que existen entre el nmero 1000 y el 9998. Siempre se alcanza el nmero 6174 antes de que demos un mximo de siete pasos, aunque normalmente llegamos con tres pasos. Los que sepan de programacin, pueden utilizar el cdigo del Generador de Series de Kaprekar para aseverar estas secuencias.

Es el 6174 el nico nmero con esta propiedad?No, pero si investigamos qu ocurre con otros nmeros de distinta longitud, nos aporta ms dilemas que acalaraciones.- Si probamos con los nmeros de dos dgitos, no se llega nunca a un nmero fijo, sino que entramos en un bucle cclico del tipo 09, 81, 63, 27, 45, 09.- Con tres dgitos, alcanzamos el 495.- Para cuatro dgitos el nmero es el susodicho y misterioso 6174.- Con cinco dgitos, no existe nmero fijo, sino tres ciclos (encima de distinta longitud).- Para seis dgitos, podemos llegar al 549945, al 631764 o a un ciclo de siete nmeros.- Con siete dgitos, tampoco existe un nmero fijo, sino un nico ciclo de nueve nmeros.- Para ocho y nueve, hay otro par de nmeros en cada caso respectivamente.- Con diez dgitos, podemos llegar a tres valores distintos: 6333176664, 9753086421 y 9975084201, o vernos dentro de cinco ciclos cortos.- Alguien construy un programa de ordenador para calcular hasta quince dgitos, con los que se pudo llegar a ocho resultados: dos nmeros fijos o seis ciclos cortos.Por ahora, ningn matemtico tiene claro porqu sucede esto y porqu con tres y cuatro dgitos, llegamos a un nico nmero, mientras que con otro nmero de dgitos distinto, no se llega a ninguno, sino a diferentes ciclos, o incluso para complicar la cosa, a veces se llega a varios nmeros posibles y tambin a ciclos.Existe algn nmero con ms dgitos que al final llegue a un slo nmero parecido al 6174? Pues esto se desconoce, sera uno de los muchos misterios de la Teora de Nmeros, o bien podra ser una coincidencia simplemente circunstancial.Para honrar a su descubridor, el nmero 6174 se conoce tambin como Constante de Kaprekar.

Qu es la sucesin de Fibonacci?

Leonardo Fibonacci naci en Pisa, Italia, en 1170, hijo de Bonacci (en italiano, figlio de Bonacci, o Fibonacci, nombre con el que se qued).

Creci y fue educado en Bugia, norte de frica (hoy llamada Bejaia, en Argelia), desde donde regres a Pisa alrededor del ao 1200. Fibonacci fue sin duda influido y posiblemente enseado por matemticos rabes durante este su periodo ms formativo. Escribi muchos textos matemticos e hizo algunos descubrimientos matemticos significativos, lo que ayud a que sus trabajos fueran muy populares en Italia y a que le prestara atencin el Sacro Emperador Romano del momento Federico II. quien lo invito a su corte de Pisa. Fibonacci muri en 1250.La secuencia de Fibonacci fue obtenida por primera vez en 1202, al tratar la cuestin del crecimiento de una poblacin de conejos. Se hizo la pregunta de cuntas parejas de conejos habr despus de cierto nmero de temporadas de crianza, esto es, cmo se multiplican los conejos. Para simplificar supuso lo siguiente:1) Se empieza con una pareja inmadura.2) Los conejos maduran una temporada despus de haber nacido.3) Las parejas de conejos maduras producen una nueva pareja cada temporada de crianza.4) Los conejos nunca mueren.De acuerdo con estas reglas, el nmero de conejos en una generacin es igual a la suma de las parejas de conejos que hay en las dos generaciones anteriores. Si se empieza con una pareja, despus de una temporada se produce una nueva pareja. Por tanto, al final de la temporada hay 1 + 1= 2 parejas de conejos. Si se sigue de esta manera se encuentran los siguientes nmeros de parejas en las sucesivas temporadas, que es precisamente la secuencia de Fibonacci.

