Peps 1 Calculo Avanzado

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Universidad de Santiago de ChileEacultad de CienciasDepto. de matematica y computacionClculo AvanzadoPep 1Soluciones y puntaiesPregunta 1.-Obtener la Iormula218cos 24 1QQ[ VHQ Q[Q S== VL (0. ) [ S eSolucion.- Se debe considerar la extension impar de I(x) cos x . al intervalo > @ S S. para asi obtener la serie de Eourier seno de I(x) cos x. Tal serie es 1sin Q[ EQ . conSSS S00) 1 ( 2) 1 cos() 1 ( 2) 1 cos( 2sin cos2

++ = = Q[ QQ[ QG[ [ [ EQ . si 1 = Q . ||.|

\|++++) 1 ( 21) 1 ( 21) 1 ( 2) 1 cos() 1 ( 2) 1 cos( 2Q Q QQQQ S SS. 1 = Q

=||.|

\|+ + + +impar es si . 0par es si .14) 1 (1 ) 1 () 1 (1 ) 1 ( 121 1QQQQQ QQ QSS02sin 2sin cos20201= = =SSS S[G[ [ [ E .La serie es Q[QQ[ 2 sin1 48cos12 =S. considerando cambio de indice; par)Pregunta 2.-Obtener la integral de Eourier decos si .( )0 si .[ [I [[SS s=>Estudiar convergencia en 0 10; [ [ S = = .Solucion.- Como I(x) es Iuncion par se tiene 0 ) ( = Z %SS00) 1 ( 2) 1 () 1 ( 2) 1 (2 cos cos 2 ) ( ||.|

\|+++= =ZY Z VLQZY Z VLQGY ZY Y Z $ ) 1 ( 2) 1 sin() 1 () 1 sin(ZZZZ+++ S S ) 1 (sin1sinZZZZ+S S 21sin 2ZZ ZSLa integral es =0 2 cos1sin 2) ( GZ Z[ZZ Z[ I SSConvergencia: considerar que en 0 ) ([ I es continua. en S es discontinua. Se obtienen respectivamente 2 1sin0 2S S=GZZZ Z; 2 12 sin0 2S S=GZZZ Z.Pregunta 3.-En el instante 0 W = . una casa es lanzada al espacio por causa de un tornado y sigue la trayectoria ( ) ( cos . . )DW DW DWU W H W H VHQW EH E = con 0. 0. 0 D E W > > > .a) Calcular la distancia que recorre la casa hasta W S = .b) En el instante 1W con > @1 0. W S e . en el cual la trayectoria tiene curvatura maxima. un residente que dormia tranquilo es lanzado por una ventana hacia el exterior:i) que trayectoria sigue?ii) Determinar en que punto se encuentra la casa en el instante W S = .iii) Obtener la ecuacion del plano osculador a la trayectoria de la casa en el instante W S =Solucion.- Se tiene ) . cos sin . sin cos ( ) ( DW DW DW DW DWDEH W H W DH W H W DH W U + = '

) . cos sin . sin cos ( DE W W D W W D HDW+ 2 2 21 ) ( E D D H W U DW+ + = '

) 1 (11 ) ( ) ( 2 2 20 + + = ' = SSDHDE D D GW W U F O La curvatura maxima ocurre para t 0 (casi obvio); en eIecto) 0 . sin cos . cos sin ( ) . cos sin . sin cos ( ) ( W W D W W D H DE W W D W W D DH W U DW DW + + = ' ') 1 ). cos int ( ). cos int ( ( ) ( ) ( 2 2+ + = ' ' ' D W DV DE W D V DE H W U W U DW

y 2 2 2 2 21 1 ) ( ) ( E D D D H W U W U DW+ + + = ' ' '

y ) 1 (1) (2 2 22E D D HDW .DW+ ++= ; ) (W . tiene un valor maximo en t 0.Como el residente esta con velocidad inicial 0. la trayectoria sera ) . 1 . ( ) 0 . 0 . 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( DE D U U 5 O O O + = ' + =

En el instante S = W la casa se encuentra en el punto ) . 0 . ( ) ( E EH H U D D = S SS