Simplificado, se empieza con 0 y 1, el siguiente nmero de la secuencia es la suma de los dos anteriores, y as sucesivamente.0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169La funcin se expresara as:F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, Algunas particularidades en esta secuencia son:- Un trmino de cada tres es un nmero par: 1, 1,2, 3, 5,8, 13, 21,34, 55, 89,144- Uno de cada cinco es mltiplo de 5: 0, 1, 1, 2, 3,5, 8, 13, 21, 34,55, 89, 144, 233, 377,610- Cualquier nmero natural se puede expresar mediante la suma de un nmero limitado de trminos de la sucesin de Fibonacci, y cada uno de ellos es distinto a los dems. Ejemplos: 18= 13+3+2 50= 13+34+3- Si cogemos los nmeros de la secuencia de dos en dos, y los dividimos entre s, obtenemos con la progresin un acercamiento al cociente 0.618, el cual recibe el nombre de media dorada.1/1=1 1/2=0.5 2/3=0.666 3/5=0.6 5/8=0.625 8/13=0.615 13/21=0.619 21/34=0.617

- En la naturaleza hay varios ejemplos de esta sucesin:La cantidad de ptalos de una florLa flor del girasol, por ejemplo, tiene veintiuna espirales que van en una direccin y treinta y cuatro que van en la otra; ambos son nmeros consecutivos de Fibonacci.La parte externa de una pia pionera tiene espirales que van en sentido de las manecillas del reloj y otras que lo hacen en sentido contrario, y la proporcin entre el nmero de unas y otras espirales tiene valores secuenciales de Fibonacci.En las elegantes curvas de una concha de nautilus, cada nueva circunvolucin completa cumplir una proporcin de 1: 1,618, si se compara con la distancia desde el centro de la espiral precedente.La manera de reproducirse las liebres (la cantidad descendientes que tienen y cmo se multiplican).Estatua de Fibonacci

La suma de Gauss

Uno de los grandes genios de la fsica, Carl Friedrich Gauss, contaba en 1787 con diez aos de edad. Por aquel entonces, iba a la escuela.Un da en el que todos los alumnos se tiraban tizas los unos a los otros, apareci el profesor de repente. Muy enfadado, orden a todos los nios que, como castigo, le sumaran todos los nmeros de 1 al 100.No tard el muchacho en entregar la respuesta correcta en su pequea pizarra: 5050. Lo haba hecho sin llegar a sumar, utilizando simplemente su lgica, percatndose de un aspecto interesante de aquella sucesin y efectuando una sola operacin (en vez de noventa y nueve sumas).Cmo lo hizo el pequeo Gauss para obtener tan rpido la solucin?Se dice que los matemticos no calculan, sino que piensan.Gauss tena que sumar la siguiente serie:1 + 2 + 3 + 4 + + 98 + 99 + 100No obstante, se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando siempre los simtricos, facilitaba enormemente las cosas:(1 + 100) = 101(2 + 99) = 101(3 + 98) = 101(49 + 52) = 101(50 + 51) = 101As, todas las sumas de simtricos daban 101. Habiendo 50 posibles pares, el resultado era de 50 x 101, o sea, 5050.Ms tarde, aplicara este mismo principio para hallar la frmula de la suma de la serie geomtrica, entre otras cosas.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), nacido en una modesta cabaa de Alemania e hijo de padres muy pobres, dio seales de ser un genio antes de cumplir tres aos. A esa edad aprendi a leer y hacer clculos aritmticos con mucha habilidad. Sus contribuciones a la fsica y a otras ramas de la ciencia, como la astronoma, fueron de una importancia extraordinaria.

La lgica paradoja de Isabel

Siguiendo con el tema de losAmantes de Teruel(recordad, tonta ella y tonto l), una historieta de lgica paradjica a cargo de la tonta de Isabel.Los amantes de Teruel notaban que la rutina iba filtrndose en su amor. Diego, preocupado de que ese cncer silencioso acabara con el romance que llenaba sus vidas, decide sorprender a Isabel.- Amor mo -le dice-, a partir de ahora dejar de acudir a tu alcoba siempre el mismo da; lo har cuando menos te lo esperes, de modo que la ansiedad de tu incertidumbre multiplique la emocin de nuestros encuentros.- Pero Diego -objeta Isabel-, habrs siempre de venir a las 3 de la tarde, que sabes que es la hora en que mi celoso padre disfruta de su siesta.- Verdad dices, tesoro, pero no sabrs en cul da de la semana aparecer.- Nunca podr ser ni sbado ni domingo, mi bienintencionado galn, porque los fines de semana vuelve a casa mi hermano, ms celoso aun que mi padre.- De acuerdo palomita -admite l, un poco a regaadientes-, pero te mantendr intrigada durante los cinco das laborables.

- Vendrs acaso slo un da? -pregunta Isabel.- As es, ngel mo, para que la larga ausencia avive nuestra hoguera.- Entonces, cario, no podrs sorprenderme -contesta la bella. Repara en que ese da no podr ser el viernes, porque si no has venido antes, ya no podras sorprenderme. Pero tampoco vale que vengas el jueves ya que, no habiendo venido antes, yo sabr que has de venir pues el viernes t sabes que no puedes sorprenderme. Y claro, vida ma, por idntica induccin no puedes sorprenderme el mircoles, pues estara segura de tu llegada al saber que t sabes que no puedes sorprenderme en los dos das siguientes. E imagino que no hace falta que te explique que no cabe la sorpresa el martes, porque - No, no hace falta -interrumpe amoscado el joven-. Vive Dios que no s qu os ensean hoy en da a las muchachas de buena familia!Una nube negra oscureci por vez primera la plcida atmsfera del amor mutuo. Y Diego no fue a visitarla ningn da porque, sin entenderlo del todo, se convenci de que no podra sorprenderla. As que acept el reto del noble padre de su enamorada y, para poder desposarla, march de Teruel a obtener fortuna. Lo logr pero cuando volvi ya era tarde.E Isabel, por paradjica, se cas con quien no deba.Y colorn colorado, esta lgica paradjica se ha terminado.

Tu edad con matemticas chocolateras

Sigue los pasos de este juego chocolatero1. Cuantas veces por semana te apetece comer chocolate? (debe ser un nmero entre ms de 0 veces y menos de 10 veces)2. Multiplica este nmero por 2 (para que sea par)3. Suma 54. Multiplica el resultado por 50 (Voy a esperar a que pongas en marcha la calculadora)5. Si ya has cumplido aos en el 2009 suma 1759. Si aun no has tenido tu cumple este ao, suma 1758.6. Ahora resta el ao en que naciste (nmero de cuatro dgitos).El resultado es un nmero de tres dgitos. El primer dgito es el nmero de veces que te apetece comer chocolate por semana.Los dos nmeros siguientes son TU EDAD!

Adivina la pregunta 378: Lgica y matemticas Tres nmeros

Usando los dgitos del 1 al 9 (sin repetir ninguno de ellos), debemos hallar tres nmeros compuestos por tres dgitos cada uno, que cumplan la condicin de que el segundo nmero sea el doble del primer nmero, y el tercer nmero sea el triple del primer nmero. Existen varias soluciones posibles.

Adivinando el dgito tachado

Una persona piensa un nmero de varios dgitos, por ejemplo el 734, y sin que nos lo revele, le proponemos que sume sus dgitos (7 + 3 + 4 = 14). Ahora le pedimos que reste esa suma al nmero original (734-14=720).Luego le pedimos a nuestro interlocutor que tache cualquier dgito del resultado obtenido, el que prefiera, y que nos proporcione los restantes dgitos.Cmo podemos adivinar el dgito que tach?