. Plano osculador: . 0 ) ( )) ( ( = ' ' ' S S U U U 5

con ) 1 . . ( ) )( ( 2 2 2+ = ' ' ' D DE E D H U U D SS .Calculo Avanzado P.E.P#1 Segundo Semestre 2003. Puntajes y Soluciones 1. Establecer la igualdad 250 21xw sen wx dwew=+ si 0 x > y de esto deducir el valor al cual converge 0 22 2( 1)wdww + .Solucin: Se debe considerar la extension impar de ; 0 . ) ( > =x e x f x2 200121) cos (2 sin 2 ) (wwwwv w wv sene dv wv e w B v v+=+ = = y A(w) 0La integral de Eourier de ) (x f es +0 21sin 2dwwwx w5. (pie.: 04). Usando la identidad de Parseval se obtiene =+0 2 224 ) 1 (5dwww(pie. 02) 2. Sea C una curva determinada por interseccion de los cilindros 2 21 . z x v v = =a) Parametrizar C de Iorma ( ) ( ( ). ( ). ( )) r t x t v t z t = t I e ; Indicacion: Notar que se cumple 2 21 x z + =b) Obtener . . . y en (0.1.1) T N B K P 9 =Solucin : a) Se puede parametrizar como ) sin . sin . (cos ) ( 2t t t t r = . > @ 5 2 . 0 e ty con 215= t ; ) 1 . 1 . 0 (2= |.|

\| 5r

b) ) 0 . 0 . 1 (2; ) 0 . 0 . 1 (2; ) cos . cos sin 2 . sin ( ) ( = |.|

\| = |.|

\|' = ' 5 5T r t t t t t r( ) ( cos . 2cos 2 . sin ) ; (0. 2. 1);2( ) ( ) (0. 1. 2) ; ( ) ( ) 52 21 20. . ; 2 25 5r t t t t rr t r t r t r tB v N55 55 5| |'' '' = = |\ .| | | |' '' ' '' = = | |\ . \ .| | | | | | = = | | |\ . \ . \ .2 10. .5 5( ) (sin . 4sin 2 . cos ) ; (1. 0. 0) ( : 05 ) 2haciendo el correspondiente calculo que2r t t t t r pie559| | |\ .| |''' ''' = = |\ .| | |\ . 0 . 5 ( : 01)2v K pie5 | |= = |\ .3. Sea . 1 c o s. s i 0 0( . ). s i y 02x vv x vvf x vx= >=a) Estudiar continuidad de 2en f 9b) Calcular ( . ). ( . )x vf x v f x v si 0 v =c) Calcular (0. 0). (0. 0)x vf fSolucin:a) 1) Si ) . ( . 0 v x f v = es continua. (cuociente de Iunciones continuas. con 0 > xv ; para 0 < xvno existe f y es discontinua) 2) Si; 2) 0 . ( . 0 xx f v = = ;2( . ) ( .0) ( . ) ( .0)2 2( . ) ( .0) ( . ) ( .0)1 cos 1 cos(1 cos )sin sin(1 cos ) (1 cos )lim limlim limx v x x v xx v x x v xxv xvv v xvxv x xvv xv xv xv =+=+ +2( . ) ( .0)sin 1( .0)21 cos x v xxv xx f xxv xvf continualim| |= = = | |+\ . (pie:02) b) 2sin sin( . ) . 0;2 2( 0)sin(1 cos )2( . ) . 0( 0)xvxv xvf x v v xv xv xvvxvxv xvxvf x v xvv= = == = ==20 0 01 cos01 cos sin 1(0. )2(1 cos )xx x xxvxv x v vf v lim lim limx x v x v xvA A A A A A = = = =A A A +00 00) ( cos 1) . 0 (0 0=A=AA +A A + A = A A vlimvv vx v vlim v fv vv000 cos 1) 0 . 0 ( .2102) 0 . 0 (0 0=AAA =AA= A A vvvlim fxxlim fvvxx (pie:04) 4. Calcular la derivada direccional de 22( . . ) 8 f x v z x xv z = + en la direccion de la normal a la superIicie 2 217 x v z + + = en el punto (4.4.1). Solucin: : 2 2( 17) (2 . 2 .1)(4. 4.1) (8. 8.1) (8. 8.1) 129(2 8 . 8 . 2 )(4. 4.1 ( 24. 32. 2)(8. 8.1) 446( 24. 32. 2)129 129nx v z x vf x v x zfD f fV + + =V = =V = V = V = V = =V