SOLUCIN:Para adivinar el dgito tachado es bien simple. Se busca un dgito que sumado a los que nos digan, forme el nmero ms prximo divisible por 9.Por ejemplo, en el nmero 720 ha sido tachada la primera cifra (7) y nos comunican las cifras 2 y 0. Nosotros sumamos 2 + 0 = 2 y calculamos que hasta el nmero ms prximo divisible por 9 (puede ser 9 18), faltan 7. Este sera el dgito tachado.Este divertido juego de adivinacin funciona porque si a cualquier nmero le restamos la suma de sus dgitos, debe quedar una cifra divisible por 9. Si la suma de los dgitos que nos dicen es divisible entre nueve (por ejemplo 4 + 5), entonces la cifra tachada es un cero o un nueve.

Matemticos en la Torre Eiffel

La Torre Eiffel es el monumento y smbolo parisino por excelencia, edificada por el ingeniero Gustave Eiffel con ocasin de la Exposicin Universal de 1889, en el Centenario de la Revolucin Francesa. Todos los turistas la visitamos, subimos a ella y la fotografiamos con profusin. Pero hay un detalle que seguramente nos habr pasado inadvertido.Si disponemos de un potente zoom y orientamos nuestro objetivo hacia el zcalo del primer piso, descubriremos una sucesin de nombres de cientficos franceses del s. XIX que bordean las cuatro caras: 72 en total y, entre ellos, 21 matemticos. De stos destacamos, por ser los ms renombrados, a: Lagrange, Laplace, Legendre, Cauchy, Monge y Fourier.

Adivina la pregunta 419: Lgica y matemticas

Los objetos en esta lnea tienen algo en comn:Uno de los siguientes smbolos es el que seguira en la sucesin. Cul de ellos ser?

Adivina la pregunta 158: Lgica y matemticas Posibilidades en el ajedrez

De acuerdo con los expertos, los primeros cuatro movimientos del ajedrez pueden ser jugados en 197.299 maneras diferentes. Si se tarda 30 segundos en hacer un movimiento, cunto tardar un jugador en probar todas estas combinaciones de los 4 primeros movimientos?

Los crculos escolares del instituto Furinkan

En el instituto Furinkan funcionan cinco crculos: de msica, de origami, de judo, de ikebana y de ajedrez.El de msica funciona un da s y otro no, el de judo una vez cada tres das, el de ikebana una cada cuatro, el de ajedrez una cada cinco y el de origami una cada seis.

El primero de Enero se reunieron en la escuela todos los crculos, y luego siguieron hacindolo en los das designados, sin perder ni uno.La profesora Hinako propone a sus alumnos una adivinanza. Se trata de adivinar cuntas tardes ms, en el primer trimestre, se reunieron los cinco crculos a la vez.

- El ao es corriente o bisiesto? -pregunt Ranma a la profesora.- Corriente -contest esta.- Es decir, que el primer trimestre, Enero, Febrero y Marzo, suman 90 das? -pregunt Akane.- Claro que s- contest Hinako -. Y para ponerlo ms difcil, otra pregunta. Cuantas tardes de este mismo trimestre no se celebrar en el instituto ninguna reunin de crculos?Los alumnos se quedaron pensativos

Las cifras que suman igual

Cmo podramos poner las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en estos crculos del cuadrado de forma que todas las lneas sumen igual en todas las direcciones (horizontal, vertical, diagonal)?

Suma de los lados del rbol de Navidad

Para solucionar este problema debemos escribir los dgitos del 1 al 9 (sin repetir), de manera que en cada uno de los tres lados del rbol de Navidad, las cifras sumen la misma cantidad. Para escribir la solucin en el comentario, debemos seguir el orden de las agujas del reloj, empezando por la estrella.

La sombra del dirigible

Qu es ms largo, el dirigible o la sombra completa que proyecta sobre la Tierra?Uno podra decir que la sombra, ya que los rayos del Sol se difunden en forma de abanico. No hay ms que ver cmo los rayos del Sol se despliegan al verse a travs de una nube.

Y si fuera ms pequea?Otra posibilidad sera que los rayos fueran paralelos; la sombra y el dirigible tendran la misma longitud.

As que la pregunta sera, es menor, mayor o igual?

La trampa del hotel

Tres hombres de negocios tuvieron que pasar una noche en un hotel. El recepcionista les comunic que slo le quedaba una habitacin libre, pero podan ocuparla por 30 euros la noche. Cada hombre le dio 10 euros al recepcionista y los tres subieron a acomodarse en la habitacin.

Ms tarde, el recepcionista se dio cuenta que haba cometido un error y haba cobrado demasiado a los hombres por la habitacin. As que llam al botones y dndole cinco monedas de un euro le dijo: Sube arriba y entrega estos cinco euros a los hombres que se acaban de instalar. Diles que me equivoqu y les cobr de ms por la habitacinMientras el botones suba, este se dio cuenta que no podra dividir los cinco euros entre los tres hombres de manera ecunime, por lo que se guard dos monedas en el bolsillo y slo entreg tres euros a los hombres, un euro a cada uno.Esto quiere decir que cada hombre pag 9 euros por la habitacin y el botones se guard 2 euros. Tres veces nueve son 27, ms 2 euros del botones, son 29 euros. La pregunta es qu ocurri con ese euro extra?

La cadena de eslabones

Disponemos de cinco cadenas pequeas que constan de tres eslabones cada una, pero queremos unirlas para realizar una sola cadena. Cuando las llevamos al joyero, nos dice que cobra 1 euro por abrir un eslabn y 3 euros por volverlo a cerrar.

Cuando echamos mano, en el bolsillo tenemos slo 15 euros. Es posible unir todas las cadenas en una sola con ese dinero? Y si es as cmo?La cadena tendr que quedar al final as:

El vuelo del dirigible

En una reunin, se plantea este problema:- Imaginemos que despeg de San Petersburgo un dirigible rumbo al norte. Una vez recorridos 500 km. en esa direccin, cambi de rumbo y puso proa al este. Despus de volar en esa direccin 500 km., hizo un viraje de 90 y recorri en direccin sur 500 km. Luego vir hacia el oeste, y despus de cubrir una distancia de 500 km., aterriz.Si tomamos como punto de referencia San Petersburgo, se pregunta cul ser la situacin del lugar de aterrizaje del dirigible: al oeste, al este, al norte o al sur de esta ciudad.- Este es un problema para gente ingenua dijo uno de los presentes -. Siguiendo 500 pasos hacia delante, 500 a la derecha, 500 hacia atrs y 500 hacia la izquierda, adonde vamos a parar? Llegamos naturalmente al mismo lugar de donde habamos partido.- Dnde le parece, pues, que aterriz el dirigible?- En el mismo aerdromo de San Petersburgo, de donde haba despegado. No es as?- Claro que no.- Entonces no comprendo nada!- Aqu hay gato encerrado intervino en la conversacin el vecino -. Acaso el dirigible no aterriz en San Petersburgo? Puede repetir el problema?El aviador accedi de buena gana. Le escucharon con atencin, mirndose perplejos, ya que nadie acert la solucin.Dnde aterriz el dirigible finalmente?

La leyenda del tablero de ajedrez (progresin aritmtica)

Elajedrezes un juego antiqusimo. Lleva muchos siglos de existencia y por eso no es de extraar que se hayan inventado sobre l, variopintas leyendas de cuestionable veracidad, las cuales son difciles de demostrar debido a su antigedad.