(pie:0.6) Microsoft Editor de ecuaciones 3.081,9(56,'$''(6$17,$*2'(&+,/()$&8/7$''(&,(1&,$'(372'(0$7(0$7,&$ =1 1114 1 21cos2sin1 221 5555nnnnee2.- Un automovil demora hora en ascender un cerro. Se supone que la rapidez es una Iuncion lineal del tiempo comenzando el ascenso a 30 km/h. Si el automovil rinde 8km por litro, cuanto combustible gasta en el ascenso?Solucion.-con 1( ) , 02r r t t = s s , la rapidez tB A t r t v + = =) ( ' ) ( (Iuncion lineal ), tal que 10, (0) 30 ( ) 30 602 2Bv A v A v t t| |= + = = = => = |\ .. GraIicamente se tiene:v(t)30 tLa longitud de la trayectoria es = = = 21021021560 30 ) ( km dt t dt t v Lentonces el combustible gastado es 1615litros81,9(56,'$''(6$17,$*2'(&+,/()$&8/7$''(&,(1&,$'(372'(0$7(0$7,&$ = t k ry siendo C curva plana ( ) 1 t 9 = t USACHDMCCPAUTA PRIMERA PEPCALCULO AVANZADO24 de Septiembre de 2004Pregunta 1Sea 2( ) I [ VHQ [ =a) Si I esta deIinida en . Cual es su periodo ?b) Suponga que I esta deIinida en |0. | 5 . obtenga una serie de Eourier de senos asociada a I .c) Utilice los resultados anteriores para calcular la serie1 1 1 1 11 2 3 3 5 7 7 9 11 11 13 15 15 17 19 + + Solucin:a) El periodo de 2( ) I [ VHQ [ = es 5 .b) 2 1 1cos22 2VHQ [ [ = La serie de Eourier pedida es 1( )QE VHQ Q[20 02 2 1 1( ) cos 2 ( )2 2QE VHQ [VHQ Q[ G[ [ VHQ Q[ G[5 55 5| |= = |\ . 0 01 1( ) cos 2 ( ) VHQ Q[ G[ [VHQ Q[ G[5 55 5= 0 01 cos cos(2 ) cos( 2). 22(2 ) 2( 2)Q[ Q QQQ Q Q5 55 55| | + | |= = | |+ \ .\ .||.|

\|+++++ |.|

\|+ =) 2 ( 20 cos) 2 ( 20 cos) 2 ( 2) 2 cos() 2 ( 2) 2 cos( 1 0 cos cos 1Q Q QQQQQ QQ 5 5555]]]

|.|

\|+ +|.|

\|++++ +|.|

\| = 2) 2 cos(212) 2 cos(21 cos 2 221QQQ QQQ QQQEQ5 5 55USACHDMCCDe aqui se deduce que 0 .QE WRGR Q SDU = incluso 2 Q =Si n 20 01 12 cos 2 2QE VHQ [G[ [ VHQ [G[5 55 5= 020 cos22 cos22 cos20 0= + = = [ [[G[ VHQ5 520012 2 2 04VHQ [VHQ [G[ VHQ [55= =Por lo tanto 0 para todo n parQE =Si n es impar.2 21 4 2 2 1 4 4 82 2 2 2 4 ( 4)QQEQ Q Q Q Q Q Q 5 5 5 | | | |= = = | |+ \ . \ .Asi. con n 2k 1 obtenemos:[ N VHQN N NN) 1 2 () 1 2 )( 3 2 )( 1 2 (81+ = 518 1(2 1)(2 3)(2 1)(2 1)NVHQ N [N N N 5== +c) Con 25= [ , 12) ( 2= = 5VHQ [ I y (2 1) ( 1)2NVHQ N 5 = El teorema de convergencia asegura que18 ( 1) 8 1 1 1 11 (2 1)(2 3)(2 1) 1 1 3 1 3 5 3 5 7 5 7 9NN N N N 5 5= = = + + + Lo que prueba que1 1 1 1 8 11 3 5 3 5 7 5 7 9 7 9 11 3 5 + + = USACHDMCCPregunta 2Sea : I QI una Iuncion vectorial dos veces diIerenciable. a) Pruebe que la aceleracion se puede escribir como combinacion lineal de los vectores unitarios T y N. o sea que222( ) T ( ) NG V GVD W N WGW GW| || |= + | |\ .\ .

donde ( ) V V W = deIine la Iuncion longitud de arco.b) Calcule las componentes tangencial y