Hoy os voy a narrar una de estas fbulas que conozco desde pequeo y siempre me fascin. Para entenderla no es preciso saber jugar alajedrez. Slo se necesita saber que el tablero donde se desafa al oponente est dividido en 64 casillas negras y blancas, colocadas de manera alternativa.El juego delajedrezfue inventado en la India. Cuando el rey hind Sheram se enter de este divertimento estratgico, se maravill de lo ingenioso y de la variedad de combinaciones que en l eran posibles. Al hacerse eco que el inventor era uno de sus siervos, el rey requiri su presencia con objeto de remunerarle personalmente por su buen invento.El autor del invento, que se haca llamar Seta, se present ante el soberano. Era un sabio que vesta con modestia y que viva gracias a los medios que le suministraban sus discpulos. Seta, quiero compensarte generosamente por el ingenioso juego que ideaste le dijo el rey.El erudito contest con una reverencia. Soy lo bastante poderoso y acaudalado como para poder concederte tu deseo ms ansiado continu explicando el rey. Declrame una recompensa que te satisfaga y ser tuya.El sabio se mantuvo callado. No seas tmido le anim el rey-. Cuntanos tu anhelo. No escatimar en gastos para complacerlo. Grande es su beneplcito, gran soberano. Pero concdame un corto plazo de tiempo para pensar la respuesta. Maana, tras una profunda meditacin, le transmitir mi peticin.A la maana siguiente Seta compareci de nuevo ante el monarca y lo dej maravillado con su peticin, sin precedente alguno por su humildad. Oh gran soberano dijo Seta, ordene que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez que yo invent.

Un slo grano de trigo? inquiri con sorpresa el rey. S, mi seor. Por la segunda casilla, pida que me sean entregados dos granos de trigo; por la tercera casilla, cuatro granos; por la cuarta casilla, ocho; por la quinta casilla, diecisis; por la sexta casilla, treinta y dos Basta! le interrumpi el rey enfadado. Se te entregar el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero, tal y como es tu deseo; por cada nueva casilla, doble cantidad de trigo que por la precedente. Pero debes conocer que tu peticin es indigna de mi benevolencia. Al pedirme tan nfimo pago, menosprecias de manera irreverente mi recompensa. Y como erudito que eres, podras haber dado mayor prueba de respeto ante la magnificencia de tu rey. Ya puedes retirarte. Mis sirvientes te entregarn el saco con el trigo que necesites.Seta esboz una sonrisa, y tras abandonar la sala, se qued esperando en la puerta exterior del palacio.Durante la comida, el rey se acord del creador del ajedrez y envi a alguien para que se informara de si se haba entregado ya al meditabundo Seta su mezquina recompensa. Majestad, su orden se est cumpliendo fue la respuesta. Los matemticos de la corte calculan el nmero de granos de trigo que deben ser entregados.El monarca frunci el ceo. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus decretos.

Por la noche, al retirarse a descansar a sus aposentos, el rey pregunt de nuevo cunto tiempo haca que el sabio Seta haba abandonado el palacio con su saco de trigo. Majestad le respondieron, sus matemticos siguen trabajando sin descanso y esperan finalizar los clculos al amanecer. Por qu va tan lenta esta operacin? grit iracundo el monarca. Que maana, antes de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el ltimo grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces un mismo mandato.Por la maana fue comunicado al gobernante que el matemtico mayor de la corte instaba audiencia para comunicarle un informe muy importante.El soberano orden que le hicieran pasar. Antes de empezar tu informe le dijo Sheram, quiero conocer si se ha entregado por fin a Seta la pobre recompensa que solicit. Precisamente por ese asunto he osado presentarme tan temprano respondi el anciano. Hemos calculado concienzudamente la cantidad total de granos que desea recibir el sabio Seta. El resultado es una cifra descomunal Sea cual fuere su proporcin le interrumpi con desdn el gobernante mis graneros y despensas no empobrecern. He prometido darle esa remuneracin y, por lo tanto hay que entregrsela. Majestad, no depende de su intencin el cumplir semejante deseo. En todos sus graneros no existe la cantidad de trigo que pidi Seta. Tampoco existe en todas las despensas de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si desea proporcionar sin falta la recompensa que prometi, ordene que todos los reinos de la Tierra sean convertidos en labrantos, mande desecar los mares y ocanos, ordene fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del norte. Que todo ese espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordene que toda la cosecha conseguida en estos campos sea entregada a Seta. Solamente de esta manera el sabio entonces recibir su recompensa.El monarca escuch perplejo las palabras del anciano matemtico. Dime, cul es esa colosal cifra? expres el rey dudando. Oh, majestad! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo.

Sobre laprogresin aritmticaSi se empieza por la unidad, se deben sumar estas cifras: 1, 2, 4, 8, 16, etc. El resultado que se obtiene despus de 63 duplicaciones sucesivas nos revelar la cantidad correspondiente a la casilla 64, que deber recibir el sabio Seta. Podemos calcular fcilmente la suma total de granos de trigo, si duplicamos el ltimo nmero, conseguido para la casilla 64, y le restamos una unidad. Es decir, el clculo se resume de manera simple a multiplicar 64 veces seguidas la cifra 2:2 x 2 x 2 x 2 x 2, y as progresivamente hasta que lleguemos a 64 veces.Con el fin de facilitar el clculo, se pueden dividir estos 64 factores en 6 grupos de 10 factores 2 y uno de 4 factores 2. La multiplicacin sucesiva de 10 factores 2 es igual a 1.024 y la de 4 factores 2 es de 16. De esta manera, el resultado buscado es equivalente a:1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 x 16Si multiplicamos 1.024 x 1.024 obtendremos 1.048.576Ahora nos queda por calcular:1.048.576 x 1.048.576 x 1.048.576 x 16Si restamos del producto obtenido una unidad, calcularemos el nmero de granos de trigo buscado: 18.446.744.073.709.551.615Para hacernos una idea de lo colosal de esta cifra, debemos calcular de manera aproximada la magnitud que debera poseer el granero capaz de almacenar semejante cantidad de cereal. Primero debemos conocer que un metro cbico de trigo posee cerca de 15 millones de granos. Teniendo este dato en cuenta, la recompensa del creador del ajedrez ocupara un volumen aproximado de 12.000.000.000.000 m3, o lo que es igual, 12.000 km3. Si el granero tuviera cuatro metros de alto y 10 metros de ancho, su longitud sera de 300.000.000 km, o sea, la distancia que existe de la Tierra al Sol dos veces.

El rey hind Sheram, lgicamente no poda proporcionar semejante recompensa. No obstante, de haber estado fuerte en matemticas, hubiera podido librarse de esta deuda tan costosa. Para ello le habra bastado simplemente proponer a Seta que l mismo contara, grano a grano, el trigo que haba pedido.Si el erudito Seta, puesto a contar, hubiera trabajado noche y da, contando a un ritmo de un grano por segundo, en el primer da habra contado 86.400 granos de trigo. Para contar un milln de granos se necesitara, como mnimo, diez das de continuo trabajo. Un metro cbico de trigo lo habra contado aproximadamente en medio ao, lo que supondra un total de cinco cuartos. Haciendo esto sin interrupcin durante diez aos, habra contado cien cuartos como mximo.De esta manera, aunque Seta hubiera dedicado el resto de su vida a contar los granos de trigo que le correspondan, habra recibido slo una parte mnima de la recompensa que exigi.

Vendiendo naranjas

En el pueblo de Villanaranjos, un padre mand a sus tres hijos a vender naranjas. Al mayor le encarg vender 50 naranjas, al mediano 30 y al pequeo 10.Eso s, les pidi que regresaran por la tarde, y que los tres aportaran el mismo dinero cada uno de sus ventas, pero deban venderlas en todo momento al mismo precio que sus hermanos.- Pero eso es imposible!- exclam el hijo mediano- llevamos diferentes cantidades de naranjas, as que el que venda ms naranjas, traer ms dinero.- Es verdad padre- inquiri el hijo mayor- usando la lgica, yo soy quien lleva ms naranjas, y si las tengo que vender en todo momento al precio que la vendan mis hermanos, conseguir ms dinero.- Menos hablar e id al mercado!- les grit su padre sin importarle lo que estaban dicindole sus hijos.Los chicos se fueron cabizbajos al mercado, pensando en cmo podran solucionar este problema. De repente, al hermano pequeo se le ocurri una idea:- Ya lo tengo!- exclam- tengo la frmula para vender las naranjas al mismo precio que vosotros y conseguir al final el mismo dinero.Al finalizar el dia, los chicos volvieron habiendo vendido todas las naranjas y trayendo cada uno 10 euros. Eso s, en todo momento entre ellos las vendieron al mismo precio. Ningn hermano las cobraba ms caro que sus otros hermanos.Cmo es posible esto?

PISTA 1:- Los hermanos no tienen necesariamente que vender siempre unidades de naranja, sino que pueden vender grupos o packs de varias naranjas. Eso s, respetando siempre que esos packs sean vendidos al mismo precio.- La solucin est en realizar dos etapas de venta. En una, vendern packs. En la otra, vendern unidades de naranja.PISTA 2:- En cada fase de venta, los chicos vendern a precio diferente las naranjas. Eso s, al pblico. Ellos siempre la vendern al mismo precio entre ellos.PISTA 3:Os doy el clculo de la primera fase del problema para que sea ms fcil terminarlo.Hermano mayor tiene que vender 50 naranjas.Hermano medio tiene que vender 30 naranjas.Hermano peque tiene que vender 10 naranjas.Ahora se ponen a vender packs de 7 naranjas a 1 euro.Hermano mayor vende 7 grupos de 7 naranjas a 1 euro = 7 euros y le sobra 1 naranja (gast 49 naranjas de las 50 iniciales)Hermano medio vende 4 grupos de 7 naranjas a 1 euro = 4 euros y le sobran 2 naranjas (gast 28 naranjas de las 30 iniciales)Hermano peque vende 1 grupo de 7 naranjas a 1 euro = 1 euro y le sobran 3 naranjas (gast 7 de las 10 iniciales)Por lo tanto, de momento los hermanos llevan ganado:Hermano mayor ha ganado 7 euros y le queda por vender 1 naranja suelta.Hermano medio ha ganado 4 euros y le quedan por vender 2 naranjas sueltas.Hermano peque ha ganado 1 euro y le quedan por vender 3 naranjas sueltas.En la segunda fase de venta, cambiamos lo de vender packs de naranjas, por unidades, as terminamos de vender las naranjas que les quedaron sueltas. Y tambin variamos el precio de venta. Ahora todos los hermanos venden la unidad de naranja a X euros.Si todos los hermanos tienen que ganar 10 euros, a cunto tienen que vender esas naranjas sueltas?Ms fcil imposible.

Comilona con tensin

En estas fiestas navideas, estos 6 hermanos se han tenido que sentar juntos en una mesa para celebrar la Navidad, pero se llevan como el perro y el gato. Para que algunos no se peleen en esta Nochebuena, debes disponerlos en la mesa para que pasen la velada en paz. Las normas para que conozcas qu hermanos odian a los otros son:- Cada uno de ellos odia al hermano mayor que el l y el menor tambin. Por ejemplo, el hermano 4 odia al hermano 3 y 5.- Los hermanos 3 y 5 tampoco se aguantan debido a una pelea que tuvieron el ao pasado.Cmo dispondras a los hermanos sentados en una mesa redonda para que no tuviesen cada uno al lado a los hermanos con los que se llevan mal? Para dar la solucin, lista el nmero de hermano y la letra de la silla donde debe estar.

Qu es?

PISTA 1:Un poco de ayuda para desvelar las secuencias.

VISITA MI COMUNIDAD, GRACIAS